Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ базового уровня содержит 392 задачи на сорока страницах. В статье выделены несколько типов задач по различным темам курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач скопированы с сайта ФИПИ.
1. Задачи на применение классической формулы определения вероятности события
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: 
.
Задача 1.1. На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.
Решение. Число благоприятных исходов –это и есть число участников семинара из России. Их пятеро. Общее число исходов 6+5+9=20, -это количество учёных, участвующих в семинаре. Итак, искомая вероятность равна 
.
Замечание: решительно всё равно, каким по счёту, восьмым, как в условии задачи, или первым, вторым, третьим, …, двадцатым будет выступать российский докладчик. Искомая вероятность зависит только от количества российских учёных и общего количества участников.
Ответ: 0,25.
Задача 1.2. В кармане у Дани было пять конфет — «Ласточка», «Взлётная», «Василёк», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлётная».
Решение. Конфета «Взлётная» — одна, всего конфет – 5. Вероятность того, что выпала именно она, равна
Ответ: 0,2.
Задача 1.3. На борту самолёта 26 мест рядом с запасными выходами и 10 мест
за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Решение: Удобных для пассажира Д. мест 26+10=36. Общее число мест для пассажиров -300. Значит, искомая вероятность равна
Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:
| N исходов |
Первое бросание |
Второе бросание |
|
1 |
Решка |
Решка |
|
2 |
Орёл |
Орёл |
|
3 |
Орёл |
Решка |
|
4 |
Решка |
Орёл |
Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно двум появлениям орла) благоприятствует исход с номером 2. Он единственный, а возможных исходов в нашем случае – 4. Стало быть, искомая вероятность равна
Ответ: 0,25.
Задача 1.5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.
Решение: Ровно один раз орёл выпадает в исходах под номерами 2 и 3 (см. таблицу к задаче 1.4). Отношение числа благоприятных исходов (2) к общему числу всех равновозможных исходов (4) определяет вероятность интересующего нас события:
Ответ: 0,5.
Задача 1.6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.
Событие «орёл выпадет хотя бы один раз» означает, что орёл появится либо один раз (первым или вторым), либо оба раза, что возможно при реализации исходов 2,3,4. Благоприятных исходов, таким образом, три, при общем количестве возможных – четырёх. Вероятность, согласно классической формуле, равна 
Ответ: 0,75.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Задача 1.7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение: Орёл выпадает оба раза – один исход при двух бросаниях математической монеты из четырёх возможных. Значит, вероятность равна 
.
Ответ: 0,25.
Задача 1.8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.
Решение: Формулировка «во второй раз выпадет то же, что и в первый» означает, что могут выпасть подряд два орла, либо выпадают две решки подряд, что соответствует исходам 1 и 2 в таблице к задаче 1.4. При общем количестве (их 4) равновозможных исходов вычисляем вероятность 
.
Ответ: 0,5.
Задача 1.9. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 25.
Решение: Найдем количество трёхзначных чисел. Первое из них -100. Последнее -999. Значит, их всего 999-100+1=900. Определяем количество чисел, кратных 25. Первое из них – 100. Последнее – 975. Таких чисел 
По классической формуле вычисляем вероятность 
.
Ответ: 0,04.
Задача 1.10. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 33.
Решение: Как и в задаче 1.10, общее число всех равновозможных исходов 900. Первое трёхзначное число, кратное 33, это — 132. Последнее из них – 990. Таким образом, благоприятных исходов, т.е. трёхзначных чисел, кратных 33, всего
Ответ: 0,03.
Задача 1.11. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4 раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный
из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.
Решение: Примем количество пакетиков с зелёным чаем за х, тогда количество пакетиков с чёрным чаем будет равно 4х, и общее количество пакетиков с чаем определится как х+4х=5х (пакетиков). Вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем, согласно классической формуле, определяется отношением
Ответ: 0,2.
Задача 1.12. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Решение: Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 400-(130+130) =140. Значит, искомая вероятность равна 
.
Ответ: 0,35.
Задача 1.13. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Решение: Для туриста Д., входящего в состав группы, для похода в магазин есть 6 благоприятных исходов. Общее число всех равновозможных исходов – количество туристов в группе (их 8 по условию задачи). Итак Р(А)=
Ответ: 0,75.
Задача 1.14. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов:
в первый день — 18 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение: Последний день конференции – третий. Количество докладов, запланированных во второй, а также и в третий день конференции: 
Это и есть число благоприятных для профессора М. исходов. Вычисляем вероятность выступления докладчика в третий день: 
.
Ответ: 0,32.
Задача 1.15. На экзамене будет 50 билетов, Оскар не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение: Невелик у Оскара шанс получить выученный билет: 
.
Ответ: 0,14.
Задача 1.16. В фирме такси в наличии 12 легковых автомобилей: 3 из них чёрного цвета
с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
Решение: Жёлтых с чёрными надписями машин -9. Разделив их на общее число машин фирмы (12), получаем:
Ответ: 0,75.
2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события
Определение. Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу.
Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно в результате однократного опыта. События образуют полную группу, если в результате опыта одно из событий обязательно произойдёт. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. 
. Здесь 
— вероятность события, противоположного событию А.
Задача 2.1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет, равна 0,21. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку
из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение. Событие А – новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет. Событие 
— ручка пишет хорошо. Эти события – противоположные. Р(А)=0,21. Р(
Ответ: 0,79.
Задача 2.2. В среднем из 140 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение: Событие А — насос подтекает, событие 
– насос не подтекает.
Ответ: 0,95.
Задача 2.3. Из 600 луковиц тюльпанов в среднем 48 не прорастают. Какова вероятность того, что случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт?
Решение. Событие – «случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт» противоположно событию «что случайно выбранная и посаженная луковица не прорастёт». Поэтому 
.
Ответ: 0,92.
3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных событий
Суммой (А+В) двух событий А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В.
Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность суммы случайных событий.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность того, что произойдёт одно из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: 
.
Задача 3.1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос
по теме «Внешние углы», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: событие А – достанется вопрос по теме «Вписанная окружность», событие В – достанется вопрос по теме «Внешние углы», тогда событие А+В — на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Учитывая, что «Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет», применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,35+0,25 = 0,6.
Ответ: 0,6.
Задача 3.2. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: Как и при решении задачи 3.1, применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,3+0,25 = 0,55.
Ответ: 0,55.
События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).
Зачем нужна теория вероятности
Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.
Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.
В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.
Основные понятия теории вероятности
Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.
Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.
Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.
События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.
Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом
.
Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом
.
Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.
- Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е.
.
- Вероятность невозможного события равна 0, т.е.
.
- Вероятность достоверного события равна 1, т.e.
.
- Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е.
.
.Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные
из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле
. Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.
Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов
.
Ответ получаем по формуле .
Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности
На столе лежат 20 пирожков – 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?
Решение.
Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А – это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:
![[ P(A)=frac{k}{n}=frac{8}{20}=0,4 ]](https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-69b80fc6c79153f9776c8563534adc72_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ответ: 0,4
Независимые, противоположные и произвольные события
Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.
События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.
Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .
Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы
Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е.
.
Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае
.
.
.Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.
Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.
Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается “шесть факториал”.
В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов 
В нашем случае .
Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .
В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам
![[ A^{k}_{n}=n cdot (n-1) cdot (n-2) dots cdot(n-k+1)= frac{n!}{(n-k)!} ]](https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2dc566bbe32b350df2378b5eb114ad2d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
В нашем случае .
И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из
элементов по
элементам:
![[ C^{k}_{n}=frac{n cdot (n-1) cdot (n-2) dots (n-k+1)}{1cdot 2 cdot 3 dots cdot k}=frac{n!}{k! cdot (n-k)!}. ]](https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-182659ca8211e8f6dddf252762564942_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
В нашем случае .
Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности
Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.
На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
Решение:
.
Ответ: 0,3.
Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.
В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.
Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:
Ответ: 0,98.
Задача 3.
Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.
Решение:
Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие “У. верно решит ровно 9 задач” входит в условие “У. верно решит больше 8 задач”, но не относится к условию “У. верно решит больше 9 задач”.
Однако, условие “У. верно решит больше 9 задач” содержится в условии “У. верно решит больше 8 задач”. Таким образом, если мы обозначим события: “У. верно решит ровно 9 задач” – через А, “У. верно решит больше 8 задач” – через B, “У. верно решит больше 9 задач” через С. То решение будет выглядеть следующим образом:
.
Ответ: 0,06.
Задача 4.
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение.
Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме “Тригонометрия”, либо к теме “Внешние углы”. По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:
Ответ: 0,35.
Задача 5.
Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение:
Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.
Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: – лампочка горит,
– лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события “лампочка перегорела”, “лампочка горит”, “лампочка горит”:
, где вероятность события “лампочка горит” подсчитывается как вероятность события, противоположного событию “лампочка не горит”, а именно: 
.
Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: 
.
Ответ: 0,975608.
Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:
Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.
Способы решения задач по теории вероятностей ЕГЭ по математике
профильного уровня
Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах
открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ профильного уровня содержит 403
задачи на 41 странице. В статье выделены несколько типов задач по различным темам
курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач
сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач
скопированы с сайта ФИПИ.
1. Задачи на применение классической формулы вероятности события
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому
событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных
исходов, образующих полную группу:
.
Задача 1.1. В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из
Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из
Канады.
Решение. Число благоприятных исходов –это и есть число канадских спортсменок. Их 70—
(25+17) =28. Общее число исходов – 70, это количество спортсменок, участвующих в
чемпионате. Итак, искомая вероятность равна
.
Ответ: 0,4.
Замечание: решительно всё равно, какой по счёту, первой, как в условии задачи, или
второй, третьей, …, семидесятой будет выступать канадская спортсменка. Искомая
вероятность зависит только от количества канадских гимнасток и общего количества
участниц.
Задача 1.2. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на
игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76
теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин.
Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким—
либо теннисистом из России.
Решение. Для выбранного уже по условию задачи россиянина Анатолия Москвина
благоприятных исходов (его партнёр — российский теннисист) остаётся всего 6.
Уменьшается на единицу и общее число всех равновозможных исходов – число
спортсменов, готовых сражаться с Москвиным, их – 75. Значит, искомая вероятность
равна
Ответ: 0,08.
Задача 1.3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.
Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:
Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно одному появлению решки)
благоприятствуют исходы с номерами 3 и 4. Их два, а возможных исходов в нашем случае
– 4. Стало быть, искомая вероятность равна
Ответ: 0,5.
Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что орёл выпадет оба раза.
Решение. Благоприятному событию (А)— орёл выпадет оба раза благоприятствует один
исход – номер 2 (см. задачу 1.3). Таким образом, Р(А)=
Ответ: 0,25.
Задача 1.5. На олимпиаде по русскому языку 350 участников разместили в трёх
аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в
запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно
выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Решение. Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 350—
(140+140) =70. Значит, искомая вероятность равна
.
Ответ: 0,2.
Задача 1.6. В группе туристов 300 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный
район, перевозя по 15 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов,
случаен. Найдите вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолёта.
Решение. Способ 1. Интересующее нас событие – «турист В. полетит первым рейсом
вертолёта» означает, что он попадает в число15 человек, вылетающих первым рейсом,
поэтому искомая вероятность есть
Способ 2. Всего рейсов
. Туристу В, согласно условию задачи, подходит только
один из них, значит, вероятность определяется отношением
.
Ответ: 0,05.
Задача 1.7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится
3 сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка
окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Решение. Качественных сумок 100, а общее число сумок 100+3=103. Значит, вероятность
вычисляется как отношение
.
Ответ: 0,97.
Задача 1.8. В школе 51 пятиклассник, среди них — Саша и Настя. Всех пятиклассников
случайным образом делят на три группы, по 17 человек в каждой. Найдите вероятность
того, что Саша и Настя окажутся в одной группе.
Решение. Предполагаем, что Саша уже попал в одну из трёх групп, безразлично, какую.
Для Насти, таким образом, число мест в Сашиной группе сократилось до 16, т.к. место
занято Сашей. Заметим, что на единицу уменьшилось и общее число участников
распределения по группам, т.к. из их числа уже исключён Саша. Таким образом,
вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе, равна
.
Ответ: 0,32.
Задача 1.9. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
Решение. При бросании двух игральных костей возможны 36 исходов испытания, т.к.
любой исход испытания при бросании первой кости (1, 2, 3, 4, 5, 6) может сочетаться с
любым из шести исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6) при бросании второй кости. Интересующему нас
событию — в сумме выпадет 7 очков благоприятны исходы: 1 и 6, 6 и 1, 5 и 2, 2 и 5, 4 и 3, 3
и 4. Их всего – 6. Значит, искомая вероятность
.
Ответ: 0,17
Задача 1.10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.
Решение. Как и в предыдущей задаче, общее число всех равновозможных исходов – 36.
Благоприятными исходами будут: 6 и 3, 3 и 6, 4 и 5, 5 и 4. Их всего четыре. Вычисляем
вероятность:
Ответ: 0,11.
Задача 1.11. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 11 очков. Результат округлите до сотых.
Решение. Всех равновозможных исходов – 36. Благоприятные: 5 и 6, 6 и 5. Их два, и
поэтому вероятность равна
.
Ответ: 0,06.
Задача 1.12. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить,
какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными
командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с
мячом не более одного раза.
Решение. Составим таблицу, в которой символ «+» обозначит тот факт, что команда
Сапфир начинает игру, а символ будет означать, что игру начинает другая команда
(соперник Сапфира):
Очевидно, что интересующему нас событию А — в этих матчах команда «Сапфир» начнёт
игру с мячом не более одного раза, благоприятствуют исходы с номерами 5, 6, 7, 8. Всего
исходов – 8, значит, вероятность равна
Ответ: 0,5.
Задача 1.13. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить,
какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными
командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с
мячом все три раза.
Решение. Таблица исходов приведена в предыдущей задаче. Событию А — в этих матчах
команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза, благоприятствует исход с номером 1
(он – единственный). Таким образом, искомая вероятность вычисляется как отношение
.
Ответ: 0,125.
Задача 1.14. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой—то момент
сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась,
достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.
Решение. При рассмотрении подобных задач на геометрическую вероятность полезно
иметь ввиду, что один час на двенадцатичасовом циферблате занимает сектор
.
От 7 до 1 проходит 6 часов, часовая стрелка преодолевает 30 , таким образом,
искомая вероятность вычисляется как
.
С другой стороны, посмотрев на 12—часовой циферблат, можем видеть, что промежуток от
7 часов до 1 часа занимает ровно половину циферблата, значит, вероятность равна 0,5.
Ответ: 0,5.
Задача 1.15. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите
вероятность того, что решка выпадет все три раза.
Решение. Все возможные исходы (их 
при трёх бросаниях представлены в таблице:
Благоприятный исход один – последний: Решка—Решка—Решка. Вероятность, согласно
классической формуле, равна
Ответ: 0,125.
Задача 1.16. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды.
Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение. Можно составить таблицу и для четырёх бросаний симметричной монеты:
Число исходов равно 16. Благоприятные исходы в таблице имеют номера: 6,7,8,9,10,11. Их
всего 6. Значит, вероятность равна
.
Если взять на себя труд и выучить теорему Я. Бернулли, то составления таблицы можно
избежать.
Теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то
вероятность
того, что в серии n однородных независимых испытаний событие А
наступит ровно k раз, равна:
(1).
Здесь
– число сочетаний из n элементов по k в каждом, q – вероятность
события, противоположного событию А.
В условиях нашей задачи p=
, q=
=
,
. Подставляем в формулу
(1) и получаем:
.
Ответ: 0,375.
2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события
Определение. Противоположными событиями называют два несовместных события,
образующих полную группу.
Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно в
результате однократного опыта. События образуют полную группу, если в результате
опыта одно из событий обязательно произойдёт. Сумма вероятностей противоположных
событий равна 1, т.е.
. Здесь
— вероятность события,
противоположного событию А.
Задача 2.1. В среднем из 900 садовых насосов, поступивших в продажу, 27 подтекают.
Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не
подтекает.
Решение. Событие А – насос подтекает, событие
– насос не подтекает.
Ответ: 0,97.
Задача 2.2. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела
здорового человека окажется ниже 36,8°C, равна 0,94. Найдите вероятность того, что в
случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8°C или
выше.
Решение. Событие – «в случайный момент времени у здорового человека температура
тела окажется 36,8°C или выше» противоположно событию «что в случайный момент
времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C». Поэтому
.
Ответ: 0,06.
Задача 2.3. Серёжа, Саша, Ира, Соня, Женя, Толя, Ксюша и Федя бросили жребий — кому
начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет не Ксюша.
Решение. Вероятность события А – «игру начнёт Ксюша» равна
, а
вероятность противоположного события — начинать игру должна будет не Ксюша, равна
.
Заметим, что можно было вычислять искомую вероятность как отношение числа детей,
которые «не Ксюши» — их семеро, к общему числу детей в игре (их 8 человек):
.
Ответ: 0,875.
3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных
событий
Суммой (А+В) двух событий А и В называют событие, которое наступает тогда и только
тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В.
Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность суммы
случайных событий.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность того, что
произойдёт одно из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:
.
Задача 3.1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка
экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная
окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна
0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух
тем.
Решение: событие А – достанется вопрос по теме «Вписанная окружность», событие В –
достанется вопрос по теме «Внешние углы», тогда событие А+В — на экзамене школьнику
достанется вопрос по одной из этих двух тем. Учитывая, что «Вопросов, которые
одновременно относятся к этим двум темам, нет», применяем теорему сложения
вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,2+0,35 = 0,55.
Ответ: 0,55.
Задача 3.2. Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно
решит больше 9 задач, равна 0,63. Вероятность того, что А. верно решит больше 8 задач,
равна 0,75. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 9 задач.
Решение. Введём обозначения: событие А— решено более 9 задач, событие В – решено
больше 8 задач. Другими словами, событие В заключается в том, что решено ровно 9 или
больше 9 задач. Пусть событие С – учащийся решил ровно 9 задач. Тогда В=А+С. По
теореме сложения вероятностей для несовместных событий, Р(В)=Р(А)+Р(С), и,
следовательно, Р(С)=Р(В)—Р(А). Подставляя числовые значения, получаем: Р(С)=0,75—
0,63=0,12.
Ответ: 0,12.
Задача 3.3. Вероятность того, что на тестировании по физике учащийся А. верно решит
больше 6 задач, равна 0,61. Вероятность того, что А. верно решит больше 5 задач, равна
0,66. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 6 задач.
Решение. Содержание задачи аналогично предыдущей. Пусть событие Е – решено верно
ровно 6 задач, событие F – решено верно больше 5 задач, событие K – решено верно
больше 6 задач. Тогда F=K+E и P(Е)=Р(F)—Р(K)=0,66-0,61=0,05.
Ответ: 0,05.
Задача 3.4. Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,94.
Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность
того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение. Пусть событие А — новый сканер прослужит больше года, событие В —
прослужит больше двух лет, событие С – сканер прослужит меньше двух лет, но больше
года. Тогда А=В+С. Согласно теореме сложения вероятностей Р(А)=Р(В)+Р(С) и тогда
Р(С)=Р(А)—Р(В). Имеем: Р(С)=0,94-0,87=0,07.
Ответ: 0,07.
4. Задачи на применение теоремы умножения вероятностей независимых событий
Произведением двух событий А и В называют событие , которое заключается в
том, что происходят и событие А, и событие В.
Событие В называют независимым от события А, если вероятность появления события В
не зависит от того, произошло событие А или не произошло.
Теорема: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна
произведению вероятности одного из них на вероятность другого:
.
Задача 4.1. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста
Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью
0,45. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет
фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение. Пусть событие А – шахматист А. выиграл первую партию, событие В –
шахматист А. выиграл вторую партию, тогда событие – шахматист А. выиграл обе
партии. Применяем теорему умножения вероятностей независимых событий:
.
Ответ: 0,27.
Используя теорему умножения вероятностей независимых событий, можно решить и
задачу 1.13:
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из
команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами.
Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все
три раза.
Решение. Вероятность начать игру при бросании жребия равна
. Вероятность того, что
это событие повторится три раза, по теореме умножения вероятностей (в данном случае
трёх) независимых событий равна
⸱
.
Ответ: 0,125.
Задача 4.2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.
Решение. Событие «орёл не выпадет ни разу» при двух бросаниях монеты означает
выпадение двух решек подряд. Поскольку вероятность выпадения решки при одном
бросании равна
, то вероятность события «выпадение двух решек» по теореме
умножения вероятностей двух независимых событий равна
.
Разумеется, эту задачу можно было решать и с помощью классической формулы
вычисления вероятности события (см. задачи 1.3, 1.4).
Ответ: 0,25.
Задача 4.3. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно
набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в
случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что
команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре
вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
Решение. Придётся вспомнить и понятие полной группы событий, и теорему сложения
вероятностей несовместных событий, и теорему умножения вероятностей независимых
событий. В задаче указаны вероятности выигрыша и проигрыша (обе равны 0,3), значит,
вероятность ничьей равна 1— (0,3+0,3) =0,4. Чтобы команда вышла в следующий круг, она,
согласно условию, должна набрать как минимум 4 очка за две игры, значит, она может
выиграть в обеих играх (это принесёт ей 6 очков), либо выиграть одну из игр, а другую
свести к ничьей (тогда получит 4 очка, чего ей, в принципе, тоже достаточно). Итак,
команду устраивает одно из трёх событий: выигрыш—выигрыш (событие А), выигрыш—
ничья (событие В), ничья—выигрыш (событие С). Все эти события — А, В, С — несовместны.
Найдём вероятности этих событий. Вероятность события А по теореме умножения
вероятностей независимых событий
. Аналогично
и
Применяем теорему сложения вероятностей для трёх
несовместных событий А, В, С. Получим:
Ответ: 0,33.
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
2
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
3
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу 
4
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.
5
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
Пройти тестирование по этим заданиям
Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов
$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.
Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$
В фирме такси в наличии $50$ легковых автомобилей. $35$ из них чёрные, остальные — жёлтые.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета.
Решение:
Найдем количество желтых автомобилей:
$50-35=15$
Всего имеется $50$ автомобилей, то есть на вызов приедет одна из пятидесяти. Желтых автомобилей $15$,
следовательно, вероятность приезда именно желтого автомобиля равна ${15}/{50}={3}/{10}=0,3$
Ответ:$0,3$
Противоположные события
Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}↖{-}$.
$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$
Независимые события
Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.
Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих
вероятностей:
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый
лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович
участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того,
что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.
Решения:
Вероятность $Р(А)$ — выиграет первый билет.
Вероятность $Р(В)$ — выиграет второй билет.
События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба
события, нужно найти произведение вероятностей
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
$Р=0,15·0,12=0,018$
Ответ: $0,018$
Несовместные события
Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)
Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
$Р = 0,3+0,18=0,48$
Ответ: $0,48$
Совместные события
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.
Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий минус
вероятность их произведения:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)$
В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится
кофе, равна $0,6$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того,
что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.
Решение:
Обозначим события, пусть:
$А$ = кофе закончится в первом автомате,
$В$ = кофе закончится во втором автомате.
Тогда,
$A·B =$ кофе закончится в обоих автоматах,
$A + B =$ кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32$.
События $A$ и $B$ совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий,
уменьшенной на вероятность их произведения:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
Ответ: $0,88$