Статград егэ математика 2018

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачу №13 правильно решили 399 человек, что составляет (19%) выпускников города. Сколько всего выпускников в этом городе?

Так как 399 человек – это (19%), то (1%) – это (399:19=21) человек. Следовательно, (100%) – это (21cdot 100=2100) человек.

Ответ:

2100

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Ялте за каждый месяц 1990 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по приведенной диаграмме наименьшую среднемесячную температуру во второй половине 1990 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Вторая половина года – это все месяцы с июля по декабрь. Из диаграммы видно, что наименьшая температура была в декабре и равнялась (2^circ C).

Ответ:

2

На клетчатой бумаге с размером клетки (1times1) изображен треугольник (ABC). Найдите длину его биссектрисы, проведенной из вершины (B).

Из рисунка видно, что треугольник равнобедренный ((BA=BC)). Следовательно, биссектриса, опущенная из вершины (B), будет также являться медианой и высотой. Тогда биссектриса (BH) равна (3):

Ответ:

3

Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 75 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 12 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?

Найдем, сколько выступлений должно состояться в третий день. В первый день 12 выступлений, всего 75, следовательно, в последние три дня (75-12=63) выступления. Следовательно, в третий день (63:3=21) выступление.
Таким образом, вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день, равна [dfrac{21}{75}=dfrac7{25}=0,28]

Ответ:

0,28

Найдите корень уравнения (sqrt[3]{x-4}=3.)

ОДЗ уравнения: (xinmathbb{R}).
Уравнение равносильно (x-4=3^3), следовательно, (x=31).

Ответ:

31

Острый угол (B) прямоугольного треугольника (ABC) равен (55^circ). Найдите угол между высотой (CH) и медианой (CM), проведенными из вершины прямого угла (C). Ответ дайте в градусах.

Так как медиана, опущенная из вершины прямого угла треугольника, равна половине гипотенузы, то (triangle BMC) – равнобедренный, то есть (BM=CM). Следовательно, (angle BCM=angle B=55^circ).
(angle BCH=90^circ-angle B=35^circ). Следовательно, (angle
HCM=55^circ-35^circ=20^circ).

Ответ:

20

На рисунке изображены график функции (y=f(x)) и касательная к нему в точке с абсциссой (x_0). Найдите значение производной функции (f(x)) в точке (x_0).

Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox. Рассмотрим (triangle ABC):

Угол наклона касательной равен (180^circ-angle ABC). Из (triangle
ABC) видно, что (mathrm{tg},angle ABC=10:8=1,25). Так как (mathrm{tg},(180^circ-angle ABC)=-mathrm{tg},angle ABC), то ответ: (-1,25).

Ответ:

-1,25

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны (6), а высота равна (4sqrt3).

Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник. Площадь правильного треугольника со стороной (a) равна (S=dfrac{sqrt3}4a^2). Следовательно, (S=9sqrt3). Тогда объем равен (V=frac13Sh=frac13cdot 9sqrt3cdot 4sqrt3=36).

Ответ:

36

Найдите значение выражения [dfrac{-10sin 97^circcdot cos 97^circ}{sin 194^circ}]

Заметим, что (97^circcdot 2=194^circ). Следовательно: [dfrac{-10sin 97^circcdot cos 97^circ}{sin (2cdot 97^circ)}=
dfrac{-10sin 97^circcdot cos 97^circ}{2sin 97^circcdot
cos97^circ}=-5]

Ответ:

-5

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон [pV^k=1,25cdot 10^8 text{Па}cdot text{м}^4,] где (p) – давление в газе в паскалях, (V) – объем газа в кубических метрах, (k=frac43). Найдите, какой объем (V) (в куб. м) будет занимать газ при давлении (p), равном (2cdot 10^5) Па.

Подставим данные в формулу: [2cdot 10^5cdot V^{frac43}=1,25cdot 10^8quadLeftrightarrowquad
sqrt[3]{V^4}=10^3cdot dfrac{10}8cdot
dfrac12quadRightarrowquad V=left(10^4cdot
dfrac1{2^4}right)^{frac34}=10^3cdot
dfrac1{2^3}=dfrac{1000}8=125]

Ответ:

125

Расстояние между городами A и B равно 403 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоцикл, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда мотоцикл вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до С. Ответ дайте в километрах.

Пусть (x) км/ч – скорость автомобиля. Пусть (y) км – расстояние от города A до города C. Тогда время, которое затратил автомобиль на путь AC, равно (dfrac yx) (ч). Время, которое затратил мотоцикл на этот же путь, равно (dfrac y{90}) (ч).
 
Так как мотоцикл выехал на час позже, то он затратил на 1 час меньше времени, следовательно, [dfrac yx-1=dfrac y{90}] Это первое уравнение.
На весь путь от A до B автомобиль затратил (dfrac{403}x) (ч). Мотоцикл затратил на путь из C в A столько же времени, сколько на путь из A в C (так как обратно он ехал с той же скоростью, что и в C). Следовательно, на путь от A до C и обратно мотоцикл затратил (dfrac {2y}{90}). Заметим, что в сумме мотоцикл двигался также на 1 час меньше времени, чем автомобиль: [dfrac{403}x-1=dfrac{2y}{90}] Это второе уравнение. Составим систему: [begin{cases}
dfrac yx-1=dfrac y{90}\[2ex]
dfrac{403}x-1=dfrac{2y}{90} end{cases}] Выразим (x) из первого уравнения: (x=dfrac{90y}{90+y}) и подставим во второе уравнение, получим: [2y^2-313y-403cdot 90=0] Дискриминант (D=313^2+2cdot 4cdot 403cdot 90=388,129). Извлечем корень из данного числа. Так как (600^2=360,000), а (700^2=490,000), то (600<sqrt{388,129}<700). Так как (61^2=3721), (62^2=3844), (63^2=3969), то (620<sqrt{388,129}<630). Подберем последнюю цифру: на конце дают (9) следующие цифры, возведенные в квадрат: (3) и (7) ((3^2=9, 7^2=49)). Проверим: (623^2=388,129). Таким образом, (sqrt{D}=623).
Найдем корни: [y_{1,2}=dfrac{313pm623}{4}quadRightarrowquad
left[begin{gathered}begin{aligned}
&y=234\&y=-77,5end{aligned}end{gathered}right.] Так как (y) – расстояние, то есть величина неотрицательная, то подходит только корень (y=234).

Ответ:

234

Найдите точку максимума функции [y=sqrt{-79-18x-x^2}]

1 способ.

Заметим, что [x^2+18x+79=x^2+18x+81-2=(x+9)^2-2] Следовательно, (y=sqrt{-(x+9)^2+2}). Так как ((x+9)^2geqslant 0), то (-(x+9)^2+2leqslant 2).
Заметим, что при (x<-9) функция (y(x)) является возрастающей, так как при увеличении (x) значение (y(x)) также растет. А при (x>-9) функция является убывающей. Следовательно, (x=-9) – точка максимума.

2 способ.

Найдем производную функции, чтобы схематично построить график этой функции.

[y’=(sqrt{-79-18x-x^2})’cdot (-79-18x-x^2)’=dfrac
1{2sqrt{-79-18x-x^2}}cdot (-2x-18)] Найдем нули производной: [y’=0quadRightarrowquad x=-9] Заметим, что (x=-9) подходит по ОДЗ ((-79-18x-x^2geqslant 0)). Найдем знаки производной справа и слева от точки (x=-9):

Таким образом, по определению точка (x=-9) является точкой максимума.

Ответ:

-9

а) Решите уравнение [2sin(pi+x)cdot sinleft(dfrac{pi}2+xright)=sin x]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (left[2pi; dfrac{7pi}2right].)

а) По формулам приведения (sin(pi+x)=-sin x,
sinleft(dfrac{pi}2+xright)=cos x). Тогда уравнение примет вид [-2sin xcos x=sin xquadLeftrightarrowquad sin x(1+2cos x)=0
quadLeftrightarrowquadleft[begin{gathered}begin{aligned} &sin
x=0\[1ex]&cos x=-dfrac12end{aligned}end{gathered}right.] Корнями уравнений будут являться (x=pi n) и (x=pmdfrac{2pi}3+2pi k), (n,kinmathbb{Z}).
 

б) Отберем корни.
 
(2pileqslant pi nleqslant dfrac{7pi}2quadLeftrightarrowquad
2leqslant nleqslant 3,5quadRightarrowquad
n=2;3quadRightarrowquad x=2pi; 3pi)
 
(2pileqslant dfrac{2pi}3+2pi kleqslant
dfrac{7pi}2quadLeftrightarrowquad dfrac23leqslant kleqslant
dfrac{17}{12}quadRightarrowquad k=1quadRightarrowquad
x=dfrac{8pi}3)
 
(2pileqslant -frac{2pi}3+2pi kleqslant dfrac{7pi}2quad
Leftrightarrowquad dfrac43leqslant kleqslant
dfrac{25}{12}quadRightarrowquad k=2quadRightarrowquad
x=dfrac{10pi}3)

Ответ:

а) (pi n, pm dfrac{2pi}3+2pi k, n,kinmathbb{Z})

б) (2pi, dfrac{8pi}3, 3pi, dfrac{10pi}3)

В основании правильной пирамиды (PABCD) лежит квадрат (ABCD) со стороной (6). Сечение пирамиды проходит через вершину (B) и середину ребра (PD) перпендикулярно этому ребру.
а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к ее основанию равен (60^circ).
б) Найдите площадь сечения пирамиды.

а) По свойству правильной пирамиды (PD=PB). Так как (PD) перпендикулярно плоскости (alpha) сечения, то оно перпендикулярно любой прямой из плоскости (alpha). Следовательно, (PDperp BK). Тогда (BK) – медиана и высота в (triangle BPD), следовательно, этот треугольник равнобедренный и (BP=BD). Следовательно, (triangle
BPD) – равносторонний и (angle PDB=60^circ). Но это и есть угол между боковым ребром (PD) и плоскостью основания, чтд.

б) Проведем еще одну прямую, пересекающую (BK) и перпендикулярную (PD). Тогда плоскость, проходящая через эту прямую и прямую (BK), и будет плоскостью (alpha).
Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, то (ACperp BD). Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная (PD) также будет перпендикулярна (AC).
Следовательно, если провести через точку пересечения (PO) и (BK) прямую (MN) параллельно (AC), то (MNperp PD). Проведем:

Таким образом, (BMKN)– искомое сечение.
Заметим, что аналогично по теореме о трех перпендикулярах (BKperp
MN). Следовательно, (S_{BMKN}=frac12BKcdot MNcdot sinangle
BQN), а (sinangle BQN=1), следовательно, [S_{BMKN}=dfrac12BKcdot MN] Рассмотрим (triangle BKD). (BD=6sqrt2), (KD=0,5PD=0,5BD=3sqrt2). Следовательно, по теореме Пифагора [BK=3sqrt6] Так как (PO) и (BK) – медианы в (triangle BPD), то (PQ:QO=2:1), следовательно, (PQ:PO=2:3).
Так как (triangle APCsim MPN), то [MN:AC=PQ:POquadRightarrowquad MN=dfrac23cdot 6sqrt2=4sqrt2] Следовательно, [S_{BMKN}=dfrac12cdot 3sqrt6cdot 4sqrt2=12sqrt3]

Ответ:

б) (12sqrt3)

Решите неравенство [log_{(x+4)^2}left(3x^2-x-1right)leqslant 0]

Выпишем ОДЗ неравенства: [begin{cases} (x+4)^2>0\
(x+4)^2ne 1\3x^2-x-1>0end{cases}quadLeftrightarrowquad xin
(-infty;-5)cup(-5;-4)cup(-4;-3)cupleft(-3;dfrac{1-sqrt{13}}6right)
cupleft(dfrac{1+sqrt{13}}6;+inftyright)] Решим неравенство на ОДЗ. Воспользуемся методом рационализации: [((x+4)^2-1)cdot (3x^2-x-1-1)leqslant 0quadLeftrightarrowquad
(x+3)(x+5)(x-1)(3x+2)leqslant 0] Решим данное неравенство методом интервалов:

Следовательно, [xin [-5;-3]cupleft[-dfrac23;1right]] Пересечем полученный ответ с ОДЗ и найдем итоговый ответ: [xin (-5;-4)cup(-4;-3)cupleft[-dfrac23;dfrac{1-sqrt{13}}6right)
cupleft(dfrac{1+sqrt{13}}6;1right]]

Ответ:

((-5;-4)cup(-4;-3)cupleft[-dfrac23;dfrac{1-sqrt{13}}6right)
cupleft(dfrac{1+sqrt{13}}6;1right])

Окружность с центром (O) проходит через вершины (B) и (C) большей боковой стороны прямоугольной трапеции (ABCD) и касается боковой стороны (AD) в точке (K).
а) Докажите, что угол (BOC) вдвое больше угла (BKC).
б) Найдите расстояние от точки (K) до прямой (BC), если основания трапеции (AB) и (CD) равны 4 и 9 соответственно.

а) Угол (BOC) – центральный, опирающийся на дугу (BC); угол (BKC) – вписанный и опирающийся на ту же дугу, следовательно, (angle
BOC=2angle BKC), чтд.

б) Проведем (KHperp BC). Так как угол между касательной и хордой, выходящей из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то (angle DKC=0,5buildrelsmileover{KC}=angle KBC). Аналогично (angle AKB=angle KCB):

Следовательно, (triangle AKBsim triangle KHC, triangle KDCsim
triangle KHB) как прямоугольные по острому углу. Тогда: [begin{aligned}
&dfrac{KB}{KC}=dfrac{KH}{CD}\[2ex]
&dfrac{KC}{KB}=dfrac{KH}{AB}end{aligned}] Отсюда [1=dfrac{KH^2}{CDcdot AB}quadRightarrowquad KH=sqrt{CDcdot AB}=sqrt{
4cdot 9}=6]

Ответ:

б) 6

В июле планируется взять кредит на сумму (69,510) рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на (10%) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Пусть (A) – сумма кредита в рублях. Пусть (x) – платеж в рублях в случае, если кредит взят на три года, (y) – платеж в рублях в случае, если кредит взят на два года. Так как по условию платежи аннуитетные, то, если кредит взят на три года, то в конце третьего года долг будет равен [1,1^3cdot A-x(1,1^2+1,1+1)=0] Если кредит взят на два года, то в конце второго года долг будет равен [1,1^2cdot A-y(1,1+1)=0] Если вы не понимаете, почему так, можете ознакомиться с теорией по ссылке https://shkolkovo.net/theory/44
 
В первом случае клиент выплатит банку за все года (3x) рублей, во втором – (2y) рублей. Следовательно, нужно найти (3x-2y). Найдем:
 
(3x-2y=dfrac{3cdot 1,1^3cdot A}{1,1^2+1,1+1}-dfrac{2cdot
1,1^2cdot A} {1,1+1}=)
 
(=1,1^2cdot Acdot dfrac{3cdot 1,1^2+3cdot 1,1-2cdot
1,1^2-2cdot 1,1-2}{2,1cdot 3,31}=1,1^2cdot Acdot
dfrac{0,31}{2,1cdot 3,31}=)
 
(=dfrac{11cdot 11cdot 6951cdot 31}{21cdot 331}=11cdot 11cdot
31=3,751).

Ответ:

3751

Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых система уравнений [begin{cases}
2x^2+2y^2=5xy\
(x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 end{cases}]

имеет ровно два решения.

1) Рассмотрим первое уравнение системы как квадратное относительно (x): [2x^2-(5y)x+2y^2=0] Дискриминант равен (D=9y^2), следовательно, [x_{1,2}=dfrac{5ypm 3y}4quadRightarrow quad x_1=2y, quad x_2=dfrac12y] Тогда уравнение можно переписать в виде [(x-2y)cdot (2x-y)=0] Следовательно, всю систему можно переписать в виде [begin{cases}
left[begin{gathered}begin{aligned} &y=2x\[1ex]
&y=0,5xend{aligned}end{gathered}right.\[1ex]
(x-a)^2+(y-a)^2=5a^4end{cases}] Совокупность задает две прямые, второе уравнение системы задает окружность с центром в ((a;a)) и радиусом (R=sqrt5a^2). Чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы окружность пересекала график совокупности ровно в двух точках. Вот чертеж, когда, например, (a=1):

Заметим, что так как координаты центра окружности равны, то центр окружности “бегает” по прямой (y=x).

2) Так как у прямой (y=kx) тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси (Ox) равен (k), то тангенс угла наклона прямой (y=0,5x) равен (0,5) (назовем его (mathrm{tg},alpha)), прямой (y=2x) – равен (2) (назовем его (mathrm{tg},beta)). Заметим, что (mathrm{tg},alphacdot
mathrm{tg},beta=1), следовательно, (mathrm{tg},alpha=mathrm{ctg},beta=mathrm{tg},(90^circ-beta)). Следовательно, (alpha=90^circ-beta), откуда (alpha+beta=90^circ). Это значит, что угол между (y=2x) и положительным направлением (Oy) равен углу между (y=0,5x) и положительным направлением (Ox):

А так как прямая (y=x) является биссектрисой I координатного угла (то есть углы между ней и положительными направлениями (Ox) и (Oy) равны по (45^circ)), то углы между (y=x) и прямыми (y=2x) и (y=0,5x) равны.
Все это нам нужно было для того, чтобы сказать, что прямые (y=2x) и (y=0,5x) симметричны друг другу относительно (y=x), следовательно, если окружность касается одной из них, то она обязательно касается и второй прямой.
Заметим, что если (a=0), то окружность вырождается в точку ((0;0)) и имеет лишь одну точку пересечения с обеими прямыми. То есть этот случай нам не подходит.
Таким образом, для того, чтобы окружность имела 2 точки пересечения с прямыми, нужно, чтобы она касалась этих прямых:

Видим, что случай, когда окружность располагается в третьей четверти, симметричен (относительно начала координат) случаю, когда она располагается в первой четверти. То есть в первой четверти (a>0), а в третьей (a<0) (но такие же по модулю).
Поэтому рассмотрим только первую четверть.

Заметим, что (OQ=sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2}=sqrt2a), (QK=R=sqrt5a^2). Тогда [OK=sqrt{2a^2-5a^4}] Тогда [mathrm{tg},angle
QOK=dfrac{sqrt5a^2}{sqrt{2a^2-5a^4}}] Но, с другой стороны, [mathrm{tg},angle QOK=mathrm{tg},(45^circ-alpha)=dfrac{mathrm{tg},
45^circ-mathrm{tg},alpha}{1+mathrm{tg},45^circcdot
mathrm{tg},alpha}] следовательно, [dfrac{1-0,5}{1+1cdot 0,5}=dfrac{sqrt5a^2}{sqrt{2a^2-5a^4}}
quadLeftrightarrowquad a=pm dfrac15] Таким образом, мы уже сразу получили и положительное, и отрицательное значение для (a). Следовательно, ответ: [ain {-0,2;0,2}]

Ответ:

({-0,2;0,2})

Последовательность (a_1, a_2, dots, a_n, dots) состоит из натуральных чисел, причем (a_{n+2}=a_{n+1}+a_n) при всех натуральных (n).
а) Может ли выполняться равенство (4a_5=7a_4)?
б) Может ли выполняться равенство (5a_5=7a_4)?
в) При каком наибольшем натуральном (n) может выполняться равенство (6na_{n+1}=(n^2+24)a_n)?

а) Пусть (a_1=x), (a_2=y). Тогда (a_3=x+y, a_4=x+2y, a_5=2x+3y). Предположим, что выполняется (4a_5=7a_4). Тогда: [4(2x+3y)=7(x+2y)quadLeftrightarrowquad x=2y] Если взять, например, (x=2), (y=1), то получим последовательность: (2, 1, 3, 4, 7, dots) Следовательно, такое возможно.

б) Аналогично пункту а): [5(2x+3y)=7(x+2y)quadLeftrightarrowquad 3x=-y] Следовательно, один из (x) или (y) должен быть отрицательным (оба они не могут быть равны (0), так как последовательность состоит из натуральных чисел). Но это невозможно, так как последовательность состоит из натуральных чисел. Следовательно, ответ: нет.

в) Отметим основные свойства последовательности, где (a_{n+1}=a_n+a_{n-1}) при натуральных (ngeqslant 2). Заметим, что первые два элемента этой последовательности задаются произвольно, а вот каждый следующий, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Следовательно, так как последовательность состоит из натуральных чисел, то каждый элемент, начиная с третьего, больше предыдущего, то есть (a_{n+1}:a_n>1) при (ngeqslant 2).
Это же свойство можно переформулировать по-другому: каждый элемент, начиная со второго, меньше следующего: (a_n:a_{n+1}<1) при (ngeqslant 2).
Но тогда [dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1+dfrac{a_{n-1}}{a_n}<1+1=2, quad ngeqslant 3] (каждый элемент, начиная с 4-ого, менее чем в два раза больше предыдущего)

Ответ:

а) да

б) нет

в) 5