Статья решение экономических задач егэ

УДК 378

ПАВЛОВА Т.А.

кандидат технических наук, доцент, ФГКОУ Московское суворовское военное училище Министерства обороны Российской Федерации

Е-mail: pavlova_tatyana-@mail.ru

UDC 378

PAVLOVA T. A.

candidate of technical Sciences, associate Professor, FSCI Moscow Suvorov military school of the Ministry of defence of the Russian Federation

E-mail: pavlova_tatyana-@mail.ru

Экономическая задача при подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня

В статье анализируются экономические задачи по математике профильного уровня, методы их решения. Особое внимание уделяется взаимосвязи различных разделов математики при решении прикладных задач. Проанализрованы предлагаемые задания и рассмотрены основные ошибки.

Ключевые слова: ЕГЭ, экономические задачи, проценты, дисконтированный доход, оптимизация.

The article analyzes economic problems in mathematics of the profile level, methods of their solution. Special attention is paid to the relationship of various sections of mathematics in solving applied problems. The proposed tasks are analyzed and the main errors are considered.

Keywords: unified state exam, economic tasks, interest, discounted income, optimization

Анализ контрольно-измерительных материалов показывает, что не все разделы школьного курса математики изучены должным образом, особые трудности вызывают те задания, где наряду с применением знакомых формул требуется понять практическую составляющую задачи. К таким заданиям можно отнести задание 17 (экономические задачи) [1,2,3]. Особенностью экономических задач является составление уравнения или системы уравнений, связанных между собой определенными ограничениями, которые в дальнейшем необходимо исследовать на экстремум с использованием понятия производной или в ряде задач нахождения вершины параболы (если исследуемая функция является квадратичной). [5,6] К другому типу задач можно отнести задачи на кредиты, при решении которых использую понятие «процент», «сложный процент», дифференцированные и аннуитетные платежи. При решении используют формулу

, где S –конечная сумма, S0 – первоначальная сумма вклада, n –срок вклада, р-процентная ставка.

Задачи на кредитование являются наиболее часто встречающимися и поэтому учащиеся к ним привыкли, трудности возникают, когда встречаются так называемые нетипичные задачи. Разберем две из них. Особенностью их решения является то, что используются знания не только в области теории функций и построения графиков, но и основы линейного программирования, когда по рисунку необходимо найти оптимальные точки. [1, 2]

На свой день рождения Пятачок испек большой пирог массой 10 кг и пригласил 100 гостей, среди которых Винни-Пух, неравнодушный к сладостям. Именинник огласил правило деления пирога: первый гость отрезает себе кусок пирога размером 1%, второй гость отрезает себе кусок пирога размером 2% оставшейся части, третий гость отрезает себе кусок пирога размером 3% оставшейся части и так далее. Какое место по счету в очереди нужно занять Винни-Пуху, чтобы получить наибольший кусок пирога? [1]

Предложим самое очевидное и легкодоступное пониманию абитуриента решение.

Составим таблицу вычислений.

Номер гостя	Получил	Осталось
1	0,01*10= 0,1	9,9
2	0,02*9,9=0,198	9,702
3	0,03*9,702=0,29106	9,41094
4	0,04*9,41094=0,3764376	9,0429624
5	0,05*9,0429624=0,4521481	8,5908143
6	0,06*8,5908143=0,5154488	8,0753655
7	0,07*8,0753655=0,5652755	7,52009
8	0,08*7,52009=0,6008072	6,9192828
9	0,09*6,9192828=0,6227354	6,2965474
10	0,1*6,2965474=0,6296547	5,6668927
11	0,11*5,6668927=0,6233581	5,0435346
…

Заметим, что кусок пирога 11-го гостя меньше куска 10-го. Каждый следующий гость будет получать кусок пирога все меньше и меньше. Следовательно, Винни-Пуху надо становиться в очередь на 10-м месте.

Минус такого решения состоит в том, что приходится довольно много вычислять. Скорее всего, обучающийся будет вести вычисления в столбик и очень велик шанс допустить вычислительную ошибку. Кроме того, есть риск недосчитать до момента, когда достающаяся часть пирога уменьшается. Поэтому предложим другой способ решения, который вытекает из первого.

Будем рассматривать гостей, стоящих в очереди под номерами n-2, n-1, n. Пусть, после того как гостю под номером n-2 достался свой кусок пирога, остался кусок весом m кг. Тогда гостю под номером n-1 достанется (n-1)% от m кг, т.е. . После этого осталось .

Гостю под номером n достанется кусок пирога равный .

При оформлении задачи удобно составить таблицу:

Номер гостя	Получил	Осталось
n-2		m
n-1
n

Разность между кусками пирога n-го и n-1-го гостя должны быть положительной, тогда

.

Следовательно,  при .

Наибольшее натуральное значение в этом интервале n=10. Значит, 10-й по счету гость получит наибольший кусок пирога.

Следующий пример 17-й задачи показывает, что вопреки ожиданиям абитуриента он сталкивается не с экономической моделью и не с оптимизационной задачей, а с задачей 8-9-го класса, решение которой сводится к составлению уравнения прямой.

Авиарадар отслеживает рейс в текущий момент на карте мира. Самолет, который движется прямолинейно, во время первого измерения находился в 24 км к северу и 5 км к западу от радара, а во время второго измерения находился в 20 км к северу и  км к западу от радара. Определите наименьшее расстояние, на которое самолет приблизится к радару.

Если задано уравнение прямой Ax+ By+ C = 0, то расстояние от точки (x0, y0) до прямой можно найти, используя следующую формулу

.

Отметим указанные точки в прямоугольной системе координат. Пусть начала координат совпадают с координатами метеостанции, как точка отсчета. Положительное направление оси Ох показывает направление на восток, отрицательное – на запад. Положительное направление оси Oy показывает направление на север, соответственно отрицательное – на юг. Таким образом, первое измерение дает нам координаты точки (-5;24), а второе измерение — точку с координатами (-3,5;20).

Так как в задаче сказано, что самолет летит прямолинейно, то уравнение прямолинейного движения следует искать в виде уравнения с угловым коэффициентом  Чтобы найти коэффициенты этого уравнения, подставим в него координаты точек (-5;24) и (-3,5;20), получим систему уравнений:

Подставляя найденные коэффициенты в уравнение получим

.

Следовательно, наименьшее расстояние, на которое самолет приблизится к радару, будет равно расстоянию от точки (0;0) до прямой

Ответ:  км.

Анализ результатов решения экономических задач с достаточно высокой степенью вероятности позволяет судить о том, что основными трудностями при решении является построение математической модели задачи с учетом всех ограничений и применения различных разделов школьного курса математики (таких, например, как арифметическая и геометрическая прогрессия, теория функций, графическое изображение функций), не достаточно высокая математическая культура (допускались арифметические ошибки при решении). Следует отметить, что в целом результаты по заданию №17 оказались выше в сравнении с предыдущими годами, многие выпускники научились решать задачи такого уровня, особенно если условие было схожим с «эталонным».

Библиографический список

1. Лысенко, Ф.Ф. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2020. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2020 года: учебно-методическое пособие /Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов// Ростов-на-Дону: Легион, 2019. – 416 с.
2. Попова, Р.В. Анализ выполнения заданий по математике с учетом результатов по административно-территориальным единицам./В.Р. Попова// Педагогические измерения. 2017. №1. С.56-65.
3. Павлова, Т.А. Актуальные проблемы развития и  качества образования в высшей школе на примере Орловской области. / Т.А. Павлова, М.Н. Уварова// Инновации в образовании. 2018. №3. С. 42-49.
4. Павлова, Т.А. Олимпиада по математике в вузе. / Т.А. Павлова, М.Н. Уварова// Ученые записки Орловского государственного университета. Серия: Естественные, технические и медицинские науки. 2015. №4. С. 67-70.
5. Семенченко, М.А. Плюсы и минусы единого государственного экзамена по математике и пути их решения./М.А. Семенченко// В сборнике: Наука и образование: сохраняя прошлое, создаем будущее. Сборник статей XIII Международной научно-практической конференции: в 3 ч. 2017. С.14-17.



В статье анализируются основные вопросы, связанные с формированием основ экономической и финансовой грамотности российского общества в целом, а также формированием экономических практико-ориентированных компетенций у обучающихся российских школ в частности на примере решения задач с экономическим содержанием. Рассматриваются сущность, типы и основные особенности экономических задач в структуре единого государственного экзамена по математике (профильный уровень), а также предлагаются варианты решения данных задач и методическая база.

Ключевые слова:



единый государственный экзамен, экономическая задача, экономическая грамотность, финансовая грамотность.

The article analyzes the main issues related to the formation of the foundations of economic and financial knowledge of Russian society as a whole, as well as the formation of economic practice-oriented competencies of Russian schools` students, in particular, using the example of solving math tasks with economic content. The essence, types and main features of economic tasks in the structure of the unified state examination in mathematics (advanced level) are considered, as well as options for solving these tasks and a methodological base are proposed.

Keywords:



unified state examination, economic task, economic knowledge, financial knowledge.

Реалии современной экономической ситуации в России, обусловленные рядом политических, социальных, технологических, правовых и международных факторов, актуализируют важность и необходимость обеспечения высокого уровня экономической и финансовой грамотности российского населения. Современной России нужны люди, способные находиться в постоянном поиске путей решения экономических проблем и эффективно осуществлять экономическую деятельность. Важное значение в системе подготовки экономически грамотного населения отводится школе, так как современная социальная среда не в состоянии обеспечить детям и подросткам практико-ориентированную подготовку к решению экономических задач их повседневной жизни.

В последнее десятилетие проблеме формирования экономического практико-ориентированного мышления подрастающего поколения уделяется в системе образования значительно больше внимания, чем в предыдущие годы: организуются и проводятся курсы по формированию финансовой грамотности населения как для педагогов, так и для детей и взрослых, издается и переиздается большое количество теоретической и практической экономической литературы, разрабатываются и реализуются образовательные проекты по развитию финансовой и экономической грамотности, предпринимательству на всех уровнях системы образования. В качестве частного случая решения выше указанных задач можно выделить включение в структуру единого государственного экзамена по математике (профильный уровень) практико-ориентированной задачи с экономическим содержанием. Данная задача в структуре контрольно-измерительных материалов экзамена (КИМ ЕГЭ) предлагается участникам экзамена во второй части (задания с развернутым ответом), имеет порядковый номер задания 15 и обладает повышенным уровнем сложности, предполагаемое время решения указанной задачи участниками экзамена составляет 25–30 минут. В спецификации КИМ ЕГЭ 2022г. и кодификаторе элементов содержания КИМ по математике можно увидеть, что задача направлена на проверку умения использовать приобретенные математические знания в практической деятельности и повседневной жизни [1,2]. У обучающихся при этом проверяется умение выполнять действия с целыми и рациональными числами, с дробями, со степенями с натуральным показателем, знаний и умений обращаться с процентами, в том числе и сложными «банковскими» процентами [3].

Однако, как показывает практика проведения единого государственного профильного экзамена по математике, у выпускников школ отмечаются существенные сложности в решении задач данного типа. Сложности в решении задачи № 15 выпускниками напрямую связаны с подготовкой к экзамену в школе. В контексте проблем в подготовке к успешному решению конкретной задачи можно выделить следующие: наличие в таких задачах большого количества терминов, неизвестных учащимся; старшеклассники плохо ориентируются в материале, изученном в 5–9 классах и необходимом для решения подобных задач (темы процентов, арифметической, геометрической прогрессий вызывают затруднения); предлагаемые для решения задачи являются сразу сложными.

Таким образом, задача методической подготовки к решению задач с экономическим содержанием, в первую очередь, педагогов подтверждает свою значимость и актуальность.

Авторами настоящей статьи рекомендовано, в первую очередь, разобраться и различать несколько типов указанной задачи, а затем, для каждого типа задачи разработать и предложить обучающимся единый алгоритм решения.

Существует 5 типов задачи № 15 с экономическим содержанием:

— Задача на кредиты;

— Задача на вклады;

— Задача на нахождение экстремумов;

— Производственно-бытовая задача;

— Задача на проценты, доли и соотношения.

Базовые формулы для решения указанных типов задач следующие:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Решение задачи с экономическим содержанием, как и любой текстовой задачи происходит по следующей схеме:

1. Условие задачи необходимо «перевести» на математический язык (составление математической модели).
2. Найти решение задачи, используя знание математических формул (работа с составленной моделью).
3. Объяснить полученный для математической модели результат в терминах первоначальной задачи.

1 тип: задача на кредиты

Пример

:

31 декабря 2017 года Виталий взял в Банке 4 550 000 рублей в кредит под 20 % годовых. Схема выплаты следующая: 31 числа каждого следующего месяца Банк начисляет процент (%) на оставшуюся сумму долга (т. е. повышает долг на 20 %), затем Виталий переводит в Банк определенную сумму ежегодного платежа. Какова должна быть сумма ежегодного платежа (в рублях), если Виталий выплатит долг тремя равными ежегодными платежами.

Решение задачи

:

Обозначим сумму ежегодного платежа за Х, тогда

1 год: 4 550 000 * 1,2 — сумма к возврату после 1 года (с начисленными %)

После выплаты ежегодного платежа: 4 550 000 * 1,2 — Х

2 год: (4 550 000 * 1,2 — Х) * 1,2 — Х

3 год: ((4 550 000 * 1,2 — Х) * 1,2 — Х)* 1,2 — Х

Так как по условию задачи Виталий к концу 3 года выплатит все полностью, по состоянию на конец 3го года долг Виталия перед банком будет равен 0 рублей.

Составим уравнение (математическая модель):

((4 550 000 * 1,2 — Х) * 1,2 — Х)* 1,2 — Х = 0

Далее — математическое решение уравнения с одним неизвестным элементом.

Ответ: 2 160 000 рублей.

2 тип: задачи на вклады

Пример

:

Вкладчик внес в Банк 2 500 000 рублей в год под 10 % годовых. В конце каждого из трех лет вкладчик дополнительно вносил одну и ту же сумму денег. К концу 4-го года его вклад стал равен 4 024 350 рублей. Какую сумму вносил вкладчик в течение 1–3 лет?

Данный тип задач похож на 1 тип, только сумма на счету не уменьшается, а увеличивается.

Решение

:

Обозначим сумму ежегодного платежа, которую вносил на свой счет вкладчик, за Х, тогда

1 год: 2 500 000 * 1,1 — сумма к концу 1 года (с начисленными % по вкладу)

После внесения суммы на счет вкладчиком: 2 500 000 * 1,1 + Х

2 год: (2 500 000 * 1,1 + Х) * 1,1 + Х

3 год: ((2 500 000 * 1,1 + Х) * 1,1 + Х)* 1,1 + Х

4 год: (((2 500 000 * 1,1 + Х) * 1,1 + Х)* 1,1 + Х) * 1,1

В конце 4-го года начислены только %, так как вкладчик сумму добавлял только 1–3 года.

Составим уравнение (математическая модель):

(((2 500 000 * 1,1 + Х) * 1,1 + Х)* 1,1 + Х) * 1,1 = 4 024 350

Далее — математическое решение задачи

Ответ: 100 000 рублей

3 тип: задачи на исследование функции и


нахождение экстремумов

Пример

:

Первичная информация некоторой фирмы распределяется по Серверам 1 и 2. С Сервера 1 при объеме W2 Гбайт входящей информации выходит 3W Гбайт, а с Сервера 2 при объеме W2 Гбайт выходит 4W Гбайт. Определите наибольший общий объем Выходящей информации, если общий объем входящей информации 400 Гбайт. В ответе укажите число Гбайт.

Когда речь в Задаче идет о предельных величинах (максимальных или минимальных значениях), — значит, эта задача связана с нахождением производной функции.

Решение

:

Пусть на Сервер 1 входит Х входящей информации, а на Сервер 2 — У входящей информации, тогда

На оба Сервера будет входить Х+У = 400 Гбайт

Сервер 1: входит Х информации, выходит

Сервер 2: входит У информации, выходит

или

, таким образом, общий объём выходящей информации будет равен:

+

= F(X)

Необходимо найти точку экстремума функции

Далее — математическое решение задачи.

Х = 144 — т. е. в этом значении функции достигает максимального значения.

Найдём значение функции в указанной точке:

F (144) =

+

F (144) = 3*12+4*16 = 36+64=100

Ответ: 100 Гбайт.

4 тип: производственно-бытовые задачи

Пример

:

Общая численность персонала завода составляет более 200 человек. Пятая часть сотрудников работает в заводоуправлении, 33 сотрудника работают в сборочном цехе, а остальные — в нескольких цехах, численность в каждом из которых составляет 1/9 от всего персонала завода. Чему равна общая численность персонала завода?

В задачах такого типа важно проявить предположение, подбор чисел, элементы эрудиции, — здесь важно предположить, каким может быть ответ, ограничить область принадлежности чисел потенциального ответа и методом подбора вариантов найти верное решение. Подбор решений основывается на знаниях кратности чисел и логике.

Решение

:

Пусть общая численность персонала равна Х, тогда

X= 1/5 Х + 33+ 1/9 Х * К (К –количество цехов)

X= 1/5 Х + 33+ Х/9 * К

Х-1/5 Х — КХ/9 = 33

X (36–5K) = 33*45 *** теперь делаем предположение, каким может быть К

С одной стороны: 36–5К> 0, следовательно K≤7

С другой стороны: 33*45 = 1485 — нечетное, значит К — нечетное,

Таким образом возможные варианты К = 1,3,5,7

Проверяем все варианты:

К=7 — единственное решение задачи, в таком случае Х = 1485 человек

Ответ: 1485 человек.

5 тип: задачи на проценты, доли и


соотношения

Пример

:

Меховая шуба стоит дороже кожаной куртки на 45 %. На сколько % дешевле стоит кожаная куртка, чем меховая шуба?

В задачах такого типа важно правильно определить, что именно брать за основу, т. е. за элемент относительного сравнения (за 100 %).

Решение

:

Пусть кожаная куртка стоит Х, тогда, по условию задачи меховая шуба стоит 1,45 Х

Теперь, за основу, за базу, за 100 % возьмем меховую шубу, тогда

1,45 Х — 100 %

Х — р %

Р % = 100Х / 1,45 Х = 10 000 / 145 = 68,9 % = 69 %

Кожаная куртка составляет по стоимости в НОВОМ сравнении 69 % от меховой шубы, т. е. дешевле нее на 100 % — 69 % = 31 %

Ответ: 31 %

Вышеприведенные примеры типов задач являются авторской классификацией и могут не ограничиваться только указанными примерами. КИМ ЕГЭ пересматриваются ежегодно, дополняются и совершенствуются. Указанные типы задач предложены авторами статьи в качестве методического ориентира, базовых характеристик возможных типов содержания задачи № 15 и вариантов решения. Важно дополнительно отметить, что несмотря на свою значимость, задачи, имеющие экономическое содержание, вызывают значительные трудности у обучающихся, обусловленные отсутствием достаточного внимания к решению подобных задач в школьном курсе математики, слишком большим объёмом информации, из которой трудно выделить необходимую при самостоятельной подготовке к экзамену, отсутствием общей математической культуры и экономической грамотности.

Кроме краткосрочной цели успешного прохождения экзаменационных испытаний по окончанию школы, обучение школьников решению задач с экономическим содержанием на уроках математики важно для всех категорий обучающихся благодаря из практико-ориентированному содержанию. Использование прикладных задач с экономическим содержанием позволит сформировать у выпускников школы некоторые представления об экономике страны и её месте в мировой экономике, даст возможность изучить экономические термины, встречаемые в задачах и в жизни, лучше их понять. В настоящее время, когда возрастают требования государства и общества к воспитанию конкурентоспособной личности, умеющей адаптироваться к меняющимся условиям жизнедеятельности, социально активной и компетентной в трудовой сфере, а слова «кредит», «кредитная карта», «ипотека», «вклад», «банковские проценты» не понаслышке знакомы большинству российских семей, использование задач с экономическим содержанием на уроках математики позволит продемонстрировать учащимся практическую значимость математики и одновременно подготовить их к финансовым задачам, диктуемым жизнью, т. е. быть финансово грамотным.

В Концепции программы повышения уровня финансовой грамотности населения РФ это понятие трактуют как способность граждан [4]:

— эффективно управлять личными финансами;

— осуществлять учет расходов и доходов домохозяйства и осуществлять краткосрочное и долгосрочное финансовое планирование;

— оптимизировать соотношение между сбережениями и потреблением;

— разбираться в особенностях различных финансовых продуктов и услуг (в том числе инструментов рынка ценных бумаг и коллективных инвестиций), иметь актуальную информацию о ситуации на финансовых рынках;

— принимать обоснованные решения в отношении финансовых продуктов и услуг и осознано нести ответственность за такие решения;

— компетентно планировать и осуществлять пенсионные накопления.

Изложенные обстоятельства определяют актуальность вопросов, связанных с повышением экономической грамотности школьников, и делают проблему усиления прикладной направленности математики одним из важнейших направлений развития школьного математического образования. Задачей современной школы является подготовка учащихся к успешной социальной и профессиональной адаптации в условиях рыночной экономики, и экономическая грамотность становится одним из основных критериев развития конкурентоспособной личности, приспособленной к самостоятельной жизни [5].

Литература:

1. Спецификация контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена 2022 г. по математике [Электронный ресурс]. — Федеральный Институт Технических Измерений (ФИПИ). — Режим доступа: http://www.fipi.ru
2. Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников по математике для составления контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2022 г. Электронный ресурс]. — Федеральный Институт Технических Измерений (ФИПИ). — Режим доступа: http://www.fipi.ru
3. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена по математике 2022 г. [Электронный ресурс]. — Федеральный Институт Технических Измерений (ФИПИ). — Режим доступа: http://www.fipi.ru
4. Стратегия повышения финансовой грамотности в Российской Федерации на 2017‒2023 гг. утверждена распоряжением Правительства Российской Федерации от 25 сентября 2017 г. № 2039-р.
5. Чумаченко В. В., Горяев А. П. Основы финансовой грамотности: учебное пособие для общеобразовательных организаций. — М.: Просвещение, 2019.

Для решения таких задач необходимо понимать алгоритм решения экономических задач

За задание №17 по математике ЕГЭ профильный уровень можно получить 3 балла. Мы рассмотрим как решать экономические задачи ЕГЭ по математике, которые в каждом варианте профильного уровня по математике идут под номером 17.

Решение №17 включает в себя обязательное построение математической модели, то есть это обычная текстовая задача, но с экономическим (финансовым) уклоном и чаще всего с большим количеством вычислений.

Можно выделить несколько блоков заданий:

1. Вклады и кредиты

2. Акции и другие ценные бумаги

3. Методы оптимальных решений

Рассмотрим каждый из вышеперечисленных блоков.

Вклады и кредиты

Вклады и кредиты – самый обширный блок. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита или увеличения суммы вклада, и ваша задача – упорядочить данные таким образом, чтобы большой массив текста превратился в удобную математическую схему.

Чтобы правильно решать такие задачи, необходимо владеть формулой сложных процентов. Начисление по этой формуле предполагает, что каждый последующий год процент начисляется не на исходную сумму, а на исходную сумму, увеличенную предыдущим начислением процентов.

Формула выглядит следующим образом:

где FV – будущая сумма.

PV – текущая сумма.

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента.

Если начисления происходят не ежегодно, а чаще, например, ежеквартально, формула модифицируется в следующий вид:

,

где

FV – будущая сумма

PV – текущая сумма

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента

m – количество начислений в год (например, m=4, если начисления ежеквартальные).

Давайте отработаем эту формулу на подготовительной задаче.

Задача 1

Алексей положил 100 000 рублей в банк под 6% годовых на 3 года. Какая сумма будет у Алексея через год? Через 2 года? Через 3 года?

Решение:

Рассчитаем по формуле сложного процента сумму через год:

Теперь сумму через 2 года:

Теперь сумму через 3 года:

Более того, вам придётся работать со схемами кредитов/вкладов, поэтому решим более сложную задачу, в которой нужно будет переводить текст в таблицы и уравнения/неравенства.

Задача 2

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 28 млн рублей.

Решение:

Пусть искомая сумма составит a млн рублей.

Составим таблицу, чтобы упорядочить данные и построить математическую модель.

По условию, нужно найти наименьшее целое x, для которого выполнено неравенство

14,641 + 2,31a ≥ 28

a ≥ 

Наименьшее целое число, при котором знак неравенства выполняется, это число 6.

Значит, искомая сумма — 6 млн рублей.

Ответ: 6 млн рублей.

Акции и другие ценные бумаги

Следующий блок, который мы рассмотрим, затрагивает относительно новое понятие ценной бумаги. Что вам нужно знать о ценной бумаге, чтобы решать подобные задания, не вдаваясь в экономические особенности, это то, как она может приносить доход.

Тип 1: когда вы получаете доход от того, что ценная бумага, которую вы купили ранее, растет в цене. Например, сначала ценная бумага стоила 3 000, а через год стала стоить 4 000. Непосредственно этих 4 000 у вас нет, но вы можете продать ценную бумагу за 4 000 и получите больше, чем потратили за год до этого.

Тип 2: когда вы получаете некий процент от прибыли компании за то, что ранее приобрели ценную бумагу этой компании. Если вы являетесь владельцем акции, то доход данного типа вы получаете в форме дивидендов.

Помимо этого дохода вы также можете продать эту ценную бумагу и, если она теперь стоит больше, чем когда вы ее покупали, вы также получите прибыль. Это не все пути получения дохода от ценных бумаг, но других особенностей вам знать не нужно. При необходимости все дополнительные условия будут описаны в самой задаче.

Рассмотрим следующую задачу, в которой как раз фигурирует понятие ценной бумаги.

Задача 3.

Григорий приобрёл ценную бумагу компании за 9000 рублей в начале 2016 года. Компания находится на стадии активного роста, поэтому цена данной бумаги каждый год возрастает на 2000 рублей. В любой момент Григорий может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 12 %. В начале какого года Григорий должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение:

Продать бумагу нужно тогда, когда прирост стоимости ценной бумаги станет меньше, чем банковский процент. Пусть это случится в год n.

К этому моменту n к изначальной цене акции 9000 прибавится n раз по 2000, тогда на текущий момент её цена составит:

9000 + 2000n

Чтобы получить прирост, который Григорий получит, если хранить деньги в форме акции, необходимо ежегодный прирост (в данной задаче – 2000 рублей) поделить на накопленную к данному моменту сумму.

Прирост денежной суммы в банке всегда одинаков и равен предложенному проценту, то есть 0,12.

Либо можем составить уравнение, которое объединит все строчки нашей таблицы:

По прошествии четырёх лет Григорий должен продать бумагу, то есть в начале 2020 года.

Ответ: 2020

Методы оптимальных решений

Это особый блок, позволяющий максимизировать одну целевую функцию при учёте данных в условии ограничений.

Основные типы заданий в этом блоке:

1. Оптимизация работы на производстве с учётом цен на рынке товара и факторов производства;

2. Многозаводское производство (включая разные заводы/ отели/ другие рабочие пространства);

3. Транспортная задача.

Разберём несколько задач с основными методами решения.

Задача.

У фермера есть 2 поля, площадь каждого из которых составляет 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать пшеницу и ячмень. Урожайность пшеницы на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором поле – 300 ц/га. Урожайность ячменя, наоборот, на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором поле – 500 ц/га. При этом известно, что между данными злаками поля можно делить в любом соотношении.

Если известно, что на рынке установилась цена на пшеницу 7000 рублей за центнер, а цена на ячмень 9000 рублей за центнер, то какой наибольший доход фермер может получить?

Решение:

Имеем 2 поля с различными характеристиками.

В целом, продавать ячмень выгоднее, чем продавать пшеницу, так как 9000 > 7000 рублей.

Более того, известно, что на втором поле урожайность ячменя выше, чем урожайность пшеницы (500 ц/га против 300 ц/га). Тогда очевидно, что второе поле полностью фермер займёт ячменём, откуда получит:

10·500· 9000= 45000000 рублей

Ситуация с первым полем не так очевидна.

Продавать ячмень, как и прежде, выгоднее, чем продавать пшеницу. Однако на первом поле урожайность ячменя ниже, чем урожайность пшеницы (300 ц/га против 500 ц/га).

Поэтому необходимо сравнить соотношения этих величин:

Тогда получается, что засеять первое поле пшеницей выгоднее, так как низкая цена компенсируется высокой урожайностью.

Доход с первого поля:

10 · 500 ·7000 = 35000000 рублей

Суммарный доход составит:

35000000 рублей + 45000000 рублей = 80000000 рублей

Ответ: 80000000 рублей

Есть и другие типы заданий, в которых необходимо будет применить не житейские знания, а навыки составления уравнений и нахождения наименьшего/ наибольшего значений функций.

Задача.

На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов. На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов. На втором заводе для обработки x кг чёрных металлов в день требуется x2 человеко-часов труда, а для обработки у кг цветных металлов в день требуется у2 человеко-часов труда.

Владельцу заводов поступил заказ на обработку металлов, причём 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов. Какую наибольшую массу обработанных металлов может за сутки суммарно получить заказчик?

Решение:

Как и дано в условии, 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов, что означает, что металлы взаимозаменяемы в пропорции 1:1.

Пусть на втором заводе t рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда (360-t) рабочих обрабатывают цветные металлы.

Знаем, что x2 человеко-часов труда требуется обработки x кг чёрных металлов, а у2 человеко-часов труда требуется в день для обработки у кг цветных металлов.

На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов, однако чёрные и цветные металлы для заказчика равнозначны, из чего сделаем вывод, что все 360 рабочих обрабатывают чёрные металлы, то есть 108*5 = 540 кг в день.

Имея соотношение на втором заводе и производительность рабочих на первом заводе, составим функцию возможного количества обработанных металлов:

Необходимо найти наибольшее значение этой функций. Последовательность действий мы уже знаем из темы «Анализ функций». Необходимо:

1. Найти производную функции;

2. Приравнять производную к 0, получить точки, подозрительные на экстремум;

3. Определить знаки производной на полученных промежутках и проверить, какие точки являются точкой максимума, а какие – точкой минимума.

Проведём такую последовательность действий с нашей производственной функцией.

1. 
2.      Приведём к общему знаменателю.  Приравняем числитель к 0.Возведём в квадрат.Получили единственную точку экстремума.
3. Проверим, является ли она точкой максимума.Видим, что в точке t=180 производная меняет знак с + на -, тогда, по определению, это точка максимума.Итак, на втором заводе 180 рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда 180 рабочих обрабатывают цветные металлы.Поставим данные значения в изначальную целевую функцию.Ответ: 600 кг

Видим, что экономическая задача достаточно разнообразна, но и решать вы её можете абсолютно разными способами – через производные, составление таблиц, схем, выведение формул и простой перебор вариантов.

Самое главное – внимательно прочитать и понять условие.

Примеры решения задач

Задача 1. В 2019 году клиент планирует открыть вклад в банке 1 ноября сроком на 1 месяц под 11% годовых. Какая сумма денег окажется на счёте вклада 1 декабря того же года, если планируемая сумма вклада равна 100 000 рублей? Ответ округлите до двух знаков после запятой.

Решение: При однократном начислении процентов через дней на вклад под годовых в невисокосный год получим сумму  

Воспользуемся этой формулой, считаяS₀= 100 000, r = 11 , m = 30 (так как в ноябре 30 дней).

Получим:

Число в скобках с точностью до 7 знаков после запятой равно 1,0090411, значит, S=100 904,11Таким образом, на счёте вклада будет 100 904 рубля 11 копеек.

Задача 2. Через сколько полных лет у клиента на счету будет не менее 950 000 рублей, если он намерен открыть вклад 31 декабря и планирует каждый год класть на счет 260 000 рублей при условии, что банк раз в год (начиная со следующего года) 31 декабря будет начислять 10% на имеющуюся сумму?

Решение:

Будем последовательно вычислять сумму на счете и упорядочивать данные с помощью таблицы.

Задача 3. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 11% в течение каждого из первых двух лет, а на третий год начисляемые проценты изменяются. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором по истечении трёх лет этот вклад всё ещё будет выгоднее вклада «А».

Решение:

Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма По вкладу «А» сумма каждый год увеличивается на 

умножается на коэффициент 1,1.

Тогда по вкладу «А» после первого года сумма станет равна ;

после второго года: 1,21S;

после третьего года: 1,331S.

По вкладу «Б» после первого года сумма станет равна1,11S;

после второго года 1,2321S.

Пусть на третий год по вкладу «Б» банк увеличивает сумму на r%. Тогда после третьего года по вкладу «Б» сумма станет равна

, где r— натуральное число,

коэффициент повышения в третий год.

По условию требуется найти наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А», то есть сумма через три года на вкладе «Б» должна быть больше суммы на вкладе «А». Составим неравенство:

Так как r— натуральное число, то наименьший процент равен 9%.

Задача 4. Сергей планирует приобрести ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год будет возрастать на 2 тысячи рублей. В любой момент Сергей сможет продать ценную бумагу и вырученные деньги положить на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Сергей должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на счете стала наибольшей?

Решение.

Во второй год цена ценной бумаги составит: (7+2) тысячи рублей

В третий год (7+2)+2= 7+2∙2 тысячи рублей

В четвертый год (7+2)+2)+2= 7+2∙3 тысячи рублей

.

Сопоставим 10% банковский рост цены бумаги ее ежегодному росту на 2000 рублей.

10% от цены бумаги на 

Ценную бумагу стоит продать тогда, когда 10% от цены бумаги станут больше, чем 2 тысячи рублей.

Получаем неравенство:

Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 8.

Задача 5.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 20%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце тридцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

В части с развернутым ответом в ЕГЭ по профильной математике есть уникальный номер, к которому школьник почти готов сразу после освоения материала для первых 12-ти заданий. Речь об экономической задаче под номером 17 в ЕГЭ по математике. Конечно, поготовиться придется, но, если повезет с прототипом, баллы можно урвать почти даром!

Прототипы для 17-го номера делятся на три большие группы: 

• банковские задачи, 
• на ценные бумаги,
• задачи на оптимальный выбор. 

В этой статье мы расскажем, как научить ученика структурировать условие любой банковской задачи, как составить по этим данным математическую модель и найти решение. Расскажем, на что обратить внимание ученика, чтобы школьник не потерял баллы из-за неверного оформления.

Главная трудность — школьник плохо понимает условие, ведь с кредитами и вкладами он пока не сталкивался.

• Как работает процент по кредиту?
• На какую сумму начисляется?
• Из каких частей состоит платеж?
• Как уменьшается долг?

На все эти вопросы вам придется ответить. Это отличная возможность показать пользу уроков математики, ведь 17-ый номер — едва ли не самая прикладная задача за весь школьный курс! 

Например, можно рассказать о том, какие бывают образовательные кредиты. Вы в курсе, что их дают с 14 лет, а платеж первые годы может быть ничтожным? Школьник об этом точно не знает.

С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в ЕГЭ по математике

Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность рассказать школьнику что-то из реальности! Если у вас есть опыт с кредитованием, самое время им поделиться. Если нет, то воспользуйтесь нашим:

• Например, расскажите, что клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Ваши ученики знают, как работает страховка?
• Расскажите о механизме аннуитетного платежа: как часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.
• Например, по нашему опыту, в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг. 

Хорошая новость в том, что в экзаменационных задачах подобной вакханалии не бывает. Долг и проценты или гасятся равномерно, или по заранее известному алгоритму, достаточно просто внимательно прочитать условие.

Еще одно частое упрощение в ЕГЭ — процент там обычно не годовой, а ежемесячный! То есть своим платежом заемщик гасит набежавший за этот месяц процент и уменьшает долг на заданную величину. Удобно.

Мы предлагаем научить школьника упорядочивать данные банковской задачи в ЕГЭ по математике с помощью таблицы. Табличка — не единственный способ решить 17-ый номер, кто-то использует последовательности, кто-то — считает прикладным методом как заправский бухгалтер. Однако наш метод универсален, а значит вы дадите школьнику один алгоритм на все типы банковских задач. Согласитесь, работать с одним алгоритмом проще, чем подбирать разные по ситуации.

Тип 1. Равные платежи

Особенность этого типа заданий в том, что заемщик всегда вносит одинаковые суммы.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Очевидно, что эта схема должна оказаться у школьника в тетради. Ведь вы же знаете: того, чего нет в тетради, и на уроке-то не было!

Заполняем всю табличку. Учитываем обе ситуации из условия. Для наглядности каждую выделим жирной рамкой.

Теперь остался еще один непростой шаг — перейти от структурированных данных к математической модели. Дайте ученику возможность увидеть, что уже почти составил ее.

Мы получили два уравнения, которые подсветили в табличке оранжевым. Объединим их в систему и решим!

Напомните выпускнику о культуре вычислений! Порой эти задачи составлены так, что неудачная последовательность действий сделает их нерешаемыми без калькулятора. Потому не надо спешить делать первое попавшееся действие, пусть школьник тренируется думать на пару ходов вперед.

Например, разделим одно уравнение на другое, ведь так мы избавимся от одной неизвестной S:

Наше решение не зависит от суммы кредита, S сокращается. 

По сути, мы получили уравнение с одной неизвестной, ведь платежи a и b знаем из условия. Выразим k:

Пожалуй, все, проще уже некуда. Подставляем значения!   

Тут можно обратить внимание ученика на то, как составители экзамена на самом деле заботятся о нем! Ведь будь задачка хоть чуть-чуть другой, посчитать без калькулятора было бы невозможно.

Вспоминаем, что k=1+r/100, а найти нам надо r.

Ответ: 10%.

Не забудьте после решения расставить акценты в задаче:

Чтобы решить задачу и получить 3 балла, мы:
— Воспользовались простым алгоритмом упорядочивания данных,
— Составили математическую модель,
— Нашли удобный способ решить ее, ВСЕ!
Это и есть алгоритм решения банковской задачи.

Тип 2. Равномерно убывающий долг

В прошлой задаче заемщик платил одинаковую сумму каждый месяц. Тут ему нужно уменьшать долг на одну и ту же величину. То есть за месяц пользования деньгами банк начислил на них процент, клиент теперь должен чуть больше. Своим платежом он оплатит банку проценты, чтобы заем стал таким, как ДО их начисления. А сверху внесет сумму, которая как раз и пойдет на то самое РАВНОМЕРНОЕ уменьшение долга.  

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Тут главный элемент в задаче — равномерно убывающий долг. Если мы взяли сумму S на 39 месяцев, и каждый месяц долг должен быть меньше на одинаковую величину, то что это за величина? Пусть правильный ответ 1/39 S даст ученик.

Проиллюстрируйте школьнику, как здорово работает наш алгоритм. Пусть выпускник проговаривает пункты вслух, а вы их выполняйте. Следите, чтобы каждый шаг подопечный фиксировал в тетради:

Продолжаем заполнять табличку. Пусть дальше пробует выпускник, ведь пока сам не попробуешь, не научишься:

Осталось увязать добытую информацию в уравнение или неравенство. Обратите внимание подопечного на то, что ненужных подробностей в задачах ЕГЭ не бывает! Единственная информация в задаче, которую мы до сих пор не использовали — общая сумма выплат. По условию она на 20% больше суммы кредита, то есть равна 1,2S:

Приведем подобные, вынесем общий множитель за скобку:

Решение в итоге снова не зависит от того, какую сумму взяли в долг. Разделим обе части на S и упростим выражение:

Ответ: 1%.

И снова все по нашему алгоритму, ничего нового, кроме него, мы не используем! Не забудьте излучать восторг, иначе школьник не проникнется мощью вашего метода решения.

Тип 3. Долг, убывающий согласно табличке

Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг(в млн рублей)	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.

Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:

Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.

Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.

«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:

Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.

Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:

Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.

Ответ: 5%.

Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.

Тип 4. Погашение кредита в два этапа.

По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше

В 2017-2018 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.

Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.

Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.

Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:

Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:

Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.

Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:

Посчитаем эту сумму:

Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:

Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!

Ответ: 700 тысяч.

Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.

Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике

Чтобы у ученика окончательно сложилась картинка занятия, пробегитесь еще раз по основным выводам:

• Повторите алгоритм заполнения таблицы и решения задачи (да, пятый раз);
• Повторите типы задач и механизм распределения платежа на проценты и долг;
• Напомните, как важно считать культурно и быть уверенным в каждой циферке в бланке;
• Проговорите, что математическая модель должна точно отражать условие задачи.

Как показывает практика, чем больше повторяешь, тем больше шансов, что в голове выпускника останется хоть что-то.

За что дают баллы?

Знание критериев оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике поможетученику чувствовать себя увереннее, ведь выставление баллов — это не какая-то магия и не вредность экспертов. Все правила игры прописаны в нормативных документах.

17-ый номер стоит 3 балла. Чтобы узнать, как их присуждают, мы залезли в методические рекомендации для членов предметных комиссий.

Согласно пояснениям из документа, для получения одного балла мало просто обоснованно составить математическую модель по задаче, надо предложить правильный метод ее анализа. 

Два балла получит школьник, который ошибся в вычислениях или не обосновал появление математической модели в решении. Например, согласно методическим рекомендациям, решение на 2 балла выглядит так:

А вот отсутствие промежуточных вычислений хоть и усложняет проверку, но баллы не снимает.

Идеально выполненная первая часть ЕГЭ по профильной математике принесет школьнику всего 62 тестовых балла. Добавим сюда пару ошибок по невнимательности, и останутся совсем крохи — баллов 50, не больше. Для поступления на бюджет мало, а значит необходимо планировать делать вторую часть! Чем раньше школьник это осознает, тем проще будет с ним работать. А банковская задача поможет получить дополнительные баллы с минимальными усилиями.

Однако кредиты – не единственный прототип 17-го номера, и в следующий раз мы расскажем, как научить школьника решать задачи на оптимальный выбор и ценные бумаги.