Степень с натуральным показателем егэ математика профиль

Поиск

Всего: 105    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 105    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Для того, чтобы возвести число в степень с натуральным показателем , нужно умножить число само на себя раз:

В этой записи – основание, – показатель степень.

Для проведения вычислений удобно использовать формулы преобразования выражений со степенями. Они универсальны и работают для любых показателей (целых, рациональных или иррациональных).

Применим эти правила для решения следующих задач.

Пример 1

Воспользуемся формулой для частного степеней с одинаковыми основаниями.

Пример 2

Так как степень частного равна частному степеней, занесем всю дробь под одну степень.

Пример 3

Для удобства представим и занесем всю дробь под одну степень.

Иногда для записи дробных степеней используют специальный знак – корень. На самом деле корень — всего лишь дробная степень:

Чаще всего встречается квадратный корень из числа:

Выражения с корнями преобразуется по тем же правилам, что и все остальные степени.

Следует различать корни нечетной степени и корни четной степени .

Корень нечетной степени из отрицательного числа – отрицательное число; из положительного – положительное.

Корень четной степени берется только из неотрицательного числа. Само значение корня четной степени может быть только неотрицательным.

.

Пример 4

, следовательно, корень из этого выражения существует. При этом значение может быть любым. Если действовать по правилам степеней без модуля, имеем:

.

В случае отрицательного получаем, что корень четной степени равен отрицательному числу, что невозможно.

Пример 5

Так как корень – это степень, то можем воспользоваться правилом «степень произведения равна произведению степеней».

Пример 6

Частное степеней равно степени частного, поэтому занесем всю дробь под общий корень.

Пример 7

Представим число в виде произведения, чтобы можно было воспользоваться правилом «При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание не меняется» в обратную сторону.

Помимо выражений с числами, в заданиях часто встречаются выражения с символьными переменными. К счастью, выписанные нами формулы, продолжают работать и в этом случае.

Пример 8

Возведем степень в степень, перемножая показатели. Так как все основания одинаковые, то заменим произведение степеней на сумму показателей, а частное – на разность. Основание при этом не меняем.

Пример 9

Перепишем корень как дробный показатель. Заменим возведение степени в степень на произведение показателей. Затем преобразуем произведение степеней, сложив их показатели.

Для того, чтобы возвести число в степень с натуральным показателем $ n $ , нужно умножить число само на себя $ n $ раз:

$ a^{n}underbrace{acdot a cdot…cdot a}_n $

В этой записи $ a $ – основание, $ n $ – показатель степень.

Для проведения вычислений удобно использовать формулы преобразования выражений со степенями. Они универсальны и работают для любых показателей (целых, рациональных или иррациональных).

Правило	Формула
Любое число в нулевой степени равно единице	$ a^{0}=1 $
Любое число в первой степени равно самом себе	$ a^{1}=a $
Единица в любой степени равна единице	$ 1^{m}=1 $
При перемножении степеней одинаковыми основаниями их показатели складываются, а основание не меняется	$ a^{m} cdot a^{n}=a^{m+n} $
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя, а основание не меняется	$ frac {a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} $
При возведение степени в степень показатели перемножаются, а основание не меняется	$ (a^{n})^{m}=a^{mn} $
Степень произведения равна произведению степеней	$ (ab)^{n}=a^{n} cdot b^{n} $
Степень частного равна частному степеней	$ big( frac{a}{b} big)^{m}=frac{a^{m}}{b^{m}}$
При возведении в отрицательную степень, основание степени «переворачивается», и знак показателя степени меняется на противоположный	$ a^{-n}= frac {1}{a^{n}}= big( frac {1}{a} big)^{n} $

Применим эти правила для решения следующих задач.

Пример 1

$ frac{3^{5}}{3^{3}}=3^{5-3}=3^{2}=9 $

Воспользуемся формулой для частного степеней с одинаковыми основаниями.

Пример 2

$ frac {20^{3}}{10^{3}} = big( frac {20}{10} big)^{3}=2^{3}=8 $

Так как степень частного равна частному степеней, занесем всю дробь под одну степень.

Пример 3

$ frac {1}{2^{-2}} = frac {1^{-2}}{2^{-2}} = big( frac {1}{2} big)^{-2}=2^{2}=4 $

Для удобства представим $ 1=1^{-2} $ и занесем всю дробь под одну степень.

Иногда для записи дробных степеней используют специальный знак – корень. На самом деле корень — всего лишь дробная степень:

$ sqrt[n]{a}=a^{ frac {1}{n}} $

Чаще всего встречается квадратный корень из числа:

$ sqrt{a}=a^{ frac {1}{2}} $

Выражения с корнями преобразуется по тем же правилам, что и все остальные степени.

Следует различать корни нечетной степени $ sqrt[3]{a}, ; a^{ frac {1}{5}} $ и корни четной степени $ sqrt{a},; a^{ frac {3}{8}} $ .

Корень нечетной степени из отрицательного числа – отрицательное число; из положительного – положительное.

$ sqrt[3]{-27}=-3 $

Корень четной степени берется только из неотрицательного числа. Само значение корня четной степени может быть только неотрицательным.

$ sqrt{4}=2 $,

$ sqrt{-4} $ — не существует.

Пример 4

$ sqrt{a^{2}} = sqrt {|a|^{2}} = |a| $

$ a^{2} geq 0 $, следовательно, корень из этого выражения существует. При этом значение $ a $ может быть любым. Если действовать по правилам степеней без модуля, имеем:

$ sqrt{a^{2}} = a^{ frac {2}{2}}=a^{1}=a $.

В случае отрицательного $ a $ получаем, что корень четной степени равен отрицательному числу, что невозможно.

Пример 5

$ sqrt[3]{2} cdot sqrt[3]{32}=sqrt[3]{64}=64^{frac {1}{3}}=4 $

Так как корень – это степень, то можем воспользоваться правилом «степень произведения равна произведению степеней».

Пример 6

$ frac {sqrt{3}}{sqrt{12}}=sqrt {frac {3}{12}}=sqrt {frac {1}{4}}=frac {1}{2}=0,5 $

Частное степеней равно степени частного, поэтому занесем всю дробь под общий корень.

Пример 7

$ 4^{frac {3}{2}}=4^{3 cdot frac {1}{2}}=(sqrt {4})^{3}=2^{3}=8 $

Представим число $ frac {3}{2}=3 cdot frac {1}{2} $ в виде произведения, чтобы можно было воспользоваться правилом «При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание не меняется» в обратную сторону.

Помимо выражений с числами, в заданиях часто встречаются выражения с символьными переменными. К счастью, выписанные нами формулы, продолжают работать и в этом случае.

Пример 8

$ frac {a^{2} cdot (a^{frac {5}{2}})^{2}}{a^{7}}=frac {a^{2} cdot a^{frac {5}{2} cdot 2}}{a^{7}}=a^{2+5-7}=a^{0}=1 $

Возведем степень в степень, перемножая показатели. Так как все основания одинаковые, то заменим произведение степеней на сумму показателей, а частное – на разность. Основание при этом не меняем.

Пример 9

$ sqrt [7]{b^{10}} cdot big( sqrt[7]{b} big)^{-3}=b^{frac {10}{7}} cdot big( b^{frac {1}{7}} big)^{-3}=b^{frac {10}{7}} cdot b^{frac {-3}{7}}=b^{frac {10}{7} — frac {3}{7}}=b^{1}=b $

Перепишем корень как дробный показатель. Заменим возведение степени в степень на произведение показателей. Затем преобразуем произведение степеней, сложив их показатели.

Правило чтения и записи степеней с натуральным показателем

Краткую запись произведения одинаковых сомножителей очень удобно использовать, — длинная строка описания математических действий сокращается до записи нескольких шагов:

17^5=17 cdot 17 cdot 17 cdot 17 cdot 17=1,419,857

17 — основание степени,

5 — показатель степени,

1419857 — значение степени.

Степень с нулевым показателем равна 1, при условии, что a neq 0:

a^0=1.

Например: 2^0=1

Когда нужно записать большое число обычно используют степень числа 10.

Например, один из самых древних динозавров на Земле жил около 280 млн. лет назад. Его возраст записывается следующим образом: 2,8 cdot 10^8.

Каждое число большее 10 можно записать в виде a cdot 10^n, при условии, что 1 < a < 10 и n является положительным целым числом. Такую запись называют стандартным видом числа.

Примеры таких чисел: 6978=6,978 cdot 10^3, 569000=5,69 cdot 10^5.

Можно говорить как и «a в n-ой степени», так и «n-ая степень числа a» и «a в степени n».

4^5 — «четыре в степени 5 » или «4 в пятой степени» или также можно сказать «пятая степень числа 4»

В данном примере 4 — основание степени, 5 — показатель степени.

Приведем теперь пример с дробями и отрицательными числами. Для избежания путаницы принято записывать основания, отличные от натуральных чисел, в скобках:

(7,38)^2, left(frac 12 right)^7, (-1)^4 и др.

Заметьте также разницу:

(-5)^6 — означает степень отрицательного числа −5 с натуральным показателем 6.

-5^6 — соответствует числу противоположному 5^6.

Свойства степеней с натуральным показателем

Основное свойство степени

a^n cdot a^k = a^{n+k}

Основание остается прежним, а складываются показатели степеней.

Например: 2^3 cdot 2^2 = 2^{3+2}=2^5

Свойство частного степеней с одинаковыми основаниями

a^n : a^k=a^{n-k}, если n > k.

Показатели степени вычитаются, а основание остается прежним.

Данное ограничение n > k вводится для того, чтобы не выходить за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при n > k показатель степени a^{n-k} будет являться натуральным числом, иначе он будет либо отрицательным числом (k < n), либо нулем (k-n).

Например: 2^3 : 2^2 = 2^{3-2}=2^1

Свойство возведения степени в степень

(a^n)^k=a^{nk}

Основание остается прежним, перемножаются лишь показатели степеней.

Например: (2^3)^6 = 2^{3 cdot 6}=2^{18}

Свойство возведения в степень произведения

В степень n возводится каждый множитель.

a^n cdot b^n = (ab)^n

Например: 2^3 cdot 3^3 = (2 cdot 3)^3=6^3

Свойство возведения в степень дроби

frac{a^n}{b^n}=left(frac{a}{b} right) ^n, b neq 0

В степень возводится и числитель и знаменатель дроби. left(frac{2}{5} right)^3=frac{2^3}{5^3}=frac{8}{125}