Степень с рациональным показателем решу егэ

Всего: 102    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Всего: 102    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Всего: 102    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Добавить в вариант

Всего: 102    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Всего: 102    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–102

Добавить в вариант

Всего: 102    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–102

Задачи ЕГЭ по математике

Мы уже знакомы с понятием степени с ЦЕЛЫМ показателем, когда в степени стоит целое число (n). Давайте разберемся, что такое степень с РАЦИОНАЛЬНЫМ показателем, когда в степени обыкновенная дробь — (a^{frac{p}{q}}).

Рациональный показатель – это выражение вида (frac{p}{q}), где (p)-некоторое целое число, а (q) – натуральное число, причем (qge2). Это строгое определение рационального показателя, но простыми словами мы будем изучать дробные степени, когда у вас в показателе стоит обыкновенная дробь.

Определение

Положительное число (a) в степени (frac{p}{q}) является арифметическим корнем степени (q) из числа (a) в степени (p):

$$ a^{frac{p}{q}}=sqrt[q]{a^p}. $$

Для того, чтобы научиться считать дробные степени, достаточно запомнить формулу из определения. Разберемся на примерах, как это работает, но нам понадобится хорошее знание арифметического корня n-й степени.

И обращаем ваше внимание, что

$$ sqrt[q]{a^p}=(sqrt[q]{a})^p,$$

Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень и потом возвести в степень, или возвести в степень, а потом уже извлечь корень, от этого смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте. Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1
$$ 8^{frac{2}{3}}=sqrt[3]{8^2}=(sqrt[3]{8})^2=2^2=4; $$
$$ 27^{frac{1}{3}}=sqrt[3]{27^1}=sqrt[3]{27}=3;$$
$$ 3^{frac{1}{5}}=sqrt[5]{3}; $$
$$ 7^{-frac{5}{6}}=sqrt[6]{7^{-5}}=sqrt[6]{frac{1}{7^5}}=frac{1}{sqrt[6]{7^{5}}};$$

Обратите внимание, что у обыкновенного квадратного корня двойка в показателе не пишется: пишем так (sqrt{a}), а имеем в виду (sqrt[2]{a}.)
$$ 7^{frac{1}{2}}=sqrt{7};$$
$$ 5^{frac{3}{2}}=sqrt{5^3}.$$

Пусть есть некоторое положительное число (a), целое число (p) и натуральное число (q), тогда справедливы следующие соотношения:

$$1.; a^{frac{p}{q}}=(a^{frac{1}{q}})^p,$$
$$2.; a^{frac{p}{q}}=a^{frac{p*k}{q*k}},$$
$$ 3.;a^p= a^{frac{pq}{q}}, $$

где (k) и (q) – натуральные числа большие 1.

Давайте попробуем их доказать:

Из определения степени с рациональным показателем следует, что:

$$ a^{frac{p}{q}}=sqrt[q]{a^p}=(sqrt[p]{a})^p=(a^{frac{1}{q}})^p,$$

Опять из определения и свойства корня n-й степени следует:

$$ a^{frac{p}{q}}=sqrt[q]{a^p}=sqrt[q*k]{a^{p*k}}= a^{frac{p*l}{q*k}}, $$

Третья формула на наш взгляд очевидна, просто сократить степень справа и получите исходное выражение.

Пример 2
$$8^{frac{4}{3}}=(8^{frac{1}{3}})^4=2^4=16;$$
$$4^{frac{15}{5}}=4^{frac{3}{1}}=4^3=64;$$
$$3^{-frac{6}{2}}=3^{-3}=frac{1}{3^3}=frac{1}{27}.$$

Свойства степени с рациональным показателем

Пусть (a) и (b) – некоторые положительные числа, а числа (frac{m}{n}) и (frac{c}{d}) – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:

$$ mathbf {1. ;a^{frac{m}{n}}*a^{frac{c}{d}}=a^{frac{m}{n}+frac{c}{d}}} $$
$$ 3^{frac{2}{5}}*3^{frac{8}{5}}=3^{frac{2}{5}+frac{8}{5}}=3^{frac{10}{5}}=3^2=9; $$
$$ 2^{frac{1}{3}}*4^{frac{4}{3}}=2^{frac{1}{3}}*(2^2)^{frac{4}{3}}=2^{frac{1}{3}}*2^{frac{8}{3}}=2^{frac{1}{3}+frac{8}{3}}=2^{frac{9}{3}}=2^3=8;$$

При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели складываются.

$$mathbf {2. ; a^{frac{m}{n}}:a^{frac{c}{d}}=a^{frac{m}{n}-frac{c}{d}}}$$
$$ 5^{frac{8}{3}}:5^{frac{2}{3}}=5^{frac{8}{3}-frac{2}{3}}=5^{frac{6}{3}}=5^2=25;$$

При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели вычитаются.

$$mathbf {3. ; (a^{frac{m}{n}})^{frac{c}{d}}=a^{frac{m}{n}*frac{c}{d}}}$$
$$ (9^{frac{1}{3}})^{frac{3}{2}}=9^{frac{1}{3}*frac{3}{2}}=9^{frac{1}{2}}=sqrt[2]{9^1}=sqrt{9}=3;$$

При возведении степени с рациональным показателем в степень с рациональным показателем их показатели перемножаются.

$$mathbf {4. ; (a*b)^{frac{m}{n}}=a^{frac{m}{n}}*b^{frac{m}{n}}}$$
$$ (27*8)^{frac{2}{3}}=27^{frac{2}{3}}*8^{frac{2}{3}}=sqrt[3]{27^2}*sqrt[3]{8^2}=(sqrt[3]{27})^2*(sqrt[3]{8})^2=3^2*2^2=9*4=36;$$

Степень с рациональным показателем от произведения двух положительных чисел равна произведению степеней этих множителей.

$$ mathbf {5.; left(frac{a}{b}right)^{frac{m}{n}}=frac{a^{frac{m}{n}}}{b^{frac{m}{n}}}}$$

Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел.

И еще два очень важных свойства степеней. Они вам понадобятся при решении показательных уравнений и неравенств.

Пусть опять есть некоторое положительное число (a>1) и дроби (frac{m}{n}) и (frac{c}{d}).

$$mathbf {6. ; При ; n gt 0 qquad a^n gt 1},$$
$$mathbf {При ; n lt 0 qquad 0 lt a^n lt 1}.$$

7. Если же (a gt 1) и (n gt m), то

$$ a^n>a^m.$$

Если ( 0 lt a lt 1 ) и (n gt m), то

$$ a^n lt a^m.$$

Разберем несколько примеров:

Пример 3
$$ 3^{-frac{3}{4}}*3^{-frac{1}{4}}=3^{-frac{3}{4}-frac{1}{4}}=3^{-1}=frac{1}{3};$$
$$ 2^{frac{1}{2}}:2^{frac{1}{4}}=2^{frac{1}{2}-frac{1}{4}}=2^{frac{1}{4}}=sqrt[4]{3};$$
$$ (5^{-frac{1}{2}})^{-4}=5^{(-frac{1}{2})*(-4)}=5^2=25; $$
$$ (0,125)^{-frac{2}{3}}*8^{-frac{2}{3}}=(0,125*8)^{-frac{2}{3}}=1^{-frac{2}{3}}=1; $$
$$ (4,4)^{frac{1}{3}}:(0,55)^{frac{1}{3}}=(frac{4,4}{0,55})^{frac{1}{3}}=8^{frac{1}{3}}=sqrt[3]{8}=2;$$

$$ 3^{frac{1}{3}} lt 3^{frac{1}{2}},$$

Так как основание степени больше единицы (3 gt 1) и (frac{1}{3} lt frac{1}{2}).

$$ (frac{1}{5})^{frac{1}{3}} gt (frac{1}{5})^{frac{1}{2}}, $$

Так как (0 lt frac{1}{5} lt 1) и (frac{1}{3} lt frac{1}{2}).

Инфоурок

›

Алгебра

›Другие методич. материалы›Карточки-тренажеры по теме «Степени» (подготовка к ЕГЭ)

Карточки-тренажеры по теме «Степени» (подготовка к ЕГЭ)