Стереометрические формулы для егэ

Формулы стереометрии. Общий обзор!

Формулы стереометрии. В этой статье общий обзор формул для решения задач по стереометрии. Нужно сказать, что задачи по стереометрии довольно разнообразны, но они несложны. Это задания на нахождение геометрических величин: длин, углов, площадей, объёмов.

Рассматриваются: куб, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, составной многогранник, цилиндр, конус, шар. Печалит тот факт, что некоторые выпускники на самом экзамене за такие задачи даже не берутся., хотя более  80% таких задач решаются элементарно, практически устно.

Остальные требуют небольших усилий, наличия знаний и специальных приёмов. В будущих статьях мы с вами будем рассматривать все эти задачи, не пропустите!

Для решения необходимо знать формулы площадей поверхности и объёмов параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса и шара. Ещё раз подчеркну, что сложных задач нет, все они решаются в 2-3 действия (максимум). Важно «увидеть» какую формулу необходимо применить, только и всего.

Все необходимые формулы представлены ниже:

Формулы стереометрии

Конечно, кроме указанных формул необходимо знать теорему Пифагора, определения тригонометрических функций, понятие средней линии треугольника и ещё немного теоретических фактов, о которых  мы поговорим в следующей статье.

С уважением, Александр. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Категория: Формулы Теория | ЕГЭ-№2Формулы

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Источник

Алгебра — ЕГЭ                Тригонометрия — ЕГЭ                Геометрия — ЕГЭ                Стереометрия — ЕГЭ                Алгебра — ОГЭ                Геометрия — ОГЭ

Шпаргалка по стереометрии для ЕГЭ

Шпаргалка по стереометрии для ЕГЭ

Формулы по стереометрии для ЕГЭ

Формулы по стереометрии для ЕГЭ

Советская шпора по стереометрии

Советская шпора по стереометрии

Площадь поверхности, объем, радиусы вписанной и описанной сфер

Площадь поверхности, объем, радиусы вписанной и описанной сфер

Формулы для многогранников

Формулы для многогранников

Формулы для пирамиды

Формулы для пирамиды

Формулы для тел вращения

Формулы для тел вращения

Источник

Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

  1. Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
  2. Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.


Куб 		V=a^3 S = 6a^2
d=asqrt{3}, d- диагональ

Параллелепипед 		V=S_text{OCH}h, h - высота

Прямоугольный параллелепипед 		V=abc S = 2ab+2bc+2ac
d=sqrt{a^2+b^2+c^2}

Призма 		V=S_text{OCH}h S = 2S_text{OCH}+

Пирамида 		V=frac{1}{3}S_text{OCH}h S = S_text{OCH}+

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Задача 1.Объём куба равен 12. Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение:

Пирамида в кубе
Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб :-)

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.

Разберем задачи, где требуется найти площадь поверхности многогранника.

Мы рассмотрим призмы и пирамиды. Начнем с призмы.

Площадь полной поверхности призмы можно найти как сумму площадей всех ее граней. А это площади верхнего и нижнего оснований плюс площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей боковых граней, которые являются прямоугольниками. Она равна периметру основания, умноженному на высоту призмы.

Задача 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Пирамида в кубе

Решение.

Многогранник на рисунке – это прямая призма с высотой 12.

P_text{OCH}=8+6+6+2+2+4=28.

Пирамида в кубе

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

S_1=6cdot 6=36 (больший квадрат), S_2=2cdot 4=8 (маленький прямоугольник), S_text{OCH}=36+8=44

Подставим все данные в формулу: и найдем площадь поверхности многогранника:

S=28cdot12+2cdot44=336+88=424.

Ответ: 424.

Задача 3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Пирамида в кубе

Решение.

Пирамида в кубе

Перевернем многогранник так, чтобы получилась прямая призма с высотой 1.
Площадь поверхности этой призмы находится по формуле:

P_text{OCH}=4+5+2+1+2+4=18.

Пирамида в кубе

Найдем площадь основания. Для этого разделим его на два прямоугольника и посчитаем площадь каждого:

S_1=4cdot4=16;~S_2=2cdot1=2 (большой прямоугольник), S_text{OCH}=16+2=18 (маленький прямоугольник).

Найдем площадь полной поверхности: =18cdot1+2cdot18=54

Ответ: 54

Задача 4.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Пирамида в кубе

Решение.

Покажем еще один способ решения задачи.

Посмотрим, как получился такой многогранник. Можно сказать, что к «кирпичику», то есть прямоугольному параллелепипеду со сторонами 4, 1 и 3, сверху приклеен «кубик», все стороны которого равны 1.

И значит, площадь поверхности данного многогранника равна сумме площадей поверхностей прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4,1,3 и
куба со стороной 1, без удвоенной площади квадрата со стороной 1:

S=((4+1+4+1)cdot 3+2cdot 4 cdot 1)+6cdot 1-2cdot 1=42.

Почему мы вычитаем удвоенную площадь квадрата? Представьте себе, что нам надо покрасить это объемное тело. Мы красим все грани параллелепипеда, кроме квадрата на верхней его грани, где на него поставлен кубик. И у куба мы покрасим все грани, кроме этого квадрата.

Ответ: 42

Задача 5. . Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пирамида в кубе

Решение.

Пусть АВ = 5 см, ВС = 3 см, тогда angle{ABC}=120^{circ}

Из Delta ABC по теореме косинусов найдем ребро АС:

AC^2=AB^2+BC^2-2cdot ABcdot BC cdot cos120^{circ}

AC^2=25+9-2cdot5cdot3cdotleft(-frac{1}{2}right)=47, ~AC = 7

Отрезок АС – большая сторона Delta ABC, следовательно, ACC_1A_1 - большая боковая грань призмы.

Поэтому ACcdot CC_1=35, или 7cdot h=35, откуда h=5.

(5+3+7)cdot5=75.

Ответ: 75

Теперь две задачи на площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 6. Основанием пирамиды DАВС является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13, ВС = 10; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пирамида в кубе

Решение.

Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей всех ее боковых граней.

Проведем AKperp BC, тогда BC perp DK (по теореме о 3-х перпендикулярах), то есть DК – высота треугольника DВС.

Delta ABC – равнобедренный (по условию АВ = АС), то высота АК, проведенная к основанию ВС, является и медианой, то есть ВК = КС = 5.

Из прямоугольного Delta ABK получим:

AK=sqrt{AB^2-BK^2}=sqrt{13^2-5^2}=sqrt{169-25}=sqrt{144}=12.

Из прямоугольного Delta DAK имеем:

DK=sqrt{DA^2+AK^2}=sqrt{9^2+12^2}=sqrt{81+144}=sqrt{225}=15.

Delta ADB=Delta ADC (по двум катетам), тогда S_{ADB}=S_{ADC}, следовательно

=2S_{ADB}+S_{BDC},=2cdotfrac{1}{2}cdot13cdot9+frac{1}{2}cdot10cdot15=117+75=192.

Ответ: 192

Задача 8. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 24, боковые ребра равны 37. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Пирамида в кубе

Решение:

Так как четырехугольная пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Площадь поверхности пирамиды равна

=pcdot h+a^2, где р – полупериметр основания, h — апофема (высота боковой грани правильной пирамиды), a – сторона основания.

Значит, полупериметр основания p = 24 cdot 2 = 48.

Апофему найдем по теореме Пифагора:

h=sqrt{37^2-12^2}=sqrt{(37-12)(37+12)}=sqrt{25cdot49}=5cdot7=35

S = 48cdot 35+24^2=1680+576=2256.

Ответ: 2256

Как решать задачи на нахождение объема многогранника сложной формы?

Покажем два способа.

Первый способ

1.Составной многогранник достроить до полного параллелепипеда или куба.
2.Найти объем параллелепипеда.
3.Найти объем лишней части фигуры.
4.Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Второй способ.

1.Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2.Найти объем каждого параллелепипеда.
3.Сложить объемы.

Задача 9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Пирамида в кубе

Решение.

Пирамида в кубе

1) Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

2) Найдем объем параллелепипеда – для этого перемножим его длину, ширину и высоту: V=9cdot 4cdot10=360

3) Найдем объем лишней части, то есть маленького параллелепипеда.

Его длина равна 9 – 4 = 5, ширина 4, высота 7, тогда его объем V_1=5cdot4cdot7=140.

4) Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры: V=360-140=220.

Ответ: 220.

Задача 10. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 7, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Пирамида в кубе

Объем призмы равен V=S_{OCH}cdot h, а так как призма прямая, то ее боковое ребро является и высотой, то есть h=6.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник c катетами 6 и 7, тогда площадь основания

S_{OCH}=frac{1}{2}cdot ab=frac{1}{2}cdot6cdot7=21.

V=21cdot6=126.

Ответ: 126

Задача 11. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 324 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд, у которого сторона в 9 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Пирамида в кубе

Решение.

Объем призмы равен V = S_{OCH}cdot h

Воду перелили в другой такой же сосуд. Это значит, что другой сосуд также имеет форму правильной треугольной призмы, но все стороны основания второго сосуда в 9 раз больше, чем у первого.

Основанием второго сосуда также является правильный треугольник. Он подобен правильному треугольнику в основании первого сосуда. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Если все стороны треугольника увеличить в 9 раз, его площадь увеличится в 9^2 = 81 раз. Мы получили, что площадь основания второго сосуда в 81 раз больше, чем у первого.

Объем воды не изменился, V=S_1cdot h_1=S_2 cdot h_2. Так как S_2=81S_1, высота воды h_2 должна быть в 81 раз меньше, чем h_1. Она равна 324:81 = 4 (см).

Ответ: 4

Задача 12. Объем параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1. Найдите объем треугольной пирамиды ABDA_1.

Пирамида в кубе

Решение.
Опустим из вершины A_1 высоту A_1H Н на основание ABCD.

=S_{ABCD}cdot A_1H

=frac{1}{3}S_{ABD}cdot A_1H

Пирамида в кубе

Диагональ основания делит его на два равных треугольника, следовательно, S_{ABD}=frac{1}{2}S_{ABCD}.

Имеем:

ABDA_1=frac{1}{3}S_{ABD}cdot A_1H=frac{1}{3}cdotfrac{1}{2}S_{ABCD}cdot A_1H=frac{1}{6}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=frac{1}{6}cdot21=3,5.

Ответ: 3,5

Задача 13. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а высота равна 6sqrt{3}.

Пирамида в кубе

Решение.
По формуле объема пирамиды, .

В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Его площадь равна S_{OCH}=frac{a^2sqrt{3}}{4}.

S_{OCH}=frac{8^2sqrt{3}}{4}=frac{64sqrt{3}}{4}=16sqrt{3}.

Объем пирамиды V=frac{1}{3}cdot16sqrt{3}cdot6sqrt{3}=16cdot6=96.

Ответ: 96

Задача 14. Через середины сторон двух соседних ребер основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем меньшей из частей, на которые эта плоскость делит призму, если объем призмы равен 32.

Пирамида в кубе

Решение.

По условию, призма правильная, значит, в ее основании лежит квадрат, а высота равна боковому ребру.

Пусть AD=x, тогда S_{OCH}=x^2.

Так как точки М и К – середины АD и DС соответственно, то DM=DK=frac{x}{2}.

S_{MDK}=frac{1}{2}MDcdot DK=frac{1}{2}cdotfrac{x}{2}cdotfrac{x}{2}=frac{1}{8}x^2.

Площадь треугольника MDK, лежащего в основании новой призмы, составляет frac{1}{8} часть площади квадрата в основании исходной призмы.
Высоты обеих призм одинаковые. Согласно формуле объема призмы: V=S_{OCH}cdot h, и значит, объем маленькой призмы в 8 раз меньше объема большой призмы. Он равен 32:8=4.

Ответ: 4

Докажем полезную теорему.

Теорема: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство:

Пирамида в кубе

Плоскость перпендикулярного сечения призмы перпендикулярна к боковым ребрам, поэтому стороны перпендикулярного сечения призмы являются высотами параллелограммов.

S=a_1l+a_2l+dots+a_nl,

S=(a_1+a_2+dots+a_n)l,

S=P_{perp}cdot l.

Больше задач на формулы объема и площади поверхности здесь.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур.

Произвольная призма

  • Sбок =Pсеч*l;
  • V = Sосн*H;
  • V=Sсеч*l;
  • Sполн= Sсеч + 2* Sосн;

Прямая призма

  • Sбок =P*H;
  • V = Sосн*H;
  • Sполн=Sсеч + 2*Sосн;
Прямоугольный параллелепипед

  • Sбок =P*H=2(a + b)c;
  • V = abc;
  • Sполн =2(ab + bc +ac);
  • d2 = a2 + b2 + c2;
Произвольная пирамида

  • Sполн =Sбок+Sосн;
  • V = frac{1}{3}V=31​ Sосн * H

Правильная пирамида

  • Sбок =frac{1}{2}P*h; 21​ P∗ h;
  • Sбок = Sосн : cos α;
  • Sполн = Sбок + Sосн ;
  • V = frac{1}{3}Sосн * HV=31​ Sосн∗ H
Произвольная усеченная пирамида

  • V=frac{H}{3}(S_1 + S_2 + sqrt{S_1S_2})V=3H​ (S1​ +S2​ +S1​ S2​ ​ )

Правильная усеченная пирамида

  • Sбок = frac{1}{2}(P_1 + P_2)21​ (P1​ +P2​ ), где P1 и Р2 — периметры оснований
  • Sполн = Sбок + S1 + S2, где S1 и S2 — площади оснований
Цилиндр

  • Sбок= 2 pi RH; 2π RH;
  • Sполн = Sбок + 2Sосн;
  • Sполн =2 pi R(R+H); 2π R(R+H);
  • V=pi R^{2}HV=π R2H
Куб

  • Если а — ребро куба, то V = a3;
  • Sполн =6a^2; d = asqrt{3}; =6a2; d=a3​;
Конус

  • Sбок= pi Rl; π Rl;
  • Sполн = Sбок + Sосн;
  • Sполн =pi R(R+l); π R(R+l);
  • V=frac{1}{3} pi R^{2}HV=31​ π R2H
Усеченный конус

  • Sбок=pi l(R+ r); π l(R+r);
  • Sполн = Sбок+ S_1 + S_2; +S1​ +S2​;
  • S_1 = pi R^2; S1​ =π R2;
  • S_2 = pi r^2; S2​ =π r2;
  • V = frac{pi H}{3}(R^2 + Rr + r^2)V=3π H​ (R2+Rr+r2)
Шаровая (или сферическая) поверхность

  • Sшара = 4pi R^2 = pi D^24π R2=π D2
  • Vшара= frac{4}{3}pi R^3 = frac{1}{6}pi D^334​ π R3=61​ π D3
Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Стереометрические задачи егэ по математике профиль 1 часть
  • Стереометрическая задача егэ профиль теория
  • Стиль егэ литература
  • Стереометрическая задача егэ профиль 2 часть
  • Стилистический анализ текста егэ 2023