Стереометрические задачи егэ как решать

Задание 13 Профильного ЕГЭ (Стереометрия) многие старшеклассники считают самой сложной задачей в варианте. И напрасно! Ничего особенного в ней нет. Просто начинать надо вовремя, лучше всего в десятом классе. И конечно, не с самых сложных задач. Действуем по порядку!

1. Подготовительный этап — решение задач по стереометрии из первой части ЕГЭ. Повторите формулы объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения. Посмотрите, как решаются типовые задачи.

2. Повторите необходимую теорию. Вот краткая Программа по стереометрии. Проверьте себя. Все ли вы знаете? В освоении стереометрии вам поможет наш ЕГЭ-Справочник.

3. Посмотрите, как правильно строить чертежи.

4. Выучили теорию? Применяем на практике — строим сечения.

5. Решаем простые задачи по стереометрии. И после этого — переходим к реальным задачам ЕГЭ.

6. Задачи 13 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из типов. Смотрите нашу Классификацию задач по стереометрии и методы их решения.

Вот примеры простых подготовительных задач по стереометрии:

1. Высота правильной треугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите расстояние от вершины основания до плоскости противолежащей ей боковой грани.

Посмотреть решение

2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра Найдите угол между прямой АG и плоскостью

Посмотреть решение

3. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости

Посмотреть решение

4. В основании прямой призмы лежит ромб. Найти угол между прямыми и

Посмотреть решение

5. Точка E — середина ребра куба Найдите угол между прямыми и

Посмотреть решение

6. В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны . Найдите расстояние между прямыми и

Посмотреть решение

7. Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

Посмотреть решение

А теперь — реальные задачи по стереометрии, встретившиеся выпускникам на Профильном ЕГЭ по математике.

8. Точки М и N — середины ребер соответственно АВ и СD треугольной пирамиды АВСD, О — точка пересечения медиан грани АВС.

а) Докажите, что прямая DO проходит через середину отрезка MN.

б) Найдите угол между прямыми MN и ВС, если АВСD — правильный тетраэдр.

Посмотреть решение

9. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка , причём — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что

а) Докажите, что угол между прямыми и равен

б)Найдите объём цилиндра.

Посмотреть решение

10. В основании призмы лежит правильный треугольник, вершина проецируется в центр Q основания АВС.

а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.

б) Найдите угол между прямой и плоскостью если боковое ребро призмы равно стороне основания.

Посмотреть решение

11. Сечением прямоугольного параллелепипеда плоскостью , содержащей прямую и параллельной прямой АС, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями и , если

Посмотреть решение

12. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки М и N соответственно, причем

Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.

Посмотреть решение

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 6, задача 14

7 лайфхаков для решения задач по стереометрии:

1. Задача по стереометрии не решается без хорошего чертежа! Чертеж строим по линейке, черной ручкой, на клетчатой бумаге, по правилам построения чертежей. На ЕГЭ можно и нужно пользоваться линейкой! А бланк будет в клеточку.

2. Все, что нужно, на чертеже должно быть хорошо видно! Если вам не понравился чертеж — не сидите над ним, бросьте и нарисуйте другой. Одного объемного чертежа будет недостаточно — понадобится один или несколько плоских.

3. Учимся записывать решение кратко. Вспомним основные обозначения

— точка M принадлежит плоскости АВС.

— прямые а и b пересекаются в точке О.

— прямые а и b параллельны.

— прямые а и b перпендикулярны.

4. Почти в каждой задаче по стереометрии встречаются «особенные треугольники»

Давайте вспомним:

— В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза в раз больше катета.

— В треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, а больший катет в раз больше меньшего.

5. Формула для площади прямоугольной проекции фигуры  помогает найти угол между плоскостями. Здесь — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

6. Метод объемов помогает найти расстояние от точки до плоскости. Надо выбрать треугольную пирамиду, записать ее объем двумя способами и найти из полученного уравнения нужное расстояние.

7. Сначала изучаем «классику». После этого, если время есть, можно браться и за координатный метод

Почему именно в таком порядке?

Конечно, координатный метод удобен. Однако большинство задач по стереометрии из вариантов ЕГЭ «заточены» под классику.

И если в решении задачи координатным методом вы сделаете арифметическую ошибку — можете потерять все баллы. Эксперт не будет разбираться, правильно ли вы посчитали определитель или смешанное произведение векторов. Потому что эти темы не входят в школьную программу, и составители «конструировали» задачи по стереометрии так, чтобы они решались обычными, «классическими» способами.

Как подготовиться к решению заданий ЕГЭ № 14 по стереометрии | 1С:Репетитор

Содержание

1.       Введение

2.       Критерии
оценивания  стереометрической  задачи №14

3.       Теоретический 
материал

4.      
Разбор задач  двумя методами: вычислительно- аналитическим и
векторно — координатным

5.       Практикум
по решению задач

6.       Задачи
для самостоятельного решения

7.       Справочный
материал

 

Введение.

Как показывают результаты
профильного экзамена по математике, задачи по геометрии — в числе самых сложных
для выпускников. Тем не менее, решить их, хотя бы частично, а значит заработать
дополнительные баллы к общему результату возможно. Для этого необходимо,
конечно, знать достаточно много о «поведении» геометрических фигур и уметь
применять эти знания для решения задач. 

Что нужно знать о задаче по стереометрии № 14
варианта КИМ ЕГЭ Эта задача обычно состоит из двух частей:

—     доказательной,
в которой вас попросят доказать некоторое утверждение для заданной конфигурации
геометрических тел;

-вычислительной, в которой нужно найти некоторую
величину, опираясь на то утверждение, которое вы доказали в первой части
задачи.

За решение данной задачи на
экзамене по математике в 2021 году можно получить максимум два первичных балла.
Допускается решить только «доказательную» или только «вычислительную» часть
задачи и заработать в этом случае один первичный балл.

В задачу № 14 традиционно
включается лишь несколько вопросов из всех возможных для стереометрических
задач:   

—     нахождение
расстояний в пространстве;   

—     нахождение
углов в пространстве;   

—     построение
сечения многогранников плоскостью;   

—    
нахождение площади этого сечения или объемов многогранников, на
которые эта плоскость поделила исходный многогранник.         Итак, что же
нужно выучить?   

—     Способы
задания плоскости в пространстве, взаимное расположение прямых и плоскостей в
пространстве.   

—     Определения,
признаки и свойства параллельных прямых и плоскостей в пространстве.   

—     Определения,
признаки и свойства перпендикулярных прямых и плоскостей в пространстве.

После того как вы повторили
теорию, можно приступать к рассмотрению методов решения задач. Для этого
необходимо применять  тренажеры с пошаговым решением задач, тесты для
самопроверки, интерактивные модели, позволяющие ученикам 10-х и 11-х классов
наглядно рассмотреть методы решения задач по стереометрии, в том числе на
примерах задач ЕГЭ 2020 года.

Лучше  решать задачи в такой последовательности:

1.     Углы
в пространстве (между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между
плоскостями);

2.     Расстояния
в пространстве (между двумя точками, между точкой и прямой, между точкой и
плоскостью, между скрещивающимися прямыми);

3.     Решение
многогранников, то есть нахождение углов между ребрами и гранями, расстояний
между ребрами, площадей поверхностей, объемов по заданным в условии задачи
элементам;

4.     Сечения
многогранников — методы построения сечений (например, метод следов) и
нахождения площадей сечений и объемов получившихся после построения сечения
многогранников (например, использование свойств перпендикулярной проекции и
метод объемов).

        Для всех указанных типов задач существуют
различные методы решения:

—     классический
(основанный на определениях и признаках); — метод проекций;

Теоретический материал

Нахождение расстояний:

1.
От точки до прямой

1   способ –
векторный

M1(x1, y1, z1) — произвольная точка пространства от
которой надо найти расстояние до прямой ℓ. Точка М0 (x0, y0, z0), произвольная
точка,

принадлежащая прямой ℓ, (a, b , c) — координаты
направляющего вектора прямой ℓ.

  (M1;l) _ (b(z1z0)c(y1y0))² (a(z1z0)c(x1x0))² (a(y1y0)b(x1x0))²

d

2   способ –
аналитический          a² b² c²

1.  Построим треугольник
из прямой и точки, т.е. соединим точку от которой ищем расстояние с любыми
двумя точками на прямой

2.  Ищем все стороны
полученного треугольника по формуле расстояний между двумя точками:

 d  (x1x2)² (y1y2)² (z1z2)²

3.  Затем с помощью
теоремы косинусов ищем косинус любого угла треугольника

4.  С помощью основного
тригонометрического тождества находим синус этого угла

5.  По формуле S=1/2ab
sina площадь этого треугольника

6.  Ищем высоту,
опщщенную из данной точки на данную прямую с помощью площади треугольника
S=1/2ah

Пример

В правильной 6-угольной призме АВСDEFА1В1С1D1E1Fстороны
основания которой равны 4, а боковые ребра равны 1, найти расстояние от точки В
до прямой F₁E_1.

 В

 В

Напишем
координаты направляющего вектора для прямой F1E1 (23;-2;0), пусть

Найдем расстояние по формуле:

                                 (2(01))² (2 3(01)0(x1x0))² (2 3(24)2(2 34 3))²                      784

d(В; F1E1)                                              (2
3)2 22 02                                                 Ответ: 7 16  7

2 способ:

Рассмотрим ∆BF1E1

BF1 = (4 3)² 1 
7 BE1= 641 65 cosB=   , тогда sinB=  

          S∆BF1E1=
 7                       14, зная площадь ∆BF1E1
находим высоту 14=1/2*4

*BH, где BH – высота, проведенная из вершины B, т.е.
расстояние от точки B до прямой F1E1.

BH=7

Ответ:7

Задача для самостоятельного решения:

В правильной 6-угольной призме
АВСDEFА1В1С1D1E1Fстороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 3,
найти расстояние от точки В до прямой С₁D_1. Ответ:  21.

2. от точки до плоскости

Пусть надо найти расстояние от точки Р(x1;y1;z1) до
плоскости Ax+By+Cz+D=0, где (А;В;С) – координаты нормали плоскости.

Формула нахождения расстояния между точкой и
плоскостью

_(P;_) _ | Ax1By1Cz1D | Сложность может возникнуть при написании
уравнения плоскости.

Составление уравнения плоскости сводится к решению системы из
трех неизвестных, состоящее из уравнений, полученных подстановкой в формулу
плоскости трех точек лежащих в плоскости.

Пример:

В правильной 3-угольной пирамиде сторона основания
равна 12см. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, если
двугранный угол при ребре основания равен π/3

А

C: 63A+6B+D=0,
A= ^B

3

S: 2 3A+6B+6C+D=0; С= ^2В

3

Напишем уравнение плоскости:

х  y  z 12  0

(P;) 
3см

Ответ:  3 см

Задача для самостоятельного решения

Длина ребра куба АС₁  равна 1. Найдите
расстояние от вершины В до плоскости АСД1

Ответ: d   

3. от прямой до плоскости и между плоскостями

Решение этих задач сводится к решению задачи на
нахождение расстояния от точки до плоскости. Надо взять точку, принадлежащую
прямой, а во втором случае — точку, принадлежащую одной из плоскостей и таким
образом находим расстояние от точки до плоскости.

4. между скрещивающимися прямыми

Наиболее общим способом
определения расстояния между скрещивающимися прямыми является применение
векторного метода. Отыскивается вектор, равный по длине общему перпендикуляру к
скрещивающимся прямым и перпендикулярный любому ненулевому вектору,
расположенному на каждой из этих прямых. Исходя из равенства нулю скалярного
произведения двух перпендикулярных векторов, мы получаем  систему уравнений,
позволяющую определить координаты отыскиваемого вектора.

Дан единичный куб ABCDA1B1С1D1. Точка М —
середина ребра ВВ₁.

Найдите расстояние между прямыми   АС₁ и DM.
 

Пусть точки Р и Q таковы, что отрезок PQ 
— общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым АС1 и DM. Тогда
PQ — вектор, который перпендикулярен векторам АС1 и DM Запишем
верное равенство:

PQ 
QM 
MB 
BA 
AP 
0

Из него получим, что PQ = MQ + BM + AB + РA

Вектор
QM коллинеарен
вектору DM, т. е. существует такое число а, чтоQM 
DM . 

DM (-1;1;1/2)

Следовательно, вектор MQ имеет координаты (a;-a;-1/2a)
Векторы ВМ (0;0;1/2) и АВ (0; 1; 0).

Вектор АР коллинеарен вектору AC1, т.
е, существует такое число β, что

AP

AC1 и следовательно, вектор РА
имеет координаты (-β;-β;-β).

Складывая четыре вектора, получим, что координатами
вектора PQ  будут числа 

(a—β;1-a—β;1/2-1/2a—β)

Величины а  и β определим из системы:

            PQ  AС1  0 ;                  0,5 31,⁵                    ;               ^
        PQ(
¹ ; ³ ;_ ^{4 )}

            PQ DM  0                         2,25
0,51,25                      _
                   26
26        26

PQ=

26

Ответ:  

26

Задачи для самостоятельного решения

В пирамиде DАВС  известны длины ребер  АВ = АС = DВ
= DС = 13см,  DA = 6см,  ВС = 24см.  Найдите расстояние между прямыми  DА и ВС.

Ответ:   4см

В правильном тетраэдре ABCD с
ребром, равным 1, точка М — середина ребра ВС, а точка N —
середина АВ. Найдите расстояние между прямыми CN и DM.  

2 35

Ответ: 

35

В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1, ребра которой равны l, найти расстояние между прямыми AB1 и
BС1 .

21

Ответ;

7

Нахождение углов

            1.      Между прямыми

Данная задача сводится к нахождению косинуса угла
между направляющими векторами этих прямых.

1.    
Берем две произвольные точки на прямых и из координаты одной
точки вычитаем координату другой точки на одной прямой – это и будет
направляющий вектор этой прямой. Также находим и направляющий вектор для второй
прямой.

2.    
Пусть a(x1; y1; z1)
и b(x2; y2; z2)
направляющие вектора прямых, тогда находим косинус угла между векторами через
скалярное произведение.

                    cos(_а;_в) _             | x1x2 
y1y2 
z1z2 |            

x1²  y1² 
z1² х2² 
y2²  z2²

Пример

В кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол
между прямыми AD1 и DE1 , где E – середина ребра CC1

А(1;0;0)

D1(0;0;1) AD1(1;0;1) D (0;0;0)

E (0; 1; 0,5)

ED(0;1;0,5))

Задачи для самостоятельного решения:

1. В
правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , ребра которой равны 1 , найти угол
между прямыми AС1 и B1С

Ответ: arccos

2.
В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF , стороны основания
которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти косинус угла между MB и AD .
Ответ: ¼

2. Между прямой и плоскостью

Данная задача сводится к нахождению косинуса угла
между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой.

Ax+By+Cz+D=0, где (А;В;С) – координаты нормали
плоскости., координаты направляющего вектора прямой a (x1; y1;z1)

Чтобы найти
координаты нормали надо написать уравнение плоскости по известным координатам
трех точек (смотри задачу на нахождение расстояния от точки до плоскости) |cos(n;a) |sin(плоск;прямой)=
| А
х1 В у1С  z1| A² 
B² C² x1²  y1² 
z1²

Задача: В
правильной четырехугольной пирамиде MABCD , все ребра которой равны 1, точка E  середина
ребра MC. Найти синус угла между прямой DE и плоскостью AMB . B (0;0;0): D=0

A (1;0;0): A=0

M (0,5; 0,5; ² ): ¹ _{В }
² _{С }
0, тогда В=
—

                                            2        2         2

Уравнение плоскости AMB:

—    
2СyCz  0

—    
2y 
z 
0 n(0; 2;1)

D   (1;1;0)

A

E    (1/4; ¾;
)

4

                                    2

ED(3/4;1/4;) 4

sin(ABM ; ED) 

Ответ:  

Задачи для самостоятельного решения:

1.
В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF, стороны основания
которой равны 1, а боковые ребра равны 4, найти синус угла между прямой BC и
плоскостью EMD

5

           Ответ:        

7

2. В правильной треугольной пирамиде
MABC с основанием ABC известны ребра AB=7 3 ,

MC = 25 . Найти угол, образованный плоскостью
основания и прямой, проходящей через середины ребер AM и BC .

Ответ: arctg ; arcsin

Между плоскостями

Данная задача сводится к нахождению косинуса угла
между нормалями к плоскостям.

A1x+B1y+C1z+D1=0, где (А1;В1;С1) – координаты
нормали одной плоскости.

A2x+B2y+C2z+D2=0, где (А2;В2;С2) – координаты
нормали второй плоскости.

Чтобы найти координаты нормали надо написать уравнение
плоскости по известным координатам трех точек (смотри задачу на нахождение
расстояния от точки до плоскости)

| cos(n1;n2) |cos(плоск1;плоск2)= | А1
A2  В1 B2 С1C2 | A1² 
B1² C1² A2²  B2² C2²

Задача

В кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плоскостями
сечений AB1C1D и CB1A1D.

Для удобства примем ребро куба за 1.

Напишем уравнение плоскости
AB1C1D:

А (1;0;0): А+D=0, A= -D

B1 (0;0;1): C+D=0, C= -D

D (1;1;0): A+B+D=0, B=0

-Dx-Dz+D=0

-1x-1z+1=0

Координаты нормали плоскости AB1C1D: n1(1;0;1)

Напишем уравнение плоскости CB1A1D:

С (0;1;0): B+D=0; B=-D

B1 (0;0;1): C+D=0; C=-D

A1 (1;0;1): A+C+D=0; A=0

-Dy-Dz+D=0

-1y-1z+1=0

Координаты нормали плоскости CB1A1D: n2(0;1;1)

     | cos(n1;n2) |cos(AB1C1D;CB1A1D)=
  |0(1)  0(1)  (1)(1)|           

(1)²

0² 
(1)² 0²

(1)²  (1)²

(AB1C1D;^CB1A1D)=60°

Ответ: (AB1C1D;^CB1A1D)=60°

Задачи для самостоятельного решения:

1.
В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным a, через точки M на реб- ре
BB1 и N на DD1 такие, что BM=3a/4 и DN=a/4 , параллельно AC проведена секущая
плоскость. Определить угол между секущей плоскостью и плоскостью ABC.

2 2 Ответ: 

3

2.
В правильной пирамиде MABCD ( M         вершина)
высота и сторона основания равны 4. Точка F        середина ребра MC .
Плоскость α проходит через середину ребра AM перпендикулярно прямой BF . Найти
угол между:

а) плоскостью α и плоскостью основания; б)
плоскостью α и прямой DM . Ответ: а) arccos;
б) 0

Разбор задач двумя методами:
вычислительно-аналитическим  и векторно-координатным.

1)
Задача на нахождение угла между двумя скрещивающимися прямыми.

•  Углом
между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов,
образованных при пересечении прямых.

•  0˚ < ∠(a;b)≤ 90˚ .

•  Углом
между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися
прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

•  Две прямые называются
перпендикулярными, если угол между ними равен 90˚ .

•  Угол
между параллельными прямыми считается равным нулю.

•  При нахождении угла
между прямыми используют:

|𝑏²+𝑐²−𝑎²|

1) формулу  cosφ  =   для нахождения углаφ 
между прямыми m и l , если

2𝑏𝑐

стороны а и b треугольника
АВС соответственно параллельны этим прямым; 2) формулу  cosφ  = ^{|𝑝̅ ∙ 𝑞̅|} 
или в координатной форме                 

|𝑝̅|·|𝑞̅| 𝑥₁+𝑦₁+𝑧₁   ·
      𝑥₂+𝑦₂+𝑧₂

для нахождения угла φ между прямыми m
и l , если векторы  𝑝̅(х₁;у₁;z₁)
и 𝑞̅(х₂;у₂;z₂)
параллельны соответственно этим прямым; в частности, для того чтобы прямые m
и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы 𝑝̅ ∙ 𝑞̅= 0 или
x₁·x₂ + y₁·y₂+z₁·z₂
= 0.

Пример.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁
найдите угол  между прямыми A₁D и D₁E
, где Е – середина  ребра CC₁ .

Решение.

1-й способ.   

 Пусть F – середина ребра  ВВ₁ ,
а –ребро куба, φ — искомый угол.

Так как A₁ F ǁ D₁
E  , то φ — угол при вершине  A₁ в треугольнике A₁FD.
Из треугольника BFD имеем

а2

.

косинусов

   и  φ = .

Ответ:  arccos . 

2-й способ.

Введем прямоугольную систему координат, как указано
на рисунке.

Не нарушая общности задачи, обозначим длину ребра
куба а. Тогда А₁(0; а; а), D(а; а; 0), D₁(а; а; а),  Е(а;
0; ^а ).

2

Найдём координаты направляющих векторов прямых A₁D
и D₁E

̅𝐴̅₁̅̅𝐷̅̅
= {а; 0; −а}, 𝐷̅̅₁̅̅𝐸̅ =
{0; −а; − ₂^а }.

Тогда 

а                 а² а

                                                                                                     сosφ
=                                                  =

                                                                                                                           √а                                                                                а√2
· ₂

.

               и  φ = .

Ответ:  arccos .

2) Задача на нахождение угла между прямой и
плоскостью. 

•                    
Углом         между        плоскостью         и        не
перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее
проекцией на данную плоскость.   0˚ < ∠(a;α
) < 90˚ .

•                    
Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен
90˚ .

•                    
Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол
между ними считается равным 0˚ .

   Угол между прямой l и плоскостью α можно
вычислить:

1)        
если этот угол удается включить в прямоугольный треугольник в
качестве одного из острых углов;

|𝑛̅ ∙ 𝑝̅|

2)        
по   формуле               sinφ   =                    или    в

|𝑛̅|·|𝑝̅| координатной
форме

sin φ =         |𝑥1∙𝑥2+𝑦1∙𝑦2+𝑧1∙𝑧2|         
, где

√𝑥12+𝑦12+𝑧12   ·
√𝑥22+𝑦22+𝑧22

𝑛̅(x₁
; y₁ ; z₁) — вектор нормали плоскости α
,

𝑝̅(x₂
; y₂ ; z₂) — направляющий вектор прямой
l;

• прямая l и плоскость α параллельны тогда и
только тогда, когда   x₁ x₂ + y₁ y₂
+ z₁ z₂ = 0 .

Пример.

В кубе ABCDA₁ B₁ C₁
D₁ точка Е – середина ребра  A₁ В₁
. Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью  ВDD₁
.

Решение.

1-й способ.

     Угол между прямой АЕ и плоскостью ВDD₁
будем искать как угол  между данной плоскостью и прямой DЕ₁,
параллельной прямой АЕ.

Из точки Е₁ опустим перпендикуляр Е₁Е₂
на прямую В₁D₁.

Искомый угол – это угол между прямыми DE₂
и DE₁.

Пусть сторона куба равна а. 

А.

Е₁Е₂ .

4

DE.

  .

Ответ: .

2-й способ. 

Введем прямоугольную систему координат, как указано
на рисунке.

Не нарушая общности задачи, обозначим длину ребра
куба а.

За вектор нормали плоскости ВDD₁ возьмем
вектор ̅𝐴𝐶̅̅̅̅ .
Найдём координаты нужных точек. а

А(0; 0; 0), Е(0;  ; а), С(а; а; 0).

2

Тогда 𝐴𝐸̅̅̅̅̅
= {0; ^а ; а}, 𝐴𝐶̅̅̅̅̅
= {а; а; 0}.

2

       а sin φ =         .

Ответ: .

3)  Задача на нахождение угла между двумя плоскостями.

 

•                    
Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется
величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла
плоскостью, перпендикулярной его ребру.

•                    
Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0˚ ;180˚ ).

•                    
Величина    угла   между         пересекающимися плоскостями
принадлежит промежутку (0˚ ;90˚ ].

•                    
Угол между         двумя          параллельными плоскостями
считается равным 0˚ .

Угол между пересекающимися плоскостями можно
вычислить:

1)   как угол между
прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения;

2)   как угол
треугольника, если удается включить линейный угол в некоторый треугольник;

3)   как угол между
перпендикулярными им прямыми;

4)   по формуле  

 

угла между плоскостью основания
призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно
прямой  BD₁, если расстояние между прямыми

AC и  B₁D₁ равно
5.

Решение.

 1-й способ.

    Решение этой задачи вычислительно-аналитическим
методом очень громоздкое и сложное, даже выполнить чертеж к этой задаче крайне
сложно, поэтому я его не привела, а методом координат эта задача решается легко
и просто.  

2-й способ.

   Легко видеть, что этот угол равен углу между
нормалями к этим плоскостям.

 Вектор ̅𝐴̅̅𝐴̅₁̅–
вектор нормали плоскости основания.

А вектором нормали плоскости, проходящей через
середину ребра АD перпендикулярно прямой ВD₁ будет вектор  ̅𝐵̅̅𝐷̅₁̅.

   Введем прямоугольную систему координат, как
указано на рисунке.

Найдём координаты нужных точек, т.е. точек А, А₁,
В, D₁. А (0; 0; 0), А₁(0; 0; 5), В(0; 12; 0),

 D; 0; 5).

Тогда   ̅𝐴̅̅𝐴̅.

 

Ответ:  .                                     

 Алгоритм
нахождения угла между скрещивающимися прямыми: 

1)  
мы ввели
прямоугольную систему координат,

2)  
нашли координаты
нужных точек, 

3)  
затем нашли
координаты направляющих векторов прямых и  4) вычислили косинус угла между
ними. 

     Следующий алгоритм несущественно
отличается от предыдущего. 

Алгоритм
нахождения угла между прямой и плоскостью.

Третьим шагом мы должны ввести
нормальный вектор к плоскости и найти его координаты, а затем вычислить синус
искомого угла. Он равен косинусу угла между направляющим вектором прямой и
вектором нормали  к плоскости. 

     При решении задачи на нахождение
угла между двумя плоскостями, необходимо найти координаты нормальных векторов к
заданным плоскостям и вычислить по формуле модуль косинуса угла между этими
векторами.

Практикум
по решению задач

В
правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 3, а боковые
ребра равны 4. На ребре AA₁  отмечена точка E так,
чтобы AE : EA₁1:3.

Найдите
угол между плоскостями ABC и BED₁

I способ

Прямая D₁E пересекает прямую AD в точке K. Плоскости ABC
и BED₁ пересекаются по прямой KB. Из точки E опустим перпендикуляр EM на прямую KB ,
тогда отрезок AM

(проекция EM ) перпендикулярен прямой KB. Угол AME является линейным углом двугранного
угла, образованного плоскостями ABC
и BED₁

Пусть  AME

Найдем  из прямоугольного AEM ( AE  AM )

AE

                            tg 

AM

По условию AA₁ 
4; AE : EA₁ 1: 3, то AE 1; Рассмотрим прямоугольные KD₁D и KEA.

KD₁D подобен KEA по общему острому углу D₁KD.

D1D  DK ;                 
4 
AK 3;             AK 1

                              AE       AK                      1        AK

Из прямоугольного KAB по теореме Пифагора вычислим гипотенузу KB

                     AM  
AB ; AM 
13           3          ; tg
1                              ;
tg 10 . Ответ: arctg 10

                                                BK                       10        10                             3                              3

II способ.

Воспользуемся утверждением: площадь
ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади
этого многоугольника на косинус угла между плоскостями многоугольника и его
проекцией.

ABD является ортогональной проекцией BED₁ на плоскость ABC.

S_ABD 
S_BED1 cos, где угол между ABD и BED₁

ABD прямоугольный ( AD  AB );S_ABD   
AD 
AB 
 33   

Найдем S_BED1

Из прямоугольного AEB :  BE 
AE² 
AB² 
1² 
3² 
10

Из прямоугольного EA₁D₁

1

                             По теореме косинусов  вычислим cosE из BED₁: cosE  18^10 ^
34       3   

                                                                                                                                                                     2 18  10         180


arccos

10 Заметим, что если cos, то tg. Ответ: arccos

3

III способ.

Применим векторно-координатный метод,
который позволяет свести решение задачи к задаче о нахождении угла между
векторами нормалей данных плоскостей. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный
плоскости – ее вектор нормали. 

Каждое уравнение первой степени pxqyrzd  0 при условии p² q² r² 0 задает в прямоугольной системе
координат единственную плоскость, для которой вектор

np;q;z является вектором нормали.

Задачу о нахождении угла между
плоскостями  и , заданными уравнениями p₁x  q₁y 
r₁z  d₁ 
0   и    p₂x  q₂y  r₂z  d₂ 
0  соответственно,
удобнее свести к

задаче о нахождении угла между
векторами их нормалей n₁p₁;q₁;r₁; n₂p₂;q₂;r₂,

r r

используя формулу   cos 
n¹ n²    p¹p^{2 }
q¹q^{2 }
r¹r²                   , где  угол между n1  n2  p₁2

q₁2  r₁2  p₂2  q₂2  r₂2

плоскостями   и .

В задачах на вычисление угла между
пересекающимися плоскостями в общем случае уравнение плоскости находить не
требуется. Координаты вектора нормали можно вывести, если известны координаты
трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой. Для этого

находим координаты двух векторов плоскости aa₁;a₂;a₃; bb₁;b₂;b₃

Предположим, что вектор  с
координатами np;q;r (здесь p,q,r неизвестные числа,

которые нужно найти) перпендикулярен любому вектору плоскости
, т.е a и b
в том числе.

Его координаты ищутся из условий
равенства нулю скалярных произведений n с векторами a

                                                                                                     n a 
0,   a¹p  a²q  a³r  0,

            и b из следующей системы
уравнений                    _                                

                                                                                                     _n b  0;   _b₁p  b₂q  b₃r  0.

Эта система имеет бесконечное
множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости , бесконечно много. Выразив, например, из системы
координаты p и q через r, выберем ненулевой вектор np(r);q(r);r, взяв в качестве r какоенибудь число (обычно берут так, чтобы в
координатах не было дробей или радикалов). Итак, введем прямоугольную систему
координат с началом в точке D.

 

B(3;3;0);   E(3;0;1);   D₁(0;0;4)

BD₁ 3;3;4

BE0;3;1

Пусть n₁p;q;r вектор нормали к плоскости BED₁

n 
BE 
0



_n 
BD₁ 
0

                        p0  q(3)  r 1  0,           
3q 
r 
0,

                           ^{                                                    }                              

                       _p(3)  q (3)  r  4  0;    _
3p 
3q 
4r 
0;

r
3q;    p
3q n₁3q;q;3q

Пусть q1, то n₁3;1;3.

Вектор нормали (вектор,
перпендикулярный плоскости ABC )

n₂0;0;1

                            cos_          30 10  31         _    3  

                                                    32 12 
32 02 
02 12                      19


arccos

Ответ: arccos

1. Задание 14 № 513098

В     основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит
прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины
боковых рёбер а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

2. Задания Д7 C2 № 514066 Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.  

а) Докажите, что каждая из плоскостей BDA₁
и B₁D₁С перпендикулярна прямой

 AC₁. 

б) Найдите объем части куба, заключенной между
плоскостями BDA₁ и B₁D₁C,

если известно,         что    отрезок
      диагонали AC₁,    заключенный    между         этими
плоскостями, имеет длину      

3. Задание 14 № 514245

В правильной четырёхугольной
пирамиде SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC
взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA = AQ =
RC = 2.

а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна
ребру SD.

б) Найдите расстояние от вершины D до
плоскости PQR.

4. Задание 14 № 514447 В правильной треугольной призме АВСА′B′C′
сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА′равно 3. На
ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки М
и L —       середины    рёбер А′С′ и В′С′соответственно.         Плоскость
γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна
плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости
γ.

5. Задания Д7 C2 № 514887

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁
лежит ромб с диагоналями АС = 8 и ВD = 6. Боковое      ребро BB₁
равно 12. На  ребре BB₁ отмечена точка M так, что BM
: B₁M = 1 : 7.

а) Докажите, что прямая MD перпендикулярна
плоскости АСD₁. 

б) Найдите объем пирамиды MACD₁.

6. Задание 14 № 520938

В     цилиндре    образующая         перпендикулярна          плоскости
   основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А
и В, а на окружности другого основания — точки В₁ и С₁,
причем ВВ₁ — образующая цилиндра, а отрезок АС₁
пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС₁ прямой.

б)     Найдите      площадь     боковой
     поверхности         цилиндра, если AB = 20, BB₁ =
15, B₁C₁ = 21.

7. Задание 14 № 521005 В         цилиндре    образующая    перпендикулярна
         плоскости   основания. На окружности одного из оснований цилиндра
выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания
— точка C₁ причёмCC₁ — образующая цилиндра,
а AC — диаметр основания. Известно, что   

                    а) Докажите, что угол между
прямыми BC и AC₁ равен        

б) Найдите расстояние от точки B до AC₁.

8. Задания Д7 C2 № 521479

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁
АВ = ВС = 4, СС₁ = 8. Точка К — середина
ребраАВ, точка М — середина ребра ВС. Точка Р лежит
на ребре DD₁ так, что DP : PD₁ = 3 :
5.

а) Докажите, что плоскость КМР перпендикулярна
прямой DВ₁.

б) Найдите объем пирамиды, основанием которой
является сечение

параллелепипеда плоскостьюКМР, а вершиной —
точка D.

9. Задания Д7 C2 № 521686

Основанием пирамиды FABCD является квадрат ABCD.
На ребре AF взята точка Е такая, что отрезок СЕ
перпендикулярен ребру AF. Проекция О точки Е на основание пирамиды
  лежит          на      отрезкеАС и         делит          его    в
отношении AO : OC = 4 : 1. Угол ADF равен 90°.

а) Докажите, что ребро FC перпендикулярно
плоскости основания пирамиды.

б) Найдите разность объемов
пирамид FABCD и EABD, если известно, что АВ = 1.

10. Задания Д7 C2 № 521693

Сторона основания правильной
треугольной призмы ABCA₁B₁C₁
равна  а высота СС₁ равна 7,5. На ребре B₁C₁
отмечена точка Р так, что B₁P:PC₁
= 1 : 3. Точки Q и М являются серединами сторонАВ и A₁C₁
соответственно.

Плоскость α параллельна прямой АС и
проходит через точки Р и Q.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна
плоскости α.

б) Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

11. Задания Д7 C2 № 521751

Основанием четырехугольной
пирамиды SABCD является квадрат ABCD со стороной АВ = 4.
Боковое ребро SC, равное 4, перпендикулярно основанию пирамиды.
Плоскость α, проходящая через вершину С параллельно прямой BD,
пересекает ребро SA в точке М, причем SM : MA = 1 : 2.

а) Докажите, что SA перпендикулярно α.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD
плоскостью α.

12. Задания Д6 C2 № 527387

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁
сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA₁равно
3. На ребрах AB и B₁C₁ отмечены
точки K и L соответственно, причём AK = B₁L
= 2. Точка M — середина ребра A₁C₁.
Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна
плоскости γ.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M,
а основание —

сечение данной призмы плоскостью γ.

Справочный материал