Стереометрия куб егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.

Свойства куба:

1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.

2. Противоположные грани попарно параллельны.

3. Все двугранные углы куба – прямые.

4. Диагонали равны.

5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра

$B_1D=AB√3$

7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.

$DC_1=DC√2$

Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:

Объем куба: $V=a^3={d^3}/{3√3}$.

Площадь полной поверхности: $S_{п.п}=6а^2=2d^2$

Радиус сферы, описанной около куба: $R={a√3}/{2}$

Радиус сферы, вписанной в куб: $r={a}/{2}$

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$а$-длина;

$b$-ширина;

$с$-высота(она же боковое ребро);

$P_{осн}$-периметр основания;

$S_{осн}$-площадь основания;

$S_{п.п}$-площадь полной поверхности;

$V$-объем.

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_{п.п}=2(ab+bc+ac)$.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

$SO$ — высота.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$ — высота боковой грани (апофема)

$S_{бок}={P_{осн}·h_a}/{2}$

$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$

$V={1}/{3}S_{осн}·h$

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
Найти объем каждого параллелепипеда.
Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Источник

Каталог заданий.
Куб

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 2 № 27055

Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

Аналоги к заданию № 5041: 27055 72585 72539 72541 72543 72545 72547 72549 72551 72553 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность

Классификатор стереометрии: Площадь поверхности куба

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 2 № 27056

Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Аналоги к заданию № 27056: 5043 72587 72589 72591 72593 72595 72597 72599 Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.3.2 Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде, 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы

Классификатор стереометрии: Площадь поверхности куба

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 2 № 27061

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

Аналоги к заданию № 27061: 5053 72865 520184 520203 27145 72823 72825 72827 72829 72831 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.3.2 Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде

Классификатор стереометрии: Площадь поверхности куба

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 2 № 27081

Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

Аналоги к заданию № 27081: 73627 500957 73629 73631 73633 73635 73637 73639 Все

Классификатор планиметрии: Отношение длин, площадей, объемов подобных фигур

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 2 № 27098

Диагональ куба равна Найдите его объем.

Аналоги к заданию № 27098: 74417 74419 74429 505446 74421 74423 74425 74427 Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Куб»

Куб – это прямоугольный параллелепипед, все грани которого – равные квадраты.

Следовательно:

(blacktriangleright) для объема куба верна следующая формула (где (a) – ребро куба): [{Large{V=a^3}}] (blacktriangleright) диагональ куба ({Large{d^{,2}=3a^2}})
(blacktriangleright) площадь поверхности куба равна сумме площадей шести одинаковых квадратов, т.е. ({Large{S_{text{пов.куб}}=6a^2}})

Задание
1

#1874

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан куб (ABCDA_1B_1C_1D_1). Точка (B_2) лежит на продолжении ребра (BB_1) за точку (B_1), (BB_2 = 2cdot BB_1). Во сколько раз объем куба отличается от объема пирамиды (B_2ABCD)?

Отрезок (BB_2) является высотой пирамиды. Если сторону куба обозначить за (x), то (BB_2 = 2x) (Rightarrow) [displaystyle V_{text{пир.}} = frac{1}{3}cdot BB_2 cdot S_{ABCD} = frac{1}{3}cdot 2x cdot x^2 = frac{2}{3}cdot x^3,,,,, V_{text{куб}} = x^3.] Теперь найдем искомую величину: [displaystyle frac{V_{text{куб}}}{V_{text{пир.}}} = frac{x^3}{frac{2}{3}cdot x^3} = 1,5.]

Ответ: 1,5

Задание
2

#960

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

(ABCDA_1B_1C_1D_1) – куб с длиной ребра равной (sqrt[4]{17}). Точка (M) лежит на ребре (DD_1) так, что (MD_1 = 3MD). Найдите площадь сечения куба, проведённого через точку (M) и ребро (AB).

Пусть (N) – точка на (CC_1), такая что (NC_1 = 3NC), тогда (MNparallel CDparallel AB), следовательно, сечение, проходящее через точку (M) и ребро (AB) – четырёхугольник (AMNB), причём ((AA_1D_1D) bot MN), следовательно, (AM bot MN). Аналогично (MNbot BNbot AB), то есть (AMNB) – прямоугольник. [S_{AMNB} = AMcdot MN = AMcdot sqrt[4]{17}.] Найдём (AM) по теореме Пифагора: [AM = sqrt{AD^2 + MD^2} = sqrt{AD^2 + (0,25AD)^2} = sqrt{dfrac{17}{16}AD^2} = dfrac{sqrt{17}}{4}AD = dfrac{sqrt[4]{17^3}}{4}.] Тогда (S_{AMNB} = dfrac{sqrt[4]{17^3}}{4} cdot sqrt[4]{17} = dfrac{17}{4} = 4,25).

Ответ: 4,25

Задание
3

#1873

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В кубе (ABCDA_1B_1C_1D_1) точки (A_2) и (B_2) – середины соответственно сторон (AA_1) и (BB_1). Найдите площадь поверхности фигуры (ABCDA_2B_2C_1D_1), если ребро куба равно (sqrt{32 — 4sqrt5}).

Площадь поверхности фигуры (ABCDA_2B_2C_1D_1) состоит из суммы следующих площадей: [S_{text{пов.}} = S_{AA_2D_1D} + S_{BB_2C_1C} + S_{DD_1C_1C} + S_{AA_2B_2B} + S_{ABCD} + S_{A_2B_2C_1D_1}.] Обозначим ребро куба за (2x), тогда (AA_2 = BB_2 = x). (AA_2D_1D) и (BB_2C_1C) – равные прямоугольные трапеции, площадь которых равна [displaystyle S_{AA_2D_1D} = S_{BB_2C_1C} = frac{1}{2}cdot(AA_2 + DD_1)cdot AD = frac{(x + 2x)cdot2x}{2} = 3x^2.] Также найдем площади остальных граней: (S_{DD_1C_1C} = 4x^2), (S_{AA_2B_2B} = 2x^2), (S_{ABCD} = 4x^2); для того чтобы найти площадь грани (A_2B_2C_1D_1) нам понадобится сначала найти сторону (A_2D_1). Найдем ее, используя теорему Пифагора в треугольнике (triangle A_2A_1D_1): [A_2D_1^2 = A_2A_1^2 + A_1D_1^2 = x^2 + 4x^2 = 5x^2] (Rightarrow) (A_2D_1 = sqrt5x). Тогда (S_{A_2B_2C_1D_1} = A_2B_2cdot A_2D_1 = 2sqrt5x^2). Теперь сложим все площади граней искомой фигуры: [S_{text{пов.}} = 3x^2 + 3x^2 + 4x^2 + 2x^2 + 4x^2 + 2sqrt5x^2 = (16 + 2sqrt5)cdot x^2.] По условию задачи имеем: (2x = sqrt{32 — 4sqrt5} = 2cdotsqrt{8 — sqrt5}) (Rightarrow) (x = sqrt{8 — sqrt5}). Подставим в формулу площади и получим окончательный результат: [S_{text{пов.}} = (16 + 2sqrt5)cdotleft(sqrt{8 — sqrt5}right)^2 = 2cdot(8 + sqrt5)cdot(8 — sqrt5) = 2cdot59 = 118.]

Ответ: 118

Задание
4

#961

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Анатолий грабит банк. Слитки золота имеют форму прямоугольных параллелепипедов с измерениями (4times 4times 2). Сумка, которая есть у Анатолия, имеет форму куба с ребром длины (6). Анатолию нужно уложить как можно больше слитков в сумку так, чтобы она закрылась и с ней можно было выйти, не привлекая к ней внимания. Сколько слитков сможет вынести Анатолий, если будет действовать разумно?

Сначала заметим, что ответ не изменится, если уменьшить масштаб в два раза по каждому направлению. При этом сумка станет кубом с ребром (3), а слитки золота станут прямоугольными параллелепипедами с измерениями (2times 2times 1).

Оценим возможное количество слитков сверху: так как объём сумки равен (3^3 = 27), а объём слитка равен (2cdot 2cdot 1 = 4), то более (6) слитков в сумку не войдут. Но могут ли войти в неё 6?

Назовём слиток горизонтальным, если две его грани параллельны дну сумки так, что его высота равна 1. В противном случае назовём слиток вертикальным. Мысленно “расслоим”( )сумку на 3 одинаковых горизонтальных слоя.

Каждый вертикальный слиток занимает в среднем слое по 2 соседних кубика с ребром 1. Средний слой состоит из 9 таких кубиков, следовательно, вертикальных слитков в сумку входит не более 4. При этом горизонтальных слитков в сумку входит не более 3 (в каждый слой входит не более одного горизонтального слитка).

В случае, когда горизонтальных слитков ровно 3, получим, что в среднем слое 4 кубика из 9 заняты горизонтальным слитком, то есть в среднем слое остаётся (9 — 4 = 5) кубиков, но каждый вертикальный слиток должен занимать в среднем слое по 2 кубика, тогда получаем, что вертикальных слитков при этом не более 2 и всего слитков при трёх горизонтальных (leq 2 + 3 = 5).

Таким образом, последний шанс Анатолия унести 6 слитков – это 4 вертикальных слитка и 2 горизонтальных. Возможно ли это? Понятно, что для этого необходимо, чтобы горизонтальные слитки лежали в нижнем и верхнем слоях, но верхний слиток не должен “полностью нависать”( )над нижним. Тогда остаётся всего 2 принципиально различных способа уложить горизонтальные слитки в верхнем и нижнем слоях относительно друг друга.

При этом один из них позволяет уложить 6 слитков. Чтобы наглядно проиллюстрировать его сначала поместим в сумку только вертикальные слитки и покажем вид сверху:

здесь голубым отмечены все те вертикальные слитки, которые стоят на дне сумки. Тогда на дно можно подложить ещё 1 горизонтальный слиток под те вертикальные, которые не стоят на дне сумки. Аналогично, в верхний слой можно подложить 1 горизонтальный слиток.

Итого: при разумном подходе Анатолий может вынести 6 слитков.

Ответ: 6

Подготовка к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения полной теории и базовых формул, в том числе и тех, с помощью которых можно найти площадь куба. И хотя эта тема достаточно подробно рассматривается преподавателями в рамках школьной программы, многим старшеклассникам требуется освежить в памяти основной материал.

Поняв, как найти объем куба и других параметров и отлично усвоив алгоритм решения таких задач, учащиеся смогут получить достаточно высокие баллы по итогам сдачи ЕГЭ.

Основные моменты

Чтобы вопрос, как вычислить объем куба, не ставил ученика в тупик, рекомендуем вспомнить основные свойства этой фигуры.

Так как куб представляет собой прямоугольный параллелепипед, все шесть граней которого равны между собой, последние являются квадратами.
Все двугранные углы многогранника прямые.
Противоположные грани куба попарно параллельны.
Диагональ грани многогранника в √3 раза больше длины ребра.
Если все линейные размеры сторон куба увеличиваются в k раз, то площадь его поверхности увеличивается в k2 раз.

Готовьтесь к единому госэкзамену качественно и эффективно вместе с образовательным проектом «Школково»

Занимаясь накануне прохождения аттестационного испытания, многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска базовой информации. Далеко не всегда школьный учебник оказывается под рукой. А на поиск подходящих формул для решения задач по теме «Куб» зачастую уходит большое количество времени.

Регулярные занятия на образовательном сайте «Школково» помогут учащимся избежать типовых ошибок при прохождении аттестационного испытания. Мы предлагаем выстроить процесс подготовки к экзамену по-новому, переходя от простого к сложному. Это позволит учащимся определить непонятные для себя темы и ликвидировать пробелы в знаниях.

Весь базовый материал представлен в разделе «Теоретическая справка». Основные понятия и формулы собраны и изложены нашими специалистами в максимально доступной форме.

Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также потренироваться в выполнении задач по темам «Куб», ”Прямоугольный параллелепипед”. Большая подборка упражнений различной степени сложности представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. База упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.

В случае необходимости любое из представленных заданий можно сохранить в «Избранное». Это позволит в дальнейшем быстро его найти и обсудить алгоритм нахождения правильного ответа с преподавателем в школе или репетитором.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину диагонали

Решение: + показать

Задача 2. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер Найдите синус угла между прямыми и

Решение: + показать

Задача 4. Площадь поверхности куба равна Найдите его диагональ.

Решение: + показать

Задача 5. Объем куба равен Найдите площадь его поверхности.

Решение: + показать

Задача 6. Диагональ куба равна . Найдите его объем.

Решение: + показать

Задача 6. Объем куба равна . Найдите его диагональ.

Решение: + показать

Задача 7. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в десять раз?

Решение: + показать

Задача 8. Если каждое ребро куба увеличить на , то его площадь поверхности увеличится на Найдите ребро куба.

Решение: + показать

Задача 9. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в раза?

Решение: + показать

Задача 10. Объем одного куба в раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Решение: + показать

Задача 11. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны и Площадь поверхности этого параллелепипеда равна Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Решение: + показать

Задача 12. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны и Найдите ребро равновеликого ему куба.

Решение: + показать

Задача 13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны и Диагональ параллелепипеда равна Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

Задача 14. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна Ребро, перпендикулярное этой грани, равно Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

Задача 15. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки и

Решение: + показать

Задача 16. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы $30^{circ}$ , $30^{circ}$ и $45^{circ}$ с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

Задача 17. В прямоугольном параллелепипеде ребро , ребро , ребро . Точка — середина ребра Найдите площадь сечения, проходящего через точки .

Решение: + показать

Задача 18. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна и образует с плоскостью этой грани угол °. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

Задача 19. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда у которого

Решение: + показать

Задача 20. Найдите объем параллелепипеда , если объем треугольной пирамиды равен

Решение: + показать

Задача 21. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда у которого

Решение: + показать

Задача 22. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда у которого

Решение: + показать

Задача 23. Объем параллелепипеда равен Найдите объем треугольной пирамиды

Решение: + показать

Задача 24. В кубе точка — середина ребра , точка — середина ребра , точка — середина ребра Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Вы можете пройти тест

Источник

Задание 1070

Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

Ответ: 3

Задание 1071

Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Ответ: 24

Задание 1072

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

Ответ: 4

Задание 1073

Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

Ответ: 27

Задание 1074

Диагональ куба равна $$sqrt{12}$$. Найдите его объем.

Ответ: 8

Задание 1075

Объем куба равен $$24sqrt{3}$$ . Найдите его диагональ.

Ответ: 6

Задание 1076

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

Ответ: 2

Задание 1077

Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?

Ответ: 9

Задание 1078

Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.

Ответ: 2

Задание 1079

Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.

Ответ: 8

Задание 1080

Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Ответ: 4

Задание 1081

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K — середина ребра AA₁ , точка L — середина ребра A₁B₁ , точка M — середина ребра A₁D₁ . Найдите угол MLK . Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60

Задание 3324

Ребро куба равно $$sqrt{6}$$. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали.

Ответ: 2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Введем обозначение, как показано на рисунке

Из прямоугольного треугольника B₁C₁D₁: $$B_{1}D_{1} = sqrt{B_{1}C_{1}^{2}+C_{1}D_{1}^{2}}=sqrt{6+6}=sqrt{12}$$

Из прямогольного треугольника B₁D₁D: $$B_{1}D=sqrt{B_{1}D_{1}^{2}+DD_{1}^{2}}=sqrt{12+6}=sqrt{18}$$

Высоту в прямоугольном треугольнике можно вычислить как отношение произведения длин катетов и длины гипотенузы:

$$D_{1}H=frac{D_{1}D*D_{1}B_{1}}{B_{1}D}=frac{sqrt{12}sqrt{6}}{sqrt{18}}=sqrt{4}=2$$

Задание 6035

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми ВА₁ и АС. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)$$A_{1}Bleft | right |D_{1}CRightarrow$$ угол между BA_{1} и AC такой же, как между $$D_{1}C$$ и AC 2)Рассмотрим $$Delta ADC:AD_{1}=D_{1}C=AC$$(диагонали граней куба)$$Rightarrow$$ все углы по 90 градусов

Задание 6610

Объём куба равен 12. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Ответ: 1,5

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S_{C_{1}M_{1}N_{1}}=frac{1}{2}*frac{1}{2}B_{1}C_{1}*frac{1}{2}C_{1}D_{1}=frac{1}{8}S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}$$

$$frac{V_{MNCM_{1}N_{1}C_{1}}}{V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=frac{S_{M_{1}N_{1}C_{1}}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=frac{1}{8}$$

$$V_{MNCM_{1}N_{1}C_{1}}=frac{1}{8}V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=frac{1}{8}*12=1,5$$

Источник

Куб — правильный прямоугольник, все стороны которого являются квадратами.

Обозначения

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб
$a$ — длина стороны куба
$S_{text{бок.}}$ — площадь грани куба
$V_{text{куба}}$ — объем куба

Объем куба

Объем куба считается по всем известной формуле $$ V_{text{куба}}=a^3 $$

Находим DB

В треугольнике $ADB$:

$AD=AB=a$
$angle DAB=90^{circ}$ — потому что все стороны куба являются квадратами

Так как треугольник $ADB$ прямоугольный, по теореме Пифагора $$ DB=sqrt{a^2+a^2}=sqrt{2}cdot a $$ Аналогичным образом, приходим к заключению, что длина всех диагоналей граней куба равна $sqrt{2}cdot a$.

Находим $DB_1$

В треугольнике $DBB_1$:

$BB_1=a$
$DB=sqrt{2}cdot a$ — как мы только что выяснили
$angle DBB_1=90^{circ}$ — потому что прямая $BB_1$ параллельна плоскости $ABC$

Так как треугольник $DBB_1$ прямоугольный, по теореме Пифагора $$ DB_1=sqrt{a^2+2a^2}=sqrt{3}cdot a $$ Аналогичным образом, приходим к заключению, что длина всех диагоналей куба равна $sqrt{3}cdot a$.

Находим $AO$

Как мы выяснили ранее, $AC=sqrt{2}cdot a$. Точка $O$ делит $AC$ пополам, поэтому $$ AO=frac{AC}{2}=frac{sqrt{2}}{2}cdot a $$

Находим $A_1O$

В треугольнике $AA_1O$:

$AA_1=a$
$AO=frac{sqrt{2}}{2}cdot a$ — как мы только что выяснили
$angle A_1AO=90^{circ}$ — потому что прямая $AA_1$ параллельна плоскости $ABC$

Так как треугольник $AA_1O$ прямоугольный, по теореме Пифагора $$ A_1O=sqrt{a^2+frac{2}{4}cdot a^2}=frac{sqrt{6}}{2}cdot a $$

Находим $BF$

Пусть F является серединой стороны B_1C_1. Тогда $B_1F=frac{a}{2}$. Из прямоугольного треугольника $BFB_1$ $$ BF=sqrt{frac{a^2}{4}+a^2}=frac{sqrt{5}cdot a}{2} $$

Категория:

ЕГЭ по математике

Источник

Скачать материал

Сейчас обучается 234 человека из 62 регионов

Сейчас обучается 78 человек из 34 регионов

Сейчас обучается 138 человек из 45 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Решу ЕГЭ: стереометрия, куб (профиль)
ТП«Анимированная сорбонка с удалением»
Автор: Иванова Нина Николаевна,
учитель математики
МОУ «СОШ» с. Большелуг
Корткеросский район
Республика Коми
2 слайд

Реши задачу и напиши ответ
Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.
Площадь поверхности куба выражается через его ребро a, формулой S=6a2
а объем — формулой V=a3 Поэтому a3 =8, откуда а=2, S=6•2 2 = 24
1
3 слайд

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.
Площадь поверхности куба выражается через его ребро a, формулой S=6a2 ,поэтому при увеличении длины ребра на 1 площадь увеличится на 6(а+1)2 — 6a2 =12а+6=54. Отсюда находим, что ребро куба равно а=(54-6):4=12
2
Реши задачу и напиши ответ
4 слайд

Реши задачу и напиши ответ
Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?
Объем куба с ребром а равен V=a3
Если ребра увеличить в 3 раза, то объем куба увеличится в 33
раз, то есть в 27 раз
3
5 слайд

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.
Объем куба с ребром а равен
V=a 3 Увеличение объема равно 19: (a+1)3 — a3 =3a2+3a+1=19
3a2+3a+1=19
a2+a+6=0
a=-3, a=2 Тем самым, a=2

4
Реши задачу и напиши ответ
6 слайд

Реши задачу и напиши ответ
Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?
Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому один из кубов в 2 раза больше другого. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому их отношение равно 4.

5
7 слайд

Объем одного куба в 729 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?
Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 9. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому их отношение равно 81.
6
Реши задачу и напиши ответ
8 слайд

Реши задачу и напиши ответ
Объем одного куба в 125 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 5. Площади поверхности подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь поверхности большего куба в 25 раз больше площади поверхности меньшего куба.
7
9 слайд

Источники:
https://www.proza.ru/pics/2018/01/02/1273.jpg
https://pbs.twimg.com/profile_images/803298673274880000/DVNYOQeM.jpg
http://raivatala2008.narod.ru/images/GIA.jpg
https://www.tyuiu.ru/wp-content/uploads/2016/02/1391685511_011-1024×734.jpg
https://biblionika.info/uploads/posts/2018-09/1536611724_456.png
https://images.theabcdn.com/i/29175531

Шаблон авторский
Автора технологического приема Г.О.Аствацатурова http://didaktor.ru/kak-sdelat-sorbonku-bolee-interaktivnoj
МК №2 Создание анимированной сорбонки с удалением
« Решу ЕГЭ»: математика. ЕГЭ-2019:задания,ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина https://math-ege.sdamgia.ru/test?pid=76433

Краткое описание документа:

Тренажёр «Решу ЕГЭ: стереометрия, куб»(профиль) предназначен в помощь учителям по организации заинтересованности повторения к занятиям по данной теме при подготовке к итоговой аттестации. Работу можно применить при проведении урока по математике, систематизации, закреплении и проверке знаний учащихся.

В презентации использован технологический прием Г.О.Аствацатурова «Анимированные сорбонки с удалением». Для того, чтобы получить решение, надо нажать на сорбонку. Рассмотрены 5 задач с их решения.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 156 523 материала в базе

Выберите категорию:
Выберите учебник и тему

Выберите класс:
Тип материала:
- Все материалы
- Статьи
- Научные работы
- Видеоуроки
- Презентации
- Конспекты
- Тесты
- Рабочие программы
- Другие методич. материалы

Найти материалы

Материал подходит для УМК

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Подростковый возраст — важнейшая фаза становления личности»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Маркетинг: теория и методика обучения в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Введение в сетевые технологии»
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС педагогических направлений подготовки»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс повышения квалификации «Психодинамический подход в консультировании»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Учебная деятельность по предметной области «Черчение»: основы предмета и реализация обучения в условиях ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Управление качеством»

Источник