Стереометрия прямоугольный параллелепипед егэ


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

2

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

3

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите его площадь поверхности.

4

Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

5

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

  1. В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
  2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
  3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
  4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
  5. Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
  6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
  7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
  8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$а$ — длина;

$b$ — ширина;

$с$ — высота(она же боковое ребро);

$P_{осн}$ — периметр основания;

$S_{осн}$ — площадь основания;

$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;

$V$ — объем.

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_{бок}=P_{осн}·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

$S_{п.п}=2(ab+bc+ac).$

Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:

Куб

$а$ — длина стороны.

$V=a^3;$

$S_{бок}=4а^2;$

$S_{п.п}=6а^2;$

$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.

$V={1}/{3}S_{осн}·h$

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

Площадь треугольника.

  • $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.
  • $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
  • Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$.
  • $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
  • $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности.
  • Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
  • Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны. 

В основании лежит четырехугольник.

  1. Прямоугольник.
    $S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
  2. Ромб.
    $S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.
    $S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
  3. Трапеция.
    $S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
  4. Квадрат.
    $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Пример:

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $C, A_1, B_1, C_1, D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=8, AD=12, AA_1=4$.

Решение:

Изобразим прямоугольный параллелепипед и на нем отметим вершины многогранника $C, A_1, B_1, C_1, D_1$, получим в итоге четырехугольную пирамиду. В основании пирамиды лежит прямоугольник, так основание пирамиды и прямоугольного параллелепипеда совпадают.

Объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник

$V={S_{прямоугольника}·h}/{3}={a·b·h}/{3}$, где $a$ и $b$ — стороны прямоугольника.

Для нашего рисунка стороны прямоугольника – это $А_1В_1$ и $A_1D_1$.

В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, следовательно, $AB=А_1В_1=8; AD=A_1D_1=12$.

Высотой в пирамиде $CA_1B_1C_1D_1$ будет являться ребро $СС_1$, так как оно перпендикулярно основанию (из прямоугольного параллелепипеда).

$СС_1=АА_1=4$

$V={А_1В_1·A_1D_1·СС_1}/{3}={8·12·4}/{3}=128$

Ответ: $128$

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Источник

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Прямоугольный параллелепипед»

(blacktriangleright) Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.
Другими словами, это прямая призма, основания которой – прямоугольники.
(эти определения эквивалентны).

Тогда:

1) противоположные грани равны между собой;

2) боковые ребра перпендикулярны основаниям, то есть являются высотами;

3) как следствие, формула для объема принимает вид: ({Large{V=abc}}), где (a, b, c) – три различных боковых ребра.

(blacktriangleright) Диагональ прямоугольного параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две противоположные (не лежащие в одной грани) вершины.

1) Все диагонали равны, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

2) Диагональ (d) можно найти по формуле: ({Large{d^{,2}=a^2+b^2+c^2}}).


Задание
1

#2863

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Дан прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого равны (4) и (5), а боковое ребро равно (3). Найдите наибольшую площадь его грани.

Заметим, что все варианты для площадей его граней – это всевозможные попарные произведения чисел (3,4,5), то есть (3cdot
4), (4cdot 5) или (3cdot 5). Среди этих произведений наибольшим является (4cdot 5=20).

Ответ: 20


Задание
2

#2864

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны (185), (185) и (37); а ребра другого равны (185, 37) и (37). Во сколько раз объем первого параллелепипеда больше объема второго параллелепипеда?

Отношение их объемов равно: [dfrac{V_1}{V_2}=dfrac{185cdot 185cdot 37}{185cdot 37cdot 37}=
dfrac{185}{37}=5.]

Ответ: 5


Задание
3

#2865

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны (a, b) и (b), а ребра другого равны (a, a) и (b). На сколько площадь полной поверхности первого параллелепипеда больше, чем площадь поверхности второго параллелепипеда, если (a=1000, b=1001).

Площадь полной поверхности первого параллелепипеда [S_1=2(ab+b^2+ab)] Площадь полной поверхности второго параллелепипеда [S_2=2(ab+ab+a^2)] Следовательно, [S_1-S_2=2(b^2-a^2)=2(b-a)(b+a)=2(1001-1000)(1001+1000)=4002.]

Ответ: 4002


Задание
4

#3974

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан прямоугольный параллелепипед (ABCDA_1B_1C_1D_1). Во сколько раз объем пирамиды (AA_1BD) меньше объема этого параллелепипеда?

Пусть (AB=x), (AD=y), (AA_1=z). Тогда объем параллелепипеда равен [V_{par}=S_{ABCD}cdot AA_1=xycdot z.] Так как (S_{ABD}=0,5S_{ABCD}) (потому что по определению прямоугольного параллелепипеда в основании лежит прямоугольник), то объем пирамиды [V_{pir}=dfrac13cdot S_{ABC}cdot AA_1=
dfrac13cdot dfrac12xycdot z=dfrac16xyz.] Следовательно, объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ:

6


Задание
5

#2867

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольном параллелепипеде диагональ грани (AA_1D_1D) равна (5), а (AB=2sqrt6). Найдите диагональ параллелепипеда.

Так как параллелепипед прямоугольный, то все его грани – прямоугольники, а у прямоугольника обе диагонали равны. Следовательно, (A_1D=AD_1). Рассмотрим диагональ (A_1D) и диагональ параллелепипеда (B_1D). Треугольник (A_1B_1D) прямоугольный, так как ребро (A_1B_1) перпендикулярно грани (AA_1D_1D) (по определению прямоугольного параллелепипеда). Следовательно, гипотенуза [B_1D=sqrt{A_1B_1^2+A_1D^2}=sqrt{5^2+(2sqrt6)^2}=7.]

Ответ: 7


Задание
6

#2641

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами (2, 3) и (6). Найдите его диагональ.

Пусть (AB=2, AD=3 , AA_1=6).

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника (ABD) ((angle
A=90^circ)) имеем: (BD^2=AB^2+AD^2).

Из прямоугольного треугольника (BB_1D) ((angle B=90^circ)) по теореме Пифагора (B_1D^2=BD^2+BB_1^2).

Подставляя (BD^2) из первого равенства во второе, получим:

[B_1D^2=AB^2+AD^2+BB_1^2=2^2+3^2+6^2=4+9+36=49 quad Leftrightarrow quad B_1D=7.]

Ответ: 7


Задание
7

#2689

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите объём фигуры, получившейся после удаления маленького прямоугольного параллелепипеда из большого.

Объём оставшейся фигуры равен разности объёмов большого прямоугольного параллелепипеда (каким он был до удаления) и маленького (удалённого).

Таким образом, искомый объём равен [0,8cdot 1cdot 1,2 — 0,3cdot 0,5cdot 0,55 = 0,8775,.]

Ответ: 0,8775

Учащимся старших классов будет полезно научиться решать задачи ЕГЭ на нахождение объема и других неизвестных параметров прямоугольного параллелепипеда. Опыт предыдущих лет подтверждает тот факт, что подобные задания являются для многих выпускников достаточно сложными.

При этом понимать, как найти объем или площадь прямоугольного параллелепипеда, должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи единого госэкзамена по математике.

Основные нюансы, которые стоит запомнить

  • Параллелограммы, из которых состоит параллелепипед, являются его гранями, их стороны — ребрами. Вершины этих фигур считаются вершинами самого многогранника.
  • Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Так как это прямой многогранник, то боковые грани представляют собой прямоугольники.
  • Так как параллелепипед — это призма, в основании которой находится параллелограмм, эта фигура обладает всеми свойствами призмы.
  • Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны основанию. Следовательно, они являются его высотами.

Готовьтесь к ЕГЭ вместе со «Школково»!

Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь вы найдете весь необходимый материал, который потребуется на этапе подготовки к единому государственному экзамену.

Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня. Вы можете потренироваться, например, с решением задач на тему “Призма”.

Нужную базовую информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Вы также можете сразу приступить к решению задач по теме «Прямоугольный параллелепипед» в онлайн-режиме. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений разной степени сложности. База заданий регулярно пополняется.

Проверьте, легко ли вы сможете найти объем прямоугольного параллелепипеда, прямо сейчас. Разберите любое задание. Если упражнение дается вам легко, переходите к более сложным задачам. А если возникли определенные сложности, рекомендуем вам планировать свой день таким образом, чтобы ваше расписание включало занятия с дистанционным порталом «Школково».

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Геометрия 11
класс. Задачи по теме «Прямоугольный параллелепипед». Задания №13 (базовый
уровень),  №8 (профильный уровень) ЕГЭ.

№

Задания

Ответы

1

Рёбра
прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3.
Найдите площадь его поверхности.

22

2

Два
ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и
5. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 62. Найдите третье ребро,
выходящее из этой же вершины.

3

3

Два
ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и
4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 6. Найдите площадь
поверхности параллелепипеда.

64

4

Во
сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в 2
раза?

4

5

Диагональ
куба равна 3. Найдите площадь его поверхности.

18

6

В
прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1
известно, что DС=, ВВ1=1, А1D1=3.
Найдите длину диагонали АС1.

13

7

В
прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1
известно, что D1С1=, АА1=3, А1D1=3.
Найдите длину диагонали АС1.

11

8

В
прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1
известно, что D1В=, ВВ1=3, А1D1=4.
Найдите ребро А1В1.

1

9

Найдите
квадрат расстояния А1С2 многогранника

54

10

Найдите квадрат
расстояния АС2 многогранника. Все двугранные углы многогранника
прямые.

89

11

Найдите
тангенс угла F2АВ
многогранника. Все двугранные углы многогранника прямые.

1,5

12

Найдите
угол АЕD2
многранника. Все двугранные углы многогранника прямые.

60

13

Найдите
тангенс угла СDС3
многогранника.

1

14

Найдите
площадь поверхности многогранника.

36

15

Найдите
площадь поверхности многогранника.

40

16

Найдите
площадь поверхности многогранника.

130

17

Найдите
площадь поверхности многогранника.

80

18

Найдите
площадь поверхности многогранника.

76

19

Найдите
площадь поверхности многогранника.

40

20

Найдите
площадь поверхности многогранника.

82

21

Найдите площадь
поверхности многогранника.

116

22

Найдите
площадь поверхности многогранника.

178

23

Найдите
площадь поверхности многогранника.

204

24

Найдите
площадь поверхности многогранника.

134

25

Диагональ
прямоугольного параллелепипеда образует углы 30о, 30о и
45о с плоскостями граней параллелепипеда. Объём параллелепипеда
равен 27. Найдите длину диагонали.

6

26

В кубе
АВСDА1В1С1D1 найдите
угол между прямыми ВВ1 и А1D.

45

27

Если
каждое ребро куба увеличить на 1, то площадь его поверхности увеличится на
90. Найдите ребро куба.

7

28

Если
каждое ребро куба увеличить на 4, то площадь его поверхности увеличится на
264. Найдите ребро куба.

3,5
Источник
Skip to content

ЕГЭ Профиль №8. Куб, прямоугольный параллелепипед

ЕГЭ Профиль №8. Куб, прямоугольный параллелепипедadmin2018-08-14T13:31:40+03:00

Источник

Задание 938

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно ВС=4, АВ=8, СС1=14. Найдите расстояние между серединами ребер АА1 и С1D1.

 

Ответ: 9

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

Для этого рассмотрим треугольник HA1M:

HA1=0.5AA1=7

A1M=$$sqrt{A_{1}D_{1}^{2}+D_{1}M^{2}}=sqrt{4^{2}+4^{2}}=sqrt{32}$$

MH=$$sqrt{A_{1}H^{2}+A_{1}M^{2}}=sqrt{7^{2}+32}=sqrt{81}=9$$

Задание 2824

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды АВDА1.

Ответ: 1,5

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$S_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}cdot h$$ $$S_{ABDA_{1}}=frac{1}{3}cdot S_{ABD}cdot h=frac{1}{3}cdot frac{1}{2}cdot S_{ABCD}cdot h=frac{9}{6}=1,5$$

Задание 2861

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Ответ: 5

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

Пусть х — третье ребро $$2cdot3x+2cdot4x+2cdot3cdot4=94$$ $$6x+8x+24=94$$ $$Leftrightarrow$$ $$14x=70$$ $$Leftrightarrow$$ $$x=5$$

Задание 3029

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 6. Диагональ параллелепипеда равна 9. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Ответ: 144

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$3^{2}+6^{2}+x^{2}=9^{2}$$ $$9+36+x^{2}=81$$ $$x^{2}=36$$ $$x=6$$ $$S=2cdot3cdot6+2cdot3cdot6+2cdot6cdot6=36+36+72=144$$

Задание 3656

В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат с площадью, равной 18. Найдите диагональ параллелепипеда, если известно, что его боковое ребро равно 8.

Ответ: 10

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

1) Пусть $$AB=BC=x$$: $$S_{ABCD}=x^{2}=18$$

2) $$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}=2x^{2}$$

3) $$B_{1}D=sqrt{BD^{2}+BB_{1}^{2}}=sqrt{2cdot18+64}=sqrt{100}=10$$

Задание 3668

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 3 и 4. Пло­щадь по­верх­но­сти этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 94. Най­ди­те тре­тье ребро, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

Ответ: 5

Задание 3669

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 16. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ответ: 3

Задание 3670

Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около еди­нич­ной сферы. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

Ответ: 24

Задание 3671

Пло­щадь грани пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 12. Ребро, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани, равно 4. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 48

Задание 3672

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 24. Одно из его ребер равно 3. Най­ди­те пло­щадь грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ной этому ребру.

Ответ: 8

Задание 3673

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 60. Пло­щадь одной его грани равна 12. Най­ди­те ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани.

Ответ: 5

Задание 3674

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2 и 6. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 48. Най­ди­те тре­тье ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

Ответ: 4

Задание 3675

Три ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 4, 6, 9. Най­ди­те ребро рав­но­ве­ли­ко­го ему куба.

Ответ: 6

Задание 3676

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 32

Задание 3677

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 3. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 36. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ответ: 7

Источник

Тема 2.

Геометрия в пространстве (стереометрия)

2

.

10

Прямоугольный параллелепипед

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

геометрия в пространстве (стереометрия)

2.01Теорема о трех перпендикулярах

2.02Угол между прямыми

2.03Угол между прямой и плоскостью

2.04Угол между плоскостями и двугранный угол

2.05Пирамида

2.06Правильная и прямоугольная пирамиды

2.07Призма

2.08Правильная и прямая призмы

2.09Параллелепипед как частный случай призмы

2.10Прямоугольный параллелепипед

2.11Куб как частный случай прямоугольного параллелепипеда

2.12Конус

2.13Цилиндр

2.14Сфера и шар

2.15Комбинированные тела: их объемы и площади поверхностей

2.16Отношение площадей поверхностей и отношение объемов тел

2.17Вписанные и описанные тела

Решаем задачи

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен
48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

PIC

Показать ответ и решение

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению всех трёх его измерений. Из вершины выходит по одному
ребру каждого из измерений. Пусть длина неизвестного ребра равна x . Тогда

48 2 ⋅6⋅x = 48 ⇒ x = -- = 4 12

Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами 2, 3 и 6 . Найдите его диагональ.

Показать ответ и решение

Пусть AB = 2,AD = 3, AA1 = 6 .

 PIC

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABD (∠A = 90∘ ) имеем:
BD2 = AB2 + AD2 .

Из прямоугольного треугольника BB1D ( ∘ ∠B = 90 ) по теореме Пифагора 2 2 2 B1D = BD + BB 1 .

Подставляя BD2 из первого равенства во второе, получим:

B D2 = AB2 + AD2 + BB2 = 22 + 32 + 62 = 4 + 9 + 36 = 49 ⇔ B D = 7. 1 1 1

От прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отсекли многогранник, вершинами которого являются точки
A,C,D, D1. Найдите объём оставшейся части, если объём отсечённой части равен 8.

Показать ответ и решение

PIC

Запишем выражение для объёма пирамиды D1ACD, который по условию равен 8:

1 VD1ACD = 3 ⋅DD1 ⋅SACD = 8 ⇒ SACD ⋅DD1 = 24

Заметим, что SACD = 12SABCD. Найдём объём всего параллелепипеда:

V = SABCD ⋅DD1 = 2SACD ⋅DD1 = 2 ⋅24 = 48

Тогда объём оставшейся части равен 48− 8= 40.

Показать ответ и решение

Способ 1.

Заметим, что объем многогранника, вершинами которого являются
точки A, B, C, D, A1, B1, в два раза меньше объема прямоугольного
параллилепипеда, поскольку это призма с основанием, в два раза меньше, чем у
параллелепипеда.

Тогда V1 — искомый объём, V — объём параллелепипеда:

V1 = 0,5 ⋅V = 0,5⋅AB ⋅BC ⋅AA1 = 0,5⋅6⋅9⋅5= 135

PIC

Способ 2.

Полученный многогранник представляет из себя прямую призму с основаниями
AA D 1 и BB C, 1 объём которой вычисляет ся по формуле

V = Sосн⋅h= SAA D ⋅AB = 6⋅5⋅9= 135 1 2

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Во сколько раз объем пирамиды AA1BD
меньше объема этого параллелепипеда?

Показать ответ и решение

PIC

 Пусть AB = x , AD = y , AA1 = z . Тогда объем параллелепипеда равен

Vpar = SABCD ⋅ AA1 = xy ⋅ z.

Так
как SABD = 0,5SABCD (потому что по определению прямоугольного параллелепипеда в основании
лежит прямоугольник), то объем пирамиды

1- 1- 1- 1- Vpir = 3 ⋅ SABC ⋅ AA1 = 3 ⋅2xy ⋅ z = 6xyz.

Следовательно, объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

Показать ответ и решение

PIC

 Отношение их объемов равно:

V1 185 ⋅ 185 ⋅ 37 185 ---= -------------= ----= 5. V2 185 ⋅ 37 ⋅ 37 37

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 : √ --- AB1 = 13 , AD1 = 5 , √ -- AC = 2 5 . Чему равна
сумма всех ребер параллелепипеда?

 PIC

Показать ответ и решение

PIC

-----√--PC1√MD----√---- = ----√---PC1M√D-----√-----= -----√-PC1M√D----√----. 2a (3 8 + 20 + 68) 2a(6 2 + 2 5 + 2 17) 4a (3 2 + 5 + 17)

Так как ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, то A1C1 – проекция M C1 на
(A1B1C1D1 ) , тогда по теореме Пифагора

2 2 2 M C1 = M A1 + A1C1 ,

при
этом по теореме Пифагора

A1C12 = A1B12 + B1C12 = a2 + 16a2 = 17a2,

откуда

√ -- M C12 = a2 + 17a2 = 18a2 ⇒ M C1 = 3a 2.

Так как ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, то по теореме Пифагора

√ --- M D2 = M A2 + AD2 = a2 + 16a2 = 17a2 ⇒ M D = a 17.

Аналогично по теореме Пифагора

√ -- C1D2 = C1D12 + D1D2 = a2 + 4a2 = 5a2 ⇒ C1D = a 5.

Таким образом,

√ -- √ --- √ -- PC1MD = C1M + M D + C1D = 3a 2 + a 17 + a 5,

тогда

√ -- √ --- √ -- √ -- √ --- √ -- -------PC1MD--------- -3a--2 +-a--17 +-a--5 a(3--2-+---17-+---5)- 1- 4a(3√2--+ √5--+ √17-) = 4a (3 √2-+ √5--+ √17-) = 4a(3√2-+ √5-+ √17--) = 4 = 0,25.

Показать ответ и решение

PIC

 Рассмотрим картинку. Так как параллелепипед прямоугольный, то он прямой и в основании лежит
прямоугольник. Следовательно, его боковые ребра (например, M M1 ) параллельны боковым ребрам
призмы и равны, так как основания призмы вписаны в основания параллелепипеда (то есть лежат в
одних и тех же плоскостях). Отсюда следует, что высоты призмы и параллелепипеда одинаковы. Пусть
h – длина их высоты.
Рассмотрим отдельно основание. По свойству правильного шестиугольника BF ⊥ FE . Так как
M N KP – прямоугольник, то есть M P ⊥ P K , то M P ∥ BF . Заметим также, что вообще говоря
M P = BF , а PK = AD .
Пусть a – сторона шестиугольника. Его угол равен 120 ∘ , следовательно, по теореме косинусов:

√ -- BF 2 = a2 + a2 − 2a ⋅ a ⋅ cos120 ∘ = 3a2 ⇒ M P = a 3.

Заметим также, что ∘ ∠M AB = 30 , следовательно, в треугольнике M AB :

M B 1 sin 30∘ = ----- ⇒ M B = --a. AB 2

Следовательно, M N = 12a + a + 12a = 2a .
Значит, M N KP – прямоугольник со сторонами a√3-- и 2a .

 Площадь правильного шестиугольника равна √ -- 3--3-a2 2 , следовательно, объем призмы

√ -- 3 3 2 Vprism = --2--a h,

а
объем параллелепипеда

√ -- √ -- Vparallel = a 3 ⋅ 2a ⋅ h = 2 3a2h

Следовательно,

Vprism 3 ------- = --= 0,75. Vparallel 4

Показать ответ и решение

PIC

 Так как AD = DC , то грани AA1D1D и DD1C1C равны, следовательно, и их диагонали
равны, значит, A1D = C1D . Так как диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся
пополам, то A1M = M D = DN = N C1 . Рассмотрим △A1C1D : в нем M N является средней
линией, следовательно, она равна половине основания A1C1 , которое в свою очередь является
диагональю квадрата A1B1C1D1 , следовательно, равно √ -- √ -- 3 2 ⋅ 2 = 6 . Следовательно, M N = 3 .

Показать ответ и решение

PIC

 Площадь полной поверхности первого параллелепипеда

2 S1 = 2 (ab + b + ab)

Площадь полной поверхности второго параллелепипеда

S2 = 2(ab + ab + a2)

Следовательно,

2 2 S1 − S2 = 2(b − a ) = 2(b − a )(b + a) = 2(1001 − 1000 )(1001 + 1000) = 4002.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Степень окисления егэ химия задания
  • Стереометрия призма егэ
  • Степенные уравнения егэ профиль
  • Стереометрия подготовка к егэ по математике профиль
  • Степенные выражения решу егэ