Студент за 5 лет учёбы сдал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем. На пятом курсе экзаменов было втрое больше, чем на первом. Сколько экзаменов было на четвёртом курсе?
reshalka.com
Математика 6 класс Никольский. Номер №1286
Решение
Решение:
Пусть на первом курсе студент сдал x экзаменов, тогда:
3x экзаменов сдал студент на пятом курсе;
Найдем максимальное количество экзаменов, которое мог сдать студент на первом курсе, тогда количество экзаменов:
на 1 курсе x;
на 2 курсе x + 1;
на 3 курсе x + 2;
на 4 курсе x + 3;
на 5 курсе 3x.
x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + 3x = 31
7x = 31 − 6
7x = 25
x
=
25
7
=
3
4
7
максимальное количество экзаменов, которое мог сдать студент на первом курсе, так как количество экзаменов обязательно целое число, то максимум 3 экзамена.
Найдем минимальное количество экзаменов, которое мог сдать студент на первом курсе, тогда количество экзаменов:
на 1 курсе x;
на 2 курсе 3x − 3;
на 3 курсе 3x − 2;
на 4 курсе 3x − 1;
на 5 курсе 3x.
x + 3x − 3 + 3x − 2 + 3x − 1 + 3x = 31
13x = 31 + 3 + 2 + 1
13x = 37
x
=
37
13
=
2
11
13
минимальное количество экзаменов, которое мог сдать студент на первом курсе, так как количество экзаменов обязательно целое число, то минимум 3 экзамена.
3 * 3 = 9 экзаменов сдавал студент на 5 курсе.
31 − (3 + 9) = 31 − 12 = 19 экзаменов всего сдал студент на 2, 3 и 4 курсе.
Пусть на 4 курсе он сдал 7 экзаменов, тогда на 19 − 7 = 12 экзаменов он сдал на 2 и 3 курсе.
12 нельзя разложить на два разных слагаемых, чтобы они были меньше 7(количество предполагаемых экзаменов на 4 курсе) и больше 3(количество экзаменов на 1 курсе), следовательно, 7 экзаменов для 4 курса не подходит.
Пусть на 4 курсе он сдал 8 экзаменов, тогда на 19 − 8 = 11 экзаменов он сдал на 2 и 3 курсе.
11 = 5 + 6, следовательно, на 2 курсе студент сдал 5 экзаменов, а на 3 курсе 6 экзаменов.
Ответ: 8 экзаменов.
поделиться знаниями или
запомнить страничку
- Все категории
-
экономические
43,623 -
гуманитарные
33,648 -
юридические
17,917 -
школьный раздел
611,572 -
разное
16,897
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Задача. Студент за 5 лет обучения сдал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем, а на пятом курсе сдал втрое больше экзаменов, чем на первом курсе.
Сколько экзаменов он сдал на четвертом курсе?
Решение.
Пусть а – количество
экзаменов во время 1-го года обучения, b – прибавилось экзаменов во время 2-го
года обучения, c – прибавилось экзаменов во время 3-го года обучения по
сравнению со 2-ым, d – прибавилось экзаменов во время 4-го года обучения по
сравнению со 3-им. По условию a, b, c, d — натуральные числа (целые, >0).
Тогда
|
Год обучения |
1-ый |
2-й |
3-й |
4-й |
5-й |
|
Количество экзаменов |
a |
a+b |
a+b+c |
a+b+c+d |
3a |
Причем по условию:
a+b+c+d<3a, т.е. b+c+d<2a
a+a+b+a+b+c+a+b+c+d+3a=31
7a+3b+2c+d=31
1) При а=1 получается 3а-а=3-1=2,
т.е. на 2 экзамена больше во время 5-го года обучения по сравнению с 1-ым, но
это противоречит условию увеличения количества экзаменов каждый год (2-й, 3-й,
4-й и 5-й). Значит, а≠1.
2) При а=2 получается:
14+3b+2c+d=31→ 3b+2c+d=17 и b+c+d<4.
Это возможно
только при b=c=d=1→3b+2c+d=3+2+1=6
Эти два условия противоречат
друг другу. Значит а≠2.
3) При а=3 получается:
21+3b+2c+d=31→ 3b+2c+d=10 и b+c+d<6
А) Если b=1, то 3+2с+d=10→ 2c+d=7.
Тогда с=1, d=5 или с=2, d=3. В
этих случаях b+c+d≥6, что противоречит условию b+c+d<6.
Если с=3, d=1, то
|
Год обучения |
1-ый |
2-й |
3-й |
4-й |
5-й |
|
Количество экзаменов |
3 |
4 |
7 |
8 |
9 |
Б) Если b=2, то 6+2с+d=10→ 2c+d=4→c=1, d+2. Тогда
|
Год обучения |
1-ый |
2-й |
3-й |
4-й |
5-й |
|
Количество экзаменов |
3 |
5 |
6 |
8 |
9 |
В) Если b=3, то 9+2с+d=10→ 2c+d=1, что противоречит условию задачи, что c, d —
натуральные числа. Очевидно, что при b>3
решений тоже нет.
4) При а=4 получается
28+3b+2c+d=31→ 3b+2c+d=3, что противоречит условию задачи, что b, c, d — натуральные числа.
Очевидно, что при а>4
решений тоже нет.
Существуют два возможных
варианта количества экзаменов, в обоих случаях студент сдал 8 экзаменов во
время 4-ого года обучения.
Ответ: 8
экзаменов.