Студентам нужно сдать 4 экзамена за 6 дней сколькими способами можно составить расписание экзаменов

06. Размещения

Пусть имеется некоторое множество, содержащее n элементов. Выберем из этого множества k элементов без возвращения, но упорядочивая их по мере их выбора в последовательную цепочку. Такие цепочки называются размещениями.

Размещениями из n элементов по k элементов называются такие комбинации, из которых каждое содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одного), либо порядком их расположения.

Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть размещений по два элемента: ab, ac, ba, bc, ca, cb. Все приведённые размещения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или порядком их расположения.

Число размещений (читается: число размещений из n элементов по k элементов) можно найти из принципа умножения. Первый элемент размещения можно выбрать n способами. Как только такой выбор будет сделан, останется (n–1) возможностей, чтобы выбрать второй элемент; после этого останется (n–2) возможностей для выбора третьего элемента и т. д.; для выбора k-го элемента будет (n–k+1) возможностей. По принципу умножения находим

. (4.1)

Легко понять, что .

Пример 4.1. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить 4 различных фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение. Для размещения фотографий следует отобрать 4 различных страницы из 12 имеющихся. Затем нужно отобранные страницы упорядочить, т. е. определить, на какую страницу поместить первую фотографию, на какую – вторую и т. д. Полученная упорядоченная совокупность страниц является, согласно определению, размещением из 12 элементов по 4, а число таких размещений является искомым результатом:

.

Пример 4.2. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани пяти различных цветов? Решите эту же задачу при условии, что одна полоса должна быть красной.

Решение. Поскольку в данной задаче важен порядок следования полос и все цвета во флаге должны быть разными, то исходная задача сводится к подсчету числа размещений из 5 по 3:

способов.

При условии, что одна полоса должна быть красной, получаем, что для выбора места для красной полосы существует 3 способа, а для оставшихся двух полос останется способов. Таким образом, трехцветный полосатый флаг из имеющихся 5 цветов при условии, что один цвет должен быть красным можно составить

способами.

Пример 4.3. Сколькими способами 10 человек можно поставить парами в ряд?

Решение. Первую пару можно выбрать способами, вторую – способами, и т. д. В результате получаем

способами.

4.1. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?

Ответ: В этом случае надо число размещений из 25 элементов по 4. Здесь играет роль и то, кто будет выбран в руководство общества, и то, какие посты займут выбранные. Поэтому ответ дается формулой .

4.2. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление различных видов деталей (по одному виду на каждого).

Ответ: .

4.3. Из 10 книг выбирают 4 для рассылки по разным адресам. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: .

4.4. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

Ответ: .

4.5. Студенту необходимо сдать 5 экзаменов в течение 12 дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов, если в течение дня он может сдать не более одного экзамена?

Ответ: .

4.6. Сколькими способами можно преподнести 4 различных подарка 6 ученикам таким образом, чтобы каждый ученик получил не более одного подарка?

Ответ: .

4.7. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, …, 9, если каждая цифра в обозначении числа встречается не более одного раза? (Учесть, что число не может начинаться с нуля.)

Ответ: .

Источник

Студентам нужно сдать 4 экзамена за 6 дней сколькими способами можно составить расписание экзаменов

пЮЕОШ ЮБУФП Ч ТЕБМШОПК ЦЙЪОЙ чБН РТЙИПДЙФУС ТЕЫБФШ РТПВМЕНЩ УМЕДХАЭЕЗП ФЙРБ: ЛБЛ ЙЪ НОПЦЕУФЧБ, УПУФПСЭЕЗП ЙЪ n ЬМЕНЕОФПЧ, ЧЩВТБФШ ХРПТСДПЮЕООПЕ РПДНОПЦЕУФЧП ЙЪ m ЬМЕНЕОФПЧ. оБРТЙНЕТ, ЛБЛ ТБУУБДЙФШ ЪБ РТБЪДОЙЮОЩН УФПМПН 12 ЗПУФЕК, ЕУМЙ ЧУЕЗП 15 НЕУФ ?

пртедемеойе 1.3.1
хРПТСДПЮЕООПЕ m — ЬМЕНЕОФОПЕ РПДНОПЦЕУФЧП НОПЦЕУФЧБ ЙЪ n ЬМЕНЕОФПЧ ОБЪЩЧБЕФУС тбънеэеойен ЙЪ n ЬМЕНЕОФПЧ РП m.

фептенб 1.3.1
юЙУМП ТБЪНЕЭЕОЙК НОПЦЕУФЧБ ЙЪ n ЬМЕНЕОФПЧ РП m ТБЧОП

1-К ЬМЕНЕОФ НПЦОП ЧЩВТБФШ n УРПУПВБНЙ,

2-К — (n — 1) УРПУПВПН,

m-К — (n — (m — 1)) УРПУПВБНЙ.

уМЕДПЧБФЕМШОП, ПВЭЕЕ ЮЙУМП УРПУПВПЧ ЧЩВТБФШ ХРПТСДПЮЕООПЕ РПДНОПЦЕУФЧП ВХДЕФ ТБЧОП n (n — 1) . (n — (m — 1)).

хНОПЦЙН Й ТБЪДЕМЙН ДБООПЕ ЧЩТБЦЕОЙЕ ОБ (n — m)!:

пвпъобюеойе:

уЙНЧПМ ФБЛ Й ЮЙФБЕФУС: «юЙУМП ТБЪНЕЭЕОЙК ЙЪ n РП m».

умедуфчйе 1.3.1
m ТБЪМЙЮОЩИ РТЕДНЕФПЧ РП n НЕУФБН НПЦОП ТБУУФБЧЙФШ УРПУПВБНЙ.

ч ЮБУФОПУФЙ, РТЙЗМБЫЕООЩИ чБНЙ ЗПУФЕК НПЦОП ТБУУБДЙФШ УРПУПВБНЙ.

ъбдбюб 1.3.1 уФХДЕОФХ ОЕПВИПДЙНП УДБФШ 4 ЬЛЪБНЕОБ Ч ФЕЮЕОЙЕ 10 ДОЕК. уЛПМШЛЙНЙ УРПУПВБНЙ НПЦОП УПУФБЧЙФШ ЕНХ ТБУРЙУБОЙЕ ЬЛЪБНЕОПЧ? (рТЕДРПМБЗБЕФУС, ЮФП Ч ДЕОШ УДБЕФУС ФПМШЛП ПДЙО ЬЛЪБНЕО.)

тЕЫЕОЙЕ ДБООПК ЪБДБЮЙ УЧПДЙФУС Л ПРТЕДЕМЕОЙА ЮЙУМБ УРПУПВПЧ ТБУУФБОПЧЛЙ 4-И ТБЪМЙЮОЩИ РТЕДНЕФПЧ РП 10 НЕУФБН. уМЕДПЧБФЕМШОП, ЮЙУМП УРПУПВПЧ УПУФБЧЙФШ ДБООПЕ ТБУРЙУБОЙЕ ТБЧОП:

ъбдбюб 1.3.2 уЛПМШЛП УМПЧ НПЦОП ПВТБЪПЧБФШ ЙЪ ВХЛЧ УМПЧБ жтбзнеоф, ЕУМЙ УМПЧБ ДПМЦОЩ УПУФПСФШ: Б) ЙЪ 8 ВХЛЧ; В) ЙЪ 7 ВХЛЧ; Ч) ЙЪ 3 ВХЛЧ? (нБФЕНБФЙЛБ РПД УМПЧПН РПОЙНБЕФ РТПЙЪЧПМШОЩК ОБВПТ ВХЛЧ).

Б) n = 8, m = 8. юЙУМП УРПУПВПЧ ТБЧОП = 8!.

В) n = 8, m = 7. юЙУМП УРПУПВПЧ ТБЧОП = 8!.

Ч) n = 8, m = 3. юЙУМП УРПУПВПЧ ТБЧОП = 336.

ъбдбюб 1.3.3 дЕУСФШ ЛТЕУЕМ РПУФБЧМЕОЩ Ч ТСД. уЛПМШЛЙНЙ УРПУПВБНЙ 2 ЮЕМПЧЕЛБ НПЗХФ: Б) УЕУФШ ОБ ОЙИ; В) УЕУФШ ТСДПН; Ч) УЕУФШ ФБЛ, ЮФПВЩ НЕЦДХ ОЙНЙ ВЩМП, РП ЛТБКОЕК НЕТЕ, ПДОП РХУФПЕ ЛТЕУМП?

Б) n = 10, m = 2. юЙУМП УРПУПВПЧ = 90.

В) пВПЪОБЮЙН ЬФЙИ ДЧХИ ЮЕМПЧЕЛ ХУМПЧОП и Й х.

ъБНЕФЙН, ЮФП ЮЙУМП УРПУПВПЧ ТБУУБДЙФШ ЙИ ФБЛ, ЮФПВЩ ПОЙ УЙДЕМЙ ТСДПН Й и ВЩМ УРТБЧБ ПФ х, ТБЧОП 9. бОБМПЗЙЮОП, ЮЙУМП УРПУПВПЧ ТБУУБДЙФШ ЙИ ФБЛ, ЮФПВЩ, и ВЩМ УМЕЧБ ПФ х, Й ПОЙ УЙДЕМЙ ТСДПН, ФПЦЕ — 9. (ч ЛБЦДПН ЙЪ ЬФЙИ УМХЮБЕЧ НЩ ЧЩВЙТБЕН НЕУФП ФПМШЛП ДМС и.) уМЕДПЧБФЕМШОП, ПВЭЕЕ ЮЙУМП УРПУПВПЧ: 9 + 9 = 18.

Ч) дМС РПМХЮЕОЙС ПФЧЕФБ ОБ РПУФБЧМЕООЩК ЧПРТПУ, ДПУФБФПЮОП ЧПУРПМШЪПЧБФШУС ТЕЪХМШФБФБНЙ, РПМХЮЕООЩНЙ Ч РХОЛФБИ Б) Й В). фП ЕУФШ, ЙЪ ПВЭЕЗП ЮЙУМБ УРПУПВПЧ ТБУУБДЙФШ 2-И ЮЕМПЧЕЛ РП 10 ЛТЕУМБН ЧЩЮЕУФШ ЮЙУМП УРПУПВПЧ ТБУУБДЙФШ ЙИ ФБЛ, ЮФПВЩ ПОЙ УЙДЕМЙ ТСДПН: 90 — 18 = 72.

ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС.

ъбдбюб 1.3.1(у) чПУЕНШ НБМШЮЙЛПЧ ЧПДСФ ИПТПЧПД. ъБФЕН Л ОЙН РТЙУПЕДЙОСАФУС ЕЭЕ РСФШ ДЕЧПЮЕЛ. уЛПМШЛЙНЙ УРПУПВБНЙ ДЕЧПЮЛЙ НПЗХФ ЧУФБФШ Ч ЛПМШГП, ЕУМЙ ОЙЛБЛЙЕ ДЧЕ ДЕЧПЮЛЙ ОЕ ДПМЦОЩ УФПСФШ ТСДПН?

ъбдбюб 1.3.2(у) уЛПМШЛП ЮЕФЩТЕИЪОБЮОЩИ ЮЙУЕМ НПЦОП УПУФБЧЙФШ, ЙУРПМШЪХС ГЙЖТЩ 1, 2, 3, 4, 5; ЕУМЙ ЮЙУМБ ДПМЦОЩ ВЩФШ ОЕЮЕФОЩЕ Й РПЧФПТЕОЙК ГЙЖТ ВЩФШ ОЕ ДПМЦОП?

ъбдбюб 1.3.3(у) дПЛБЪБФШ, ЮФП ЮЙУМП ФТЕИВХЛЧЕООЩИ УМПЧ, ЛПФПТЩЕ НПЦОП ПВТБЪПЧБФШ ЙЪ ВХЛЧ, УПУФБЧМСАЭЙИ УМПЧП зйрпфеохъб, ТБЧОП ЮЙУМХ ЧУЕИ ЧПЪНПЦОЩИ РЕТЕУФБОПЧПЛ ВХЛЧ, УПУФБЧМСАЭЙИ УМПЧП ртйънб.

© гЕОФТ ДЙУФБОГЙПООПЗП ПВТБЪПЧБОЙС пзх, 2000-2002

Источник

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

Размещения

---

Пример. Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней.
Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Искомое число способов равно числу 4–элементных
упорядоченных подмножеств из 8 элементов, т.е.

=8•7•6•5=1680
способов.

Если известно, что последний экзамен будет сдаваться на
восьмой день, то число способов равно

4•=7•6•5•4=840.

Правильный ответ на вопрос 👍 «Студентам надо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами можно составить расписание сдачи экзаменов, если в один день сдается только …» по предмету 📗 Математика. Развернутая система поиска нашего сайта обязательно приведёт вас к нужной информации. Как вариант — оцените ответы на похожие вопросы. Но если вдруг и это не помогло — задавайте свой вопрос знающим оппонентам, которые быстро дадут на него ответ!

Искать готовые ответы