Студенты сдают 5 экзаменов в том числе 2 экзамена по математике

Студенты сдают 5 экзаменов, в том числе 2 экзамена по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены, но так, чтобы экзамены по математике следовали один за другим? Не следовали один за другим?

А) экзамены по математике следуют один за другим.
«Объединяя» экзамены по математике, получаем четыре различных экзамена, число различных способов распределения которых равняется числу перестановок из 4-х экзаменов
. С учетом того, что «объединить» экзамен по математике можно двумя способами, окончательно имеем:
nа=2P4=2∙4!=48
Б) экзамены по математике не следуют один за другим.
Т.к

. С учетом того, что «объединить» экзамен по математике можно двумя способами, окончательно имеем:
nа=2P4=2∙4!=48
Б) экзамены по математике не следуют один за другим.
Т.к

1. Элементы комбинаторики

Комбинаторика
– раздел математики, изучающий различные
соединения (комбинации) элементов
конечных множеств.

Пусть дано множество,
состоящее из n
элементов.

Размещениями
из n
элементов по k
элементов ()
называется любое упорядоченное
подмножество данного множества,
содержащееk
элементов.

Два размещения
различны, если они отличаются друг от
друга либо составом элементов, либо
порядком их следования.

Число размещений
из n
элементов по k
элементов обозначается символом
и вычисляется по формуле

.

Перестановкой
из n
элементов называется размещение из n
элементов по n
элементов. Любые перестановки отличаются
друг от друга только порядком следования
элементов.

Число перстановок
из n
элементов обозначается символом
и вычисляется по формуле

.

Сочетанием
из n
элементов по k
элементов ()
называется любое подмножество данного
множества, содержащееk
элементов.

Любые два сочетания
отличаются друг от друга только составом
элементов.

Число сочетаний
из n
элементов по k
элементов обозначается символом
и вычисляется по формуле

.

Если при выборке
k элементов
из
n
элементы
возвращаются обратно, то полученные
выборки представляют собой выборки с
повторениями.

Число размещений
из n
элементов по k
элементов с повторениями обозначается
символом
и вычисляется по формуле

.

Число сочетаний
из n
элементов по k
элементов с повторениями обозначается
символом
и вычисляется по формуле

.

Задачи

1. Сколько
   четырехзначных чисел можно составить
   из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если:

а)
цифры не повторяются; б) цифры могут
повторяться; с) числа должны быть
нечетными и цифры не повторяются.

Задачу
решить двумя способами: используя
формулы комбинаторики и используя
основные правила комбинаторики.

1. На
   5
   сотрудников выделено
   3
   путевки.
   Сколькими
   способами их можно распределить, если:
   а) путевки различны; б) путевки одинаковы.

2. Сколько
   различных «слов» можно составить из
   всех букв слова ПРИЗМА? Сколько из них
   таких, в которых буквы Р и И стоят рядом?
   Сколько таких, в которых эти буквы не
   стоят рядом? (в комбинаторике под
   словами понимают любой набор букв,
   который не обязательно будет словом
   какого-нибудь языка).

3. Четыре
   студента сдают экзамен. Сколькими
   способами им могут быть выставлены
   положительные оценки?

4. Имеется
   4 разных флага. На флагштоке поднимается
   сигнал, состоящий не менее чем из двух
   флагов. Сколько различных сигналов
   можно подать, если порядок флагов в
   сигнале учитывается?

5. В
   коробке 10 деталей, из них 7 стандартные.
   Сколькими способами можно взять из
   коробки 6 деталей таким образом, чтобы
   среди них было 4 стандартные детали?

6. В
   студенческой группе 12 девушек и 16
   юношей. Сколькими способами можно
   выбрать двух студентов одного пола?

7. Из
   группы в 15 человек выбирают четырех
   участников эстафеты 800×400×200×100. Сколькими
   способами можно расставить спортсменов
   на этих этапах?

8. Сколькими
   способами можно расставить на книжной
   полке десятитомник произведений Д.
   Лондона, располагая их:

а) в
произвольном порядке;

б) так,
чтобы I,
V
и IX
тома стояли рядом (в любом порядке);

в) так,
чтобы I,
II,
III
тома
не стояли рядом (в любом порядке)?

1. В
   комнате
   имеется 7 стульев. Сколькими способами
   можно разместить на них 7 гостей? 3
   гостя?

2. Студенты
   сдают 5 экзаменов, в том числе 2 экзамена
   по математике. Сколькими способами
   можно распределить экзамены, но так,
   чтобы экзамены по математике следовали
   один за другим? Не следовали один за
   другим?

3. Владимир
   хочет пригласить в гости троих из семи
   своих лучших друзей. Сколькими способами
   он может выбрать приглашенных?

4. Имеется
   9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими
   способами можно выбрать: а) три любые
   гвоздики; б) шесть гвоздик одного цвета;
   с) четыре красных и три розовых гвоздики?

5. Группа
   туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает
   по жребию 5 человек для приготовления
   ужина. Сколько существует способов
   при которых в эту «пятерку» попадут:
   а) одни девушки; б) 3 юноши и 2 девушки;
   в)
   1 юноша и 4 девушки; г) 5 юношей?

6. В
   магазине 7 видов тортов. Сколькими
   способами можно приобрести набор из
   трех тортов? А если имеется три вида
   тортов, а необходим набор из 7 тортов?

7. Пять
   человек вошли в лифт на первом этаже
   девятиэтажного дома. Сколькими способами
   пассажиры могут выйти из лифта на
   нужных этажах?

8. Найти
   число диагоналей выпуклого десятиугольника.

9. Собрание
   из 40 человек избирает председателя,
   секретаря и трех членов редакционной
   коллегии. Сколькими способами это
   можно сделать?

10. В
    купе железнодорожного вагона один
    напротив другого два дивана по четыре
    места. Из 8 пассажиров трое желают ехать
    по ходу движения поезда, двое – спиной.
    Сколькими способами можно разместить
    пассажиров с учетом их пожеланий?

11. В
    некотором государстве не было жителей
    с одинаковым набором зубов. Какова
    наибольшая численность этого государства?

12. В
    подъезде дома установлен замок с кодом.
    Дверь автоматически отпирается, если
    в определенной последовательности
    набрать четыре цифры из имеющихся 12.
    Некто, не зная кода, стал наудачу
    набирать различные комбинации из 4-х
    цифр. Какое наибольшее число попыток
    ему надо предпринять, чтобы дверь
    открылась?

13. 12
    человек прибыли в гостиницу, в которой
    есть один 4-местный, два 3-местных и один
    2-местный номер. Сколькими способами
    их можно разместить в этих номерах?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #