Студенты сдают 5 экзаменов в том числе 2 по математике сколькими способами можно распределить

Студенты сдают 5 экзаменов, в том числе 2 экзамена по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены, но так, чтобы экзамены по математике следовали один за другим? Не следовали один за другим?

А) экзамены по математике следуют один за другим.
«Объединяя» экзамены по математике, получаем четыре различных экзамена, число различных способов распределения которых равняется числу перестановок из 4-х экзаменов
. С учетом того, что «объединить» экзамен по математике можно двумя способами, окончательно имеем:
nа=2P4=2∙4!=48
Б) экзамены по математике не следуют один за другим.
Т.к

. С учетом того, что «объединить» экзамен по математике можно двумя способами, окончательно имеем:
nа=2P4=2∙4!=48
Б) экзамены по математике не следуют один за другим.
Т.к

50% решения задач недоступно для прочтения

Закажи персональное решение задач. Эксперты

напишут качественную работу за 30 минут! ⏱️

1. Элементы комбинаторики

Комбинаторика
– раздел математики, изучающий различные
соединения (комбинации) элементов
конечных множеств.

Пусть дано множество,
состоящее из n
элементов.

Размещениями
из n
элементов по k
элементов ()
называется любое упорядоченное
подмножество данного множества,
содержащееk
элементов.

Два размещения
различны, если они отличаются друг от
друга либо составом элементов, либо
порядком их следования.

Число размещений
из n
элементов по k
элементов обозначается символом
и вычисляется по формуле

.

Перестановкой
из n
элементов называется размещение из n
элементов по n
элементов. Любые перестановки отличаются
друг от друга только порядком следования
элементов.

Число перстановок
из n
элементов обозначается символом
и вычисляется по формуле

.

Сочетанием
из n
элементов по k
элементов ()
называется любое подмножество данного
множества, содержащееk
элементов.

Любые два сочетания
отличаются друг от друга только составом
элементов.

Число сочетаний
из n
элементов по k
элементов обозначается символом
и вычисляется по формуле

.

Если при выборке
k элементов
из
n
элементы
возвращаются обратно, то полученные
выборки представляют собой выборки с
повторениями.

Число размещений
из n
элементов по k
элементов с повторениями обозначается
символом
и вычисляется по формуле

.

Число сочетаний
из n
элементов по k
элементов с повторениями обозначается
символом
и вычисляется по формуле

.

Задачи

1. Сколько
   четырехзначных чисел можно составить
   из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если:

а)
цифры не повторяются; б) цифры могут
повторяться; с) числа должны быть
нечетными и цифры не повторяются.

Задачу
решить двумя способами: используя
формулы комбинаторики и используя
основные правила комбинаторики.

1. На
   5
   сотрудников выделено
   3
   путевки.
   Сколькими
   способами их можно распределить, если:
   а) путевки различны; б) путевки одинаковы.

2. Сколько
   различных «слов» можно составить из
   всех букв слова ПРИЗМА? Сколько из них
   таких, в которых буквы Р и И стоят рядом?
   Сколько таких, в которых эти буквы не
   стоят рядом? (в комбинаторике под
   словами понимают любой набор букв,
   который не обязательно будет словом
   какого-нибудь языка).

3. Четыре
   студента сдают экзамен. Сколькими
   способами им могут быть выставлены
   положительные оценки?

4. Имеется
   4 разных флага. На флагштоке поднимается
   сигнал, состоящий не менее чем из двух
   флагов. Сколько различных сигналов
   можно подать, если порядок флагов в
   сигнале учитывается?

5. В
   коробке 10 деталей, из них 7 стандартные.
   Сколькими способами можно взять из
   коробки 6 деталей таким образом, чтобы
   среди них было 4 стандартные детали?

6. В
   студенческой группе 12 девушек и 16
   юношей. Сколькими способами можно
   выбрать двух студентов одного пола?

7. Из
   группы в 15 человек выбирают четырех
   участников эстафеты 800×400×200×100. Сколькими
   способами можно расставить спортсменов
   на этих этапах?

8. Сколькими
   способами можно расставить на книжной
   полке десятитомник произведений Д.
   Лондона, располагая их:

а) в
произвольном порядке;

б) так,
чтобы I,
V
и IX
тома стояли рядом (в любом порядке);

в) так,
чтобы I,
II,
III
тома
не стояли рядом (в любом порядке)?

1. В
   комнате
   имеется 7 стульев. Сколькими способами
   можно разместить на них 7 гостей? 3
   гостя?

2. Студенты
   сдают 5 экзаменов, в том числе 2 экзамена
   по математике. Сколькими способами
   можно распределить экзамены, но так,
   чтобы экзамены по математике следовали
   один за другим? Не следовали один за
   другим?

3. Владимир
   хочет пригласить в гости троих из семи
   своих лучших друзей. Сколькими способами
   он может выбрать приглашенных?

4. Имеется
   9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими
   способами можно выбрать: а) три любые
   гвоздики; б) шесть гвоздик одного цвета;
   с) четыре красных и три розовых гвоздики?

5. Группа
   туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает
   по жребию 5 человек для приготовления
   ужина. Сколько существует способов
   при которых в эту «пятерку» попадут:
   а) одни девушки; б) 3 юноши и 2 девушки;
   в)
   1 юноша и 4 девушки; г) 5 юношей?

6. В
   магазине 7 видов тортов. Сколькими
   способами можно приобрести набор из
   трех тортов? А если имеется три вида
   тортов, а необходим набор из 7 тортов?

7. Пять
   человек вошли в лифт на первом этаже
   девятиэтажного дома. Сколькими способами
   пассажиры могут выйти из лифта на
   нужных этажах?

8. Найти
   число диагоналей выпуклого десятиугольника.

9. Собрание
   из 40 человек избирает председателя,
   секретаря и трех членов редакционной
   коллегии. Сколькими способами это
   можно сделать?

10. В
    купе железнодорожного вагона один
    напротив другого два дивана по четыре
    места. Из 8 пассажиров трое желают ехать
    по ходу движения поезда, двое – спиной.
    Сколькими способами можно разместить
    пассажиров с учетом их пожеланий?

11. В
    некотором государстве не было жителей
    с одинаковым набором зубов. Какова
    наибольшая численность этого государства?

12. В
    подъезде дома установлен замок с кодом.
    Дверь автоматически отпирается, если
    в определенной последовательности
    набрать четыре цифры из имеющихся 12.
    Некто, не зная кода, стал наудачу
    набирать различные комбинации из 4-х
    цифр. Какое наибольшее число попыток
    ему надо предпринять, чтобы дверь
    открылась?

13. 12
    человек прибыли в гостиницу, в которой
    есть один 4-местный, два 3-местных и один
    2-местный номер. Сколькими способами
    их можно разместить в этих номерах?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Помогите с задачей по комбинаторике

Задача 1. Восемь студентов сдают экзамен по теории вероятностей. Сколькими способами им могут быть поставлены оценки, если известно, что они могут получить только «хорошо» или «отлично»?

Задача 2. Солькими способами можно выбрать старосту и профорга в группе из 20 студентов?

Задача 1: если Иванов получил 4, остальные 5 и Петров получил 4 — остальные 5 считается за один способ, а не за 2, то:
Число возможных сочетаний с повторениями равно:
С из (n+k-1) по k, в нашем случае n = 2, k = 8, n+k-1 = 9
Число сочетаний с повторениями равно 9!/(8!) = 9.

Если это считается за 2 разных способа, то ответ 256 способов

Задача 2.
Формула для второй задачи совсем не такая. Привожу вывод формулы для второй задачи (но не вывод приведенной тобой формулы) .
Допустим, первый студент — староста. Профорг может быть вторым, третьим, четвертым. двадцатым студентом (всего 19 вариантов при условии, что первый студент — староста) .
Теперь допустим, что староста — второй студент. Профорг может быть 1,3,4,5..20 (еще 19 вариантов) .
Аналогично, если староста третий студент, 4,5,6. 20 — каждый раз по 19 вариантов.
Т. е. всего возможных вариантов 19*20 = 380.
Можешь убедиться, что по приведенной тобой формуле ответ получится вдвое меньше (т. к. по этой формуле считают число сочетаний — т. е. по этой формуле варианты первый — староста, второй — профорг и первый — профорг, второй — староста считаются за один вариант) .
Тебе нужно использовать формулу С = 20!/(20-2)! (а на 2! уже не делить)

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Вход Регистрация

Donate FAQ Правила Поиск

Правила форума

Теория вероятности (помогите с решением 4х задач)

Здравствуйте! Есть несколько задачек, помогите решить:
1. Студенты сдают 5 экзаменов, в том числе 2 по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены так, что бы Экзамены по математике
а) следовали один за другим
б) Не следовали один за другим

Вот мое решение:
а) 3!*4=24
б) 3!*4!=144

2. Из цифр 0,1,2,3 составлены всевозможные четырех значные числа так, что в любом числе нет одинаковых цифр. Сколько получилось цифр? Сколько четных?

3*4*4*4=192 (всего)
3*4*4*2=96 (четных)

3. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины L равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка C удолена от точки А на расстояние не меньше С.

Это не знаю как делать.

4. Игрок А поочередно играет с игроками В и С по 2 партии. Вероятность выигрыша первой партии для В и С = 0,1 и 0,2 соответственно; вероятность выигрыша во второй партии дял В=0,3 для С=0,4. Определить вероятность того, что:
а) первым выиграет В
б) первым выиграет С

Тут тоже не знаю.

Архипов
Заблокирован Пример: 1230 1203 3021 . На первом месте слева может стоять любая из 3 цифр (0 не может), на втором — любая из 3 оставшихся (так как одна уже стоит первой), на третьем -любая из 2 оставшихся, на четвертом- любая из 1 оставшейся. Р=3*3*2*1. Четность числа зависит только от правой крайней цифры (0,1,2,3), половина из них — четные. Рч=Р/2. Первая задача по условиям похожа на вторую: Из букв А,В,М,М,С образовать различимые цепочки символов, например: АММВС АВММС . 1) Буквы ММ должны стоять рядом — объединим их в один символ «м», тогда Р=4*3*2*1. 2) Буквы М. М не должны стоять рядом — то есть могут стоять на любом из 5 мест, за исключением случаев 1),например: МАВСМ, МАМСВ, . Рн=5*4*3*2*1 — 4*3*2*1. Так как замены М на М не различимы, то окончательно Ро=Рн/2=48. В третьей задаче спрашивается: какова вероятность того, что точка С попадет случайно на левую половину отрезка АВ, если вероятность попасть на правую половину такая же? Возможностей всего две (попадет- не попадет) и они равновероятны. Для четвертой задачи нужно раписать все возможные события и их вероятности, например: Р(ВвСпВвСп)=0,1*0,7*0,2*0,6=? (Вв — В выиграл, Сп — С проиграл) Р(ВпСвВвСп)=0,9*0,3*0,2*0,6=? Р(ВпСпВпСв)= ? . =? Сумма (в столбик) равна 1. Теперь из столбика сложить вероятности случаев, когда выирывал первым игрок В. (а игрок С либо проирывал — либо выигрывал, но после выигрыша В).

antbez
Добавлено спустя 11 минут 51 секунду: Re: Теория вероятности (помогите с решением 4х задач) Здравствуйте! Есть несколько задачек, помогите решить: 1. Студенты сдают 5 экзаменов, в том числе 2 по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены так, что бы Экзамены по математике а) следовали один за другим б) Не следовали один за другим Вот мое решение: а) 3!*4=24 б) 3!*4!=144 С первым пунктом согласен, со вторым- нет. Всего у нас перестановок 5!, а у Вас вышло 144. Предлагаю просто вычесть из 5! число 24. Добавлено спустя 48 секунд: Re: Теория вероятности (помогите с решением 4х задач) Здравствуйте! Есть несколько задачек, помогите решить: 1. Студенты сдают 5 экзаменов, в том числе 2 по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены так, что бы Экзамены по математике а) следовали один за другим б) Не следовали один за другим Вот мое решение: а) 3!*4=24 б) 3!*4!=144 С первым пунктом согласен, со вторым- нет. Всего у нас перестановок 5!, а у Вас вышло 144. Предлагаю просто вычесть из 5! число 24.

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 3 ]

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Сколькими способами можно распределить экзамены по неделям?

Здравствуйте, помогите с задачей, пожалуйста.
В течение 10 недель студенты сдают 10 экзаменов в том числе два по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены по неделям так, чтобы экзамены по математике не следовали один за другим?

Это я так понимаю я посчитал количество способов распределения всех 10 экзаменов. А как посчитать чтобы математика не была одна за одной?

Сколькими способами можно распределить
В распоряжении ГУВД поступило 28 новых одинаковых машин, которые нужно распределить между 4.

Сколькими способами можно распределить купюру?
Сколькими способами можно распределить купюру 100 р., 3 купюры 200 р., 3 купюры 500 р. и 4 купюры.

Сколькими способами можно распределить людей по этажам
Есть задача : Я думал так C510 . Но я не уверен , что это правильно , поскольку у нас.

Сколькими способами можно распределить мешки по этажам?
Восемь мешков постельного белья доставляются на пять этажей гостиницы. Сколькими способами можно.

Байт, решение, похоже, правильное, но стилек изложения уж больно залихватский! Извините за нескромный вопрос, в какой группе детского сада вы преподаете?

По задаче: разве ответ не 10!-2*9! ??

Экзамены по математике считаются различимыми — следовательно всего перестановок 10!
Далее мы скрепляем меж собой 2 этих экзамена. Получаем 9! перестановок. Но скрепить их можно двумя способами => получаем ответ, что в начале.

Источник

Комбинаторная задача — Комбинаторика — Ответ 4110964

Помогите срочно надо сделать эти два задания((
Пожалуйста с объяснением как вы сделали. заранее спасибо

2)Сколькими способами можно посадить за круглый стол n женщин и n мужчин?Тоже при условии, что никакие два лица одного пола не сидят рядом.

Комбинаторная задача
Укажите по какой формуле вычислить: Сколькими способами можно переставить цифры числа 3456789 .

Комбинаторная задача на делимость
Сколь много чисел в пределах первых двух сотен, которые делятся в точности на одно из чисел: 4, 6, .

Комбинаторная задача. Способы рассадить людей за столом.
Сколькими способами можно посадить n мужчин n женщин за круглы стол так, чтобы никакие два лица.

Комбинаторная задача
Имеется слово, состоящее из n различных символов некоторого алфавита. Написать программу, которая.

Комбинаторная задача
2) Сколькими способами можно распределить 14 студентов для прохождения практики по четырём .

Комбинаторная задача
Доброго времени суток! Юноша решил подарить девушке букет из k цветов. В оранжерее имеются n.

Комбинаторная задача
Необходимо найти число комбинаций с N по M. N больше 1 меньше 8. Для N = 3, 4 и 5 работает, а 6 и.

Комбинаторная задача про шары
есть 4 красних, 5 белих, 7 черних шаров. какая вероятность сколько что витянут 2 черних? спасибо

Источник

Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников специальности «Государственное и муниципальное управление» Братск, 2015

Главная > Методические указания

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Решение типового варианта

Задание 1

Студенту необходимо сдать 5 экзаменов в течение 13 дней. Сколькими способами можно составить расписание?

Например, студенту нужно сдать математику (М), историю (И), философию (Ф), английский язык (А) и экономику (Э). Для этого нужно выбрать 6 дней. Допустим, это 1-й, 3-й, 8-й, 10-й и 12-й дни.

Можно получить следующие расписания:

3 10 12 1 8 и т.д.

Дни выбраны одни и те же, но расписание разное. Значит, надо воспользоваться формулой из комбинаторики:

— это число способов, с помощью которых можно выбрать k различных элементов из имеющихся n элементов с учетом порядка выборки.

В нашем случае, n = 13, k =5. Получим:

.

Можно составить 154440 различных вариантов сдачи экзаменов.

В конкурсе участвует 6 команд. В финал пройдут только три команды. Сколько различных составов финалистов может быть?

Например, в финал сначала прошла 2-команда, потом 6-я и затем 1-я. Или сначала могла пройти 6-я, потом 1-я и затем 2-я. Состав финалистов при этом остался прежним, поэтому воспользуемся формулой:

— это число способов, с помощью которых можно выбрать k различных элементов из имеющихся n элементов без учета порядка выборки.

В нашем случае, n = 3, k =3. Получим:

.

Можно получить 20 различных составов финалистов.

Чтобы открыть кодовый замок, необходимо набрать комбинацию из цифр 1, 2, 5, 7, 8, 0. Известно, что все цифры в ней различны. Сколько различных вариантов комбинаций существует?

Решение

Например, кодовый замок можно открыть при помощи комбинации 521780. Или это может быть комбинация 018257 и т.д. То есть нужно местами между собой имеющиеся 6 цифр.

Найти число комбинаций можно при помощи формулы:

— это число способов, с помощью которых можно выбрать n различных элементов из имеющихся n элементов с учетом порядка выборки.

В нашем случае имеется 6 цифр, то есть n =6. Получим: .

Чтобы открыть замок, необходимо перебрать максимум 720 комбинаций.

Задание 2

Три стрелка, попадающие в цель независимо друг от друга с вероятностями 0.6, 0.9, и 0.3 соответственно, выстрелили по мишени одновременно. Какова вероятность того, что:

а) в мишени нет пробоин;

б) в мишени будет одна пробоина;

в) в мишени будет две пробоины;

г) в мишени будет три пробоины;

д) в мишени будет хотя бы одна пробоина;

е) в мишени будет не менее двух пробоин?

а) Нас интересует вероятность события А=<в мишени нет пробоин>. Это событие возможно, когда все три стрелка промахнулись.

Сформулируем события А 1 =<первый стрелок попал в мишень>, А 2 = <второй стрелок попал в мишень>и А 3 =<третий стрелок попал в мишень>. Так как стрелки должны промахнуться, то получим события:

= <первый стрелок промахнулся>, = <второй стрелок промахнулся>и =

Они должны выполняться одновременно, т.е. .

Тогда вероятность события А найдем по формуле:

.

Если первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,6, то промахивается он с вероятностью= 1-0,6= 0,4. Аналогично, = 0,1 и = 0,7. Отсюда

.

б) Нас интересует вероятность события А=<в мишени будет одна пробоина>. Это возможно, когда в мишень попал только один из стрелков, а два других промахнулись. Попасть в мишень может или первый (тогда второй и третий должны промахнуться), или второй (тогда первый и третий промахиваются), или третий стрелок (тогда первый и второй промахиваются), т.е.

.

Тогда вероятность события А найдем по формуле:

.

в) Нас интересует вероятность события А=<в мишени будет две пробоины>. Это возможно, когда в мишень попали только два стрелка, а один промахнулся. Попасть в мишень могут или первый и второй (тогда третий должен промахнуться), или второй и третий (тогда первый промахивается), или первый и третий стрелок (тогда второй промахивается), т.е.

.

Тогда вероятность события А найдем по формуле:

.

.

г) Нас интересует вероятность события А=<в мишени три пробоины>. Это событие возможно, когда все три стрелка попадают в мишень, т.е.

.

Тогда вероятность события А найдем по формуле:

.

.

д) Нас интересует вероятность события А=<в мишени хотя бы одна пробоина>. Это событие заключается в том, что в мишени или одна, или две, или три пробоины. Вероятности этих событий мы нашли выше. Так как они несовместны (в мишени не может быть одновременно и одна, и две, и три пробоины), то вероятность события А равна:

.

Эту же задачу можно решить другим способом. Сформулируем противоположное событие = <в мишени ни одной пробоины>. Вероятность этого события равна (из пункта а). Тогда вероятность события А равна:

.

е) Нас интересует вероятность события А=<в мишени не менее двух пробоин>. Значит, в мишени или две, или три пробоины. Тогда вероятность события А равна:

.

Задание 3

Имеются четыре одинаковые по виду коробки. В первой коробке 12 белых и 4 черных шаров, во второй – 10 белых и 6 черных шаров, в третьей – 15 белых и 1 черный, в четвертой – 8 белых и 8 черных. Наугад выбирают одну коробку и достают из нее один шар. Какова вероятность, что он белый?

Тогда вероятность события А можем найти по формуле полной вероятности:

.

Здесь — вероятность выполнения i -ой гипотезы, а — вероятность появления события А при выполнении i -ой гипотезы.

Из условия задачи:

, , и (вероятности выбора какой-либо коробки равны, так как коробки одинаковы);

(в первой коробке всего 16 шаров, из них удачных для нас, т.е. белых, 12). Аналогично, , и .

.

Задание 4

По мишени производится 6 независимых выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Определите вероятность того, что будет:

а) одно попадание;

б) три попадания;

в) хотя бы одно попадание;

г) не более трех попаданий.

а) Необходимо определить вероятность события А=<одно попадание в мишень>. Это может быть попадание или первым выстрелом (тогда остальные дают промахи), или вторым (тогда при 1-ом, 3-ем, 4-ом, 5-ом и 6-ом выстреле будут промахи) и т.д. Событие достаточно сложное, и так как вероятность успеха (попадания), всегда одинаковая, то воспользуемся формулой Бернулли:

.

С ее помощью можно вычислить вероятность появления k успехов в n испытаниях при вероятности успеха p и вероятности неудачи q =1- p .

.

б) Необходимо определить вероятность события А=<три попадания в мишень>. Это могут быть первые три попадания и остальные промахи, или сначала три промаха, потом три попадания и т.д. Событие достаточно сложное, и так как вероятность успеха (попадания), всегда одинаковая, то по формуле Бернулли получим

.

в) Необходимо определить вероятность события А=<хотя бы одно попадание в мишень>. Это или одно попадание, или два, или три и т.д. Событие сложное, поэтому сформулируем противоположное событие =<в мишень ни разу не попали>. По схеме Бернулли вычислим вероятность появления 0 успехов:

.

Тогда вероятность события А равна:

.

г) Необходимо определить вероятность события А=<не более трех попаданий в мишень>. Это могут быть три, два, одно или ни одного попадания в мишень.

Тогда вероятность события А равна:

.

.

Вероятность рождения мальчика равна 0,505. Найдите наивероятнейшее число девочек из 100 новорожденных.

Наивероятнейшее число – это число появлений некоторого события (число успехов), которому соответствует наибольшая вероятность. Чтобы не вычислять вероятность вероятности появления одной, двух и т.д. девочек, воспользуемся формулой:

.

n – общее число опытов;

p – вероятность появления события (успеха);

q – вероятность неудачи;

k 0 – наивероятнейшее число успехов.

Подставим числовые данные и получим:

.

Отсюда, . Так как k 0 – число целое, то оно равно 49. Вероятнее всего появится 49 девочек из 100 новорожденных.

При стрельбе по мишени вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. При каком числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно 20?

Наивероятнейшее число – это число появлений некоторого события (число успехов), которому соответствует наибольшая вероятность. Найти его можно по формуле . В данной задаче значение k 0 нам уже известно, оно равно 20. Необходимо найти общее число испытаний. Подставим известные нам данные и получим систему из двух неравенств:

.

или , или .

Этой системе неравенств удовлетворяют два значения n : 33 и 34.

Источник