Таблица производных функций для егэ

Таблица производных и правила дифференцирования

О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

Для решения задач на исследование функции в вариантах ЕГЭ необходима таблица производных и правила дифференцирования, а также знания о том, как связана производная с поведением функции.

Смотри также, как решаются задачи ЕГЭ на применение производной: задача 7 и задача 11.

Прокомментируем несколько строк из таблицы производных.

1. Производная постоянной величины, то есть константы, равна ей самой. Так и должно быть. Ведь константа не меняется. Это постоянная величина, она всегда принимает одинаковые значения.

А производная функции, как мы знаем, – это скорость изменения функции. Подробнее об этом здесь:
Производная функции.
И поэтому производная константы равна нулю.

2. Производная функции у=х равна 1. Вспомним, что производная функции в точке – это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. График функции у=х образует угол 45 градусов с положительным направлением оси Х. А тангенс 45 градусов равен 1.

3. Производная функции y=e^{x} равна самой этой функции. И действительно, чем больше значение х, тем больше значение функции y=e^{x}… и тем круче вверх идет график по отношению к оси Х. Вот такая это функция, экспонента. Чем дальше, тем быстрее она растет.

4. Производная синуса и косинуса – тоже тригонометрические функции. Например, производная синуса – это косинус. Как это отражается в физике? Если координата тела меняется по закону синуса, то производная координаты, скорость, будет меняться по закону косинуса. Это описание гармонических колебаний: и координата, и скорость, и ускорение тела меняются по законам синуса и косинуса.

5. Производная логарифма в точке x_{0} обратно пропорциональна x_{0}. Чем дальше, тем медленнее растет логарифмическая функция.

Вспомним, как связаны производная и поведение функции.

Если производная {f}  положительна, то функция  f(x) возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

f(x) возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
{f} + 0 — 0 +

Разберем задачи ЕГЭ по теме «Таблица производных, нахождение наибольших и наименьших значений функции, нахождение точек максимума и минимума». Во всех этих примерах мы пользуемся формулами из таблицы производных.

Задача 1. Найдите точки максимумам функции displaystyle y=-frac{x^{2}+25}{x}.

Решение:

Область определения функции: xin (-infty; 0)cup (0;+infty ).

Найдем производную функции, пользуясь формулой производной частного из таблицы.

displaystyle {y}

{y} если x=pm 5.

Точки х = 5 и х = -5, а также точка ноль, разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Это метод интервалов.

Найдем знаки производной на каждом интервале.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Это точка 5 на рисунке.

Ответ: 5.

Задача 2. Найдите точки минимума функции  y=e^{x+10}(8x-3).

Решение:

Применим формулу производной произведения.

{y}

Приравняем производную к нулю:

{y}, если 8x-5=0, displaystyle x=frac{5}{8}=0,625.

Если  xtextless 0,625, то {y}  функция убывает.

Если xtextgreater 0,625, то {y} функция возрастает, значит,  x=0,625 – точка минимума функции y(x).

В этой точке производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Ответ: 0,625.

Задача 3. Найдите значение функции f(x)=x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9 в точке максимума.

Решение:

Найдем производную функции: f

Мы применили формулы производной степени.

Решим уравнение: f

3x^{3}-12x^{2}-4x+12=0Leftrightarrow 3x^{3}(x-3)-4(x-3)=0Leftrightarrow
Leftrightarrow (x-3)cdot 4cdot (x-1)cdot (x+1)=0Leftrightarrow left[begin{array}{c}x=3\x=1\x=-1\end{array}right. .

Получили критические точки, в которых производная равна нулю. Отметим их на оси Х и найдём знаки производной.

x=1 – точка максимума.

Найдём значение функции в этой точке: f(1)=1-4-2+12+9=16.

Ответ: 16.

Рассмотрим задачи ЕГЭ на нахождение наибольших и наименьших значений функций.

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке:

Это значит, что у нас есть алгоритм для нахождения наибольших и наименьших значений функции на интервале.

Пусть функция f(x) определена на некотором интервале. Чтобы найти ее наибольшее или наименьшее значение, действуем следующим образом:

  1. Находим производную функции.
  2. Приравниваем производную к нулю, находим точки, в которых она равна нулю.
  3. Если производная меняет знак с «плюса» на «минус» в точке x_{0}, то x_{0} – точка максимума функции.
  4. Если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» в точке x_{0}, то x_{0} – точка минимума функции.
  5. Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке максимума и концах отрезка.
    Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке минимума и концах отрезка.

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции y=2sqrt{2}(sinx+cosx) на отрезке [0;pi ].

Решение:

y=2sqrt{2}(sinx+cosx), xin [0;pi ].

Найдем производную: y

Приравняем производную к нулю:

displaystyle 2sqrt{2}(cosx-sinx)=0Leftrightarrow cosx=sinxLeftrightarrow tgx=1Leftrightarrow

displaystyle Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+pi n, nin Z.

Если xin [0;pi ], то displaystyle x=frac{pi }{4}.

Так как y

Точка displaystyle x=frac{pi }{4} – точка максимума функции displaystyle y(x); y_{max}(x)=yleft (frac{pi }{4}right )=4.

В этой точке функция принимает наибольшее значение на указанном отрезке.

Ответ: 4.

Задача 5. Найдите наименьшее значение функции y=(x-21)e^{x-20} на отрезке [19; 21].

Решение:

Найдем производную функции:

y

y при x=20.

Найдем знаки производной слева и справа от точки x=20.

Если  xtextless 20, то {y}

Если xtextgreater 20 то {y}

Значит, x=20 – точка минимума. Наименьшее значение функции на отрезке  достигается при x=20.

Это значение равно y(20)=-1.

Ответ: -1.

Задача 6. Найдите наибольшее значение функции y=3x^{2}-13x+7ln+5 на отрезке displaystyle left [ frac{13}{14};frac{15}{14} right ].

Решение:

Область  определения  функции: xtextgreater 0.

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

displaystyle y

displaystyle =frac{6(x-1)left ( x-frac{7}{6} right )}{x}.

y если 6x^{2}-13x+7=0.

D=169-168=1; x=1 или displaystyle x=frac{7}{6}. Второй корень не принадлежит отрезку displaystyle left [ frac{13}{14};frac{15}{14} right ].

Найдем знаки производной на отрезке:

В точке x=1 производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, это точка максимума, и  наибольшее значение функции на отрезке displaystyle left [ frac{13}{14};frac{15}{14} right ] достигается при  x=1.

Найдем значение функции  при x=1:

y(1)=3-13+7ln1+5=-5.

Ответ: -5.

В следующих задачах наименьшее значение функции достигается на конце отрезка.

Задача 7. Найдите наименьшее значение функции y=3cosx-pi x+pi ^{2} на отрезке [-2pi ; pi ].

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

y

displaystyle y

У этого уравнения нет решений, так как displaystyle-frac{pi }{3}textless -1.

Это значит, что y при любых x, то есть y а это означает, что y(x) – убывает, наименьшее значение функции достигается в правом конце отрезка [-2pi ; pi ].

y_{min}=y(pi )=-3.

Ответ: -3.

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции y=7x-6sinx+8 на отрезке displaystyle left [ -frac{pi }{2}; 0 right ].

Решение:

Найдем производную функции: y

displaystyle y Производная функции не равна нулю ни при каком x.

Мы знаем, что -1leq cosxleq 1. Тогда -6leq -6cosxleq 6.

Прибавим  7 ко всем частям неравенства:

1leq 7-6cosxleq 13Rightarrow y для всех x.

Значит, производная положительна при любом значении переменной, функция монотонно возрастает. Наибольшее значение функции будет достигаться в правом конце отрезка, то есть при x=0.

y_{naim}=y(0)=7cdot 0-6sin0+8=8.

Ответ: 8.

Задача 9. Найдите наименьшее значение функции displaystyle y=13+frac{sqrt{3}pi }{3}-2sqrt{3}cdot x-4sqrt{3}cdot cosx на отрезке displaystyleleft [ 0; frac{pi }{2} right ].

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

displaystyle y
=2sqrt{3}(2sinx-1).

y тогда displaystyle sinx=frac{1}{2}.

На указанном отрезке это уравнение имеет единственное решение displaystyle x=frac{pi }{6}.

Слева от этой точки Если  2sinx-1textless 0, производная отрицательна.

Справа от этой точки 2sinx-1textgreater 0, производная положительна.

Значит, displaystyle x=frac{pi }{6} – точка минимума функции,  и наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке.

Найдем значения функции в этой точке:

displaystyle yleft ( frac{pi }{6} right )=13+frac{sqrt{3}pi }{3}-2sqrt{3}cdot frac{pi }{6}-4sqrt{3}cdot cosfrac{pi }{6}=

displaystyle =13+frac{sqrt{3}pi }{3}-frac{sqrt{3}pi }{3}-4sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{2}=13-6=7.

Ответ: 7.

В задачах ЕГЭ встречаются сложные функции. И найти нужно их точки максимума или минимума, наибольшие или наименьшие значения. Но производную сложной функции в школьной программе по-настоящему не проходят. Как же быть? Покажем полезные приемы, помогающие решить такие задания ЕГЭ.

Задача 10. Найдите наименьшее значение функции y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).

Решение:

Рассмотрим функцию y=log_{2}t.

Так как функция y=log_{2}t монотонно возрастает, точка  минимума функции y=log_{2}(x^{2}+x+0,5) будет при том же значении  x, что и точка минимума функции t(x)=x^{2}+x+0,5. А ее найти легко:

t

t при displaystyle x=-frac{1}{2}.

В точке displaystyle x=-frac{1}{2} производная t меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, displaystyle x=-frac{1}{2} – единственная точка минимума функции t(x) и функции y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).

displaystyle y_{min}=yleft ( -frac{1}{2} right )=log_{2}left ( frac{1}{4}-frac{1}{2}+0,5 right )=log_{2}frac{1}{4}=-2.

Ответ: -2.

Задача 11. Найдите наибольшее значение функции  y=sqrt{x^{2}-4x+13} на отрезке [-0,5; 6].

Решение:

y=sqrt{x^{2}-4x+13}, xin [-0,5; 6].

Так как функция y=sqrt{t} монотонно возрастает при tgeq 0, точка минимума функции y=sqrt{x^{2}-4x+13} соответствует точке минимума подкоренного выражения t(x)={x^{2}-4x+13}.

Заметим, что подкоренное выражение всегда положительно.

Функция t(x)={x^{2}-4x+13}. задает квадратичную параболу с ветвями вверх и точкой минимума в вершине параболы, то есть при displaystyle x=frac{4}{2}=2.

Если xin [-0,5; 2], y=sqrt{x^{2}-4x+13} – монотонно убывает.

Если xin [2; 6], y=sqrt{x^{2}-4x+13} – монотонно возрастает.

Значит, наибольшее значение функции y=sqrt{x^{2}-4x+13} на отрезке [-0,5; 6] достигается в одном из концов этого отрезка.

Сравним y=(-0,5) и y=(6):

y(-0,5)=sqrt{0,25+13-2}=sqrt{11,25}.

y(6)=sqrt{25}=5.

y(-0,5)textless y(6).

y_{max}=6.

Ответ: 6.

Задача 12. Найдите точку максимума функции y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2.

Решение:

Рассмотрим функцию t(x)=2+2x-x^{2}.

Ее график – парабола с ветвями вниз, и точка максимума будет в вершине параболы, при x=1. Функция y(t)=log_{2}t монотонно возрастает, и значит, большему значению t будет соответствовать большее значение y(t).

Точка максимума функции y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2 будет такой же, как у функции t(x)=2+2x-x^{2}, то есть x=1.

Ответ: 1.

Читайте также: Задание 11 на ЕГЭ по математике.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Таблица производных и правила дифференцирования» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Наверх

задания и ответы

Шпаргалка по математике для 11 класса таблица производных, формулы и теория по производным может пригодиться при решении задания №7 ЕГЭ по математике.

Ссылка для скачивания шпаргалки №1 по производным: скачать в PDF

Ссылка для скачивания шпаргалки №2 по производным: скачать в PDF

В данной шпаргалке вы найдёте: формулы и правила дифференцирования, применение производной к исследованию функции, анализ графиков, геометрический и физический смысл производной, задачи на нахождения тангенса, задачи на нахождение коэффициента К, задачи на нахождение значения производной, условие касания функции и прямой.

Смотреть онлайн:

Кому нужно углубиться в данную тему, смотрите бесплатный видеоурок:

Смотреть видеоурок 2019-2020 производная, таблица производных

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ


Источник

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:


Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

у = 10

у′ = 0

Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.

у = 10 + 3х

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1, а также по правилам вычисления производных (c*f(x))’=cf'(x) и (f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x).

у = 10 + 3х

у′ = 0 + 3

у′ = 3

Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

Быстрее освоить производные поможет
обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Альтернативный текст для изображения

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Реши домашку по математике на 5.

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Поэтому приведем стандартную таблицу производных.

Функция f (x)

Производная f’ (х)

С (т. е. константа, любое число)

0

х

1

xn

nxn-1

√x

1/(2√x)

sin x

cos x

cos x

-sin x

tg x

1/cos2(х)

ctg x

-1/sin2x

ex

ex

ax

ax * ln a

ln x

1/x

logax

1/(x * ln a)

Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции. Но для этого существуют определенные правила.

Общие правила дифференцирования

Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:

(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′

(u + v)′ = u′ + v′

(u — v)′ = u′ — v′

(u ⋅ v)′ = u′v + v′u

(u/v)’ = (u’v — v’u)/v2

В данном случае u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

С константой все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.

Например: требуется найти производную функции y = (5 ⋅ x3).

y′ = (5 ⋅ x3)′

Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:

y′ = (5 ⋅ x3)’ = 5 ⋅ (x3)′ = 5 ⋅ 3 ⋅ х3-1 = 15х2

Попробуйте самостоятельно решить эти примеры. Правильные ответы найдете в конце статьи:

Правила дифференцирования сложных функций

Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: y = (3 + 2x2)4?

Сложной функцией называют такое выражение, в котором одна функция словно вложена в другую. Производную сложной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y) ⋅ y′. Другими словами, нужно умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней.

Пример 1

Найдем производную функции y(x) = (3 + 2x2)4.

Заменим 3 + 2x2 на u и тогда получим y = u4.

Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:

y = y′u ⋅ u′x = 4u3 ⋅ u’x

А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:

4u3 ⋅ u′x = 4 (3 + 2x2)3 ⋅ (3 + 2x2)′ = 16 (3 + 2x2)3 ⋅ х

Пример 2

Найдем производную для функции y = (x3 + 4) cos x.

Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.

y′ = (x3 + 4)′ ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ cos x′ = 3x2 ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ (-sin x) = 3x2 ⋅ cos x – (x3 + 4) ⋅ sin x

Ответы на задания

Источник

Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

$f'(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.

Таблица производных некоторых элементарных функций

Функция Производная
$c$ $0$
$x$ $1$
$x^n$ $nx^{n-1}$
${1}/{x}$ $-{1}/{x^2}$
$√x$ ${1}/{2√x}$
$e^x$ $e^x$
$lnx$ ${1}/{x}$
$sinx$ $cosx$
$cosx$ $-sinx$
$tgx$ ${1}/{cos^2x}$
$ctgx$ $-{1}/{sin^2x}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ + ({1}/{x})’ = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

$f'(x)=(4x)’·cosx+4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$

$f(x)= cos(5x)$

$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

$v(t) = x'(t)$

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

Решение:

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

Ответ: $5$

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Решение:

Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$

Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.

Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Ответ: $0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.

В ответ запишите количество данных точек.

Решение:

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.

В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.

Ответ: $2$

Источник

Вычисление производных – одна из самых распространенных задач школьной и вузовской программ. Как минимум один вопрос на ЕГЭ будет связан с этой темой. Эксперты Студворк составили таблицу со списком формул для вашего удобства.

Таблица производных

Функция Производная

f(x)=constf(x)=const

f(x)=xf(x)=x

f(x)=xnf(x)=x^n

f(x)=1xf(x)=frac{1}{x}

f(x)=xf(x)=sqrt{x}

f(x)=axf(x)=a^x

f(x)=exf(x)=e^x

f(x)=log⁡axf(x)=log_{a}x

f(x)=ln⁡xf(x)=ln x

f(x)=sin⁡xf(x)=sin x

f(x)=cos⁡xf(x)=cos x

f(x)=tg⁡xf(x)=tg x

f(x)=ctg⁡xf(x)=ctg x

f(x)=sec⁡xf(x)=sec x

f(x)=cosec⁡xf(x)=cosec x

f(x)=sh⁡xf(x)=sh x

f(x)=ch⁡xf(x)=ch x

f(x)=th⁡xf(x)=th x

f(x)=cth⁡xf(x)=cth x

f(x)=sech xf(x)=text{sech} x

f(x)=csch xf(x)=text{csch} x

f(x)=arcsin⁡xf(x)=arcsin x

f(x)=arccos⁡xf(x)=arccos x

f(x)=arctg⁡xf(x)=arctg x

f(x)=arcctg⁡xf(x)=arcctg x

f(x)=arsh xf(x)=text{arsh} x

f(x)=arch xf(x)=text{arch} x

f(x)=arth xf(x)=text{arth} x

f(x)=arcth xf(x)=text{arcth} x

f(x)=arsech xf(x)=text{arsech} x

f(x)=arcsch xf(x)=text{arcsch} x

f′(x)=0f'(x)=0

f′(x)=1f'(x)=1

f′(x)=nxn−1f'(x)=nx^{n-1}

f′(x)=−1x2f'(x)=-frac{1}{x^2}

f′(x)=12xf'(x)=frac{1}{2sqrt{x}}

f′(x)=axln⁡af'(x)=a^xln a

f′(x)=exf'(x)=e^x

f′(x)=1xln⁡af'(x)=frac{1}{xln a}

f′(x)=1xf'(x)=frac{1}{x}

f′(x)=cos⁡xf'(x)=cos x

f′(x)=−sin⁡xf'(x)=-sin x

f′(x)=1cos⁡2xf'(x)=frac{1}{cos^2 x}

f′(x)=−1sin⁡2xf'(x)=-frac{1}{sin^2 x}

f′(x)=tg⁡xsec⁡xf'(x)=tg xsec x

f′(x)=−ctg⁡xcosec⁡xf'(x)=-ctg xcosec x

f′(x)=ch⁡xf'(x)=ch x

f′(x)=sh⁡xf'(x)=sh x

f′(x)=sech2xf'(x)=text{sech}^2 x

f′(x)=−csch2xf'(x)=-text{csch}^2 x

f′(x)=−th⁡x sech xf'(x)=-th x text{sech} x

f′(x)=−cth⁡x csch xf'(x)=-cth x text{csch} x

f′(x)=11−x2f'(x)=frac{1}{sqrt{1-x^2}}

f′(x)=−11−x2f'(x)=-frac{1}{sqrt{1-x^2}}

f′(x)=11+x2f'(x)=frac{1}{1+x^2}

f′(x)=−11+x2f'(x)=-frac{1}{1+x^2}

f′(x)=1×2+1f'(x)=frac{1}{sqrt{x^2+1}}

f′(x)=1×2−1f'(x)=frac{1}{sqrt{x^2-1}}

f′(x)=11−x2       ∣x∣<1f'(x)=frac{1}{1-x^2} |x|<1

f′(x)=11−x2       ∣x∣>1f'(x)=frac{1}{1-x^2} |x|>1

f′(x)=−1×1−x2f'(x)=-frac{1}{xsqrt{1-x^2}}

f′(x)=−1∣x∣1+x2f'(x)=-frac{1}{|x|sqrt{1+x^2}}

Напомним определение производной функции y=f(x)y=f(x) в точке x∈Dxin D.

DD — область определения функции f(x)f(x).

f′(x)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf'(x)=displaystylelim_{Delta xto 0}frac{Delta y}{Delta x}=lim_{Delta xto 0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}

Докажем некоторые из производных и разберем примеры.

Производная от константы

f(x)=cf(x)=c

f′(x)=0f'(x)=0

Для всех c=constc=const

Доказательство

f′(x)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0c−cΔx=0f'(x)=displaystylelim_{Delta xto 0}frac{Delta y}{Delta x}=lim_{Delta xto 0}frac{c-c}{Delta x}=0

Пример 1

f(x)=1f(x)=1

f′(x)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→01−1Δx=0f'(x)=displaystylelim_{Delta xto 0}frac{Delta y}{Delta x}=lim_{Delta xto 0}frac{1-1}{Delta x}=0

Производная степенной функции

f(x)=xaf(x)=x^a

f′(x)=axa−1f'(x)=ax^{a-1}

aa — вещественное число.

Доказательство

Начнем со случая, когда a=na=n, nn — натуральное число.

Δy=(x+Δx)n−xn=Delta y={(x+Delta x)}^n-x^n=

=Cn0xn+Cn1xn−1Δx+Cn2xn−2Δx2+…+Cnn−1xΔxn−1+CnnΔxn−xn==C^0_nx^n+C^1_nx^{n-1}Delta x+C^2_nx^{n-2}{Delta x}^2+…+C_n^{n-1}x{Delta x}^{n-1}+C_n^n{Delta x}^n-x^n=

=xn−xn+Cn1xn−1Δx+Cn2xn−2Δx2+…+Cnn−1xΔxn−1+CnnΔxn==x^n-x^n+C^1_nx^{n-1}Delta x+C^2_nx^{n-2}{Delta x}^2+…+C_n^{n-1}x{Delta x}^{n-1}+C_n^n{Delta x}^n=

=Cn1xn−1Δx+Cn2xn−2Δx2+…+Cnn−1xΔxn−1+CnnΔxn==C^1_nx^{n-1}Delta x+C^2_nx^{n-2}{Delta x}^2+…+C_n^{n-1}x{Delta x}^{n-1}+C_n^n{Delta x}^n=

=Δx(Cn1xn−1+Cn2xn−2Δx+…+Cnn−1xΔxn−2+CnnΔxn−1)=Delta x(C^1_nx^{n-1}+C_n^2x^{n-2}Delta x+…+C_n^{n-1}x{Delta x}^{n-2}+C_n^n{Delta x}^{n-1})

Здесь мы воспользовались тем, что nn натуральное и разложили первое слагаемое по формуле бинома Ньютона. Затем привели подобные слагаемые (xnx^n сократилось) и вынесли общий множитель ΔxDelta x.

f′(x)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0Δx(Cn1xn−1+Cn2xn−2Δx+…+Cnn−1xΔxn−2+CnnΔxn−1)Δxf'(x)=displaystylelim_{Delta xto 0}frac{Delta y}{Delta x}=lim_{Delta xto 0}frac{Delta x(C^1_nx^{n-1}+C_n^2x^{n-2}Delta x+…+C_n^{n-1}x{Delta x}^{n-2}+C_n^n{Delta x}^{n-1})}{Delta x}

f′(x)=lim⁡Δx→0(Cn1xn−1+Cn2xn−2Δx+…+Cnn−1xΔxn−2+CnnΔxn−1)f'(x)=displaystylelim_{Delta xto 0}(C^1_nx^{n-1}+C_n^2x^{n-2}Delta x+…+C_n^{n-1}x{Delta x}^{n-2}+C_n^n{Delta x}^{n-1})

f′(x)=Cn1xn−1=n!(n−1)!xn−1=nxn−1f'(x)=C^1_nx^{n-1}=frac{n!}{(n-1)!}x^{n-1}=nx^{n-1}

Что и требовалось доказать.

Этот результат может быть обобщен на случай произвольного вещественного числа aa.

Пример 2

f(x)=x3f(x)=x^3

f′(x)=3x2f'(x)=3x^2

Пример 3

f(x)=1x35f(x)=frac{1}{sqrt[5]{x^3}}

Первым делом преобразуем это выражение так, чтобы стало очевидно, что перед нами действительно степенная функция:

1×35=1×35=x−35frac{1}{sqrt[5]{x^3}}=frac{1}{x^{frac{3}{5}}}=x^{-frac{3}{5}}

f′(x)=−35x−35−1=−35x−85f'(x)=-frac{3}{5}x^{-frac{3}{5}-1} = -frac{3}{5}x^{-frac{8}{5}}

Производная показательной функции

f(x)=axf(x)=a^x

f′(x)=axln⁡af'(x)=a^xln a

aa — вещественное число.

Следствие:

Пусть a=ea=e, тогда:

f′(x)=exln⁡e=exf'(x)=e^xln e=e^x

Поскольку по определению натурального логарифма: ln⁡e=1ln e=1.

Пример 4

f(x)=(12)xf(x)=big(frac{1}{2}big)^x

f′(x)=(12)xln⁡12f'(x)=big(frac{1}{2}big)^xln frac{1}{2}

Это выражение можно упростить, пользуясь свойствами логарифмов:

f′(x)=(12)xln⁡12=(12)x(ln⁡1−ln⁡2)=(12)x(0−ln⁡2)=−(12)xln⁡2f'(x)=Big(frac{1}{2}Big)^xln frac{1}{2}=Big(frac{1}{2}Big)^x(ln 1-ln 2)=Big(frac{1}{2}Big)^x(0-ln 2)=-Big(frac{1}{2}Big)^xln 2

Производная логарифмической функции

f(x)=log⁡axf(x)=log_a x

f′(x)=1xln⁡af'(x)=frac{1}{xln a}

Следствие:

Пусть a=ea=e, тогда:

f′(x)=1xln⁡e=1xf'(x)=frac{1}{xln e}=frac{1}{x}

Пример 5

f(x)=log⁡13exf(x)=log_{13e}x

f′(x)=1xln⁡(13e)f'(x)=frac{1}{xln(13e)}

Здесь тоже можно воспользоваться свойствами логарифмов для упрощения результата:

f′(x)=1xln⁡(13e)=1x(ln⁡13+ln⁡e)=1x(ln⁡13+1)f'(x)=frac{1}{xln(13e)}=frac{1}{x(ln 13 +ln e)}=frac{1}{x(ln 13+1)}

Тест по теме «Таблица производных»

Источник

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Таблицы производных и интегралов

Таблица производных и таблица интегралов…

Производная. Геометрический смысл производной. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

Урок обобщения и систематизации знаний. Осуществляется подготовка к ЕГЭ по заданиям с производной. Используются различные формы работы (фронтальная, групповая, самостоятельная работа учащихся)….

таблицы к уроку по теме «производная»

Производная.Непрерывность….

Проверочная работа по теме «Производная. Геометрический и физический смысл производной. Исследование функции по графику производной».

Данная  проверочная работа может быть использована как  для проверки знаний после окончания прохождения темы, так и в ходе итогового повторения  при подготовке к ЕГЭ. Работа составлена …

Урок обобщающего повторения в 11 классе по теме: «Таблица производных»

ЦЕЛЬ:- обобщить и систематизировать материал по теме: повторить понятия производная, дифференцирование, сложная функция, алгоритм нахождения производной, правила дифференцирования;- развивать логическ…

Конспект занятия на тему «Приращение аргумента и функции. Определение производной. Алгоритм вычисления производной по определению. Таблица производных. Правила вычисления производной»

Конспект занятия на тему «Приращение аргумента и функции. Определение производной.  Алгоритм вычисления производной по определению. Таблица производных. Правила вычисления производной»…

Открытый урок по математике «Определение производной. Механический и геометрический смысл производной. Правила вычисления производной»

laquo;Определение производной. Механический и геометрический смысл производной. Правила вычисления производной»…

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Таблица перевода баллов егэ 2018
  • Таблица производных для егэ профиль математика
  • Таблица переведения баллов егэ
  • Таблица производных для егэ полная
  • Таблица для 15 задания егэ математика