Техника дифференцирования егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

$f'(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.

Таблица производных некоторых элементарных функций

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^{n-1}$
${1}/{x}$	$-{1}/{x^2}$
$√x$	${1}/{2√x}$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	${1}/{x}$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	${1}/{cos^2x}$
$ctgx$	$-{1}/{sin^2x}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ + ({1}/{x})’ = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

$f'(x)=(4x)’·cosx+4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$

$f(x)= cos(5x)$

$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

$v(t) = x'(t)$

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

Решение:

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

Ответ: $5$

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Решение:

Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$

Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.

Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Ответ: $0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.

В ответ запишите количество данных точек.

Решение:

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.

В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.

Ответ: $2$

Источник

Каталог заданий.
Применение производной к исследованию функций

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Источник: ЕГЭ по математике 29.06.2021. Резервная волна. Центр. Вариант 402

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Подмосковье

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Производная функции на ЕГЭ

08.11.2013

Материал для подготовки к ЕГЭ по математике на тему: «Производная функции».

Содержание темы:

17. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
17.1. Правила дифференцирования
17.2. Таблица производных элементарных и сложных функций
17.3. Геометрический и физический смысл производной
Тест для проверки теоретических знаний
Примеры
Задачи для самостоятельного решения
Контрольный тест

Рекомендуем использовать этот материал при тщательной подготовке к сдаче ЕГЭ на высокий балл.

В теме содержатся теория и практические задания различного уровня сложности.

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: Скачайте в pdf файле.

Источник

Название производной происходит от слова «произведенная», т.е. образованная от другой величины. Производная характеризует темп изменения функции.

Процесс определения производной какой-либо функции называется дифференцированием. Если говорить совсем просто, то для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию.

ФОРМУЛЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ:

ЧИСЛО, СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ, ФУНКЦИЯ С КОЭФФИЦИЕНТОМ

ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННОЙ

И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ

ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ПРОИЗВОДНАЯ ОТ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ФУНКЦИЙ

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ

Сложная функция – это когда внутри функции находится другая функция. То есть аргументом функции является другая функция. Как понять, что функция сложная: если в функции вместо икс стоит что-то другое – это сложная функция.

Например:

Общая формула:

Что она означает: мы берем производную от внешней функции, сохраняя ее аргумент таким, какой он был (то есть сохраняем ту функцию, которая стояла внутри), а потом умножаем ее на производную внутренней функции.

Примеры:

АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ

Геометрический смысл производной: значение производной в точке равно тангенсу угла наклона (коэффициент k в уравнении) касательной, проведенной в данной точке.

Отсюда можно сделать несколько выводов о том, как можно анализировать функцию с помощью производной:

1. Функция возрастает.

Если функция возрастает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет вправо, значит, ее коэффициент наклона положительный . Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же положительна.

Функция возрастает

2. Функция убывает.

Если функция убывает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет влево, значит, ее коэффициент наклона отрицательный (k < 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же отрицательна.

Функция убывает

3. Экстремум.

Точки экстремума, отличаются тем, что в них функция находится в пиковом значении, она и не возрастает, и не убывает. Если провести касательную в точке экстремума, то она будет строго горизонтальна, то есть ее наклон равен 0. А значит, и производная равна 0 (из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной выше).

Точка экстремума

Максимум.

До него функция возрастает, после него убывает. В максимуме производная сменяет свой знак с плюса на минус.

Максимум:

Минимум.

До него функция убывает, после него возрастает. В минимуме производная сменяет свой знак с минуса на плюс.

Максисмум:

Отсюда можно вывести общий порядок действий при анализе функций:

1. Находим производную от функции.

2. Находим точки экстремума: приравниваем производную к нулю и решаем уравнение.

3. Определяем знаки производной между точками экстремума.

Если в точке знак производной меняется с плюса на минус – это максимум.
Если в точке знак производной меняется с минуса на плюс – это минимум.

Источник

По мнению выпускников, задание № 11 — самое сложное в первой части ЕГЭ по математике. Ведь там… производная! На деле не стоит бояться — все задания можно решить, зная только 2 алгоритма. В этой статье я о них расскажу! А еще поделюсь полезным лайфхаком, как решать некоторые задания на производную в ЕГЭ, вообще не используя алгоритм и экономя драгоценное время.

Производная на ЕГЭ по математике. Как решать задание № 11?

Хочешь круто подготовится к ЕГЭ по математике? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!

Почему задания на производную решает только 40% выпускников?

Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.

Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной. По статистике его решают около 40% всех сдающих экзамен, что для первой части ЕГЭ по математике очень мало.

Проблема этого задания в том, что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать.

Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике

В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.

Два прототипа

Сначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании — расскажу небольшой лайфхак. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.

Поиск точек экстремума

Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:

Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.

Поиск наибольшего / наименьшего значения функции

Перейдём ко второму прототипу, в котором нужно найти наибольшее/наименьшее значение функции. Интересно, что второй прототип можно отличить даже визуально, потому что кроме самой функции вам будет дан ещё промежуток, ограничивающий функцию в двух точках [a; b]. Так как мы про эти точки ничего не знаем, их придётся дополнительно учитывать. В остальном начало этого алгоритма будет совпадать с предыдущим. Начинать всегда будем именно с точек экстремума, потом проверим, как ведёт себя функция в каждой точке экстремума, а также в начале и конце заданного промежутка, и в итоге запишем в ответ нужное значение функции.

Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ

Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!

Лайфхак, которые мы рассмотрим сегодня, будет опираться на знание формата экзамена. № 11 – задание из части с кратким ответом, ответ на который мы пишем в клеточки на бланке, а чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы 𝑒, ln(…), log(…), 𝜋, sin𝑥, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать, и это очень сильно упрощает нам задачу.

Разбираем лайфхак на примере

Чтобы выполнить данное задание, необходимо знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если мы пойдём по алгоритму, нам придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы никак не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.

Или можем? Есть замечательная степень, которая абсолютно любое основание может превратить в единицу — это 0. Таким образом, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.

Но единственный ли это способ избавиться от «е»? На самом деле нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение ФУНЦИИ, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.

При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит именно его мы запишем в ответ. Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку.

В этой статье мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!

Учите производную
Пользуйтесь алгоритмами
Не забывайте про крутые лайфхаки, но будьте внимательны, применяя их!

Если хочешь разобраться в остальных темах по математике и не только, почитай другие статьи в блоге и обрати внимание на наши онлайн-курсы. Уже более 150 тысяч выпускников подготовились с нами к ЕГЭ. Кстати, у меня на курсах MAXIMUM тоже можно поучиться!

Источник

МБОУ Пожарская СОШ Сергачского района Нижегородской области

Учитель математики первой категории Зюляева Л.Ю.

Занятие по математике в 11 классе

Тема: Закрепление темы «Правила дифференцирования. Дифференцирование суммы.»

(можно использовать при повторении)

Цель:

Подготовка к ЕГЭ по теме «Правила дифференцирования. Дифференцирование суммы.»

Задачи:

Образовательная

закрепить правила нахождения производных в ходе решения упражнений (Задание №14 ЕГЭ);

тренировать навык устного счета;

Равивающие:

развивать мыслительную деятельность обучающихся, умение сравнивать;

развивать мотивацию к изучению предмета и необходимость подготовки к экзамену.

Воспитательные:

воспитывать умение работать вместе и самостоятельно; воспитывать аккуратность и внимательность.

Ход занятия.

Слайд 1

1. Оргмомент.

Напомню поговорку «Тяжело в учении, легко на ЕГЭ.

Протолжаем готовиться к экзамену.

Слайд 2

2. Тема занятия.

Какую тему мы изучаем на уроках алгебры?

(Дифференцирование суммы и вынесение постояппого множителя за знак производной)

Задания на нахождение производной, а именно на нахождение производной суммы (дифференцирование суммы ) встречаются в заданиях В14 ЕГЭ.

Прототипы таких заданий размещены на сайте ФИПИ в открытом банке заданий по подготовке к ЕГЭ по математике и в сборнике «Типовые тестовые задания» ЕГЭ 2015 под редакцией И.В.Ященко.

Цель

Цель занятия: учиться применять новое знание (правила дифференцирования

(f(x)+g(x))΄ и (c f(x))΄) при решении задач;

готовиться к ЕГЭ.

Слайд 3

3. Формулы, необходимые для решения.

Чтобы решить задания типа №11 нужно знать правила и формулы дифференцирования.

Вспомним те, которые изучили и, (кому необходимо) запишем в тетрадь для подготовки к ЕГЭ

kx+b)΄= к — производная линейной функции

C΄= о — производная постоянной

x΄= 1

(x²)΄= 2х

(x³)΄=3х2

(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)

Слайд 4

4. Решение задач.

Решить задачи

1.Найти скорость движения в момент времени t = 7, если S (t) = t² + t.

2.Материальная точка движется прямолинейно по закону

$Описание: x(t)=frac{1}{3}t^3 +4t^2-8t-16$

где х— расстояние от точки отсчета в метрах, t— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 1 м/с?

Сравните задачи.

Даны функции

О какой скорости идет речь? (о мгновенной)

Как можно найти мгновенную скорость?

Что найти в 1 задаче (скорость)

Во 2 задаче (время)–

Итак алгоритм решения задач

(1.Найдем производную функции

2.Подставим значение t в полученную производную)

Слайд 6

Задача 3 –самостоятельно

Материальная точка движется прямолинейно по закону

$Описание: x(t)=frac{1}{3}t^3 +6t^2+8t-17$

где — расстояние от точки отсчета в метрах, — t время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 93 м/с?

Слайд 7

Сравните с правильным решением.

Слайд 8

ЕГЭ 2015. Открытый банк заданий по математике. (Начала математического анализа)

Задание №119978

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t2−13t+23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

· Задание №119979

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=13t3−3t2−5t+3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Сравним ответы:

Задание №119978

Задание №119979

Слайд 9

Задания для самоподготовки и для работы на занятиях, чтобы тренироваться в нахождении проиэводных

Полностью мы эти задания пока не решим, но потренируемся в нахождении производной.

Сборник «Типовые тестовые задания» ЕГЭ 2015 под редакцией И.В.Ященко.

Задания №14

Тренировочные работы №1, 2,10,12,13,14,17,22,26,27.

Домашнее задание

прорешать задания, научиться решать без ошибок

Итоги занятия.

Чему должны были сегодня научиться?

А конечный результат у на какой? (успешная сдача ЕГЭ)

Вопросы.

Желаю успехов в подготовке.

Спасибо за урок

Задачи по теме «Дифференцирование суммы»

1.Найти скорость движения в момент времени t = 7, если S (t) = t² + t.

2.Материальная точка движется прямолинейно по закону

$Описание: x(t)=frac{1}{3}t^3 +4t^2-8t-16$

3. Материальная точка движется прямолинейно по закону

$Описание: x(t)=frac{1}{3}t^3 +6t^2+8t-17$

ЕГЭ 2015. Открытый банк заданий по математике. (Начала математического анализа)

Задание №119978

Задание №119979

Сборник «Типовые тестовые задания» ЕГЭ 2015 под редакцией И.В.Ященко.

Задания №14

Тренировочные работы №1, 2,10,12,13,14,17,22,26,27.

Источник

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Техника дифференцирования с примерами решения

Вы уже умеете вычислять производные некоторых элементарных функций, пользуясь формулами:

В этом параграфе будут рассмотрены теоремы, которые помогут находить производные сложных функций. Для упрощения записей вместо будем писать

Теорема (о производной суммы). Если функции дифференцируемы в точке то в этой точке

Доказательство. Найдём приращение суммы данных функций на промежутке

Поэтому

Если Следовательно,

Аналогично можно доказать, что

Теорема верна также для трёх и более функций. Например,

Теорема (о производной произведения). Если функции и дифференцируемы в точке то

Доказательство. Найдём приращение произведения данных функций на промежутке учитывая, что

Поэтому

Если так как

Следовательно,

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной. Ведь если — постоянный множитель, то и по теореме о производной произведения т.е.

Теорема (о производной частного). Если — функции от дифференцируемы в точке причём в этой точке то

Доказательство теоремы можно провести аналогично двум предыдущим. А саму формулу производной частного можно вывести проще.

Пусть Тогда и по теореме о производной произведения Выразим отсюда

Итак:

Теорема (о производной степени). Если — число натуральное, то

Доказательство. Докажем формулу методом математической индукции.

1. Проверим истинность равенства при (равенство правильное).

2. Предположим, что данное равенство выполняется при то есть равенство —истинно.

3. Докажем истинность равенства при т. е. докажем равенство

Рассмотрим левую часть и применим к ней теорему о производной произведения

Следовательно,

4. По принципу математической индукции данное равенство справедливо для произвольного натурального числа

Позже будет показано, что эта формула верна не только для натуральных значений но и для любых действительных.

Примеры:

1. Если

2. Если

3. Если то по теореме о производной суммы

4. Если то по теореме о производной дроби

Из доказанных теорем следует, что каждая функция где — многочлен, дифференцируема на всем множестве Поэтому каждый график такой функции — линия без разрывов и изломов. Если бы график функции в какой-то точке имел разрыв или перелом, то в этой точке функция не имела бы производной, то есть не была бы дифференцируемой. Дробно-рациональная функция от дифференцируема в каждой точке её области определения.