Текстовые задачи 11 класс егэ профиль как решать

Задание 9 Профильного ЕГЭ по математике – это несколько типов текстовых задач. Условия и «сюжеты» задач могут быть разными. При этом в каждой из них нужно построить математическую модель, то есть обозначить какие-либо величины за переменные, составить уравнение и решить его. И еще есть неочевидные секреты их решения. О них – в конце статьи.

Вот основные типы текстовых задач, которые могут вам встретиться на ЕГЭ под номером 9. Переходите по ссылкам, читайте краткую теорию и разбирайте вместе с нами решения задач!

1. Задачи на движение

2. Задачи на работу

3. Задачи на проценты

4. Задачи на сплавы, смеси, растворы

5. Задачи на движение по окружности

Формула работает и в этом случае. Здесь – расстояние,  – скорость, – время.

А секрет задач на движение по окружности: тот, кто обгоняет, проезжает на 1 круг больше, если это первый обгон. И на n кругов больше, если обогнал другого в -ный раз.

6. Задачи на нахождение средней скорости

По определению, средняя скорость получается, если всё расстояние поделить на всё время. В общем случае она не равна среднему арифметическому скоростей, а находится по следующей формуле:

.

7. Задачи на движение протяженных тел, встречное движение и обгон

Да, это те самые задачи, где поезд проходит через туннель. Или проезжает мимо платформы. И нам нужно учитывать длину поезда.

Есть еще задачи на встречное движение или обгон. Например, два поезда движутся навстречу друг другу (конечно, по параллельным путям), или один поезд обгоняет другой. Такие задачи удобно решать в движущейся системе отсчета.

Но и это не все. Есть еще задачи ЕГЭ на арифметическую и геометрическую прогрессии.

8. Задачи на арифметическую прогрессию

Арифметическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике

9. Задачи на геометрическую прогрессии

Геометрическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике

И еще мы обещали секреты решения текстовых задач на движение и работу. Читайте и применяйте!

Слайд 1

Алгебра Часть 1 Задачи на сплавы Преподаватель высшей категории Анисимова Оксана Михайловна ВИФК Кадетский корпус (спортивная школа)

Слайд 2

?? всего концентрация Масса вещества Было 5 14 % Добавили 5 — — стало 5+5=10 ? 0,7 Решение задач «задание 11» №1 Ответ: 7 В сосуд, содержащий 5 литров 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Слайд 3

?? всего концентрация Масса вещества I x 15% 0,15x II x 17% 0,17x I+II 2x ? 0,15x + 0,17x = 0,32x Решение задач «задание 11» № 2 Ответ: 16 Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Слайд 4

?? всего концентрация Масса вещества I 4 20% 0,2·4=0,8 II 6 35% 0,35·6=2,1 I+II 4+6=10 ? 0,8 + 2,1 = 2,9 Решение задач «задание 11» № 3 Ответ: 29 Смешали 4 литра 20-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 35- процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Слайд 5

?? всего концентрация Масса вещества I II I+II Решение задач «задание 11» № 4 .1 Ответ: 90 Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго? ?? всего концентрация Масса вещества I x 10% 0,1x II y 35% 0,35y I+II 150 30% 0,3·150=45 0,1x+0,35y=45

Слайд 6

?? всего концентрация Масса вещества I II I+II Решение задач «задание 11» № 4 .2 Ответ: 18 Имеется два сплава. Первый содержит 20% никеля, второй — 45% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 90 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была больше массы второго? ?? всего концентрация Масса вещества I x 2 0% 0, 2 x II y 4 5% 0, 4 5y I+II 90 30% 0,3· 90 = 27 0, 2 x+0, 4 5y=27

Слайд 7

Первый год Второй год I II I+II Решение задач «задание 11» № 5 Ответ: 110 Численность волков в двух заповедниках составляла 210 особей. Через год обнаружили, что в первом заповеднике численность волков возросла на 10%, а во втором — на 30%. В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 251.Сколько волков было в первом из заповедников первоначально? ?? Первый год Второй год I x x+0,1x II y y+0,3y I+II 210 251

Слайд 8

?? всего Процентное содержание Масса вещества I II I+II Решение задач «задание 11» № 6 .1 Ответ: 27 Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. ?? всего Процентное содержание Масса вещества I x 5% 0,05x II x+9 14% 0,14(x+9) I+II 2x+9 11% 0,11(2x+9)= 0,05x+0,14(x+9)

Слайд 9

?? всего Процентное содержание Масса вещества I II I+II Решение задач «задание 11» №6.2 Ответ: 9 Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третье го сплава. Ответ дайте в килограммах. ?? всего Процентное содержание Масса вещества I x 10 % 0,1x II x+ 3 40 % 0,4(x+3) I+II 2x+3 30 % 0,3(2x+3)= 0,1x+0,4(x+3)

Слайд 10

Решение задач «задание 11» №7.1 Смешав 6-процентный и 74-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 19-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50- процентного раствора той же кислоты, то получили бы 24-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 6-процентного раствора использовали для получения смеси? ?? всего Процент Масса вещества I x 6% 0,06x II y 74% 0,74y Добавили 1 раз 10 — — Получили 1 раз x+y+10 19% 0.19(x+y+10)= =0,06x+0,74y Добавили 2раз 10 50% 0,5·10=5 Получили 2 раз x+y+10 24% 0. 24 (x+y+10)= =0,06x+0,74y +5

Слайд 11

Решение задач «задание 11» №7.1 ?? всего Процент Масса вещества I x 6% 0,06x II y 74% 0,74y Добавили 1 раз 10 — — Получили 1 раз x+y+10 19% 0.19(x+y+10)= =0,06x+0,74y Добавили 2раз 10 50% 0,5·10=5 Получили 2 раз x+y+10 24% 0. 24 (x+y+10)= =0,06x+0,74y +5

Слайд 12

Решение задач «задание 11» №7.1 Ответ: 70

Слайд 13

Самостоятельно Сборник «4000 задач» № 1586 , № 1590 № 1587 , № 11 вариант1 №11 вариант2

Слайд 14

Алгебра Урок №11 Часть 2 Задачи на совместную работу Преподаватель высшей категории Анисимова Оксана Михайловна ВИФК Кадетский корпус (спортивная школа)

Слайд 15

Объем работы Производительность (скорость) время I II Решение задач «задание 11» №1 .1 Ответ: 6 Объем работы Производительность (скорость) время I 20 x+4 II 60 x

Слайд 16

На изготовление 16 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 40 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий? Объем работы Производительность (скорость) время I II Решение задач «задание 11» №1 .2 Ответ: 5 Объем работы Производительность (скорость) время I 16 x+3 II 40 x

Слайд 17

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба? Объем работы Производительность (скорость) время I II Решение задач «задание 11» №1 .3 Ответ: 10 Объем работы Производительность (скорость) время I 110 x II 110 x+1

Слайд 18

Решение задач «задание 11» № 2.1 Ответ: 16 Объем работы Производительность (скорость) время I 12y·10 12y 10 24yx 12y+12y X II 21y·10 21y 10 9yx 21y-12y=9y X !!!

Слайд 19

Решение задач «задание 11» № 2.2 Ответ: 16 Объем работы Производительность (скорость) время I 16y·7=112y 16y 7 24yx 16y+8y=24y X II 25y·7=175y 25y 7 17yx 25y-8y=17y X !!! Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25 рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

Слайд 20

Самостоятельно Сборник «4000 задач» № 1639 №1652 № 1622

Слайд 21

Интернет ссылки

Для текстовых задач не существует единого алгоритма решения — в этом вся их сложность. Фактически, каждую задачу приходится решать «с нуля». Зубрить их тоже бесполезно, потому что текстовых задач слишком много.

Тем не менее, существуют типовые задачи, которые вполне стандартно решаются и постоянно встречаются на ЕГЭ по математике. Ими мы и займемся.

§ 1.

Вебинар по задачам B14: движение, работа, смеси и сплавы

Глава 1.

Классические задачи на движение

§ 1.

Особенности решения текстовых задач

§ 2.

Задача B14: движение навстречу

§ 3.

Движение вдогонку и сравнение времени

§ 4.

Тест по задачам B14: легкий уровень, 1 вариант

§ 5.

Тест по задачам B14: легкий уровень, 2 вариант

§ 6.

B14 и эскалаторы: считаем скорость

§ 7.

Задача B14 про эскалаторы: считаем ступеньки

Глава 2.

Работа и производительность труда

§ 1.

Производительность совместного труда

§ 2.

B14: количество вопросов в тесте

§ 3.

Трубы и резервуары: одинаковый объем

§ 4.

Трубы и резервуары: разный объем

§ 5.

Более сложные задачи на производительность

Глава 3.

Движение по воде

§ 1.

Решение задач на движение по воде

§ 2.

Тест по задачам B14: средний уровень, 1 вариант

§ 3.

Тест по задачам B14: средний уровень, 2 вариант

Глава 4.

Смеси и сплавы

§ 1.

Как решать задачи про смеси и сплавы

§ 2.

Простая задача B14 на смеси и сплавы

§ 3.

Сложная задача B14 на смеси и сплавы

§ 4.

Смеси и сплавы в задаче B14: неизвестна масса

Глава 5.

Проценты и нестандартные задачи

§ 1.

Задача B14: сложные проценты

§ 2.

Семья из трех человек (нестандартная задача)

§ 3.

Сложная задача B14: работа трех исполнителей

§ 4.

Изюм и виноград (смеси и сплавы)

7 января 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Задания 8 профильного ЕГЭ по математике представляют собой текстовые задачи. В таких задачах нужно проинтерпретировать описанную в условии ситуацию, составить математическую модель и найти искомую величину. Как правило, решение задачи сводится к решению линейного или квадратного уравнения, или систем таких уравнений, однако некоторые из задач можно решить чисто арифметическими методами.

Сюжеты задач стандартны, но довольно разнообразны. Разберём основные типы сюжетов, возникающих на экзамене, и постараемся охватить как можно больше типов появляющихся уравнений и систем.

→ Задачи на движение.
→ Задачи на совместную работу.
→ Задачи на проценты.

8m-text.pdf

Источник: vk.com/alkaevalr

---

Текстовые задачи

---

В задании №11 ЕГЭ по математике профильного уровня требуется решить текстовую задачу. Как правило задача сводится к составлению двух уравнений с двумя неизвестными, которые необходимо выразить, подставить, вычислить и получить ответ! Приступим к разбору, так как какой-либо теории тут нет.

---

Разбор типовых вариантов заданий №11 ЕГЭ по математике профильного уровня

---

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

[su_note note_color=”#defae6″]

Весной катер идёт против течения реки в 1 2/3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 3/2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

[/su_note]

Алгоритм решения:

1. Обозначаем неизвестные скорости переменными х и у.
2. Составляем систему уравнений, исходя из условия.
3. Выражаем х из одного уравнения системы через переменную у.
4. Найденное выражение подставляем в другое уравнение системы и решаем получившееся уравнение.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Пусть скорость катера равна х км/ч, а скорость течения весной у км/ч. Тогда y–1 (км/ч) – скорость течения летом.

Скорость катера по течению весной равна х+у км/ч, а против течения х – у км/ч. Летом соответственно скорости по течению и против равны: х+(у – 1) и х – (у – 1) км/ч.

2. По условию катер идет весной по течению со скоростью, которая составляет 5/3 от скорости против течения. Имеем: х+у=(5/3)(х – у).

Летом эти скорости разнятся в 3/2раза. То есть: х+(у – 1)=(3/2)(х – (у – 1).

Составим систему уравнений:

3. Выразим x через y из первого уравнения:

(5/3)(x–y)=(x+y),

(5/3)x – (5/3)y = x + y,

–(5/3)y – y = x – (5/3)x,

–(8/3)y = –(2/3)x,

8y = 2x,

4y = x,

х=4у.

4. Подставляем полученное значение в другое равенство

(3/2)(4y–(y–1)) = 4y+(y–1).

Отсюда

(3/2)(4y–y+1) = 4y+y–1,

(3/2)(3y+1) = 5y–,

(9/2)y + 3/2 = 5y–1,

(9/2)y – 5y = –1 – 3/2,

(9/2)y – (10/2)y = –1 – 3/2,

–(1/2)y = –5/2,

(1/2)y = 5/2,

y = 5.

Следовательно, скорость течения весной равна 5 км/ч.

Ответ: 5.

---

Второй вариант задания

[su_note note_color=”#defae6″]

Расстояние между пристанями А и В равно 77 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 40 км. Найдите скорость моторной лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

[/su_note]

Алгоритм решения:

1. Обозначаем неизвестную скорость переменной х.
2. Составляем уравнение для решения задачи, учитывая условие.
3. Решаем получившееся уравнение.
4. Делаем вывод.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Пусть скорость лодки равна х км/ч. Тогда ее скорость по течению равна х+4 км/ч, а против течения х – 4 км/ч.

2. Пока лодка шла из точки A к точке B и обратно, плот по течению реки проплыл 40 км. Скорость течения равна 4 км/ч, можно установить, сколько времени двигался плот: 40:4=10 ч. Лодка отправилась в путь на 1 ч позже: 10 – 1= 9 ч. Расстояние в 77 км в направлении течения моторная лодка проплыла за  ч, а против течения за  ч. Время, которое лодка была в движении туда и обратно равно 9 ч. Получаем уравнение:

Упрощаем полученное уравнение, и находим из него х:

77(х – 4)+77(х + 4)=9(х + 4)(х – 4)

77х – 77∙4 + 77х + 77∙4 = 9 (х² – 16)

154х – 9х² + 9∙16

– 9х²+ 154х + 144 = 0

9х² – 154х – 144=0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант, получаем:

Скорость не может быть отрицательной, тогда второй корень не удовлетворяет условию. Получаем, что скорость моторной лодки равнялась 18 км/ч.

Ответ: 18.

---

Третий вариант задания (из Ященко, №31)

[su_note note_color=”#defae6″]

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 30 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа 40 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в километрах в час.

[/su_note]

Алгоритм решения:

1. Вводим переменную х.
2. Составляем уравнение, исходя из условия.
3. Решаем получившееся уравнение.
4. Делаем вывод.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Обозначим через х скорость движения велосипедиста.

2. Скорость автомобилиста на 30 км/ч выше, следовательно, она равна х+30. Автомобиль 60 км проезжает за  часов, а велосипедист за  часов. По условию велосипедист прибыл на 2 часа 40 минут (8/3 часа) позже в назначенный пункт, чем автомобилист.

Получаем уравнение

3. Решаем полученное уравнение. Для этого преобразуем его:

Решаем квадратное уравнение, получаем два корня

Скорость не может быть отрицательной, значит, второй корень уравнения не удовлетворяет условию. Значит, велосипедист двигался со скоростью 15 км/ч.

Ответ: 15.

Даниил Романович | Просмотров: 8k

По мнению выпускников, задание № 11 — самое сложное в первой части ЕГЭ по математике. Ведь там… производная! На деле не стоит бояться — все задания можно решить, зная только 2 алгоритма. В этой статье я о них расскажу! А еще поделюсь полезным лайфхаком, как решать некоторые задания на производную в ЕГЭ, вообще не используя алгоритм и экономя драгоценное время.

Хочешь круто подготовится к ЕГЭ по математике? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!

Почему задания на производную решает только 40% выпускников?

Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.

Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной. По статистике его решают около 40% всех сдающих экзамен, что для первой части ЕГЭ по математике очень мало.

Проблема этого задания в том, что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать.

Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике

В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.

Сначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании — расскажу небольшой лайфхак. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.

Поиск точек экстремума

Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:

Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.

Поиск наибольшего / наименьшего значения функции

Перейдём ко второму прототипу, в котором нужно найти наибольшее/наименьшее значение функции. Интересно, что второй прототип можно отличить даже визуально, потому что кроме самой функции вам будет дан ещё промежуток, ограничивающий функцию в двух точках [a; b]. Так как мы про эти точки ничего не знаем, их придётся дополнительно учитывать. В остальном начало этого алгоритма будет совпадать с предыдущим. Начинать всегда будем именно с точек экстремума, потом проверим, как ведёт себя функция в каждой точке экстремума, а также в начале и конце заданного промежутка, и в итоге запишем в ответ нужное значение функции.

Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ

Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!

Лайфхак, которые мы рассмотрим сегодня, будет опираться на знание формата экзамена. № 11 – задание из части с кратким ответом, ответ на который мы пишем в клеточки на бланке, а чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы 𝑒, ln(…), log(…), 𝜋, sin𝑥, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать, и это очень сильно упрощает нам задачу.

Разбираем лайфхак на примере

Чтобы выполнить данное задание, необходимо знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если мы пойдём по алгоритму, нам придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы никак не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.

Или можем? Есть замечательная степень, которая абсолютно любое основание может превратить в единицу — это 0. Таким образом, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.

Но единственный ли это способ избавиться от «е»? На самом деле нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение ФУНЦИИ, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.

При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит именно его мы запишем в ответ. Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку.

В этой статье мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!

• Учите производную
• Пользуйтесь алгоритмами
• Не забывайте про крутые лайфхаки, но будьте внимательны, применяя их!

Если хочешь разобраться в остальных темах по математике и не только, почитай другие статьи в блоге и обрати внимание на наши онлайн-курсы. Уже более 150 тысяч выпускников подготовились с нами к ЕГЭ. Кстати, у меня на курсах MAXIMUM тоже можно поучиться!