Текстовые задачи на совместную работу егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: . Здесь — работа, — время, а величина , которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу очень просты.

, то есть работа производительность время. Из этой формулы легко найти или .
Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.
Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода…) — их производительности складываются. Очень логичное правило.
В качестве переменной удобно взять именно производительность.

Покажем, как все это применяется на практике.

1. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на деталь больше?

Так же, как и в задачах на движение, заполним таблицу.

В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: 110 . В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за . Тогда производительность первого рабочего равна x+1 (он делает на одну деталь в час больше). $t=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle A}{displaystyle p}$ , время работы первого рабочего равно $t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x+1}$ , время работы второго равно $t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x}$ .


первый рабочий		$t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x+1}$
второй рабочий		$t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x}$

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, t_1 на меньше, чем t_2 , то есть

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x+1}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x}-1$

Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к квадратному:

Дискриминант равен 441 . Корни уравнения: x_1=10 , x_2=-11 . Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной — ведь он производит детали, а не уничтожает их Значит, отрицательный корень не подходит.

Ответ: .

2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

В этой задаче (в отличие от предыдущей) ничего не сказано о том, какая это работа, чему равен ее объем. Значит, работу можем принять за единицу.

А что же обозначить за переменные? Мы уже говорили, что за переменную удобно обозначить производительность. Пусть — производительность первого рабочего. Но тогда производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за .

По условию, первый рабочий за два дня делает такую же часть работы, какую второй — за три дня. Значит, 2x=3y . Отсюда $y=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}x$ .

Работая вместе, эти двое сделали всю работу за дней. При совместной работе производительности складываются, значит,

$left( x+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}x right) cdot 12 = 1$

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 5}{displaystyle 3}x cdot 12 = 1$

20x=1

$x=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 20}$ .

Итак, первый рабочий за день выполняет $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 20}$ всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится дней.

Ответ: .

3. Первая труба пропускает на литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом литров?

Всевозможные задачи про две трубы, которые наполняют какой-либо резервуар для воды — это тоже задачи на работу. В них также фигурируют известные вам величины — производительность, время и работа.

Примем производительность первой трубы за . Именно эту величину и требуется найти в задаче. Тогда производительность второй трубы равна x+1 , поскольку она пропускает на один литр в минуту больше, чем первая. Заполним таблицу


первая труба		$t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x}$
вторая труба		$t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 99}{displaystyle x+1}$

Первая труба заполняет резервуар на две минуты дольше, чем вторая. Значит, . Составим уравнение:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x}-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 99}{displaystyle x+1}=2$ и решим его.

Ответ: .

. Андрей и Паша красят забор за часов. Паша и Володя красят этот же забор за часов, а Володя и Андрей — за часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Мы уже решали задачи на движение. Правила те же. Отличие лишь в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть — производительность Андрея, — производительность Паши, а — производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за — ведь мы ничего не можем сказать о его размере.

	производительность	работа
Андрей
Паша
Володя
Вместе

Андрей и Паша покрасили забор за часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:

Аналогично,

Тогда
$x+y=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 9}$
$y+z=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 12}$
$x+z=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 18}$ .
Можно искать , и по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что
$2left( x+y+z right)=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 9}+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 12}+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 18}$
Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за часов.
Ответ: .

Читаем дальше: Задачи на проценты

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задачи на работу на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.03.2023

Источник

РЕШЕНИЕ ПРОТОТИПОВ ЗАДАЧ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ.

1.1. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов текста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Решение.

Пусть х – число вопросов, тогда

Время Пети =

Время Вани =

20 минут = часа

Уравнение:

— = , 9x- 8x = 24, х = 24. Ответ. 24

2.1.В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

Решение.

1-ый насос: 5 литров за 2 минуты, производительность — за 1 мин

2-ой насос: 5 литров за 3 минуты, производительность — за 1 мин

Общая производительность + =

• t = 25, t=6.

3.1. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Решение.

2-я труба за х часов, тогда 1-ая за (х+6) часов

Производительности 1/х и 1/(х+6).

(+) •4 = 1.

4(х+6) +4х = х2 +6х

х2 – 2х – 24 = 0

х =6, х = -4

Ответ.6

4.1. Две трубы наполняют бассейн за 1 час 55 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 46 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Решение. Примем работу за 1.

1ч55мин = ч. – время работы двух труб.

Х- время второй трубы, – производительность. Производительность первой —

( + = 1

+ =

= —

х = 2. Ответ.2.

5.1. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Решение. Работа = 1.

Производительности.

И+П=1/9=4/36

П+В=1/12=3/36

В+И=1/18=2/36

Сложим уравнения:

2(И+П+И)= (4+3+2)/36,

2(И+П+И)=9/36,

2(И+П+И)=1/4,

И+П+В=1/8 общая производительность. t =1: 1/8=8часов.

Ответ.8.

6.1. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Решение. х – время Даши. Работа = 1. Производительность

Д+М=1/12, М=1/20,

Д=1/12-1/20=1/30, за 30 минут.

Ответ.30.

7.1. Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Решение.

Производительность : 1-ый- , 2-ой- , 3-ий-

Общая производительность + + = .

t = 1, t = 10. за 10 минут.

Ответ. 10.

8.1. Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Решение.

– производительность первого, – второго.

+ = , •t = 1, t = 4.

Ответ.4.

9.1. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Решение.

1-ый выполнит весь заказ за 15 часов – в 1 час он выполнит 1/15 работы, а за 3 часа 1/5 работы.

Осталось выполнить 4/5 работы.

Определим время совместной работы:

: ( • = 6

Поэтому на выполнение всего заказа потребуется 6 + 3 = 9 часов.

Ответ: 9.

Другое решение.

Один рабочий работал 3 часа. Остальные 12 часов они работали вместе, т.е. в два раза быстрее. Поэтому вдвоем они работали только 6 часов. Значит, все время работы 9 часов.

Ответ. 9.

10.1. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

Решение.

х производительность первого, у – второго. По условию задачи составим систему уравнений

х •12 = 1, 20х = 1, х = , t = 20.

Ответ.20.

Источник

Текстовые задачи
на совместную работу

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ

Учитель математики высшей категории

Манаенко Светлана Григорьевна

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Обоянская средняя общеобразовательная школа №2»

«Решение задач – специфическое достижение разума, разум же – особый дар, которым наделён человек»
Д. Пойа

Задачи на работу — задачи на прямую или обратную зависимость

Производительность труда, время работы и объем выполненной работы за данное время – это тройка пропорциональных величин.
Зависимости бывают:

─ прямые – когда изменение одной величины приводит к изменению второй величины в ту же самую сторону (например, если увеличить производительность деталей, то и общий объём выполненной работы увеличится)
─ обратные – когда увеличение одной величины приводит к уменьшению другой (например, если нужно сделать определённое количество деталей, то при увеличении производительности, время, затрачиваемое на работу, уменьшится).

Задачи на работу делятся на две группы:

1) задачи, в которых выполняемый объем работы известен или его нужно определить (например, количество изготовленных деталей, количество гектар вспаханной земли, объем бассейна и т.д.);
2) задачи, в которых вообще не сказано, какая работа выполняется или эта работа задана неявно (в таких задачах зачастую задано только время).
Типы задач на работу
— задачи, в которых выполняется раздельная работа — эти задачи решаются аналогично задачам на движение;
— задачи на совместную работу.
Пример задачи на раздельную работу
№1. (из открытого банка заданий ЕГЭ -2019, ФИПИ) Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 130 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 136 литров?

	v, л/мин.	V, л	t, мин
1 труба
2 труба

№2. (из открытого банка заданий ЕГЭ -2019, ФИПИ)
На изготовление 540 деталей первый рабочий затрачивает на 12 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
Решение:

	Р, дет/час	А, дет	t, ч
1
2

Алгоритм решения задач
на совместную работу
1. В задачах на совместную работу три параметра:
— время – t (время, за которое выполняют работу);
— объём работы – А (объем работы, выполняемый за единицу времени),
— производительность – Р (скорость работы),
Производительность труда, время работы и объем выполненной работы за данное время – это тройка пропорциональных величин.
Три величины связаны между собой, следующими формулами:
1) Работа = производительность • время, A= P • t;
2) Производительность = работа : время, P= A : t;
3) Время = работа : производительность, t = A/ P .
Алгоритм решения задач
на совместную работу
2. Если объем работы не важен и нет никаких данных, позволяющих его найти – работу принимаем за единицу. А = 1
Если трудятся два рабочих (два экскаватора и т.д.) – их производительности складываются. P= P1+ P2
В качестве переменной удобно взять производительность.

Алгоритм решения задач
на совместную работу
3. Во время решения задач на совместную работу нужно ответить на следующие вопросы (рассмотрим на примере рабочих):
― Что принято за время выполнения работы первым рабочим?
― Что принято за время выполнения работы вторым рабочим?
― Какова производительность труда первого рабочего?
― Какова производительность труда второго рабочего?
― Чему равна совместная производительность труда?
― Чему равно время, за которое выполнят задание, работая вместе?
Алгоритм решения задач на совместную работу
Объём работы принимаем равным 1.
Пусть х – время выполнения некоторой работы первым рабочим,
у – время выполнения этой же работы вторым рабочим.
Тогда 1/х – производительность труда первого рабочего,
1/у – производительность труда второго рабочего,
1/х + 1/у — совместная производительность труда.
1/(1/х+1/у) = ху/(х+у) – время, за которое они выполнят задание, работая вместе.

Рекомендации к решению задач:

Что необходимо знать?

1. Объём, выполняемой работы! (A)

3. Производительность! (P или N)

2. Время работы! (t)

Что необходимо делать?

Задачу прочти
Немного помолчи
Про себя повтори
Ещё раз прочти
Нет объёма работы, за 1 прими
Данные в таблицу занеси
Уравнение запиши
Уравнение реши!
На вопрос задачи ответь!

Что необходимо делать?

1. Мастер, работая самостоятельно, может изго-

товить партию из 200 деталей за некоторое время. Ученик за это же время может изготовить только половину всех деталей. Работая вместе, они могут изготовить всю партию деталей за 4 ч. За какое время мастер может изготовить все детали, работая самостоятельно?

мастер

ученик

Время

(t)

200

Объем

работы

100

Производительность

Объем работы = производительность⋅ время.

вместе

200

Составим и решим

уравнение.

⋅

Ответ: 6 часов.

2.Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой – за 18 часов. За сколько часов выполнят заказ эти мастера, работая вместе?

мастер

ученик

Объем работы = производительность⋅ время.

вместе

⋅

Ответ: 7,2 часа.

Составим и решим

уравнение.

1 т

2 т

Объем работы = производительность⋅ время.

Вместе

1 и 2

Ответ: 18 часов.

3 т

Вместе

1 и 3

Вместе

2 и 3

⋅36=

⋅30=

⋅20=

3. Первая труба и вторая, работая вместе, наполняют бассейн за 36 часов, первая и третья – за 30 часов, вторая и третья – за 20 часов. За сколько часов наполнят бассейн три трубы, работая вместе?

2 способ решения:
Арифметический способ

Задача 4. Мастер может изготовить 360 деталей за 6 дней, а ученик — за 12 дней. За сколько дней мастер и ученик могут изготовить это количество деталей, работая одновременно?
Решение.
Сначала найдём производительность мастера и ученика по отдельности, далее, найдём их общую производительность, затем сможем найти время, за которое они вместе смогут сделать всю работу.
1) 360:6 = 60 (дет.) – производительность мастера за один день.
2) 360:12 = 30 (дет.) – производительность ученика за один день.
3) 30+60 = 90 (дет.) – производительность мастера и ученика за один день, если они будут работать вместе.
4) 360:90 = 4 (дня) – количество дней, которое нужно мастеру и ученику на совместное изготовление всего количества деталей.
Ответ: 4 дня.
Арифметический способ

Задача 5. Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Решение:
Арифметический способ
№6. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 13 часов. Через 5 часов после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

№ 7. (из открытого банка ЕГЭ-2019. ФИПИ)
Плиточник должен уложить 175 м2 плитки. Если он будет укладывать на 10 м2 в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?
Задачи для самостоятельной работы

Заказ на 140 деталей первый рабочий выполняет на 4 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 4 детали больше?

2. Саша и Маша решают задачи. Саша может решить 20 задач за то время, за которое Маша может решить в 2 раза меньше задач. Саша и Маша вместе могут решить 20 этих задач за 2 ч. За сколько часов Саша самостоятельно может решить 20 задач?
3. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
4. Первый насос наполняет бак за 19 минут, второй — за 57 минут, а третий — за 1 час 16 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
5. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Успехов в решении задач!!!

Приятной вам

совместной работы

при подготовке

к ОГЭ и ЕГЭ!!!

Источник