Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.
2
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 
раза больше первого? Ответ дайте в сантиметрах.
3
В цилиндрический сосуд налили 6 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
4
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 
высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2014. Вариант 1.
5
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объём второй кружки больше объёма первой?
Источник: Апробация базового ЕГЭ по математике, 13—17 октября: вариант 120911., ЕГЭ по базовой математике 26.03.2015. Досрочная волна
Пройти тестирование по этим заданиям
20 февраля 2022
В закладки
Обсудить
Жалоба
Объёмы тел вращения
В данной методической разработке приведены формулы и разобраны примеры решения традиционных задач на вычисление объёмов тел вращения.
obemy-tel-vraschenija.docx
obemy-tel-vraschenija.pdf
Задача №1
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 36 см3.
Задача №2
Высота одного цилиндра вдвое больше высоты второго цилиндра, но его радиус в два раза меньше радиуса второго цилиндра. Найти отношение их объёмов
Задача №3
Найти объем 25м цилиндрической трубы (полого цилиндра), если внешний радиус равен 50см, диаметр стенок равен 10см.
Задача №4
Объём конуса равен 36, а его высота равна 12. Найдите радиус основания конуса.
Задача №5
Объём конуса равен 24 см3. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.
Задача №6
Диаметр основания конуса равен 16, а длина образующей — 17. Найдите объем конуса.
Задача №7
Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 и 12, а образующая равна 10. Вычислить объем усечённого конуса.
Задача №8
Внутренний диаметр полого шара равен 8 см, а толщина стенок равна 2 см. Найдите объем материала, из которого сделан шар.
Задача №9
Прямоугольная трапеция с основаниями 11см и 17 см и высотой 12 см вращается около прямой, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно основаниям. Hайдите объем полученного тела вращения.
Задача №10
Прямоугольный треугольник с катетами 20 см и 15 см вращается вокруг гипотенузы . Найти объём полученного тела вращения.
Задания для самостоятельного решения.
1. Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объём второй кружки больше объёма первой?
2. Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 162 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.
3. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник, сторона которого равна 12 см. Найдите объём конуса.
4. Найти объем тела, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, если катеты равны 3см и 4 см.
5. Прямоугольная трапеция с основанием 5 см и 8 см и высотой 4 см вращается около большего основания. Найдите объем тела вращения.
Автор: Барсукова Наталья Александровна.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Решение задач по теме: «Тела вращения
Цели урока:
• систематизировать знания учащихся;
• обобщить изученный материал;
• рассмотреть задачи на комбинацию тел;
• проверить умения и навыки при решении задач на нахождение объемов тел …
Задачи к уроку по теме «Тела вращения»
При обучении геометрии большое значение имеет умение решать задачи, требующее установление соотношений между данными и искомыми. При решении таких задач проявляется уровень математического развит…
Цилиндры, сферы и конусы: будем вписывать их в другие объекты, будем рассекать их различными плоскостями, отыскивать углы наклона этих сечений к основанию или их площади.
Задача 1.
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Сфера вписана в пирамиду
Так как сфера касается всех граней, то точки касания обязательно лежат на апофемах граней. Нарисуем пирамиду в разрезе, причем разрез пройдет по апофемам противолежащих граней. Тогда сечение – треугольник MSN, а сечение сферы – вписанная в этот треугольник окружность. Разберемся, отрезки каких длин в этом сечении присутствуют. Так как высота пирамиды 6, а боковое ребро 10, найдем длину отрезка :
Так как основание пирамиды составлено из правильных треугольников, то длина равна ребру основания. Теперь можем определить длину апофемы:
Основание треугольника сечения составлено из двух одинаковых отрезков, которые равны высоте треугольника , например. Так как это правильный треугольник со стороной 8, то высота этого треугольника равна , а длина MN тогда .
Сечение пирамиды
Итак, теперь мы знаем стороны треугольника сечения : , .
Определим радиус вписанной в него окружности.
Вписанная в сечение пирамиды окружность (сечение сферы)
Как известно, радиус вписанной окружности можно определить через площадь:
Теперь, зная радиус, можно найти и площадь поверхности сферы:
Ответ:
Задача 2.
Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
Сечение конуса
Образующую конуса можно найти из осевого сечения по теореме Пифагора.
Отрезок OP – высота треугольника . В треугольнике MON стороны равны 4, 6 и 6, определим его площадь по формуле Герона и затем найдем высоту:
Полупериметр треугольника MON равен 8, площадь:
Искомое расстояние – высота треугольника , проведенная к SP.
Определим высоту сечения SP.
Дополнительные построения к задаче
По теореме Пифагора
Площадь треугольника SOP:
Наконец, искомое расстояние:
Ответ:
Задача 3.
В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Пирамида, в которую надо вписать сферу
Так как сфера касается всех граней, то точки касания обязательно лежат на апофемах граней. Нарисуем пирамиду в разрезе, причем разрез пройдет по апофемам противолежащих граней. Тогда сечение – треугольник SQP, а сечение сферы – вписанная в этот треугольник окружность. Разберемся, отрезки каких длин в этом сечении присутствуют. Так как высота пирамиды 6, а боковое ребро 10, найдем длину отрезка :
Тогда равна , так как треугольник — равнобедренный и прямоугольный, имеет острые углы по , тригонометрические функции которых хорошо известны:
Определим длину апофемы грани:
В треугольнике SQP стороны: ,
Определим радиус вписанной в него окружности.
Как известно, радиус вписанной окружности можно определить через площадь:
Теперь, зная радиус, можно найти и площадь поверхности сферы:
Ответ:
Задача 4.
Радиус основания конуса с вершиной равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки и , делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью .
Дуги окружности основания конуса и сечение
Длины дуг окружности пропорциональны центральным углам, поэтому , . Таким образом, поскольку радиус основания конуса равен 6, то треугольник MON правильный и длина хорды . Далее просто пользуемся формулой Герона для определения площади сечения:
Ответ:
Задача 5.
Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.
Сфера и ее сечения
Площадь сечения шара плоскостью – окружность. Площадь окружности
Большая окружность проходит через центр сферы, поэтому ее радиус – радиус сферы R.
Тогда отношение площадей:
Рассмотрим треугольник . В нем , , .
Это прямоугольный треугольник, поэтому
Или
Тогда:
Получили уравнение:
Ответ:
В БЛОГАХ…
еще…
еще…
Ольга Михайловна, спасибо за полезную разработку! Ваше творчество не имеет грани…
Спасибо, Любовь Николаевна, за то, что оценили мой комплекс как прекрасный. Спас…
Елена Владимировна, спасибо за столь приятный комментарий. Очень рада слышать Ва…
Оригинально и высококачественно подан ресурс по развитию функциональной грамотно…
Любовь Николаевна, Вы освежаете в памяти нашей форматы интереснейших шаблонов! Л…
Широта Вашей фантазии просто изумляет! Так со вкусом подаете ресурсы, что каждый…
Задачи для подготовки к ЕГЭ «Тела вращения»ЕГЭ по математике
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Презентация «Задачи для подготовки к ГИА и ЕГЭ» содержит задания на тему «Тела вращения» (треугольник, конус, усечённый конус, шар). Подходит для любых УМК. Может быть использована при систематизации знаний и на занятиях по подготовке к ЕГЭ в 11 классе. Цели урока: Образовательные: повторить и закрепить знания телах вращения, научиться применять эти знания при решении конкретных задач. Развивающие: развивать умение анализировать условие задачи. Воспитательные: воспитание аккуратности, внимательности, быстроты мышления.
© Коломина Наталья Николаевна Коломина Наталья Николаевна Понравилось? Сохраните и поделитесь: Неограниченная бесплатная загрука материала «Задачи для подготовки к ЕГЭ «Тела вращения»» доступна всем пользователям. Разработка находится в разделе «ЕГЭ по математике» и представляет собой: «проверка знаний, повторение, систематизация».
Загрузка началась… Понравился сайт? Получайте ссылки Подарок каждому подписчику!
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Порядок вывода комментариев:
|
Зачет «Тела вращения»
1 вариант
№13
ЕГЭ, база
1)
Радиус основания
цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндра, деленную на π.
2)
Площадь боковой поверхности цилиндра
равна 2π, а диаметр основания равен 1. Найдите высоту цилиндра.
3)
Площадь боковой поверхности цилиндра
равна 2π, а высота равна 1. Найдите диаметр основания.
4)
Во сколько раз увеличится площадь боковой
поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?
5)
Высота конуса равна 4, а диаметр
основания — 6. Найдите образующую конуса.
6)
Площадь большого круга шара равна 3. Найдите
площадь поверхности шара.
7)
Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во
сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности
второго?
№16
ЕГЭ, база
Площадь осевого сечения цилиндра равна 4.
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π.
9)
Длина окружности основания конуса равна 3,
образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
10) Куб
вписан в шар радиуса 
. Найдите объем куба.
11) Около
шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите
площадь поверхности шара.
12) Около
конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его
вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы
равен 
. Найдите образующую
конуса.
Дополнительно: (№13 ЕГЭ, профиль)
13)
В цилиндре
образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из
оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на
окружности другого основания — точки В1 и С1,
причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает
ось цилиндра.
а)
Докажите, что угол АВС1 прямой.
б)
Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1,
если АВ = 6, ВВ1 = 15, В1С1 = 8.
Зачет «Тела вращения»
2 вариант
№13
ЕГЭ, база
1)
Радиус основания цилиндра
равен 7, высота равна 10. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра,
деленную на π .
2)
Длина
окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности
равна 6. Найдите высоту цилиндра.
3) Площадь
боковой поверхности цилиндра равна 40π а диаметр основания равен
5. Найдите высоту цилиндра.
4) Во сколько
раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания
уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней?
5)
Высота конуса равна 4, а
длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.
6)
Во сколько раз увеличится
площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?
7)
Даны два
шара. Диаметр первого шара в 8 раз больше диаметра второго. Во сколько
раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности
второго?
№16
ЕГЭ, база
Радиус основания
цилиндра равен 26, а его образующая равна 9. Сечение, параллельное оси
цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 24. Найдите площадь этого
сечения.
9)
Длина окружности основания
конуса равна 8, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
10) Куб вписан в шар радиуса 
.
Найдите объем куба.
11)
Около шара описан цилиндр,
площадь поверхности которого равна 45. Найдите площадь поверхности шара.
12) Около
конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его
вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы
равен 
. Найдите образующую
конуса.
Дополнительно: (№13 ЕГЭ, профиль)
13) В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В,
а на окружности другого основания — точки В1 и С1,
причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает
ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра, если AB = 20, BB1 = 15, B1C1 = 21.