Тела вращения задания егэ

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Зачет   «Тела вращения»

1 вариант

№13
ЕГЭ, база

1)     
Радиус ос­но­ва­ния
цилиндра равен 2, вы­со­та равна 3. Най­ди­те площадь бо­ко­вой поверхности
цилиндра, де­лен­ную на π.

2)     
Площадь бо­ко­вой поверхности ци­лин­дра
равна 2π, а диа­метр основания равен 1. Най­ди­те высоту цилиндра.

3)     
Площадь боковой поверхности цилиндра
равна 2π, а высота равна 1. Найдите диаметр основания.

4)     
Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь бо­ко­вой
по­верх­но­сти конуса, если его об­ра­зу­ю­щую уве­ли­чить в 3 раза?

5)     
Высота ко­ну­са равна 4, а диа­метр
основания — 6. Най­ди­те образующую конуса.

6)     
Площадь боль­шо­го круга шара равна 3. Най­ди­те
площадь по­верх­но­сти шара.

7)     
Даны два шара с ра­ди­у­са­ми 3 и 1. Во
сколь­ко раз пло­щадь поверхности пер­во­го шара боль­ше площади по­верх­но­сти
второго?

№16
ЕГЭ, база

     
Площадь осевого сечения цилиндра равна 4.
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π.

9)     
Длина окружности основания конуса равна 3,
образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

10) Куб
вписан в шар радиуса . Найдите объем куба.

11)  Около
шара опи­сан цилиндр, пло­щадь поверхности ко­то­ро­го равна 18. Най­ди­те
площадь по­верх­но­сти шара.

12)  Около
конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его
вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы
равен . Найдите образующую
конуса.

Дополнительно: (№13 ЕГЭ, профиль)

13) 
В цилиндре
образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из
оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на
окружности другого основания — точки В₁ и С₁,
причем ВВ₁ — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает
ось цилиндра.

а)
Докажите, что угол АВС₁ прямой.

б)
Найдите угол между прямыми ВВ₁ и АС₁,
если АВ = 6, ВВ₁ = 15, В₁С₁ = 8.

Зачет   «Тела вращения»

2 вариант

№13
ЕГЭ, база

1)     
Радиус основания цилиндра
равен 7, высота равна 10. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра,
деленную на π .

2)     
Длина
окруж­но­сти основания ци­лин­дра равна 3. Пло­щадь боковой по­верх­но­сти
равна 6. Най­ди­те высоту цилиндра.

3)      Площадь
бо­ко­вой поверхности ци­лин­дра равна 40π а диа­метр основания равен
5. Най­ди­те высоту цилиндра.

4)      Во сколько
раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания
уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней?

5)     
Высота конуса равна 4, а
длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.

6)     
Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся
площадь по­верх­но­сти шара, если ра­ди­ус шара уве­ли­чить в 2 раза?

7)     
Даны два
шара. Диа­метр пер­во­го шара в 8 раз боль­ше диа­мет­ра второго. Во сколь­ко
раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти
второго?

№16
ЕГЭ, база

     
Радиус ос­но­ва­ния
цилиндра равен 26, а его об­ра­зу­ю­щая равна 9. Сечение, па­рал­лель­ное оси
цилиндра, уда­ле­но от неё на расстояние, рав­ное 24. Най­ди­те площадь этого
сечения.

9)     
Длина окружности основания
конуса равна 8, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

10) Куб вписан в шар радиуса .
Найдите объем куба.

11) 
Около шара описан цилиндр,
площадь поверхности которого равна 45. Найдите площадь поверхности шара.

12)  Около
конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его
вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы
равен . Найдите образующую
конуса.

Дополнительно: (№13 ЕГЭ, профиль)

13) В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В,
а на окружности другого основания — точки В₁ и С₁,
причем ВВ₁ — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает
ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС₁ прямой.

б) Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра, если AB = 20, BB₁ = 15, B₁C₁ = 21.

Цилиндры, сферы и конусы: будем вписывать их в другие объекты, будем рассекать их различными плоскостями, отыскивать углы наклона этих сечений к основанию или их площади.

Задача 1.

В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Так как сфера касается всех граней, то точки касания обязательно лежат на апофемах граней. Нарисуем пирамиду в разрезе, причем разрез пройдет по апофемам противолежащих граней. Тогда сечение – треугольник MSN, а сечение сферы – вписанная в этот треугольник окружность. Разберемся, отрезки каких длин в этом сечении присутствуют. Так как высота пирамиды 6, а боковое ребро 10, найдем длину отрезка :

Так как основание пирамиды составлено из правильных треугольников, то длина равна ребру основания. Теперь можем определить длину апофемы:

Основание треугольника сечения составлено из двух одинаковых отрезков, которые равны высоте треугольника , например. Так как это правильный треугольник со стороной 8, то высота этого треугольника равна , а длина MN тогда .

Итак, теперь мы знаем стороны треугольника сечения : , .
Определим радиус вписанной в него окружности.

Как известно, радиус вписанной окружности можно определить через площадь:


Теперь, зная радиус, можно найти и площадь поверхности сферы:

Ответ:

Задача 2.

Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Образующую конуса можно найти из осевого сечения по теореме Пифагора.

Отрезок OP – высота треугольника . В треугольнике MON стороны равны 4, 6 и 6, определим его площадь по формуле Герона и затем найдем высоту:

Полупериметр треугольника MON равен 8, площадь:


Искомое расстояние – высота треугольника , проведенная к SP.
Определим высоту сечения SP.

По теореме Пифагора

Площадь треугольника SOP:

Наконец, искомое расстояние:

Ответ:

Задача 3.

В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Так как сфера касается всех граней, то точки касания обязательно лежат на апофемах граней. Нарисуем пирамиду в разрезе, причем разрез пройдет по апофемам противолежащих граней. Тогда сечение – треугольник SQP, а сечение сферы – вписанная в этот треугольник окружность. Разберемся, отрезки каких длин в этом сечении присутствуют. Так как высота пирамиды 6, а боковое ребро 10, найдем длину отрезка :

Тогда равна , так как треугольник — равнобедренный и прямоугольный, имеет острые углы по , тригонометрические функции которых хорошо известны:

Определим длину апофемы грани:

В треугольнике SQP стороны: ,
Определим радиус вписанной в него окружности.



Как известно, радиус вписанной окружности можно определить через площадь:


Теперь, зная радиус, можно найти и площадь поверхности сферы:

Ответ:

Задача 4.

Радиус основания конуса с вершиной равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки и , делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью .

Длины дуг окружности пропорциональны центральным углам, поэтому , . Таким образом, поскольку радиус основания конуса равен 6, то треугольник MON правильный и длина хорды . Далее просто пользуемся формулой Герона для определения площади сечения:

Ответ:

Задача 5.

Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.

Площадь сечения шара плоскостью – окружность. Площадь окружности

Большая окружность проходит через центр сферы, поэтому ее радиус – радиус сферы R.
Тогда отношение площадей:


Рассмотрим треугольник . В нем , , .
Это прямоугольный треугольник, поэтому


Или

Тогда:

Получили уравнение:




Ответ: