Видеоурок: Натуральные, целые, рациональные, иррациональные и действительные числа
Лекция: Целые числа
Целые и натуральные числа
К целым числам можно отнести все числа натурального ряда, им противоположные, а также ноль.
То есть это все не дробные положительные, отрицательные числа, а так же ноль — иными словами, все не дробные числа на числовой прямой. Используя термин «натуральные числа» мы понимаем, что это не отрицательные и не дробные числа.
У Вас может возникнуть вопрос, чему же равно максимальное или минимальное целое число — таковых не существует, поскольку числовой ряд бесконечный.
Среди всего множества чисел, целые числа обозначаются буквой Z, а натуральные — N.
Все натуральные числа используются для счета. Например, на дереве висит 5 яблок, стол сервирован на 8 персон. Мы же не можем сказать, что на столе 7,5 тарелок, или у цветка -3 листка. Числа, противоположные натуральным, — это не дробные и отрицательные числа.
Арифметические действия
Существует несколько математических операций, которые можно производить с целыми числами. Хотелось пояснить каждую из них.
1. Сложение / Вычитание
При необходимости сложить два числа, имеющие одинаковые знаки, следует сложить их модули и поставить общий знак. Например,
|+4| + |+6| = |+10|,
|-8| + |-3| = |-11|.
Если необходимо сложить целые числа, которые имеют противоположные знаки, следует от числа с большим модулем вычесть второе число. Перед суммой поставить знак большего модуля. Например,
|-10| + |+3| = |-7|,
|+5| + |-2| = |+3|.
2. Умножение / Деление
Если следует получить произведение (частное) двух чисел, следует перемножить их модули. Перед произведением (частным) ставится знак «+» в том случае, если перемножались (делились) числа с одинаковыми знаками. Если умножение (деление) происходило между числами с разными знаками, то ставят знак «-«.
Например,
|-5| * |-6| = |+30|,
|+3| * |+7| = |+21|,
|-4| * |+3| = |-12|.
Основные правила, используемые при делении, умножении, сложении и вычитании целых чисел.
Рассмотрим арифметические действия, которые производятся над тремя целыми числами а, б, с.
Всего: 339 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.
В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 90 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили арбуз весом 7 кг по цене 2 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.
Диагональ экрана телевизора равна 64 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах, если в одном дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.
Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018
Диагональ экрана телевизора равна 113 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах, если в одном дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.
Ананасы стоят 85 руб. за штуку. Какое максимальное число ананасов можно купить на 500 руб., если их цена снизится на 20%?
Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 1.
Диагональ экрана телевизора 21 дюйм. Выразите диагональ экрана в сантиметрах, если в одном дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.
Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?
Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.
Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 750 рублей после понижения цены на 10%?
Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 2.
Диагональ экрана телевизора равна 60 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах. Считайте, что 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.
Диагональ экрана телевизора равна 40 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах. Считайте, что 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.
Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Считайте, что 1 миля равна 1609 м. Ответ округлите до целого числа.
Маша отправила SMS-сообщения с новогодними поздравлениями своим 16 друзьям. Стоимость одного SMS-сообщения 1 рубль 30 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Маши было 30 рублей. Сколько рублей останется у Маши после отправки всех сообщений?
Рост человека 5 футов 11 дюйм. Выразите его рост в сантиметрах, если 1 фут равен 12 дюймам. Считайте, что 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.
Рост человека — 6 футов 11 дюймов. Выразите его рост в сантиметрах, если 1 фут равен 12 дюймам. Считайте, что 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.
Рост человека — 5 футов 8 дюймов. Выразите его рост в сантиметрах, если 1 фут равен 12 дюймам. Считайте, что 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.
Для покраски потолка требуется 280 г краски на 1 м2. Краска продаётся в банках по 2,5 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 61 м2?
Рост человека 6 футов 1 дюйм. Выразите его рост в сантиметрах, если 1 фут равен 12 дюймам. Считайте, что 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.
На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 35 рублей за штуку. У Вани есть 160 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?
На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?
Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?
Всего: 339 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Латинской буквой mathbb{Z} обозначается множество целых чисел.
К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)
Латинской буквой mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел.
К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).
Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … .
Арифметические действия с целыми числами
Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.
Сложение целых чисел
Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:
(+11) + (+9) = +20
Вычитание целых чисел
Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:
(-7) + (+8) = +1
Умножение целых чисел
Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+», если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «−», если исходные числа были с разными знаками:
(-5) cdot (+3) = -15
(-3) cdot (-4) = +12
Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел:
+ cdot + = +
+ cdot — = —
— cdot + = —
— cdot — = +
Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:
Знак произведения будет «+», если количество множителей с отрицательным знаком четное и «−», если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.
(-5) cdot (-4) cdot (+1) cdot (+6) cdot (+1) = +120
Деление целых чисел
Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+», а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «−».
(-25) : (+5) = -5
Свойства сложения и умножения целых чисел
Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a, b и c:
- a + b = b + a – переместительное свойство сложения;
- (a + b) + c = a + (b + c) – сочетательное свойство сложения;
- a cdot b = b cdot a – переместительное свойство умножения;
- (a cdot c) cdot b = a cdot (b cdot c) – сочетательное свойства умножения;
- a cdot (b cdot c) = a cdot b + a cdot c – распределительное свойство умножения.
Математушка
- Наши выпускники
- Оставить заявку
- ЕГЭ
- Статьи
- Контакты
- Цены
- Заочное обучение
- Войти
Задачи ЕГЭ по математике
Задача № 1
Показать ответ
Показать решение
Задача № 2
Показать ответ
Показать решение
Задача № 3
Показать ответ
Показать решение
Задача № 4
Показать ответ
Показать решение
Определение целых чисел
Что такое целое число — это натуральное число, а также противоположное ему число и нуль. Примеры целых чисел: -7, 222, 0, 569321, -12345 и др.
Что важно знать о целых числах:
- Сумма, разность и произведение целых чисел в результате дают целые числа.
- Не существует самого большого и самого маленького целого числа. Этот ряд бесконечен. Наибольшего и наименьшего целых чисел — не бывает.
- Обыкновенные и десятичные дроби нельзя назвать целыми числами. Но иногда в задачах можно встретить целые числа, у которых дробная часть равна нулю и при этом нет долей.
Целые числа на числовой оси выглядят так:
На координатной прямой начало отсчета всегда начинается с точки 0. Слева находятся все отрицательные целые числа, справа — положительные. Каждой точке соответствует единственное целое число.
В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, если отложить от начала координат данное количество единичных отрезков.
Натуральные числа — это целые, положительные числа, которые мы используем для подсчета. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 + ∞.
Целые числа — это расширенное множество натуральных чисел, которое можно получить, если добавить к ним нуль и противоположные натуральным отрицательные числа. Множество целых чисел обозначают Z.
Выглядит эти ребята вот так:
Последовательность целых чисел можно записать так:
∞ + … -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 … + ∞
Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Свойства целых чисел
Таблица содержит основные свойства сложения и умножения для любых целых a, b и c:
|
Свойство |
Сложение |
Умножение |
|
Замкнутость |
a + b — целое |
a × b — целое |
|
Ассоциативность |
a + (b + c) = (a + b) + c |
a * (b * c) = (a * b) * c |
|
Коммутативность |
a + b = b + a |
a * b = b * a |
|
Существование нейтрального элемента |
a + 0 = a |
a * 1 = a |
|
Существование противоположного элемента |
a + (−a) = 0 |
a ≠ ±1 ⇒ 1/a не является целым |
|
Дистрибутивность умножения относительно сложения |
a * (b + c) = (a * b) + (a * c) |
Пару слов о делении. В стандартном виде невозможно разделить число на множестве целых чисел, но можно делить с остатком. Это правило можно сформулировать так:
- Для всяких целых a и b (b ≠ 0), есть один набор целых чисел q и r. При этом:
a = bq + r, где a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток,
0 ≤ r < |b|, где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b.
Положительные и отрицательные целые числа
Ряд целых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Справа от нуля живут натуральные числа — их еще называют целыми положительными числами. А слева от нуля — целые отрицательные числа.
Отрицательные целые числа — это целые числа со знаком «минус». Они всегда меньше нуля. Примеры целых отрицательных чисел: -944, -1287, -1, -19.
Положительные целые числа — это целые числа со знаком «плюс». Они всегда больше нуля. Примеры положительных целых чисел: 13, 401, 55, 29, 12345.
Бесконечное множество — это ряд целых чисел в положительную и в отрицательную сторону.
Если выбрать два любых целых числа, то те числа, которые находятся между заданными, можно называть конечным множеством.
Например, напишем целые числа от -4 до 3. Все числа, стоящие между этими числами, входят в конечное множество. Данное конечное множество чисел выглядит так:
- -3, -2, -1, 0, 1, 2
Пример 1. Сколько целых чисел расположено между числами -30 и 100?
Как рассуждаем:
- Можно построить прямую и посчитать сколько отрезков находится между заданными числам.
- Или можно посчитать в уме: у нас есть 29 отрицательных числа, нуль и 99 положительных чисел.
29 + 1 + 99 = 129
Ответ: 129.
Пример 2. Сколько нечетных целых чисел расположено между числами -4 и 5?
Как рассуждаем:
- Выпишем все целые числа, которые находятся между -4 и 5:
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 - Подчеркнем нечетные числа в данному ряду.
Ответ: -3, -1, 1, 3.
Неположительные и неотрицательные целые числа
Неотрицательные целые числа — это положительные целые числа и число нуль. Примеры неотрицательных целых чисел: 43, 878, 0.
Неположительные целые числа — это отрицательные целые числа и число нуль. Примеры неположительных целых чисел: -43, -878, 0.
Нуль — это граница между положительными и отрицательными числами. То есть нуль это ни положительное и ни отрицательное число.
Эти два термина помогают формулировать мысли кратко. Например, вместо того, чтобы говорить, что число a — целое число, которое меньше или равно нулю, можно сказать: a — целое неположительное число.
Целые числа в описании изменения величины
Какие числа называют целыми мы уже знаем. Их удобно использовать, чтобы считать предметы или чтобы сказать, что чего-то стало больше или меньше. А теперь примерчик!
Вы участвуете в конкурсе в инстаграм: нужно написать 5 постов про свои самые заветные мечты. А пока вы это не сделали, можно сказать, что сейчас у вас -5 постов. То есть число 5 описывает сколько вы должны сделать постов, а знак «минус» говорит о том, что вы все еще не выполнили условия конкурса. Постов то нет🙄
А если помимо 5 постов, нужно опубликовать еще 5 сторис — общий долг можно вычислить по правилу сложения отрицательных чисел:
- -5 (постов, которых еще нет) + (-5 сториз, которых тоже еще нет) = -10 публикаций
Итого: чтобы участвовать в конкурсе, нужно сделать 10 публикаций в инстаграм.
1
Задачи с целыми числами
Первая часть.
Дихтярь М. Б.
Простые и составные числа
Натуральные числа – это числа 1, 2, 3,… . Множество всех
натуральных чисел обозначается через N.
Целые числа – это числа
. Множество всех целых
чисел обозначается через Z.
Натуральное число b называется делителем целого числа a, если
существует целое число с такое, что
называется простым, если его
натуральными делителями являются только числа 1 и р.
Наименьшим простым числом является число 2. Число 2 –
единственное простое чётное число.
Всякое простое число
Натуральные числа называются взаимно простыми, если они не
имеют общих делителей, кроме единицы.
Например, числа
взаимно простые.
Если число делится на каждое взаимно простое число, то оно
делится на их произведение.
Если произведение
и с взаимно простые
числа, то
делится на с.
Если произведение
– простые числа,
делится на простое число
совпадает с одним из чисел
.
Натуральное число называется составным числом, если оно имеет
не менее трёх натуральных делителей, включая единицу и само число.
Если произведение
– простые числа,
делится на составное число
равно произведению из нескольких
сомножителей чисел
всегда является составным, если оно чётное (кроме
)
или, если оно кратно 5 (кроме
) или, если сумма цифр этого числа
делится на 3 (кроме
).
Для того чтобы показать, что данное число составное, достаточно
2
представить его в виде произведения двух натуральных чисел, ни одно
из которых не равно 1.
Единица – единственное натуральное число, которое не является ни
простым, ни составным.
Чтобы определить, что число р является простым (если не
очевидно, что оно составное), надо:
1) найти корень квадратный этого числа (найти
);
2) проверить делимость числа р на все простые числа, которые
меньше
Пример. Проверить являются ли числа 151, 161, 171 простыми.
Решение. Так как числа 151, 161 не являются чётными, не делятся
на 5, не делятся на 3, то они могут быть простыми числами.
1. Проверяем число 151.
1) Находим
2) Проверим делимость числа 151 на простые числа: 7, 11 (простые
числа меньше 12, но не равные 2, 3 и 5).
Так как число 151 не делится ни на одно из рассматриваемых
чисел, то оно является простым числом.
2. Проверяем число 161.
1) Находим
2) Проверим делимость числа 161 на простые числа: 7, 11.
Так как число 161 делится на 7, то оно не является простым числом.
3. Проверяем число 171.
Так как сумма цифр числа 171 равна 9, то это число делится на 9.
Это означает, что число 171 не является простым числом.
Ответ. Число 151 является простым числом.
Каждое натуральное число
можно единственным способом
представить в виде произведения степеней простых чисел:
– простые делители числа n, числа
является числом повторений числа
). Такое представление числа n называется каноническим
разложением числа n. Число делителей числа n, включая единицу и
число n, равно произведению
( ) ( ) ( )
12
1 1 1
m
k k k+ + +
.
Деление с остатком.
Разделить натуральное число a на натуральное число b – значит
найти такие числа q и r, что
3
называется делимым, число b называется делителем, число q называется
частным, число r называется остатком.
Отметим:
1) любое целое число n можно представить в виде
где k
– натуральное число, q – целое число, r – целое число (остаток), который
принимает k значений, при этом
2) если при делении натурального числа a на натуральное число b
остаток равен нулю, то число a делится на b без остатка (нацело) и
(в этом случае говорят, что число a делится на число b или а
кратно b);
3) из
целых чисел найдутся хотя бы два числа, которые при
делении на n имеют равные остатки (разность чисел с равными
остатками делится на n);
4) из n последовательных натуральных чисел одно и только одно
делится на n;
5) число
не делится ни на какое натуральное число
получаем в остатке 1 (остаток не равен нулю);
6) числа
! 2; ! 3; ; !n n n n+ + +
являются составными идущими
подряд натуральными числами. Количество этих чисел равно
7) остаток от деления суммы (разности, произведения) двух чисел
на третье равен остатку от деления суммы (разности, произведения) их
остатков;
8) остаток от деления числа на 9 (на 3) равен остатку отделения
суммы цифр этого числа на 9 (на 3);
9) если целое число делится на произведение натуральных чисел, то
оно делится на каждый сомножитель.
Сравнение чисел по модулю
Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по
модулю
, если при делении на число n они дают одинаковый
остаток. Обозначение
7 1 5 2, 2 0 5 2;= + = +
делится на 5.
Некоторые свойства сравнений чисел по модулю.
( ) ( ) ( )
mod , mod mod .a b n b c n а c n
( )( )
mod ,a c b d n+ +
( )( )
mod .a c b d n
Признаки делимости
В десятичной системе счисления натуральное число n записывается
в виде
12
1 2 1
10 10 10 ,
nn
nn
n a a a a
−−
−
= + + + +
11
1 9, 0 9, , 0 9.
nn
a a a
−
1 1 1 1 1 1
10 .
k
n n k k n n k k
aa а а а a a а а а
− + − +
= +
3
24657843 10 24657 843; 24657843 10 2465784 3.= + = +
1. Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда две
последние цифры этого числа, образуют число, которое делится на 4.
2. Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда три
последние цифры этого числа, образуют число, которое делится на 8.
3. Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда
разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах и суммы цифр
стоящих на четных местах, делится на 11.
Например,
а) число 63976 делится на 11, так как число
( ) ( )
6 9 6 3 7 11+ + − + =
делится на 11;
б) число 282754 на 11 не делится, так как
( ) ( )
2 2 5 8 7 4 10+ + − + + = −
не делится на 11.
Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.
Общим делителем нескольких целых чисел, не равных
одновременно нулю, называется число являющееся делителем каждого
из этих чисел.
Наибольший из общих делителей называется наибольшим общим
делителем и обозначается НОД.
Обозначение:
наибольший общий делитель
чисел
.
Если НОД(m, n)=d, то существуют взаимно простые натуральные
числа х и у таковы, что
Отметим: число х является
делителем
а у является делителем числа
5
Общим кратным нескольких целых чисел, не равных
одновременно нулю, называется число, которое делится на каждое из
этих чисел.
Наименьшие из общих кратных называется наименьшим общим
кратным и обозначается НОК.
Обозначение:
наименьшее общее кратное чисел
( ; ) ( ; ) .НОД a b НОК a b а b =
Способы нахождения НОД
Первый способ.
Чтобы найти НОД нескольких чисел надо:
1) найти каноническое разложение каждого числа на простые
множители;
2) найти произведение их общих множителей в наименьших
степенях;
3) полученное число является НОД этих чисел.
Второй способ.
Чтобы найти НОД двух чисел, делят большее число на меньшее, и
если получается остаток, не равный нулю, то делят меньшее число на
остаток; если снова получается остаток, не равный нулю, то делят
первый остаток на второй и так продолжают до тех пор, пока в остатке
не получится ноль.
Последний делитель будет НОД этих чисел.
Для того чтобы найти НОД трёх и более чисел, то находят НОД
каких—нибудь двух чисел из данных. Затем находят НОД найденного
делителя и какого—нибудь третьего числа из данных чисел и так
продолжают до тех пор, пока не будут взяты все данные числа.
НОД последней пары и будет НОД данных чисел.
Способы нахождения НОК.
Чтобы найти НОК нескольких чисел надо:
1) найти каноническое разложение каждого числа на простые
множители;
2) найти произведение всех множителей, входящих хотя бы в одно
из разложений, при этом множители, входящие в каждое разложение,
надо брать в наибольших степенях;
3) полученное число является НОК.
6
Замечание. Если числа не имеют общих множителей, то их НОК
равен произведений этих чисел.
Пример. Найдите НОД чисел 726, 660, 504 двумя способами и
НОК этих чисел.
Найдём НОК и НОД первым способом.
Так как
2 2 3 2
726 2 3 11 , 660 2 3 5 11, 504 2 3 7,= = =
3 2 2
(726;660;504) 2 3 5 7 11 304920,
(726;660;504) 2 3 6.
НОК
НОД
= =
= =
Второй способ.
1) Сначала найдём НОД чисел 726, 660.
Разделим число 726 на 660 и получим
Разделим число 660 на 66 и получим
Так как 660 делится на 66 без остатка, то НОД(726; 660)=66.
2) Найдём НОД чисел 504, 66.
Разделим число 504 на 66 и получим
Разделим число 66 на 42 и получим
Разделим число 42 на 24 и получим
Разделим число 24 на 18 и получим
Разделим число 18 на 6 и получим
3) Так как 18 делится на 6 без остатка, то НОД(726; 660; 504)=6.
Основные алгебраические формулы
1. Для произвольных чисел a и b и произвольного натурального
числа n справедлива формула бинома Ньютона
0 1 1 1 1
()
n n n i n i i n n n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C ab C b
− − − −
+ = + + + + + +
.
Если a и b целые числа, то
( )
1 1 2 1
( ) ( ) .
n n n n n n n
n
k целое число
ab а a C a b nb b a b kа b
− − −
−
+ = + + + + + = +
Таким образом, существует целое число k такое, что для
произвольных целых чисел a и b и произвольного натурального числа n,
выполняется равенство
2. Для произвольных чисел a и b и произвольного натурального
числа n справедлива формула
( )
( )
2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2n n n n n n n
a b a b a a b a b ab b
+ + − − −
+ = + − + − − +
Если a и b целые числа, не равные нулю, то
( )
( )
( )
2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2n n n n n n n
k целое число
a b a b a a b a b ab b k a b
+ + − − −
−
+ = + − + − − + = +
7
Таким образом, существует целое число k такое, что для
произвольных целых чисел a и b, которые не равны нулю, и
произвольного натурального числа n, выполняется равенство
( )
2 1 2 1
.
nn
a b k аb
++
+ = +
3. Для произвольных чисел a и b и произвольного натурального
числа n справедлива формула
( )
( )
1 2 3 2 2 1n n n n n n n
a b a b a a b a b ab b
− − − − −
− = − + + + + +
Если a и b целые числа, если
( )
( )
( )
1 2 3 2 2 1
.
n n n n n n n
k целое число
a b a b a a b a b ab b k a b
− − − − −
−
− = − + + + + + = −
Таким образом, существует целое число k такое, что для
произвольных целых чисел a и b таких, что
, и произвольного
натурального числа n, выполняется равенство
Задачи на простые числа
1. Докажите: если
простое число, то оно представимо в виде
может быть простым.
2. Найдите простое число p, если
простое число.
Решение. 1. Если
22
14 1 57 14 1 3 19pp+ = + = −
( ) ( )
2 2 2
14 1 14 36 12 1 1 3 168 56 5 .р k k k k+ = + + = +
( )
( )
22
14 1 3 168 56 5 . 1р k k+ = +
( )
2
168 56 5 56 3 1 5 1,k k k k + = +
не является простым числом.
Ответ.
8
3. Найдите все простые числа p и q, для которых число
точный квадрат.
Решение. Если
то при любом простом числе p
число
то простое число q является нечётным числом, тогда
будет точным квадратом, если
точный квадрат, то найдётся число
( )( )
22
4 4 2 2 .p k p k p k k+ = = − = − +
Так как p является простым числом, то равенство
возможно только в случае когда
и p любое простое число;
простое число
простое число, при
делении на 9 даёт остаток, равный 1, если
Рассмотрим два случая.
1) Если
2 1 6 1 2 6
nn
kk− = − = −
этот случай невозможен, так как
1
2 1 6 1 2 6 2 2 3 1.
n n n
k k k
−
− = + = + = +
( )
( )( )
( ) ( )
1 1 2
2 2 1 3 1 6 1 2 2 1 9 2 1.
n n n n
k k k k
−−
− = + + − = + +
( ) ( )
12
2 2 1 9 2 1,
nn
kk
−
− = + +
простое число, при делении на 9 даёт остаток, равный 1.
5. Найдите все тройки последовательных простых чисел, сумма
квадратов которых также является простым числом.
Решение. Пусть
последовательные простые числа.
1. Пусть одно из простых чисел равно 2. Так как
последовательные простые числа, то
Найдём сумму квадратов последовательности 2, 3, 5:
не простое число (последовательность 2, 3, 5 не
удовлетворяет условию задачи).
последовательные простые
числа, то
Найдём сумму квадратов последовательности 3, 5, 7:
простое число (последовательность 3, 5, 7
удовлетворяет условию задачи).
3. Пусть
простые числа, которые больше
3, то
1 1 2 2 3 3
6 1, 6 1, 6 1,р k р k р k= = =
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
222
1 2 3 1 2 3 1 2 3
6 1 6 1 6 1 36
12 3 3 12 4 1 .
р р р k k k k k k
k k k k k k k k k
+ + = + + = + +
+ + + = + + + + +
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 12 4 1 .р р р k k k k k k+ + = + + + + +
( )
( )
222
1 2 3 1 2 3
12 4 1 1.k k k k k k+ + + + +
Тогда
из (1) следует, что
составное число.
Ответ. 3, 5, 7
6. Найдите все простые числа, которые одновременно являются
суммами и разностями двух простых чисел.
Решение. Пусть
1 2 3 4
, , , ,р р р р р −
простые числа, удовлетворяющие
уравнениям
1 2 3 4
,.р р р р р р= + = −
нечётные числа
(алгебраическая сумма двух нечётных чисел чётное число), а тогда
( )
13
6 1 2, 6 1 2. 1k р k р = + = −
Рассмотрим два случая.
1) Если
( )
3 3 3
6 1 2 6 3 3 2 1 .k р р k р k+ = − = + = +
будет
простым числом, если
Этот случай невозможен, так как
( )
1 1 1
6 1 2 6 3 3 2 1 .k р р k р k− = + = − = −
будет
простым числом, если
удовлетворяет условию задачи.
10
Ответ. 5.
7. Докажите, что не существуют наибольшего простого числа.
Решение. Пусть
наибольшее простое число.
Рассмотрим число
( )
2 3 5 1,n р= +
все простые
числа не больше р. Очевидно,
делится на любое простое число, так как по
предположению
наибольшее простое число. Тогда остаток при
делении числа
на любое простое равен 1. Значит, n
не делится ни на одно простое число.
Так как любое составное число
делится хотя бы на одно простое
число, которое меньше
, то число n является простым числом. Число n
не может быть простым числом, так как
наибольшее простое число.
Из предположения, что существует наибольшее простое число,
получили противоречие. Тогда не существует наибольшего простого
числа.
8.
Докажите, что ни одно из чисел
произведение первых т простых чисел, не является квадратом.
Решение. Так как
произведение первых т простых чисел, то р
делится на 2 (является чётным числом) и не делится на 4.
1. Пусть
является квадратом целого числа п. Тогда
( ) ( )
22
4 4 2 2 .р п р п р п п+ = = − = − +
Так как р – чётное число, то из равенства
следует, что п
– чётное число, а тогда
делится на 4. Так как р не делится
на 4, а
( ) ( )
2
2 2 4 .р п п р п − + +
является квадратом целого числа п. Тогда
Так как р – чётное число, то
чётное число. Тогда
существует число
( )
2 2 2
4 2 2 4 2 2 .п т п т п т+ = = − = −
делятся на 4. Так как р не
делится на 4, а
Из 1. и 2. следует: ни одно из чисел
не является
квадратом.
9. Найдите все натуральные числа n такие, что числа
4, 6, 10, 30n n n n− + + + −
простые.
Решение. Так как
не являются
простыми.
2. Если
6 13, 10 17, 30 37n n n+ = + = + =
являются простыми. Значит,
удовлетворяет условию задачи.
2. Пусть
.
Рассмотрим два случая.
1) Если
4 6 1 6 3,n k n k− = − = +
не
будет простым числом, так как
( )
30 6 33 30 3 2 11n k n k+ = + + = + −
4 6 1 6 5,n k n k− = + = +
не
будет простым числом, так как
( )
10 6 15 10 3 2 5n k n k+ = + + = + −
).
Ответ. 7.
10. Найдите все простые числа p для которых число
тоже
простое число.
Решение. 1. Если
не является простым числом
2.
Если
является простым числом
3. Пусть
( ) ( ) ( ) ( )( )
4 4 2 2
2 2 1 1 2 1 1 1 .
p p p
p p p p+ = + + − = + + − +
( ) ( )( )
( )
4 2 2
2 2 1 1 1 . 1
pp
p p p+ = + + − +
1) Докажем, что делится на 3. Так как
нечётное число, то
найдётся число
( )
( ) ( )
21
11
2 1 2 1 2 4 1 2 3 1 1
2 3 3 1 1 2 3 2 3 3 .
k
p k k
k k k k
kk
+
−−
+ = + = + = + + =
= + + + + = + + +
( )
1
2 1 2 3 2 3 3
p k k
k
−
+ = + + +
делится на 3.
2) Докажем, что
, то его можно представить в
виде
( ) ( )( )
2
2
1 6 1 6 1 6 1 .p k k k
− = + − = + − + +
( )( )
2
1 6 1 6 1p k k
− = + − + +
делится на 3.
Итак, доказали:
( ) ( )( )
4 2 2
2 2 1 1 1 ,
pp
p p p+ = + + − +
то из 1) и 2) следует,
что
делится на 3. Тогда, так как
, не является простым числом.
Ответ.
то существует натуральное
число n
такое, что
( )
( )
32
1 1 1q q q q− = − + +
делится только одно из чисел
Тогда существует натуральное
число т
такое, что
Тогда существует
натуральное число
( ) ( ) ( )
22
1 1 1 1 1 .qq рk q q рk k k q q р k k+ + = + = − + − + = − + −
( ) ( ) ( )
1 1 1 .qq р k k+ = − + −
( ) ( ) ( )
1 1 1 ,qq р k k+ = − + −
( )
2
22
1 1 1qq рk q q q+ + = + + + −
это невозможно. Предположение, что
12.
Докажите, что для любого простого числа
( )( )
4 2 2 2
85 324 81 4 .q р р q р р= − + = − −
простое число то оно может оканчиваться на одно из
следующих цифр: 1, 3, 7, 9. Тогда
может оканчиваться на 1 или 9. В
этом случае
делится на 5.
2. Докажем, что число
делится на 24.
а) Так как
, то его можно представить в
виде
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
81 4 12 9 3 20 12 4 1 . 1q p p q k k k k= − − = − −
делится на 12.
б) Докажем, что
чётное число
(алгебраическая сумма двух нечётных чисел является чётным числом), а
тогда число
является чётным числом, а значит, оно делится
на 2.
Так как
делится на 24.
Было доказано, что
делится на 120.
13. Какое наибольшее количество простых чисел, больших трёх,
встречается среди 13 последовательных натуральных чисел?
Решение. Любое натуральное число n можно представить в виде
где k – натуральное число, r – остаток
может быть простым только, если
Пусть n – первый член последовательности 13 натуральных чисел.
Рассмотрим следующие случаи.
1. Пусть
Заданными числами являются числа:
( )
( )
6 2, 6 1, 6 , 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5 6 1 1,
6 6, 6 7 6 1 1, 6 8, 6 9, 6 10.
k k k k k k k k k
k k k k k k
− − + + + + + = + −
+ + = + + + + +
В этом случае может быть не более 4 простых чисел:
( ) ( )
6 1, 6 1, 6 5 6 1 1, 6 7 6 1 1.k k k k k k− + + = + − + = + +
Заданными числами являются числа:
( )
( ) ( )
6 1, 6 , 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5 6 1 1, 6 6,
6 7 6 1 1, 6 8, 6 9, 6 10, 6 11 6 2 1.
k k k k k k k k k
k k k k k k k
− + + + + + = + − +
+ = + + + + + + = + −
В этом случае может быть не более 5 простых чисел:
( ) ( ) ( )
6 1, 6 1, 6 5 6 1 1, 6 7 6 1 1, 6 11 6 2 1.k k k k k k k k− + + = + − + = + + + = + −
Заданными числами являются числа:
( )
( ) ( )
6 , 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5 6 1 1, 6 6,
6 7 6 1 1, 6 8, 6 9, 6 10, 6 11 6 2 1, 6 12.
k k k k k k k k
k k k k k k k k
+ + + + + = + − +
+ = + + + + + + = + − +
В этом случае может быть не более 4 простых чисел:
( ) ( ) ( )
6 1, 6 5 6 1 1, 6 7 6 1 1, 6 11 6 2 1.k k k k k k k+ + = + − + = + + + = + −
Заданными числами являются числа:
( ) ( )
( ) ( )
6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5 6 1 1, 6 6, 6 7 6 1 1,
6 8, 6 9, 6 10, 6 11 6 2 1, 6 12, 6 13 6 2 1,
k k k k k k k k k
k k k k k k k k
+ + + + + = + − + + = + +
+ + + + = + − + + = + +
В этом случае может быть не более 5 простых чисел:
( ) ( ) ( ) ( )
6 1, 6 5 6 1 1, 6 7 6 1 1, 6 11 6 2 1, 6 13 6 2 1.k k k k k k k k k+ + = + − + = + + + = + − + = + +
Заданными числами являются числа:
( ) ( )
( ) ( )
6 2, 6 3, 6 4, 6 5 6 1 1, 6 6, 6 7 6 1 1, 6 8,
6 9, 6 10, 6 11 6 2 1, 6 12, 6 13 6 2 1, 6 14.
k k k k k k k k k
k k k k k k k k
+ + + + = + − + + = + + +
+ + + = + − + + = + + +
В этом случае может быть не более 4 простых чисел:
( ) ( ) ( ) ( )
6 5 6 1 1, 6 7 6 1 1, 6 11 6 2 1, 6 13 6 2 1.k k k k k k k k+ = + − + = + + + = + − + = + +
Заданными числами являются числа:
( ) ( )
( ) ( )
6 3, 6 4, 6 5 6 1 1, 6 6, 6 7 6 1 1, 6 8, 6 9,
6 10, 6 11 6 2 1, 6 12, 6 13 6 2 1, 6 14, 6 15.
k k k k k k k k k
k k k k k k k k
+ + + = + − + + = + + + +
+ + = + − + + = + + + +
В этом случае может быть не более 4 простых чисел среди 13
последовательных натуральных чисел:
( ) ( ) ( ) ( )
6 5 6 1 1, 6 7 6 1 1, 6 11 6 2 1, 6 13 6 2 1.k k k k k k k k+ = + − + = + + + = + − + = + +
Например, 5 простых чисел будет среди следующих 13
последовательных натуральных чисел: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,
20, 21, 22, 23.
Ответ. 5.
14. Найдите число
простые числа
и каждое из чисел
является делителем натурального
числа, то
4 , 1; 2, ,
ii
p mp i m N− = =
( )
1 4, 1; 2, ,
i
p m i m N− = =
4 , 1; 2, .
ii
p mp i m N− =
равно хотя бы одному нечётному делителю
числа
( )
1
4 1; 7;11; 77 .p −
22
154 5 770n p n p= =
22
154 11 1694 .n p n p= =
22
770 1 2 5 7 11 .n p n p= =
равно хотя бы одному
нечётному делителю числа
которые не принадлежат
множеству
( )
2
4 5; 5 7;11 7;11 7 5 .p −
22
4 11 7 5 389pp− = = −
2
22
1694 1 2 7 11 .n p n p= =
равно хотя бы одному
нечётному делителю числа
которые не принадлежат
множеству
( )
22
2
4 11 ; 7 11 .p −
2 2 2
4 7 121 851 23 37p p p− = = = −
15. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из отрезка
натурального ряда чисел 1 до 3125 так, чтобы разность любых двух из
них не была простым числом?
16
Решение. 1. Если из исходного натурального ряда берутся числа
вида
то в этой последовательности
разность между двумя соседним числами равна 2 – простое число.
2. Если из исходного натурального ряда берутся числа вида
, то в этой последовательности
разность между двумя соседними числами равна 3 – простое число.
3. Пусть из исходного натурального ряда берутся числа
то из исходного ряда чисел берётся
последовательность чисел
Рассматриваемая последовательность состоит из 781
чисел, разность между любыми двумя числами этой последовательности
кратна 4 (не является простым числом).
б) Если
то из исходного ряда чисел берётся
последовательность
Рассматриваемая последовательность состоит из 782
чисел, разность между любыми двумя числами этой последовательности
кратна 4.
в) Если
то из исходного ряда чисел берётся
последовательность
Рассматриваемая последовательность состоит из 781
чисел, разность между любыми двумя числами этой последовательности
кратна 4 (не является простым числом).
г) Если
то из исходного ряда чисел берётся
последовательность
Рассматриваемая последовательность состоит из 781
чисел, разность между любыми двумя числами этой последовательности
кратна 4.
4. Если из исходного натурального ряда берутся числа вида
, , , 5, 0,1,2,3, , 1т k n N т т
= −
, то наибольшее
количество чисел, которое можно выбрать из отрезка натурального ряда
чисел 1 до 3125, меньше 782.
Ответ. 782.
Задачи на основные алгебраические формулы
В задачах 16.– 21. Используется следующее:
17
1. Для произвольных целых чисел a и b и произвольного
натурального числа n, существует целое число k такое, что
2. Для произвольных целых чисел a и b, которые не равны нулю, и
произвольного натурального числа n существует целое число k такое,
что
( )
2 1 2 1
.
nn
a b k аb
++
+ = +
3. Для произвольных целых чисел a и b, где
и
произвольного натурального числа n существует целое число k такое,
что
16. Найдите три последние цифры суммы
999 999 999 999
999 1999 2999 999999 .S = + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
999 999 999 999
1000 0 999 1000 1 999 1000 2 999 1000 999 999 . 1S = + + + + + + + +
Так как для произвольных чисел a и b и произвольного
натурального числа n, существует целое число k такое, что
то каждое слагаемое суммы представим в виде
( )
999
999
1000 999 1000 999 , , .k k n k n N + = +
Так как число слагаемых в сумме (1) равно 1 000, то
( )
999
999
1000 1000 999 1000 999 , .S m S m m N= + = +
Так как сумма S делится на 1 000, то три последние цифры: 0, 0, 0.
Ответ. 0, 0, 0.
17. Докажите, что число
делится на 97.
Решение. Имеем
( ) ( )
( ) ( )
99 99
99 99
396 396 4 4
3 2 3 2 81 16 .+ = + = +
Существует натуральное число m такое, что
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
99 99 99 99
81 16 81 16 81 16 97 .тт+ = + + =
делится на 97.
18. Докажите, что число
делится на 5.
Решение. Так как
, то существует целое число k такое,
что
( )
57
57 57 57
55 2 55 2 57 55 2 .kk+ = + = +
, то существует целое число m такое, что
( ) ( )
23 23
57 23
25 2 25 2 23 25 2 .mm− = + − = −
( )
( )
( )
57 23 57 23 23 34
57 23 55 2 25 2 5 11 5 2 2 1 .
целое число
А k m k m= − = + − − = − + +
Число
А делится на 5, если число
то существует целое число n такое, что
( )
17
4 1 4 1 5 .nn+ = + =
делится на 5,
а тогда и число А делится на 5.
19. Докажите, что
N делится на 37.
Решение. Так как
( )
( ) ( )
44
2 3 2 3 2 81 162
n
nn
n n n
= = =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
5 4 3 1 5 4 3 5
555
5 5 5
( ) 2 3 5 2 2 3 5 5 2 162 5 125
2 162 2 125 2 125 5 125
2 162 125 2 5 125 2 162 125 37 125 .
n
n n n n n n n
n n n n
n n n n n n
An
++
= + = + = + =
= − + + =
= − + + = − +
Существует натуральное число m такое, что
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
162 125 162 125 162 125 37 .
n n n n
тт− = − − =
5
( ) 2 37 37 125 , .
n
An т m N= +
делится на 37.
20. Докажите, что
N делится на 31.
Решение. Так как
2 2 1 2 2 1
5 6 5 5 6 5 6 6 ,
n n n n n n+ + + +
+ = + − +
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 1 2 2 1 2
5 6 5 5 6 6 5 6 5 25 6 6 6 5 .
n n n n n n n n n
Аn
+ + + +
= + = + + − = + + −
( ) ( )
2
6 5 36 5 ,
n n n n
− = −
то существует целое
число m такое, что
( )
( )
36 5 36 5 31
nn
mm− = − =
( )
21
2 1 2 1 2 1
1 2 3 2 , , ,
n
n n n
Smгде m n N
+
+ + +
= + + + +
Решение. Представим данную сумму в виде
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1
1 2 1 2 1 2
1 2 2 2 1 1 .
n n n n
nn
n n n
n n n
делится на m m делится на m m делится на m m m
S m m m m
S m m m m
+ + + +
++
+ + +
+ + +
+ = + + − = + + + = +
= + + + + + + + − +
= + + + − + + + +
19
Так как каждое слагаемое суммы делится на
Задачи на делимость
22. Натуральное число n такое, что числа
являются
квадратами натуральных чисел. Докажите, что число n делится на 8.
Решение. Так как по условию числа
являются
квадратами натуральных чисел, то существуют натуральные числа
( )( ) ( ) ( )
22
10 1 10 1 10 1 1 10 4 1 5 2 1 .n k n k n k k n p p n p p+ = = − = − + = + = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
10 1 3 1 4 1 .n n m k m k m k q p q p+ − + = − = − + = − + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10 1 3 1 4 1 7 4 1 .n n q p q p n q p q p+ − + = − + + = − + +
( ) ( ) ( )
7 4 1 . 1n q p q p= − + +
Возможны следующие случаи.
1) Если
является чётным числом и
делится на 2. Тогда из (1) следует, что
является чётным
числом и делится на 2. Тогда из (1) следует, что
делится на 8.
Доказали, что
делится на 8.
23. Найдите цифры х, у, z, при которых число
делится на 7,
11, 13.
Решение. Искомое число запишем в виде
( ) ( ) ( ) ( )( )
5 4 3 2
5 2 4 3 3 2
10 10 10 10 10
10 10 10 10 10 1 10 1 10 10 .
nxу z x y z
x у z х у z
= + + + + + =
= + + + + + = + + +
( )( )
32
10 1 10 10 .n х у z= + + +
делится на 7, 11, 13 при
любых значениях х, у, z (
цифры числа), удовлетворяющих
условиям
1 9, 0 9, 0 9.x y z
20
24. Найдите цифры х, у при которых число
делится на 88.
Решение. Натуральное число
делится на 88 тогда и
только тогда, когда оно делится на 8 и на 11.
1. Число а делится на 8 тогда и только тогда, когда число
делится на 8. Перебирая все значения у, если
делится 8, если у принимает одно из значений: 1, 5, 9.
2. Число а делится на 11 тогда и только тогда, когда делится на 11
число
( )
7 8 6 21 .c x y c x y= + + − − = − +
Так как х, у цифры числа, то
Ответ. 79 816, 75 856, 71 896.
25. Найдите цифры х, у при которых число
делится на 31.
Решение. 1. Искомое число запишем в виде
6 5 4 3 2
10 10 10 10 2 10 3 10 4 5nx у= + + + + + +
6 5 4 3 2
10 ,10 ,10 ,10 ,10
разделить на 31, то получим
соответственно остатки 2; 25; 18; 8; 7. Тогда найдутся числа
1 2 3 4 5
, , , ,m m m m m N
6 5 4
1 2 3
32
45
10 31 2 ; 10 31 25; 10 31 18 ;
10 2 31 8 2; 10 3 31 7 3.
x m x m у m у
mm
= + = + = +
= + = +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
31 2 31 25 31 18 31 8 2 31 7 3 40 5
31 2 25 18 16 21 45
31 2 18 31 3 14 31 3 2 9 7 .
mN
n m x m m у m m
m m m m m x у
mxу m x у
= + + + + + + + + + + + =
= + + + + + + + + + + =
= + + + + = + + + +
( ) ( )
31 3 2 9 7 .n m x y= + + + +
2. Число n делится на 31, тогда и только тогда, когда число
делится на 31.
Оценим число k.
Так как
1 9 0 7 9 7 9 9 9 7 8 9 7 97 8 97.x y x y k+ + + + + + + +
следует: так как число k кратно
31, то оно принимает хотя бы одно из значений: 31, 62, 93.
21
3. Найдём значения х и у из уравнения
9 7 31 24 9 .x y x у+ + = = −
Решение последнего
уравнения – это
9 7 62 55 9 .x y x у+ + = = −
Решение последнего
уравнения – это
9 7 93 86 9 .x y x у+ + = = −
Решение последнего
уравнения – это
.
26. Докажите, что число
делится на 37.
Решение. Имеем
( )
1251 1251
1251 1251 1251 1251 1251
11 1144 44 11 11 10 44 44 11 11 10 4 .= + = +
( )
1248 1245 3
1251
1248 1245 3
1251
11 11 111 10 111 10 111 10 111
11 11 3 37 10 10 10 1 .
= + + + +
= + + + +
( )
1248 1245 3
1251 1251
11 1144 44 3 37 10 10 10 1 .= + + + +
Из последнего равенства следует, что данное число делится на 37.
27. Найдите наименьшее натуральное число
делится на В=9 999 999.
Решение. 1. Имеем
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 2 1 3 2
3 2 1 3 2 1 3 2
3 2 1 3 2 1 3 2
2 1 1
1122 211 10 10 2 10 10 10 10 10 1
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1
10 10 10 10 10 1 10
n n n n
n
n n n n n n
n n n n n n
n n n
A
+ + +
+ + + +
+ + + +
+−
= = + + + + + + + + =
= + + + + + + + + + + + + + =
= + + + + + + + + + + + + + =
= + + + + + +
( )
( )
1 3 2
11
2
10 10 10 10 1
101 10 10 10 10 1 101 11 1.
nn
n n n
n
+
+−
+
+ + + + + + =
= + + + + + =
22
2. Легко проверить, что число
не делится на 101. Тогда
число
делится на В. Так как В
делится на 9, то а должно делится на 9 и делится на 1 111 111.
Если
делится на 9, то число цифр (единиц) в числе а
кратно 9. Тогда существуют натуральное число
Так как а делится на 1 111 111, то перепишем число а в виде
9 7 9 14 9 7
29
11 11 1111111 10 1111111 10 1111111 10 .
k k k т
nk
а
− − −
+=
= = + + + + +
Наименьшее значение числа а, при котором число а делится на
1 111 111, находим из уравнения
9 7 0 9 7 .k т k т− = =
Наименьшим значением т, которое удовлетворяет уравнению
28. Докажите, что существует натуральное число, записанное
одними единицами, которое делится на 271.
Решение. Рассмотрим 272 числа:
272
1, 11, 111, , 11 11.
единицы
Число
остатков при делении на 271, равно 271, а чисел 272. Тогда хотя бы два
числа при делении на 271 имеют равные остатки. Это означает, что
разность чисел с одинаковыми остатками делится на 271.
Пусть числа
имеют одинаковые остатки.
Рассмотрим разность
11 11 11 11 11 1100 00 11 11 10 .
k
n единиц k единиц n k единиц n k единиц
k нулей
а а а
−−
= − = =
делится на число 271, а число
не
делится на 271, то число
удовлетворяет условию задачи. Отметим:
29. Если числа 4 118 и 3 469 разделить на одно и то же число, то
получим соответственно остатки 14 и 11. Найдите этот делитель.
Решение. Пусть d искомый делитель. Так как остатки равны 14 и
11, то
Если d делитель чисел 4 118 и 3 469, то существуют целые
числа х и у такие, что
33
4118 14 4104 2 3 19 38 9 12 ;
3469 11 3458 2 7 13 19 38 7 13 .
d x d x d x d x
d x d y d y d y
= + = = =
= + = = =
38 9 12 38 7 13,dx и d y = =
30. Число при делении на 1970 и 1971 даёт остаток, равный 69.
Найдите остаток, который даёт при делении на 15 это число.
Решение. 1) Если число х при делении на 1970 даёт остаток, равный
69, то
делится на 5.
2) Если число х при делении на 1971 даёт остаток, равный 69, то
делится на 3.
Так как 5 и 3 простые числа, то из 1) и 2) следует, что
( ) ( )
69 9 60 9 69 15 4.х х х х− = − − − = − +
делится
на 15. Тогда число х при делении на 15 даёт остаток, равный 9.
Ответ. 9.
31. Докажите, что натуральное число имеет нечётное число
делителей тогда и только тогда, когда оно является точным квадратом.
Решение. Если d делитель числа х, то
также делитель числа х.
Делители числа х, разбиваем на пары
делители совпадают, это означает, что в
этом случае число делителей нечётно.
Обратно, если число делителей числа х нечётно, то в одной паре
делителей
делители совпадают, то есть
.
Доказали: натуральное число имеет нечётное число делителей
тогда и только тогда, когда оно является точным квадратом.
32. Натуральные числа а и b имеют ровно по 57 натуральных
делителей (считая 1 и само число). Может ли произведение этих чисел
иметь 300 делителей.
Решение. Так как числа а и b имеют по нечётному числу
натуральных делителей, то они являются точными квадратами. Тогда их
произведение аb тоже точный квадрат, а это означает, что число
делителей аb должно быть нечётным. Поэтому аb не может иметь 300
делителей.
33. Докажите, что
24
Решение. По определению
это произведение чисел от 1 до
1500, то есть
1500! 1 2 3 1499 1500.=
.х целая часть числа х−
1500! 1 2 3 1499 1500=
число чисел, делящихся
на 11, равно
где целое число l
удовлетворяет условию
34. Найдите наибольшее натуральное число n, для которого число
1111! делится на
( )
1110 30 37 1111 36 31 1116. 1= =
1. Докажем, что число
1111! не делится на
Так как число 37 простое, то среди чисел
(2)
всего 30 чисел кратных 37. Это числа:
(следует из
(1)). Поэтому число
1111! делится на
2. Докажем, что число
1111! делится на
1) Среди чисел
(2) имеется 30 чисел вида
1 36, 2 36, , 30 36 1080. =
2) Из чисел
(2) можно получить более 6 чисел, которые делятся на
36, например, такие 7 чисел:
2 18, 3 12, 4 9, 6 24, 8 72, 14 54, 16 27.
. можно получить более 36
чисел, которые делятся на 36, поэтому число
1111! делится на
Так как число
1111! не делится на
Ответ 36.
35. Сумма квадратов двух целых чисел делится на 7, тогда и только
тогда когда каждое число делится на 7.
Решение. Каждое из чисел
при делении на 7 может давать
остатки
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2 2 2 2 2
7 7 7 7 2 7 2 .
kN
a b n m n n m m
+ = + + + = + + + + +
22
7 2 7 2 ,n n m m k
+ + + =
( )
( )
2 2 2 2
7 . 1a b k
+ = + +
Тогда из (1) следует, что
делится на 7.
Итак, если оба числа делятся на 7, то сумма квадратов двух целых
чисел делится на 7.
2. Из (1) следует, если
( )
22
0,
02
0.
=
+ =
=
делится на 7, то из (2) следует, что
делятся на 7.
36.
Докажите, что если сумма натуральных чисел делится на 6, то
и сумма пятых степеней этих же чисел делится на 6.
Решение. Пусть при делении числа а на 6 остаток равен
Существует натуральное число m такое, что
( )
5
5
6 6 ,а k а m
= + = +
при делении на 6 имеют одинаковые
остатки. Имеем
( )
5 5 5
5 5 5
0 6 0 0, 1 6 0 1, 2 6 5 2,
3 6 40 3, 4 6 170 4, 5 6 520 5. 1
= + = + = +
= + = + = +
Из (1) следует: если при делении на 6 число
делении на 6 имеют остаток,
равный
( )
1 2 1
,
nn
а a а а
−
+ + + +
делится на 6, то и сумма пятых степеней этих же
чисел делится на 6, так как сумма остатков в обоих случаях равна нулю.
Таким образом, доказали: если сумма натуральных чисел делится
на 6, то и сумма пятых степеней этих же чисел делится на 6.
37. Докажите, что число
N делится на 64.
Решение. Воспользуемся формулой
( )
( )
( )
1 2 3
1 1 1 . 1
n n n n
a a a a a a
− − −
− = − + + + + +
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 1 2 1 0
1 2 1 1 2 1
3 1 8 9 1 8 (9 1) 9 9 9 9 8
8 9 9 9 1 1 1 1 1 8 9 1 9 1 9 1 .
n n n n n
n n n n
n слагаемых
n слагаемых
А n n n
−−
− − − −
= − − = − − = − + + + + − =
= + + + + − + + + + = − + − + + −
Так как каждое слагаемое последней суммы при любом
N делится на 64.
38. Найдите значение
делится на 56.
Решение. 1. Пусть
Замечание. Для произвольных чисел a и b, где
и
произвольного натурального числа n существует целое число k такое,
что
а) Докажем, что А делится на 7. Имеем
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
10 5 2 3 10 3 5 2 .
k k k k k k k k
А = + − − = − + −
Из замечания следует: число
, число А делится на 7.
б) Докажем, что А делится на 8. Имеем
( ) ( )
2 2 2 2
10 2 5 3 .
k k k k
А = − + −
Из замечания следует: число
, число А делится на 8.
Так как при
, число А делится на 7 и на 8, то при
, число А делится на 56.
2. Пусть
( ) ( )
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
10 5 2 3 10 3 5 2 .
k k k k k k k k
А
+ + + + + + + +
= + − − = − + −
а) Из замечания следует: число
( )
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2
5 2 5 5 2 2 3 2 3 2 5 5 2 3 2 .
k k k k k k k k k++
− = − − + = − +
( )
2 1 2 1 2 2 2
5 2 5 5 2 3 2 .
k k k k k++
− = − +
27
Выше было доказано, что
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 2
10 3 5 5 2 3 2
k k k k k
А
++
= − + − +
не делится на 7, а значит
и не делится на 56, если
.
39. Докажите: если натуральное число
( )
12 8 4
99А n n n n= − − +
делится на 256.
Решение. Разложим
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( )( )
12 8 4 12 8 4 8 4 4
4 8 2 2 2 2 4
9 9 9 9 9 9
9 1 3 3 1 1 1 .
А n n n n n n n n n
n n n n n n n
= − − + = − − − = − − − =
= − − = − + − + +
( )
( )( )( )( )( )
2 2 2 2 4
3 3 1 1 1 .А n n n n n n= − + − + +
– нечётное натуральное число, то
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 4
4
2 2 2 2
4
6 2 2 2
2 1 3 2 1 3 2 1 1 2 1 1 2 1 1
4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 2 2 1 1
2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 .
А k k k k k
k k k k k k k k k
k k k k k k k k k
= + − + + + − + + + + =
= + − + + + + + + + =
= + − + + + + + + +
являются последовательными натуральными
числами, поэтому их произведение делится на 2. Число
является чётным числом, поэтому оно делится на 2.
Итак, если
6 5 4 3 2
3 5 15 4 12А n n n n n n= − − + + −
N делится на 720.
Решение. Разложим число А на множители:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )( ) ( )( )
6 5 4 3 2 4 2
4 2 2 2
3 5 15 4 12 3 5 3 4 3
3 5 4 3 1 4
3 2 1 1 2 .
А n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n
n n n n n n
= − − + + − = − − − + − =
= − − + = − − − =
= − − − + +
( )( )( ) ( )( )
3 2 1 1 2 .А n n n n n n= − − − + +
Число А является произведением шести последовательных
натуральных чисел. Поэтому число А делится на
41.
Докажите, что при любом
( ) ( )
29 20 21 30 50
nn
− + −
( ) ( ) ( )
29 20 21 30 50.
nn
fn= − + −
( ) ( ) ( )
1.n f n f n
= + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
11
11
1 29 20 20 21 30 30
29 20 1 20 1 21 30 30 1 10 29 21 2 1 3 .
n n n n
n n n n n
nn
n f n f n
++
++
= + − = − − − + − =
= − + + − = − +
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
10 29 21 2 1 3 . 1
nn
nn
n
+
= − +
( ) ( ) ( )
1,n f n f n
= + −
( ) ( ) ( )
1.f n n f n
+ = +
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
1 10 29 21 2 1 3 .
nn
nn
f n f n
+
+ = − + +
( ) ( ) ( )
29 20 21 30 50,
nn
fn= − + −
( ) ( ) ( )
1f n n f n
+ = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 , 3 1 2 , , 1 2 1 , 2.f f f n n где n
= = + = + + + −
( ) ( ) ( )
( )
1
10 29 21 2 1 3 , ,
nn
nn
n где n N
+
= − +
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 ,f n n
= + + + −
( ) ( ) ( )
( )
1
10 29 21 2 1 3 , 1,
nn
nn
n где n
+
= − +
( ) ( )
1
2 1 3
n
nn
gn
+
= − +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
21
2 2 2 2
2 2 1 3 2 3 2 2 9 4 .
kk
k k k
kk
g k g k g k
+
= − + = − = −
Так как существует натуральное число m такое, что
( )
9 4 9 4 5 ,
kk
тт− = − =
( ) ( ) ( )
22
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 3 2 1 3 2 .
k
k k k k
g k g k
+
+ + + +
+ = − + + = +
Так как существует натуральное число m такое, что
( )
2 1 2 1
3 2 3 2 5 ,
kk
тт
++
+ = + =
( )
2 1 2 1
2 1 3 2
kk
gk
++
+ = +
делится на 5.
Доказали, что число
( ) ( )
1
2 1 3
n
nn
gn
+
= − +
Тогда исходное число делится на
42. Найдите натуральные значения n, при которых число
( ) ( )
1
( ) 1 1
n
n
а n n n
+
= + +
29
Решение. Любое натуральном число
( ) ( )
3 1 3
3 3 1 ,
kk
kk
+
++
одно слагаемое, которого делится на 3, а другое слагаемое не делится на
3, поэтому сумма не делится на три.
2. Если
( ) ( ) ( ) ( )
( )
31
3 2 3 1 3 2
3 1 3 2 3 1 3 1 1 .
k
k k k
k k k k
+
+ + +
+ + + = + + + −
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
31
3 2 3 2 3 1
12
3 1 3 1 , 3 1 1 3 1 1 .
k
k k k
kkт k k т
+
+ + +
+ = + + − = + + −
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
31
3 2 3 1 3 2
3 2 3 1 3 1
12
3 1 3 2 3 1 3 1 1
3 1 3 1 1 3 1 1 1 .
k
k k k
k k k
k k k k
k т k n k m k m
+
+ + +
+ + +
+ + + = + + + − =
= + + + + − = + + + + −
( )
3 1 2
31т k т k т= + + −
( ) ( ) ( )
( )
3 2 3 1 3 1
3
3 1 3 2 3 1 1 ,
k k k
kkт
+ + +
+ + + = + + −
( ) ( )
3 2 3 1
3 1 3 2
kk
kk
++
+ + +
( )
( )
( )
3 1 3 1
1 1 0 1 1 2 , .
kk
k m m N
++
+ − = − = − =
2
3 1 6 1.
km
n k n m
=
= + = +
( ) ( )
3 3 3 2
3 2 3 3 ,
kk
kk
++
+ + +
одно слагаемое, которого делится на 3, а другое слагаемое не делится на
3, поэтому сумма не делится на три.
Ответ.
Задачи на НОД и НОК
43. Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 344, а
общий наибольший делитель равен 43.
Решение. Пусть a и b являются искомыми числами. Так как, по
условию задачи, НОД (а; b)=43, то существуют взаимно простые
натуральные числа х и у такие, что
( )
344 43 344 8.ab х у х у+ = + = + =
удовлетворяют пары взаимно простых чисел
( ) ( ) ( ) ( )
1; 7 , 3; 5 , 5; 3 , 7;1
. Тогда искомыми числами являются числа: 43 и
301, 129 и 215.
Ответ. 43 и 301, 129 и 215.
30
44. Найдите наибольший общий делитель натуральных чисел m и n,
если он увеличивается в 15 раз при увеличении числа m на 10.
Решение. Пусть НОД(m , n)=d. Тогда НОД(m+10, n)=15d.
Воспользуемся следующим: если целое число делится на
произведение натуральных чисел, то оно делится на каждый
сомножитель.
Отметим:
1.Так как НОД(m+10, n)=15d, то 5 и
являются делителями чисел
m+10 и n. Так как НОД(m , n)=d, то
является делителем чисел m и n.
Тогда
а) m+10 делится на 5 и так как 10 делится на 5, то m
делится на 5;
б) n делится на 5.
Из а) и б) следует, что 5 делитель чисел m и n. Так как
наибольший общий делитель чисел m и n, то 5 делитель
кратно 5.
в) m+10 делится на
то НОД(m, n)=5 и НОД(m+10, n)=75. Тогда, например,
удовлетворяет условию задачи.
2) Если
то НОД(m, n)=10 и НОД(m+10, n)=150. Тогда,
например,
удовлетворяет
условию задачи.
Ответ.
5 или 10.
45. Различные натуральные числа m и n таковы, что
НОД (m, n)+НОК (m, n) =m+n.
Докажите, что одно из чисел является делителем другого.
Решение. Пусть НОД (m, n)=d. Тогда существуют взаимно простые
натуральные числа х и у таковы, что
( ) ( )
, , ,НОД m n НОК m n m n =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0
,,
1 1 1 1 1 1 0.
d
НОД m n НОК m n m n d dxy dx dy
d xy d x y xy x y х у х х у
+ = + + = +
+ = + + = + − = − − − =
следует, что m является делителем числа n.
следует, что n является делителем числа m.
46. Пусть
натуральные числа, сумма которых равна
2 737. Какое наибольшее значение может принимать их наибольший
общий делитель?
Решение. Если
( )
1 2 15
, , , ,d НОД а а а=
то существуют взаимно
простые натуральные числа
( )
( )
1 2 15
1 2 15 1 2 15
1 2 15
1
2737
182,4 6 .
15
i
n
а а а
а а а d n n n d
n n n
dd
+ + +
+ + + = + + + =
+ + +
( )
1 2 15 1 2 15
а а а d n n n+ + + = + + +
1 2 15
2737 7 17 23.а а а+ + + = =
является наибольшим общим делителем чисел:
1 13 14 15
161, , 161, 322, 322,а а а а= = = =
сумма которых равна 2 737.
Ответ. 161.
47. Пусть НОК(a, b)=504 и НОК(a, с)=378, где a, b, c натуральные
числа. Найдите НОК(b, с).
Решение. Разложим числа 504 и 378 на простые множители:
3 2 3
504 2 3 7, 378 2 3 7.= =
( )
32
, 2 3 7НОК a b =
( )
3
, 2 3 7,НОК a с =
то найдутся
целые неотрицательные числа
3 3 3
1 1 1 2 2 2
2 3 7 , 2 3 7 , 2 3 7 .
n m k
n m k n m k
a b c= = =
Из определения наименьшего общего кратного следует:
( )
1 2 1 2 1 2
max , max , max ,
, 2 3 7 ,
n n m m k k
НОК a b =
( )
( )
1 3 1 3 1 3
2 3 2 3 2 3
max , max , max ,
max , max , max ,
, 2 3 7 ,
, 2 3 7 .
n n m m k k
n n m m k k
НОК a c
НОК b c
=
=
Для того чтобы найти НОК(b, с) надо найти
2 3 2 3 2 3
max , , max , , max , .n n m m k k
( )
( )
1 2 1 2 1 2
12
max , max , max ,
12
32
12
max , 3,
, 2 3 7 ,
max , 2,
, 2 3 7;
max , 1.
n n m m k k
nn
НОК a b
mm
НОК a b
kk
=
=
=
=
=
( )
( )
1 3 1 3 1 3
13
max , max , max ,
13
3
13
max , 1,
, 2 3 7 ,
max , 3,
, 2 3 7;
max , 1.
n n m m k k
nn
НОК a с
mm
НОК a с
kk
=
=
=
=
=
Тогда имеется две возможности для значения
1) Если хотя бы одно из значений
( )
2 3 2 3 2 3
max , max , max ,
, 2 3 7 .
n n m m k k
НОК b c =
( ) ( )
33
, 2 3 7 , 1512;НОК b c НОК b c= =
( ) ( )
3 3 0
, 2 3 7 , 216.НОК b c НОК b c= =
Ответ.
1 512, 216.
48. Пусть наибольший общий делитель натуральных чисел
равен единице. Какое наибольшее значение может принимать НОД
чисел
1000 , 990 990 990 1000 , 990 989999 ,
990 ; 990 ; 990 ;
990 989999 ,
989 999 989999 989999 990 ;
990 989999 ,
989 999 990 989999 990 ;
990 989999 ,
99000
а m n а m n а b n
b n m b n m b n m
а b n
b n m
а b n
bb аm
а b n
= + = + − =
= + = + = +
−=
= +
−=
+ − =
−=
990 989999 ,
0 990 989999 990 ; 1000 989999 .
а b n
b а m b а m
−=
− = − =
( )
990 989999 , 1000 989999 . 1а b n b а m− = − =
является наибольшим общим делителем чисел a и b,
то
и n (следует из (1)). Так как числа
и
n взаимно простые числа, то
является делителем числа 989 999.
Покажем, что найдутся взаимно простые числа
999 27 37, 989 23 43.mn= = = =
и
n взаимно простые числа. Тогда
999 1000 989 989999аа= + =
989 990 999 989999.bb= + =
Ответ.
989 999.
49. Пусть НОД(m, n)=d и НОК (m, n) =q, где
m и n
натуральные числа. Найдите наименьшее значение числа
Решение. Так как НОД(m, n)=d, то существуют взаимно простые
натуральные числа х и у такие, что
( ) ( )
, , ,НОД m n НОК m n m n =
( )
0
, : .
d
НОК m n dxy q dxy q d xy
= = =
Надо найти значения х и у, при которых
принимает
наименьшее значение, если
( )
0
5 8 14 5 8 14 5 8 14 5 8 14 .
d
m n dx dy d x y x y d
− = − = − = − =
Так как
х и у натуральные числа, то из уравнения
, если х и у взаимно простые натуральные числа
и они являются решением уравнения
5 8 14 8 5 14 5 ,x y d x y d− = = +
.
Отметим: наименьшее значение
является искомым значением.
Так как
не являются решением уравнения
(в
этом случае, левая часть уравнения меньше нуля, а правая часть больше
нуля), то
то уравнение (1) принимает вид
( )
81
8 5 1 5 5
5
y
x y x
+
= + =
. Уравнение (5) имеет целые решения,
если
является наименьшим значением,
при котором х принимает целое число, равное 5
.
Итак, если
то уравнение (1) принимает вид
( )
41
8 5 2 5 2 4
5
y
x y x
+
= + =
. Уравнение (4) имеет целые решения,
если
является наименьшим значением,
при котором х принимает целое число, равное 2. Итак, если
взаимно простые натуральные числа). Тогда
является найденное
значение
Задачи на сравнение чисел по модулю
Воспользуемся следующим: Если
где k целое число,
то k является остатком от деления числа а на n.
Если
( )( )
mod ,a c b d n+ +
( )( )
mod ;a c b d n
50. Найдите остаток от деления числа
( ) ( )
81 81
36 2 mod17 36 2 mod17
( )
( )
( ) ( )
10
8 8 10 81
2 1 mod17 2 1 mod17 2 2 mod17 .
на 17 равен 2.
Ответ. Равен 2.
2. Найдите остатки от деления числа
на 5, 11, 13.
Решение. 1) Так как
( )
44
2 16 2 1 mod5 1930 4 482 2,и= = +
( )
( ) ( ) ( ) ( )
482
485
1930 4 2
2 2 2 mod5 1 4 mod5 4 mod5 .
то остаток от деления числа а на 5 равен 4.
2) Так как
( )
55
2 32 2 3 11 1= = −
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
1930 5 386
386
386
5 5 1930
2 1 mod11 2 1 mod11 2 1 mod11 .
=
− −
то остаток от деления числа а на 11 равен 1.
3) Так как
( )
66
2 64 2 5 13 1= = −
( )( )
( )
( ) ( )
( )( ) ( )
1930 6321 4
321
321
6 6 4
1930 1930
2 1 mod11 2 2 1 16 mod13
2 1 13 2 10 mod13 2 10 mod13 .
= +
− −
− −
то остаток от деления а на 13 равен 10.
Ответ. 4, 1, 10.
51. Найдите последнею цифру числа
Решение. Последняя цифра числа а совпадает с остатком от деления
числа а на 10. Поэтому надо найти наименьшее целое число k такое, что
( )
( )
( ) ( ) ( )
1969 4 492 1
492
492
4 4 1 1969
3 1 mod10 3 3 1 3 mod10 3 3 mod10 .
= +
( )
( )
( ) ( ) ( )
1537 2 768 1
768
768
2 2 1537
19 1 mod10 19 19 1 19 mod10 19 9 mod10 .
= +
( )
( )( )
( )
( )
1969 1537 1969 1537
3 19 3 9 mod10 3 19 2 mod10 .+ + +
Последняя цифра числа а равна 2, так как
( )
( )
1969 1537
3 19 2 mod10 .+
Ответ. 2.
52. Найдите две последние цифры числа
36
Решение. Две последние цифры числа а совпадает с остатком от
деления числа а на 100. Поэтому надо найти наименьшее целое число k
такое, что
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1971 4 492 3
492
492
4 4 4 3
1971
7 301 mod100 7 1 mod100 7 7 1 343 mod100
7 43 mod100 .
= +
то две последние цифры числа а равны 43.
Ответ. 43.
53. Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде
суммы 1892 натуральных слагаемых с одинаковыми суммами цифр и в
виде суммы 1987 натуральных слагаемых с одинаковыми суммами цифр.
Решение. Если искомое натуральное число n является суммой 1892
натуральных чисел, сумма цифр каждого из которых равна k, то сумма
цифр числа n, равна
Если искомое натуральное число n является суммой 1987
натуральных чисел, сумма цифр каждого из которых равна m, то сумма
цифр числа n, равна
Воспользуемся следующим: остаток от деления числа на 9 равен
остатку отделения суммы цифр этого числа на 9.
Так как остатки от деления чисел n,
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1892 mod9 ,
1892 1987 mod9
1987 mod9 ;
210 9 2 220 9 7 mod9 2 7 mod9 .
nk
km
nm
k m k m
+ +
Числа 2k и 7m сравнимы по модулю 9, если k кратно 7, а m кратно 2.
Так как надо найти наименьшее натуральное число n, то рассмотрим
случай когда
.
Отметим: если сумма цифр числа равна 7, то числами могут быть,
например, такие: 7, 16, 25; если сумма цифр числа равна 2, то числами
могут быть, например, такие: 2, 11, 20.
Так как, любое натуральное число не меньше суммы своих цифр, то
7
2
1892 , 13244,
13244.
1897 ; 3794;
k
m
n k n
n
n m n
=
=
представимо в виде суммы 1892
натуральных слагаемых, каждое из которых равно 7.
Имеем
1892
13244 7 1892 13244 7 7 7.
семёрка
= = + + +
представимо в виде суммы 1892 натуральных
слагаемых, если сумма цифр каждого слагаемого равна 7.
2). Докажем, что число
представимо в виде суммы 1987
натуральных слагаемых, сумма цифр каждого слагаемого равна 2.
Пусть а – число слагаемых, каждое из которых равно 2 и b– число
слагаемых, каждое из которых равно 11. Тогда имеем
( )
13244 2 1987 11 ,
13244 2 11 , 9 9270, 1030,
1987; 1987; 957.
1987;
bb
a b b b
a b a b a
ab
= − +
= + = =
+ = + = =
+=
957 1030
13244 2 957 11 1030 13244 2 2 2 11 11 11.= + = + + + + + + +
представимо в виде суммы 1987 натуральных
слагаемых, если сумма цифр каждого слагаемого равна 2.
Таким образом, искомым числом является число
Целые числа
Представьте плитку шоколада или пиццу, они могут быть целыми или разрезанными на части, так же и с числами! Узнайте, что такое целые числа и как часто мы их используем в нашей жизни.
Что такое целые числа
Целые числа — это все положительные, все отрицательные числа и ноль. Никаких дробных частей в целых числах не бывает!
Например, к целым будут относиться числа: -12, -381, -5, 0, 32, 164, 978.
Как вы помните, в математике числа, которые мы используем для счета называются натуральными. Таким образом, можно сказать, что целые числа — это натуральные числа, ноль и отрицательные числа.
Выведем основные заключения:
- Целое число может быть не только положительным.
- Число 0 – целое число.
- Целое число не может включать дробную часть. Значит, такие числа, как 1½, 3 ¼ и 7 ⅚, не являются целыми числами, а 1, 3 и 7 — целыми.
- Целое число не может включать десятичный элемент. Это означает, что такие числа как 3,5 или 9,12 не являются целыми, а 3 или 9 — целые числа.
Как обозначаются целые числа
Множество целых чисел обозначается буквой «Z».
Z = {∞ … -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … ∞}
Множество целых чисел бесконечно, поэтому нельзя определить, сколько всего существует целых чисел. По этой же причине нельзя назвать наибольшее целое число либо наименьшее целое число.
Положительные и отрицательные целые числа
Множество целых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Рассмотрите числовой луч: справа от нуля находятся положительные числа, а слева — отрицательные числа.
Отрицательные целые числа — это целые числа, которые меньше нуля. Записывают отрицательные числа всегда со знаком минус.
Например: — 12, — 135, — 74, — 3009.
Положительные целые числа — это целые числа, которые больше нуля. Записывают положительные числа без какого-то знака.
Например: 35, 14, 1004, 7286.
Свойства целых чисел при сложении и умножении
Закономерности при выполнении арифметических действий с целыми числами определяют основные свойства целых чисел. Все свойства сложения и умножения натуральных чисел будут подходить и для целых чисел.
Сумма и произведение двух целых чисел всегда будет целым числом. Например, два целых числа 2 и 6.
2 + 6 = 8 — целое число;
2 × 6 = 12 — целое число.
Переместительное свойство
Сумма или произведение целых чисел будут одинаковы, даже если порядок чисел поменять местами.
a + b = b + a
2 + 6 = 6 + 2
8 = 8
a ⋅ b = b ⋅ a
2 ⋅ 6 = 6 ⋅ 2
12 = 12
Это свойство работает независимо от знака.
( — 2) + 6 = 6 + ( — 2)
4 = 4
2 ⋅ ( — 6) = ( — 6) ⋅ 2
— 12 = — 12.
Сочетательное свойство
Сложение целого числа с суммой двух целых чисел равно сложению суммы двух первых чисел с третьим.
a + (b + c) = (a + b) + c
5 + (2 + 3) = (5 + 2) + 3
Умножение целого числа на произведение двух целых чисел равно произведению суммы двух первых чисел с третьим.
a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
5 ⋅ (2 ⋅ 3) = (5 ⋅ 2) ⋅ 3
Умножение целого числа на сумму двух целых чисел равно сумме произведений первого со вторым и первого с третьим числом.
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
5 ⋅ (2 + 3) = 5 ⋅ 2 + 5 ⋅ 3
25 = 25
При умножении целого числа на ноль результат будет всегда равен нулю.
a ⋅ 0 = 0 или — a ⋅ 0 = 0
5 ⋅ 0 = 0 или — 5 ⋅ 0 = 0
Свойства целых чисел при вычитании
Разность равных целых чисел будет всегда равна нулю.
a — a = 0
Распределительное свойство
Вычитание суммы двух целых чисел из другого целого числа.
a — (b + c) = (a — b) — c
Вычитание целого числа из суммы двух целых чисел.
(a + b) — c = (a — с) + b = a + (b — c)
Сочетательное свойство
Умножение целого числа на разность двух целых чисел равно разности произведений первого и второго числа с первым и третьим числом.
a ⋅ (b — c) = a ⋅ b — a ⋅ c
5 ⋅ (6 — 4) = 5 ⋅ 6 — 5 ⋅ 4
10 = 10