Тема вероятность 11 класс егэ

Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.

Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?

Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.

Орел и решка — два возможных исхода испытания.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна .

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.

Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки равна (один благоприятный исход из шести возможных).

Вероятность четверки — тоже .

А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

Вот другой пример. В пакете  яблок, из них  — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна , а зеленое — .

Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна .
 

БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ

Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.

В фирме такси в данный момент свободно  машин:  красных,  желтых и  зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Всего имеется  машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна , то есть .

 В сборнике билетов по биологии всего  билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна , то есть .

Родительский комитет закупил  пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них  с картинами известных художников и  с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.

Задача решается аналогично.

Ответ: .

В чемпионате по гимнастике участвуют  спортсменок: — из России,  — из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.

Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен (поскольку из Китая —  спортсменок). Ответ: .

Ученика попросили назвать число от  до . Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

Каждое пятое число из данного множества делится на . Значит, вероятность равна .

Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

 — нечетные числа;  — четные. Вероятность нечетного числа очков равна .

Ответ: .

Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?

Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка.

Две монеты — уже четыре исхода:

орел	орел
орел	решка
решка	орел
решка	решка

Три монеты? Правильно,  исходов, так как .

Вот они:

орел	орел	орел
орел	орел	решка
орел	решка	орел
решка	орел	орел
орел	решка	решка
решка	орел	решка
решка	решка	орел
решка	решка	решка

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.

Ответ: .

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет  очков. Результат округлите до сотых.

Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.

Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего  возможных исходов, так как .

А теперь — благоприятные исходы:

Вероятность выпадения восьми очков равна .

Стрелок попадает в цель с вероятностью . Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре выстрела подряд.

Если вероятность попадания равна  — следовательно, вероятность промаха . Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна . А вероятность четырех попаданий подряд равна .

Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей

ПОДРОБНЕЕ

Вероятность: логика перебора.

 В кармане у Пети было монеты по  рублей и  монеты по  рублей. Петя не глядя переложил какие-то  монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами , а десятирублевые цифрами  — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора .

Однако есть более простое решение:

Кодируем монеты числами: ,  (это пятирублёвые),  (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от  до . Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами  и  не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане.

Для этого составим все возможные комбинации из набора . Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях  и  — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

…

А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — , а затем:

.

Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на . Продолжаем:

.

Всего  возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами  и  не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация нам не подходит — она означает, что фишки  и  обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только , либо только . Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего  благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна .

Ответ: .

Сумма событий, произведение событий и их комбинации

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть – вероятность того, что чайник прослужил больше года.

– вероятность того, что он сломается на второй год, – вероятность того, что он прослужит больше двух лет.

Очевидно,

Тогда

Ответ: 0,06.

События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.

Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

В нашей задаче события «чайник сломался на второй год работы» и «чайник работает больше двух лет» — несовместные. Чайник или сломался, или остается в рабочем состоянии.

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук выйдет через выход А.

Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.

Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна то есть 0,03125.

События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.

В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.

Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.

(А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй — два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 — для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?

Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку Для второго Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.

Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.

Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна . Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна .

Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% — не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.

Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% — не высшей.

Пусть случайно выбранное в магазине яйцо — из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей:

Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна

Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.

Мы получили уравнение:

Решаем это уравнение и находим, что – вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).

Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:

Если он болен гепатитом, анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. То есть анализ покажет: «есть гепатит».
Заметим, что анализ не во всех случаях выявляет гепатит у того, кто действительно им болен. С вероятностью 0,1 анализ не распознает гепатит у больного.

Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.

Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Благоприятные для этой ситуации исходы: человек болен, и анализ положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна ), или человек здоров, и анализ ложный положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна ). Так как события «человек болен» и «человек не болен» несовместны, то вероятность того, что результат анализа будет положительным, равна

Ответ: 0,0545.

Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознание или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна

Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна

В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна Это ответ.

Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.

Еще задачи ЕГЭ по теме «Теория вероятностей».

Смотрите также: парадокс Монти Холла.

Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов

$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.

Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$

Противоположные события

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}↖{-}$.

$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$

Независимые события

Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Несовместные события

Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)

Совместные события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.

Повторение
курса теории вероятностей в 11 классе. Подготовка к ЕГЭ.

1.    
Суммой A + B событий A и B называется
событие, состоящее в появлении события А, или события В,
или обоих этих событий.

Пример.
Пусть А — идет дождь, B — идет снег,
тогда (А + В) — либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом,
т. е. осадки; 

А —
пошли на дискотеку; B — пошли в библиотеку, тогда (А +
В) — пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома.

2.    
События называются несовместными, если появление одного из них
исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое
событие, либо другое.

Например,
бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного
числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.

3.    
Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность
появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме
вероятностей этих событий:

Пример.
В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность
появления цветного шара.

Решение.
Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность
появления красного шара (событие А)

P
(A) = 10/30 = 1/3.

Вероятность
появления синего шара (событие В)

P
(В) = 5/30 = 1/6.

События А и В несовместны
(появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому
теорема сложения применима.

По
формуле искомая вероятность

P (A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 1/2. 

Пример. Вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном
кубике при одном броске  будет 1/3 , потому что оба
события (выпадение 5, выпадение 6) несовместны и вероятность реализации одного
или второго события вычисляется следующим образом: 1/6 + 1/6 =1/3.

4.     Полная
группа событий.

Множество
несовместных событий образуют полную
группу событий, если в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно
из этих событий.

Приммер. Для игрального кубика характерно
рассмотрение следующего набора:

 –
в результате броска игрального кубика выпадет 1 очко;
 –
… 2 очка;
 –
… 3 очка;
 –
… 4 очка;
 –
… 5 очков;
 –
… 6 очков.

События  несовместны (поскольку
появление какой-либо грани исключает одновременное появление других) и
образуют полную группу (так как в результате испытания непременно
появится одно из этих шести событий).

Теорема. Сумма
вероятностей событий A₁, A₂, …, A_n,
образующих полную группу, равна единице: 

5.    
Противоположные события.

Противоположными называют
два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух
противоположных событий обозначено через А, то другое
принято обозначать .

Пример.
Если при бросании кости событие А состоит в выпадении 6,
то противоположное событие – это невыпадение 6, т.е.
выпадение 1, 2, 3, 4 или 5.

Пример.
Если А — число четное, то   —
число нечетное; если А — зима, то  —
не зима (либо осень, либо лето, либо весна); если А — сдал
экзамен, то  —
не сдал экзамен.

Теорема.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Р(А)
+ Р() = 1 или
Р(А)
= 1 – Р().

Пример. Какова
вероятность того, что при бросании двух игральных костей на них выпадает разное
(не одинаковое) число очков?

Обозначим
описанное событие А. Противоположным событием является событие  , состоящее в том, что на обеих костях
выпало одинаковое число очков. Событию   благоприятствуют
шесть элементарных событий: (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6).
Вероятность каждого из этих элементарных событий  .
Значит, Р() = .
Тогда Р(А) = 1 – Р()= 1 — .

6.    
Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

Два события А и В называются независимыми,
если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое
событие или нет.

Пример. Монета
брошена два раза. Событие А – выпал «герб» при первом броске, событие В – выпал
«герб» при втором броске. События А и В независимы.

События
А и В  называются зависимыми, если вероятность наступления одного
из них зависит от того, произошло или нет другое событие.

Если
вероятность события В  вычисляется в предположении, что событие А уже
произошло, то такая вероятность называется условной вероятностью
события В по отношению к событию А. Обозначение: Р_А(В).

Пример. В
конверте лежало 4 открытки с видами Петербурга и 3 открытки с видами Москвы. Пусть
событие А – извлечение открытки с видами Петербурга, событие В – извлечение
открытки с видами Москвы. Рассмотрим вероятности. Связанные с этими событиями.

1.    
Если
открытка извлечена только в начале один раз, то Р(А) = ,
Р(В) = .

2.    
Если
две открытки последовательно извлекаются из конверта без возврата в него, то:

а)
если сначала вытащили открытку с видом Петербурга, а затем с видом Москвы, то Р_А(В)
= ;

б)
если сначала вытащили открытку с видом Москвы, а затем с видом Петербурга,
тогда Р_В(А) = .

7.    
Произведение вероятностей.

Произведением двух событий А и В называют
событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении)
этих событий.

Пример.
Пусть А — из урны вытянули белый шар, B —
из урны вытянули белый шар, тогда АВ — из урны вытянули два белых
шара; если А — идет дождь, B — идет снег,
то АB — дождь со снегом; А — число
четное, B — число кратное 3, тогда АB —
число кратное 6.

Теорема
умножения для независимых событий

Теорема. Вероятность
произведения двух независимых событий А и В  равна
произведению их вероятностей: 

Пример.
Игральный куб подбрасывают два раза. Какова вероятность, что в первом броске
выпадет 2 очка, а во втором 6?

Пусть
событи е А – выпадение 2 очков, событие В – выпадение 6 очков, событие С –
выпадение в первом броске 2 очков, а во втором 6 очков.

События
А и В независимы, так как наступление одного события не зависит от наступления
другого события. Тогда так как Р(А) =  и  Р(В)
= , то Р(С) = Р(А) · Р(В) = .

Теорема
умножения для зависимых событий.

Теорема. Если
события А и В являются зависимыми, то вероятность их произведения равна произведению
вероятности одного из них на условную вероятность другого

Пример.
В
конверте лежало 4 открытки с видами Петербурга и 3 открытки с видами Москвы.
Пусть событие А – извлечение первый раз видов Петербурга, событие В —
извлечение первый раз видов Москвы. Пусть событие С состоит в том, что вначале
вытащили вид Петербурга, затем вид Москвы. Тогда событие С по определению
умножения равно А·В. Очевидно, что в данном случае события А и В зависимы.
Покажем это.

1)    Если
вначале извлекут вид Петербурга Р(А) = , то
вероятность того, что затем извлекут вид Москвы Р(В) = (по
классическому определению вероятности).

2)    Если же
вначале извлекут вид Москвы, то вероятность того, что второй раз извлекут вид
Москвы, будет равна . Зависимость более чем
очевидна.

Значит
нужно воспользоваться теоремой о формуле произведения зависимых событий, т.е.
Р(С) = P (A) · P_A(B). Таким образом, Р(С) = .

Пример.
В читальном зале имеется 6 учебников по информатике, из которых три в
переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти
вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение.
Рассмотрим следующие события: 
А₁ — первый взятый учебник в переплете; 
A₂— второй взятый учебник в переплете.

Событие A
= A₁ · A₂, состоит в том, что оба взятых
учебника в переплете. События А₁ и А₂ являются
зависимыми, так как вероятность наступления события А₂ зависит
от наступления события А₁. Поэтому, для вычисления
вероятности воспользуемся формулой произведения зависимых
событий.

Вероятность
наступления события А₁ в соответствии с
классическим определением вероятности:

P
(А₁) = m / n = 3/6 = 0,5.

P _А1 (А₂) определяется
как условная вероятность наступления события А₂ при
условии, что событие А₁ уже наступило:

P _А1 (А₂)
= 2/5 = 0,4.

Тогда
искомая вероятность наступления события А:

P
(А) = 0,5 · 0,4 = 0,2.

8.    
Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называются совместными, если
появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же
испытании.

Пример. А —
появление четырех очков при бросании игральной кости; В —
появление четного числа очков. Событие А и В —
совместны.

Теорема. Вероятность появления
хотя бы одного из двух совместных событий А и В равна
сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: 

Пример.
Два студента читают книгу. Первый студент дочитает книгу с вероятностью – 0,6;
второй – 0,8. Найти вероятность того, что книга будет прочитана хотя бы одним
из студентов.

Решение.
Вероятность того, что книга будет прочитана каждым из студентов не зависит от
результата отдельно взятого студента, поэтому события А (первый
студент дочитал книгу) и B (второй студент дочитал книгу)
независимы и совместны. Искомую вероятность находим по формуле сложения
вероятностей совместных событий.

Вероятность
события АB (оба студента дочитали книгу):

P (AB)
= P (A) · P (B) = 0,6 ·  0,8 = 0,48.

Тогда

P
(A + B) = 0,6 + 0,8 — 0,48 = 0,92.

Пример. В торговом центре два
одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня  в
автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в
обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе
закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или
в обоих сразу).

Вероятность первого события
«кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события
«кофе закончится во втором автомате»  по условию равна 0,3. События являются
совместными. 

Вероятность совместной
реализации первых двух событий по условию равна 0,12.

Значит, вероятность того,
что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть 0,3 +
0,3 – 0,12 = 0,48.

Пример. В школе 1400 учеников, из них 1200
учеников умеют кататься на лыжах, 952 ученика умеют кататься на коньках. Не
умеют кататься ни на лыжах, ни на коньках 60 учеников. Какова вероятность, что
ученик умеет кататься и на лыжах, и на коньках?

Обозначим Е – все ученики данной
школы. Пусть событие А – умение учеников кататься на лыжах. Событие В – умение
учеников кататься на коньках. Событие АВ – умение учеников кататься и на лыжах
и на коньках. Событие А+В – умение учеников кататься или  на лыжах, или на
коньках.

Т.к. 60 учеников не умеют кататься
ни на лыжах, ни на коньках, то учеников, которые умеют кататься или на лыжах,
или на коньках 1400 – 60 = 1340. Тогда Р(А) = , Р(В) = ; Р(А+В) = .  Но

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Тогда Р(АВ) = Р(А) + Р(В) – Р(А+В). Так как события А и В – зависимые со бытия, то Р(АВ) = .

9.     Формула полной
вероятности.

Если событие А может произойти только при
выполнении одного из событий В₁, В₂, …, В_n которые
образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А
вычисляется по формуле

Р(А) = Р(В₁) · Р_В1(А) +
Р(В₂) · Р_В2(А) + … + Р(В_n) · Р_Вn(А).

Эта формула
называется формулой полной вероятности.

Пример. В магазине продаются
электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода — 30%, второго — 50%, третьего — 20%. Брак в их
продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова
вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась
бракованной.

Пусть событие В₁
состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, В₂ —
на втором, В₃ — на третьем заводе. Очевидно:

                             P(В₁)
= ,  P(В₂) = ,  P(В₃) = .

Пусть событие А
состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; Р_В1(А) означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из
ламп, произведенных на первом заводе, Р(В₂) – на втором заводе, Р(В₃)
– на третьем заводе.  Из условия задачи следует:

                         Р_В1(А)= ; Р_В2(А)  = ; Р_В3(А) = .

По формуле полной вероятности получаем

                     =0,034.

Список литературы.

1.    
Тюрин Ю.Н.,
Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. ОАО
«Московский учебник». М., 2008.

2.    
Шахмейстер
А.Х. Комбинаторика. Статистика. Вероятность. МЦНМО. М., 2010.

3.    
http://www.mathprofi.ru/teoremy_slozhenija_i_umnozhenija_verojatnostei.html

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

В-6-2014 ( все  56 прототипов из банка ЕГЭ)

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели (теория вероятностей)

1.В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Решение: Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна 5: 36=0,138…=0,14

2.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решeние: Равновозможны 4 исхода эксперимента: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Орел выпадает ровно один раз в двух случаях: орел-решка и решка-орел. Поэтому вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз, равна 2 : 4= 0,5.

3.В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решeние: В чемпионате принимает участие спортсменок из Китая. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна 5 : 20 = 0,25

4.В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решeние: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 1000 − 5 = 995 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна 995 : 1000 =0,995

5.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Решeние: По условию на каждые 100 + 8 = 108 сумок приходится 100 качественных сумок. Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 100: 108 =0,925925…= 0,93

6.В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Швеции.  Решeние: Всего в соревнованиях принимает участие 4 + 7 + 9 + 5 = 25 спортсменов. Значит, вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции, равна 9 : 25 =0,36

7.Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?  Решeние: За первые три дня будет прочитан 51 доклад, на последние два дня планируется 24 доклада. Поэтому на последний день запланировано 12 докладов. Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12 : 75 =0,16

8.Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?  Решeние: На третий день запланировано выступлений. Значит, вероятность того, что выступление представителя из России окажется запланированным на третий день конкурса, равна 18 : 80 =0,225

9.На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России. Решeние: Всего в семинаре принимает участие 3 + 3 + 4 = 10 ученых, значит, вероятность того, что ученый, который выступает восьмым, окажется из России, равна 3:10 = 0,3.

10.Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Решeние: В первом туре Руслан Орлов может сыграть с 26 − 1 = 25 бадминтонистами, из которых 10 − 1 = 9 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 9 : 25 = 0,36

11.В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике. Решение: 11 : 55 = 0,2

12.На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.

13.Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая  — 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло, окажется бракованным.

Решение.  Переводим %% в дроби.

Событие А — «Куплены стекла первой фабрики». Р(А)=0,3

Событие В — «Куплены стекла второй фабрики». Р(В)=0,7

Событие Х — » Стекла бракованные».

Р(А и Х) = 0.3*0.03=0.009  

Р(В и Х) = 0.7*0.04=0.028 По формуле полной вероятности:Р = 0.009+0.028 = 0.037

14.Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.  Решение: 0,52 * 0,3 = 0,156. 

15.Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Решение: Случайный эксперимент — бросание жребия.
В этом эксперименте элементарным событием является участник, который выиграл жребий.
Перечислим возможные элементарные события:
(Вася), (Петя), (Коля), (Лёша).
Их будет будет 4, т.е. N=4. Жребий подразумевает, что все элементарные события равновозможны.
Событию A= {жребий выиграл Петя} благоприятствует только одно элементарное событие (Петя). Поэтому N(A)=1.
Тогда P(A)=0,25 Ответ: 0,25.

16.В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? Решение: Всего исходов -16.Из них благоприятных, т.е. с номером 2, будет 4. Значит, 4 : 16=0,25

17.На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

= {вопрос на тему «Вписанная окружность»},
= {вопрос на тему «Параллелограмм»}.
События и несовместны, так как по условию в списке нет вопросов, относящихся к этим двум темам одновременно.
Событие = {вопрос по одной из этих двух тем} является их объединением: .
Применим формулу сложения вероятностей несовместных событий:
.

18.В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Определим события
= {кофе закончится в первом автомате},
= {кофе закончится во втором автомате}.
По условию задачи и .
По формуле сложения вероятностей найдем вероятность события
и = {кофе закончится хотя бы в одном из автоматов}:

.
Следовательно, вероятность противоположного события {кофе останется в обоих автоматах} равна
.

19.Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

В этой задаче предполагается, что результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы.
Вероятность каждого попадания равна . Значит, вероятность каждого промаха равна . Воспользуемся формулой умножения вероятностей независимых событий. Получаем, что последовательность
= {попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся} имеет вероятность
=
=. Ответ: .

20.В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

     В этой задаче также предполагается независимость работы автоматов.
Найдем вероятность противоположного события
= {оба автомата неисправны}.
Для этого используем формулу умножения вероятностей независимых событий:
.
Значит, вероятность события = {хотя бы один автомат исправен} равна .Ответ: .

21.Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Решение: Обе перегорят (события независимые и пользуемся формулой произведения вероятностей) с вероятностью  p1=0,3⋅0,3=0,09
Противоположное событие (НЕ обе перегорят = ОДНА хотя бы не перегорит)
произойдет с вероятностью p=1-p1=1-0,09=0,91
ОТВЕТ: 0,91

22.Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года

Решение.

Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года».

События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем 0,97 = P(A) + 0,89.

Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

23.Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. Решение: Пусть в первом хозяйстве агрофирма закупает яиц, в том числе, яиц высшей категории, а во втором хозяйстве — яиц, в том числе яиц высшей категории. Тем самым, всего агроформа закупает яиц, в том числе яиц высшей категории. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, тогда: 

Поэтому вероятность того, что купленное яйцо окажется из первого хозяйства равна =0,75

24.На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

25.Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

26.Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. Решение: Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.

27.В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин? Решение:  Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность быть выбранным равна 2 : 5 = 0,4.  Ответ: 0,4.

28.Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза. Решeние:  Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций три: 110, 101, 011, а всего комбинаций 23 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, искомая вероятность равна:  

29.Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?     Решeние: Сумма очков может быть равна 5 в четырех случаях: «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1». Ответ: 4.

30.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй — решка). Решение: Всего возможных исходов — четыре: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Благоприятным является один: орел-решка. Следовательно, искомая вероятность равна 1 : 4 = 0,25. Ответ: 0,25.

31.На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых. Решение: Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д — Дания, Ш — Швеция, Н — Норвегия):

.Д…Ш…Н…, …Д…Н…Ш…, …Ш…Н…Д…, …Ш…Д…Н…, …Н…Д…Ш…, …Н…Ш…Д…

Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна Ответ: 0,33.

32.При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?   Решение: Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:Р(1) = 0,6. Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24. Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096. Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384; Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536. Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.

33.Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.    Решение: Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:    

34.В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных. Решение: 5000 – 2512 = 2488;  2488 : 5000 = 0,4976 ≈0,498

35.На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.   Решение:   В самолете 12 + 18 = 30 мест удобны пассажиру В., а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30 : 300 = 0,1.Ответ: 0,1.

36.На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории. Решение: Всего в запасную аудиторию направили 250 − 120 − 120 = 10 человек. Поэтому вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна 10 : 250 = 0,04. Ответ: 0,04.

37.В классе 26 человек, среди них два близнеца  — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе. Решение: Пусть один из близнецов находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй близнец окажется среди этих 12 человек, равна 12 : 25 = 0,48.

38.В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные  — жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями. Решение: 23:50=0,46

39.В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта, равна:6:30=0,2

40.Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На  сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?   Решeние: Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна 51 : 1000  = 0,051. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,006.

41.При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм. Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035.

42.Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.  Решение: Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).  Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.Ответ: 0,07.

43.Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.  Решeние: Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и D — это события, в которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Тогда поскольку

    для вероятности поступления имеем:

44.На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых. Решение: Пусть завод произвел тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% невыявленных дефектных тарелок: тарелок. Поскольку качественных из них , вероятность купить качественную тарелку равна 0,9п :0,92п=0,978  Ответ: 0,978.

45.В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). Решение: Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна

46.По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.  Решение: Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02

47.Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19. Решeние: Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Ответ: 0,38.

48.Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры. Решение. Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.  Ответ: 0,125.

49.В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. Решение.  Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:  P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;   P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;   P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;     P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.    Указанные события несовместные, вероятность их сумы равна сумме вероятностей этих событий:     P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

50.Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. Решение. Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем: р(А)=0,9 0,05=0,045; р(В)=0,01 0,95=0,0095; р(А+В)=Р(А)+р(В)=0,045+0,0095=0,0545.

51.В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».

52.Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час. Решение: 3 : 12=0,25

53.Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. Решeние: Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836.Ответ: 0,8836.

54.Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В = батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем:

55.На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .

Решение.

На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5)4 = 0,0625.

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

1. Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. .
2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. .
3. Вероятность достоверного события равна 1, т.e. .
4. Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. .

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные  из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков – 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А – это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

   

Ответ: 0,4

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается “шесть факториал”.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов  В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

   

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

   

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие “У. верно решит ровно 9 задач” входит в условие “У. верно решит больше 8 задач”, но не относится к условию “У. верно решит больше 9 задач”.

Однако, условие “У. верно решит больше 9 задач” содержится в условии “У. верно решит больше 8 задач”. Таким образом, если мы обозначим события: “У. верно решит ровно 9 задач” – через А, “У. верно решит больше 8 задач” – через B, “У. верно решит больше 9 задач” через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

.

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме “Тригонометрия”, либо к теме “Внешние углы”. По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: – лампочка горит, – лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события “лампочка перегорела”, “лампочка горит”, “лампочка горит”: , где вероятность события “лампочка горит” подсчитывается как вероятность события, противоположного событию “лампочка не горит”, а именно: .

 

 

 

 

 

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

Муниципальное общеобразовательное учреждение лицей №5

им. Ю.А.Гагарина Центрального района Волгограда

Урок подготовки к ЕГЭ по математике в 11 классе

« Решение задач по теории вероятностей »

Подготовила

Таболаева Марина Васильевна-

учитель математики

2016г

Урок подготовки к ЕГЭ по математике в 11 классе

« Решение задач по теории вероятностей »

Тема: «Решение задач по теории вероятностей »

Цели урока:

• обобщить материал по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в ЕГЭ по математике»;

• развивать вероятностное мышление учащихся;

• повысить положительную мотивацию к учению.

Задачи урока:

1. образовательные:

   • обобщить и систематизировать основные понятия изучаемой темы;

   • отработать и закрепить практические навыки решения ключевых задач;

   • продолжить подготовку учащихся к ЕГЭ по математике;

2. развивающие:

• продолжить формирование аналитического и логического мышления учащихся;

• продолжить формирование у учащихся навыков самостоятельной деятельности при подготовке к ЕГЭ;

1. воспитательные:

• воспитывать коммуникативные компетенции;

• продолжить формирование общей и математической культуры учащихся;

• воспитывать понимание значимости ведущей роли математики в развитии современного научно-технического общества.

Тип урока: комбинированный.

Форма работы учащихся: индивидуальная и групповая.

Оборудование:

• компьютер;

• проектор;

• экран.

Дидактический материал: компьютерная презентация «Решение задач по теории вероятностей » (, Microsoft Office Power Point 2003).

Литература, использованная при подготовке к уроку:

1. Мордкович А.Г. Семенов П.В. События. Вероятности, Статистическая обработка данных: Доп. параграфы к курсы алгебры 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. – 3-е изд. – М.: Мнемозина, 2005. – 112 с.

2. Математика. 10-11 классы: элективный курс «В мире случайных закономерностей» / ав.-сост. В.Н. Студенецкая и др. – Волгоград: Учитель, 2007. – 126 с.

3. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики: Учебное пособие для студентов-заочников IV курса физико-математических факультетов педагогических институтов / Н.Я. Виленкин, В.Г. Потапов. – Москва: Просвещение, 1979. – 112 с.

4. Демоверсии ЕГЭ по математике – 2015, 2016.

5. http://mathege.ru/ — открытый банк заданий по математике.

План урока:

1. Вводное слово учителя. Постановка цели урока – 1 мин.

2. Теоретический материал – повторение основных понятий, формул и правил по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» — 10 мин.

3. Практикум: решение ключевых типов задач В-4 ЕГЭ по математике – 15 мин.

4. Самостоятельная работа учащихся — решение задач по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в ЕГЭ» – 15 мин. (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1)

5. Проверка результатов самостоятельной работы – 2 мин.

6. Домашнее задание – 1 мин.

7. Подведение итогов урока. – 1 мин.

Ход урока:

1. Вводное слово учителя. Постановка цели урока.

Учитель: Великий французский ученый Блез Паскаль писал об этой чудесной науке так: «Сочетая строгость научных доказательств с неопределенностью случая и примиряя казалось бы противоположные вещи, и, извлекая ее [новой науки имя] из того и другого, можно по праву присвоить ей ошеломляющее название геометрия случая».

С 2012 года в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике включена задача с прошлого года это В4 по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Практика показала, что ряд учащихся испытывает затруднения при решении задач данной тематики, поэтому для успешного решения таких задач на экзамене нам предстоит серьезная работа. Сегодня на уроке мы вспомним и повторим материал по этой теме, решим ключевые типы задач В4, входящие в ЕГЭ.

2) Теоретический материал – повторение основных понятий, формул и правил по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей».

Учитель: Первым делом нам необходимо заложить теоретические основы, без которых невозможно успешное решение задач на «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Для этого давайте все вместе вспомним и повторим основные понятия, формулы и правила. (Демонстрация слайдов презентации. Учитель акцентирует внимание учащихся на теоретических аспектах темы).

Слайд 1.

Определение: Событие, которое может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием.

Пример: Попадание или промах при стрельбе по мишени.

Определение: Элементарные события – простейшие события (исходы), которыми может окончиться случайный опыт.

Слайд 2.

Определение: Событие Ā называется противоположным событию А,

если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.

Слайд 3.

Определение: Два случайных события называются несовместными,

если они не могут произойти одновременно при одном и том же исходе испытания.

Учитель: Иными словами: несовместные события не могут наступить в одном опыте.

Слайд 4.

Определение (классическое определение вероятности):

Вероятностью события называется отношение числа

благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

Обозначение: P(A) – вероятность события А

Формула Лапласа (классическое определение вероятности):

P(A) = , где

m_a — число благоприятных исходов события А,

n – число всех равновозможных исходов.

Замечание: Часто в специальной литературе формула классической вероятности

записывается в таком виде: P = , где P — вероятность,

k — число благоприятных исходов,

n — общее число возможных исходов.

Слайд 5

Пример.

Андрей, Роман, Максим и Сергей бросили жребий, кому быть вратарем.

Найти вероятность того, что вратарем стал Роман.

Решение:

Пусть событие А = {вратарем стал Роман}.

Число благоприятных исходов k = 1.

Общее число возможных исходов n = 4.

По формуле классической вероятности получаем:

P(A) = = 0, 25.

Ответ: 0,25

Слайд 6

Определение: Вероятность события А равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.

Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.

Учитель: Ребята, обратите особое внимание: в задании В4 ЕГЭ по математике ответ всегда записывается в виде положительной десятичной дроби, значение которой всегда меньше 1.

Слайд 7

Определение: Вероятность противоположных событий:

Р(А) + Р(Ā) = 1

Р(А) = 1 — Р(Ā)

Слайд 8

Определение:AU B (объединение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А, В.

Определение:А ∩ В (пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.

Формула сложения вероятностей для совместных событий:

Р(A U B) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В)

Формула сложения для несовместных событий:

Р(A U B) = Р(А) + Р(В)

Слайд 9

Формула умножения вероятностей для независимых событий:

Р( A ∩ B) = Р(А)*Р(В)

Формула умножения вероятностей для зависимых событий:

Р( A ∩ B) = Р(А)*Р(ВА) = Р(В)*Р(АВ)

Учитель: Обратите внимание: Р(ВА) – это вероятность события B при условии, что произошло событие A (аналогично для Р(АВ).

Слайд 10

Определение: Факториалом числа n называется произведение первых натуральных n чисел от 1 до n.

Обозначение: n!

Формула: n! = 1*2*3*….*n

Пример: 4! = 1*2*3*4 = 24

Запомните: 0! = 1 (по определению)

Слайд 11

Определение: Сочетанием из n элементов по k называется любое множество составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

Обозначение: С_n^k — число сочетаний из n элементов по k

Формула:

С_n^k ₌

Слайд 12

Пример.

Иван Петрович купил билет спортлото. Он должен зачеркнуть 6 номеров из 49. Сколько существует способов это сделать?

Решение:

С₄₉⁶ ₌ =

= = 13 983 816.

(Красным цветом отмечены множители, которые автоматически сокращаются).

Ответ: 13 983 816 способов

Учитель: Рассмотрим случай повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность того, что событие А наступит ровно раз m при проведении n независимых испытаний, каждое из которых имеет два исхода, обозначается Р_n(m) и вычисляется по формуле Бернулли.

Слайд 13

Формула Бернулли:

Р_n(m) = С_n^m * p^m *(1 – p) ^{n – m} , где

р – вероятность наступления события А в каждом испытании,

m= 0, 2, 3, …, n.

3)Практикум – решение ключевых типов задач В4 ЕГЭ по математике.

Учитель: Переходим от теории к практике. Рассмотрим, как теоретические знания основных понятий, законов и формул помогут нам в решении ключевых типов задач В4 ЕГЭ по математике.

(Демонстрация слайдов презентации. Учитель акцентирует внимание учащихся на приемах решения ключевых задач В4 ЕГЭ по данной теме. Наименование типов задач составлено таким образом, чтобы сформировать у детей ассоциативные связи между типом задачи и алгоритмом ее решения. Учащиеся, испытывающие затруднения при решении задач по данной теме, делают краткие записи в своих рабочих тетрадях. Остальные работают устно по слайдам презентации вместе с учителем).

Слайд14

Тип 1. Самая простая задача.

Задание B4 (№ 283483) открытого банка заданий по математике

В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные — из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.

Решение: Из Кореи выступают 64 – (20 + 28) = 16 спортсменок.

По формуле классической вероятности получим: P = = = 0, 25.

Ответ: 0,25

Слайд 15

Тип 2. Задача с бросанием монет

Задание B4 (№ 283473) открытого банка заданий по математике

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.

Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Способ I. Метод перебора комбинаций:

Нужно выписать все возможные комбинации орлов и решек,

а затем выбрать нужные и применить формулу классической вероятности.

Решение:

1. Выписываем все возможные комбинации: ОО, ОР, РО, РР. Значит, n = 4.

2. Среди полученных комбинаций выбираем те,

которые требуются по условию задачи: РР. Значит, m_a = 1.

1. По формуле классической вероятности получим: P = = 0, 25.

Ответ: 0,25

Учитель: Метод перебора комбинаций крайне неудобен для большого количества бросков, т.к. занимает много времени. Поэтому мы можем пойти другим путем.

Слайд 16

Способ II. Специальная формула вероятности,

адаптированная для решения задач с монетами.

Пусть в случайном эксперименте монету бросают n раз, тогда вероятность того,

что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле: P = , где

2ⁿ – число всех возможных исходов, С_n^k — число сочетаний из n элементов по k,

которое вычисляется по формуле С_n^k ₌

Учитель: В задаче с монетами нужно знать два числа: число бросков и число орлов (решек). В большинстве задач эти числа заданы непосредственно в тексте задачи. Аналогично решаются задачи для решек. Имеем:

Слайд 17

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.

Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение (Способ II):

С₃⁰ = = 1 P = = = 0,125

Ответ: 0,125

Слайд 18

Тип 3. Задача с игральным кубиком

Игральный кубик бросили один раз.

Какова вероятность того, что выпадет не менее 4 очков?

Решение:

1. Бросаем игральный кубик один раз — 6 исходов.

Значит, у данного действия (бросание одного игрального кубика 1 раз)

всего имеется n = 6 возможных исходов.

1. Выписываем все благоприятные исходы: 4; 5; 6.

Значит, k = 3 – число благоприятных исходов.

1. По формуле классической вероятности имеем: P = = 0,5.

Ответ: 0,5

Слайд 19

Тип 4. Задача с игральными костями

Задание B4 (№ 283441) открытого банка заданий по математике

В случайном эксперименте бросают две игральные кости.

Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

Решение:

1. Бросаем первую игральную кость — 6 исходов, для каждого из которых

возможны еще 6 исходов (когда мы бросаем вторую кость).

Значит, у данного действия (бросание двух игральных костей)

всего имеется n = 6² = 36 возможных исходов.

1. Выписываем все благоприятные исходы в виде пар чисел:

(1;4), (2;3), (3;2), (4;1).

Значит, k = 4 – число благоприятных исходов.

1. По формуле классической вероятности имеем: P = = ≈ 0,11.

Ответ: 0,11

Учитель: Практика показала, что следующий тип задач вызывает у школьников наибольшие затруднения. Однако здесь нечего бояться. Такие задачи решаются просто.

Слайд 20

Тип 5. Задача с перекладыванием монет

В кармане у Андрея было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей.

Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман.

Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.

Решение:

1. Всего у Андрея было: 4 + 2 = 6 монет.

2. 3 (переложенные) монеты можно выбрать из 6 (имеющихся) монет:

n = С₆³ = = = = 20 способами.

(Красным цветом отмечены множители, которые автоматически сокращаются).

1. 2 монеты по 5 рублей выбираем из двух пятирублевых монет: 2! = 2 способами.

2. 3 монеты из 4-х монет по 2 рубля выбираем:

n = С₄³ = = = 4 способами.

(Красным цветом отмечены множители, которые автоматически сокращаются).

1. По формуле классической вероятности и правилу произведения получим:

P = = 0,4.

Ответ: 0,4

Слайд 21

Тип 6. Задача с экзаменационными билетами

Задание B4 (№ 320385) открытого банка заданий по математике

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

1. А = {вопрос на тему «Вписанная окружность»}

В = {вопрос на тему «Тригонометрия»}

С = {вопрос по одной из этих двух тем}

1. События А и В несовместны, т.к. по смыслу задачи нет вопросов, относящихся к двум темам одновременно. Значит, С = A U B.

2. По правилу сложения для несовместных событий имеем:

Р (С) = Р(A U B) = Р(А) + Р(В)

Р(С) = 0,1 + 0,35 = 0,45.

Ответ: 0,45

Слайд 21

Тип 7. Задача с кофейными автоматами

Задание B10 (№ 320435) открытого банка заданий по математике

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

1. А = {кофе закончится в первом автомате}

В = {кофе закончится во втором автомате}

С = A U B = {кофе закончится хотя бы в одном автомате}

1. По условию: Р(А) = Р(В) = 0,2, Р(А ∩ В) = 0,16

2. По смыслу задачи события А и В являются совместными. По формуле сложения вероятностей совместных событий имеем:

Р(С) = Р(A U B) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В) = 0,2 + 0,2 – 0,16 = 0,24.

1. Р( A U B) = 1 – 0,24 = 0,76.

Ответ: 0,76

Слайд 22

Тип 8. Задача о стрельбе по мишеням

Задание B4 (№ 320477) открытого банка заданий по математике

Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:

Вероятность попадания = 0,85.

Вероятность промаха = 1 – 0,85 = 0,15.

А = {попадание, попадание, промах, промах}

События независимые. По формуле умножения вероятностей:

Р(А) = 0,85*0,85*0,15*0,15 = 0,7225*0,0225 = 0,01625625 ≈ 0,02.

Ответ: 0,02

1. Самостоятельная работа учащихся — решение задач по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в ЕГЭ».

Учащиеся получают индивидуальные задания самостоятельной работы (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1) и выполняют их любым удобным способом на двойных листах в течение 15 минут. Учащиеся, справившиеся со своими заданиями раньше указанного времени, получают новое задание (на дополнительную оценку).

1. Проверка результатов самостоятельной работы.

Каждый учащийся обменивается работой со своим соседом по парте. Учащиеся проверяют работу своего товарища, сверяя его ответы с верными ответами, представленными учителем на слайде.

Слайд 22

№ варианта	№ задачи
1	2	3	4	5
1	0,05	0,07	0,35	0,5	0,4
2	0,3	0,03	0,6	0,56	0,43
3	0,04	0,17	0,6	0,78	0,4
4	0,25	0,14	0,3	0,66	0,43
5	0,28	0,07	0,55	0,4	0,4
6	0,1	0,14	0,35	0,34	0,43
7	0,14	0,14	0,55	0,42	0,4
8	0,25	0,08	0,5	0,74	0,4
9	0,1	0,02	0,6	0,4	0,4
10	0,1	0,06	0,45	0,58	0,43
11	0,12	0,08	0,25	0,64	0,43
12	0,24	0,375	0,5	0,76	0,4
13	0,15	0,5	0,3	0,8	0,43
14	0,12	0,0625	0,4	0,54	0,4
15	0,2	0,125	0,45	0,52	0,43

Учитель: Ребята, а теперь оцените результаты работы соседа по парте по следующим критериям:

«5» — за 5 верных задач

«4» — за 4 верные задачи

«3» — за 3 верные задачи

«2» — если верно выполнено менее 3-х задач

Поставьте полученную оценку в работу своего соседа по парте

1. Домашнее задание.

Учитель: Ребята, для закрепления успехов, достигнутых вами на уроке, а также для устранения допущенных ошибок и пробелов в ваших знаниях по данной теме, на дом вы получаете следующие задания:

Слайд 23

Домашнее задание:

• Повторить всю теорию по теме.

• Проанализировать алгоритмы решения всех ключевых задач.

• Решить в рабочих тетрадях задачи:

1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 4 раза.

2. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,75. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

3. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,03 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

• Подобрать из открытого банка задач такие типы задач, которые не были рассмотрены сегодня науроке

1. Подведение итогов урока.

Учитель: Молодцы! Сегодня вы все активно работали на уроке, решили много задач. Но не следует забывать, что для получения глубоких и прочных знаний по предмету и успешной сдачи ЕГЭ по математике каждому из вас необходима систематическая ежедневная учебная работа.

Спасибо за урок!

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Задания для самостоятельной работы учащихся

Вариант 1

1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым будет выступать прыгун из Аргентины.

2. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5. В кармане у Павла было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.

Вариант 2

1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Германии и 10 прыгунов из США. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что одиннадцатым будет выступать прыгун из Германии.

2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 2 очка. Результат округлите до сотых.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5. В кармане у Ольги было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.

Вариант 3

1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 5 прыгунов из Италии и 2 прыгуна из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что двадцать девятым будет выступать прыгун из Парагвая.

2. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5. В кармане у Инны было 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 2 рубля. Она, не глядя, переложила 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 2 рубля лежат в одном кармане.

Вариант 4

1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 5 прыгунов из Голландии и 7 прыгунов из Венесуэлы. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что седьмым будет выступать прыгун из Голландии.

2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,25. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

5. В кармане у Татьяны было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.

Вариант 5

1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 7 прыгунов из России и 10 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым будет выступать прыгун из России.

2. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 13 очков. Результат округлите до сотых.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,4. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

5. В кармане у Артура было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.

Вариант 6

1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии и 10 прыгунов из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что первым будет выступать прыгун из Италии.

2. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,1. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,4. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

5. В кармане у Маргариты было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.

Вариант 7

1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 7 прыгунов из Италии и 10 прыгунов из Канады. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что двадцать вторым будет выступать прыгун из Италии.

2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5. В кармане у Антона было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.

Вариант 8

1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 9 прыгунов из Великобритании и 10 прыгунов из Венесуэлы. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым будет выступать прыгун из Венесуэлы.

2. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5. В кармане у Ангелины было 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 2 рубля. Она, не глядя, переложила 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 2 рубля лежат в одном кармане.

Вариант 9

1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 30 спортсменов, среди них 3 прыгуна из Украины и 4 прыгуна из США. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четвертым будет выступать прыгун из Украины.

2. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5. В кармане у Владимира было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.

Вариант 10

1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 5 прыгунов из Польши и 2 прыгуна из Венесуэлы. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что шестнадцатым будет выступать прыгун из Венесуэлы.

2. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 14 очков. Результат округлите до сотых.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5. В кармане у Полины было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.

Вариант 11

1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Украины и 6 прыгунов из Канады. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что тридцатым будет выступать прыгун из Канады.

2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5. В кармане у Элины было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.

Вариант 12

1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Великобритании и 5 прыгунов из Бразилии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что третьим будет выступать прыгун из Великобритании.

2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,2. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

5. В кармане у Анатолия было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.

Вариант 13

1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 3 прыгуна из Голландии и 4 прыгуна из Колумбии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать прыгун из Голландии.

2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5. В кармане у Дмитрия было 6 монет по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.

Вариант 14

1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 6 прыгунов из России и 7 прыгунов из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четвертым будет выступать прыгун из России.

2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5. В кармане у Ивана было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.

Вариант 15

1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 45 спортсменов, среди них 2 прыгуна из Испании и 9 прыгунов из Боливии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что девятнадцатым будет выступать прыгун из Боливии.

2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

5. В кармане у Елены было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.