Темы по геометрии для егэ

Геометрия на ЕГЭ по математике

Геометрия на профильном ЕГЭ по математике — одна из сложных тем для абитуриентов. Дело в том, что когда-то экзамен по геометрии в школе был обязательным, а сейчас — нет. В результате у большинства абитуриентов знания по геометрии близки к нулю.

Геометрия на профильном ЕГЭ — это три задачи в части 1 (сюда входит и планиметрия, и стереометрия), а также задача 14 (стереометрия) и для многих недосягаемая задача 16 (геометрия) из второй части. Как же научиться их решать?

Начнем с планиметрии. Прежде всего, выучите основные формулы геометрии.

На нашем сайте вы найдете курс геометрии с нуля — основные определения, формулы и теоремы, а также разбор множества экзаменационных задач по геометрии из части 1.

Для решения задач по геометрии из части 2 нужна более серьезная подготовка.

Первый этап — теория. Необходимый материал есть в учебнике по геометрии за 7-9 класс (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян). Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

Программа по геометрии.

1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения).

2. Построение треугольника: практические задания.
а) Три стороны треугольника ABC равны 4,6 и 8 сантиметров соответственно. Постройте треугольник ABC с помощью циркуля и линейки.
б) В треугольнике ABC угол B равен 48 градусов, сторона AB равна 2, BC равна 9. Постройте треугольник ABC.
в) В треугольнике ABC сторона BC равна 5, угол B равен 26^{circ}, угол C равен 58^{circ}. Постройте треугольник ABC.

3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника.

4. Постройте с помощью циркуля и линейки:
а) серединный перпендикуляр к отрезку;
б) биссектрису угла.

5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства.

6. Теорема о сумме углов треугольника.

7. Внешний угол треугольника.

8. Постройте в одном и том же треугольнике
а) Три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника.
б) Три биссектрисы.
в) Три медианы.

9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике.

10. Средняя линия треугольника и ее свойства.

11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

12. Определения синуса, косинуса и тангенса:
— для острого угла прямоугольного треугольника;
— для произвольного угла.

13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника.

14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма.

15. Виды параллелограммов и их свойства (ромб, прямоугольник, квадрат).

16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции.

17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников.

18. Площадь треугольника. Формулы  S=frac{1}{2}ah  и  S=frac{1}{2}absin C.

19. Теоремы синусов и косинусов.

20. Чему равно отношение площадей подобных фигур.

21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?)

22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?)

23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора.

24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания.

25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними.

26. Теоремы о вписанных углах.

27. Теорема о пересекающихся хордах.

28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки.

29. Теорема о секущей и касательной.

30. Дан треугольник ABC. Постройте:
а) окружность, вписанную в данный треугольник;
б) окружность, описанную вокруг данного треугольника.
Где находятся центры этих окружностей?

31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона).

32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника?

Программа по стереометрии

Разбирая и решая задания ЕГЭ по геометрии, вы заметите очень интересную вещь. Простые задачи из части 1, разобранные на нашем сайте, часто оказываются базовыми схемами, на которых строятся сложные задачи из части 2 профильного ЕГЭ.

Решая на ЕГЭ задачи по геометрии, обращайте особое внимание на оформление. Помните совет, который дал абитуриентам автор бестселлера «Математика — абитуриенту» В. В. Ткачук. Вот он, этот ценнейший совет:

«Подробность решения должна быть такова, чтобы его мог понять человек в 10 (десять) раз глупее вас».

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Геометрия на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Геометрия

  • Треугольник
  • Четырехугольники
  • Окружность и круг
  • Призма
  • Пирамида
  • Усеченная пирамида
  • Цилиндр
  • Конус
  • Усеченный конус
  • Сфера и шар

1. Формулы сокращённого умножения

 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате =a в квадрате плюс 2ab плюс b в квадрате

 левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате =a в квадрате минус 2ab плюс b в квадрате

 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в кубе =a в кубе плюс 3a в квадрате b плюс 3ab в квадрате плюс b в кубе

 левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в кубе =a в кубе минус 3a в квадрате b плюс 3ab в квадрате минус b в кубе

a в квадрате минус b в квадрате = левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка

a в кубе плюс b в кубе = левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате минус ab плюс b в квадрате правая круглая скобка

a в кубе минус b в кубе = левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс ab плюс b в квадрате правая круглая скобка

Наверх

2. Модуль числа

Определение: left| a |= система выражений новая строка a,a больше или равно 0, новая строка минус a,a меньше 0. конец системы .

Основные свойства модуля:

|a| больше или равно 0;

|a|=| минус a|;

 система выражений новая строка |a| больше или равно a, новая строка |a| больше или равно минус a; конец системы .

|a|=a равносильно a больше или равно 0;

|a|= минус a равносильно a меньше или равно 0.

Наверх

3. Степень с действительным показателем

Свойства степени с действительным показателем

Пусть a больше 0,b больше 0,x принадлежит R ,y принадлежит R . Тогда верны следующие соотношения:

Наверх

4. Корень n-ой степени из числа

Корнем n-ой степени  левая круглая скобка n принадлежит N ,n больше или равно 2 правая круглая скобка из числа a называется число, n-ая степень которого равна a.
Арифметическим корнем четной степени n  левая круглая скобка n=2k,k принадлежит N правая круглая скобка из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.

Основные свойства арифметического корня:

a больше или равно 0: левая круглая скобка корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =a, корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =a, корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка = левая круглая скобка корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка , корень m степени из левая круглая скобка корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка правая круглая скобка = корень mn степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка ;

a принадлежит R : корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка = |a|;

a больше или равно 0,b больше или равно 0: корень n степени из левая круглая скобка ab правая круглая скобка = корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка умножить на корень n степени из левая круглая скобка b правая круглая скобка , корень n степени из левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка , знаменатель: корень n степени из левая круглая скобка b правая круглая скобка конец дроби  левая круглая скобка b не равно 0 правая круглая скобка ;

a меньше 0,b меньше 0: корень n степени из левая круглая скобка ab правая круглая скобка = корень n степени из левая круглая скобка минус a правая круглая скобка умножить на корень n степени из левая круглая скобка минус b правая круглая скобка , корень n степени из левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: корень n степени из левая круглая скобка минус a правая круглая скобка , знаменатель: корень n степени из левая круглая скобка минус b правая круглая скобка конец дроби ;

a больше или равно 0,b больше или равно 0:a корень n степени из левая круглая скобка b правая круглая скобка = корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка b;

a меньше 0,b больше или равно 0:a корень n степени из левая круглая скобка b правая круглая скобка = минус корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка b.

Наверх

5. Логарифмы

Определение логарифма: log _ab=cunderseta больше 0,a не равно 1mathop равносильно a в степени левая круглая скобка c правая круглая скобка =b.

Основное логарифмическое тождество: a в степени левая круглая скобка log правая круглая скобка _ab=b.

Основные свойства логарифмов

Пусть a больше 0, a не равно 1, b больше 0, b не равно 1, x больше 0, y больше 0, p принадлежит R . Тогда верны следующие соотношения:

Наверх

6. Арифметическая прогрессия

Формула n-го члена арифметической прогрессии: a_n=a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .

Характеристическое свойство арифметической прогрессии: a_n= дробь: числитель: a_n минус 1 плюс a_n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби ,n больше или равно 2.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии: S_n= дробь: числитель: a_1 плюс a, знаменатель: 2 конец дроби n.

При решении задач, связанных с арифметической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:

S_n= дробь: числитель: 2a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби n;

S_n= дробь: числитель: 2a_n минус d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби n;

a_n= дробь: числитель: a_n минус k плюс a_n плюс k, знаменатель: 2 конец дроби ,k меньше n;

a_k плюс a_n=a_k минус m плюс a_n плюс m,m меньше k;

d= дробь: числитель: a_n минус a_k, знаменатель: n минус k конец дроби .

Наверх

7. Геометрическая прогрессия

Формула n-го члена геометрической прогрессии: a_n=a_1q в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .

Характеристическое свойство геометрической прогрессии: a_n в квадрате =a_n минус 1a_n плюс 1,n больше или равно 2.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии: S_n= дробь: числитель: a_1 минус a_nq, знаменатель: 1 минус q конец дроби , q не равно 1.

При решении задач, связанных с геометрической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:

S_n= дробь: числитель: a_1 левая круглая скобка 1 минус q в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус q конец дроби ;

a_n в квадрате =a_n минус ka_n плюс k,k меньше n;

a_ka_n=a_k минус ma_n плюс m,m меньше k;

|q|= корень n минус k степени из левая круглая скобка дробь: числитель: a правая круглая скобка _n, знаменатель: a_k конец дроби .

Наверх

8. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S= дробь: числитель: a_1, знаменатель: 1 минус q конец дроби .

Наверх

9. Основные формулы тригонометрии

Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента:

 синус в квадрате альфа плюс косинус в квадрате альфа =1;

 тангенс альфа = дробь: числитель: синус альфа , знаменатель: косинус альфа конец дроби ;

ctg альфа = дробь: числитель: косинус альфа , знаменатель: синус альфа конец дроби ;

 тангенс альфа ctg альфа =1;

1 плюс тангенс в квадрате альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате альфа конец дроби ;

1 плюс ctg в квадрате альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: синус в квадрате альфа конец дроби .

Формулы сложения:

 косинус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка = косинус альфа косинус бета минус синус альфа синус бета ;

 косинус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка = косинус альфа косинус бета плюс синус альфа синус бета ;

 синус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка = синус альфа косинус бета плюс косинус альфа синус бета ;

 синус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка = синус альфа косинус бета минус косинус альфа синус бета ;

 тангенс левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка = дробь: числитель: тангенс альфа плюс тангенс бета , знаменатель: 1 минус тангенс альфа тангенс бета конец дроби ;

 тангенс левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка = дробь: числитель: тангенс альфа минус тангенс бета , знаменатель: 1 плюс тангенс альфа тангенс бета конец дроби ;

ctg левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка = дробь: числитель: ctg альфа ctg бета минус 1, знаменатель: ctg бета плюс ctg альфа конец дроби ;

ctg левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка = дробь: числитель: ctg альфа ctg бета плюс 1, знаменатель: ctg бета минус ctg альфа конец дроби .

Формулы тригонометрических функций двойного аргумента: синус 2 альфа =2 синус альфа косинус альфа ;

 синус 2 альфа = дробь: числитель: 2 тангенс альфа , знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате альфа конец дроби ;

 косинус 2 альфа = косинус в квадрате альфа минус синус в квадрате альфа ;

 косинус 2 альфа =2 косинус в квадрате альфа минус 1;

 косинус 2 альфа =1 минус 2 синус в квадрате альфа ;

 косинус 2 альфа = дробь: числитель: 1 минус тангенс в квадрате альфа , знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате альфа конец дроби ;

 тангенс 2 альфа = дробь: числитель: 2 тангенс альфа , знаменатель: 1 минус тангенс в квадрате альфа конец дроби ;

ctg2 альфа = дробь: числитель: ctg в квадрате альфа минус 1, знаменатель: 2ctg альфа конец дроби .

Формулы понижения степени:

 синус в квадрате альфа = дробь: числитель: 1 минус косинус 2 альфа , знаменатель: 2 конец дроби ;

 косинус в квадрате альфа = дробь: числитель: 1 плюс косинус 2 альфа , знаменатель: 2 конец дроби ;

 тангенс в квадрате альфа = дробь: числитель: 1 минус косинус 2 альфа , знаменатель: 1 плюс косинус 2 альфа конец дроби ;

ctg в квадрате альфа = дробь: числитель: 1 плюс косинус 2 альфа , знаменатель: 1 минус косинус 2 альфа конец дроби .

Формулы приведения

Все формулы приведения получаются из соответствующих формул сложения. Например:

 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа правая круглая скобка = косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби косинус альфа минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби синус альфа = минус синус альфа .

Применение формул приведения укладывается в следующую схему:

— определяется координатная четверть, в которой лежит аргумент приводимой функции, считая, что  альфа принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ;

— определяется знак приводимой функции;

— определяется название приведенной функции по следующему правилу: если аргумент приводимой функции имеет вид  левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби pm альфа правая круглая скобка или  левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби pm альфа правая круглая скобка , то функция меняется на сходственную функцию, если аргумент приводимой функции имеет вид  левая круглая скобка Пи pm альфа правая круглая скобка , то функция названия не меняет.

Например, получим формулу  тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа правая круглая скобка :

 дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая круглая скобка — IV четверть;

— в IV четверти тангенс отрицательный;

— аргумент приводимой функции имеет вид  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа , следовательно, название функции меняется. Таким образом,  тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа правая круглая скобка = минус ctg альфа .

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

 синус альфа плюс синус бета =2 синус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби ;

 синус альфа минус синус бета =2 синус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби ;

 косинус альфа плюс косинус бета =2 косинус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби ;

 косинус альфа минус косинус бета = минус 2 синус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби синус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби ;

 тангенс альфа плюс тангенс бета = дробь: числитель: синус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка , знаменатель: косинус альфа косинус бета конец дроби ;

 тангенс альфа минус тангенс бета = дробь: числитель: синус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка , знаменатель: косинус альфа косинус бета конец дроби ;

ctg альфа плюс ctg бета = дробь: числитель: синус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка , знаменатель: синус альфа синус бета конец дроби ;

ctg альфа минус ctg бета = дробь: числитель: синус левая круглая скобка бета минус альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус альфа синус бета конец дроби .

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

 косинус альфа косинус бета = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка правая круглая скобка ;

 синус альфа синус бета = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка правая круглая скобка ;

 синус альфа косинус бета = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка синус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка правая круглая скобка .

Наверх

10. Производная и интеграл

Таблица производных некоторых элементарных функций

Правила дифференцирования:

1.  левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка prime правая круглая скобка =f' левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс g' левая круглая скобка x правая круглая скобка ;

2.  левая круглая скобка cf левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка prime правая круглая скобка =cf' левая круглая скобка x правая круглая скобка ;

3.  левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка prime правая круглая скобка =f' левая круглая скобка x правая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка x правая круглая скобка g' левая круглая скобка x правая круглая скобка ;

4.  левая круглая скобка дробь: числитель: f левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: g левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка prime правая круглая скобка = дробь: числитель: f' левая круглая скобка x правая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка g' левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: g в квадрате левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби ;

5.  левая квадратная скобка f левая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка правая квадратная скобка в степени левая круглая скобка prime правая круглая скобка =f' левая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка g' левая круглая скобка x правая круглая скобка .

Уравнение касательной к графику функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка в его точке  левая круглая скобка x_0;f левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка правая круглая скобка :

y=f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_0 правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка .

Таблица первообразных для некоторых элементарных функций

Правила нахождения первообразных

Пусть F левая круглая скобка x правая круглая скобка ,G левая круглая скобка x правая круглая скобка ― первообразные для функций f левая круглая скобка x правая круглая скобка и g левая круглая скобка x правая круглая скобка соответственно, a, b, k ― постоянные, k не равно 0. Тогда:

F левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс G левая круглая скобка x правая круглая скобка ― первообразная для функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс g левая круглая скобка x правая круглая скобка ;

aF левая круглая скобка x правая круглая скобка ― первообразная для функции af левая круглая скобка x правая круглая скобка ;

 дробь: числитель: 1, знаменатель: k конец дроби F левая круглая скобка kx плюс b правая круглая скобка ― первообразная для функции f левая круглая скобка kx плюс b правая круглая скобка ;

— Формула Ньютона-Лейбница:  принадлежит t пределы: от a до b, f левая круглая скобка x правая круглая скобка dx=F левая круглая скобка b правая круглая скобка минус F левая круглая скобка a правая круглая скобка .

1. Треугольник

Пусть a,b,c ― длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC соответственно; p= дробь: числитель: a плюс b плюс c, знаменатель: 2 конец дроби ― полупериметр треугольника ABC; A, B, C ― величины углов BAC, ABC, ACB треугольника ABC соответственно; h_a,h_b,h_c ― длины высот AA2, BB2, CC2 треугольника ABC соответственно; R ― радиус окружности, описанной около треугольника ABC; r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC; S_vartriangle ABC ― площадь треугольника ABC. Тогда имеют место следующие соотношения:

 дробь: числитель: a, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: b, знаменатель: синус B конец дроби = дробь: числитель: c, знаменатель: синус C конец дроби =2R (теорема синусов);

c в квадрате =a в квадрате плюс b в квадрате минус 2ab косинус C (теорема косинусов);

S_vartriangle ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ah_a;

S_vartriangle ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ab синус C;

S_vartriangle ABC= дробь: числитель: abc, знаменатель: 4R конец дроби ;

S_vartriangle ABC=pr;

S_vartriangle ABC= корень из p левая круглая скобка p минус a правая круглая скобка левая круглая скобка p минус b правая круглая скобка левая круглая скобка p минус c правая круглая скобка .

Наверх
2. Четырёхугольники

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны. Из определения следует, что квадрат является ромбом, следовательно, он обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.

Площадь четырехугольника

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Наверх

3. Окружность и круг

Соотношения между элементами окружности и круга

Пусть r — радиус окружности, d — ее диаметр, C — длина окружности, S — площадь круга, l_n градусов  — длина дуги в n градусов, l_ альфа  — длина дуги в  альфа радиан, S_n градусов  — площадь сектора, ограниченного дугой в n градусов, S_ альфа  — площадь сектора, ограниченного дугой в  альфа радиан. Тогда имеют место следующие соотношения:

Вписанный угол

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Вписанная окружность

Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка равноудаленная от всех сторон этого многоугольника, ― точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника. Таким образом, в многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну, тогда и только тогда, когда биссектрисы его углов пересекаются в одной точке.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Описанная окружность

Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка равноудаленная от всех вершин этого многоугольника, ― точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника. Таким образом, около многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры к сторонам этого многоугольника пересекаются в одной точке.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180 градусов.

Наверх

4. Призма

Пусть H ― высота призмы, AA1 ― боковое ребро призмы, P_осн ― периметр основания призмы, S_осн ― площадь основания призмы, S_бок ― площадь боковой поверхности призмы, S_полн ― площадь полной поверхности призмы, V ― объем призмы, P_bot  ― периметр перпендикулярного сечения призмы, S_bot  ― площадь перпендикулярного сечения призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:

S_бок=P_bot AA_1;

S_полн=2S_осн плюс S_бок;

V=S_bot AA_1;

V=S_оснH.

Свойства параллелепипеда:

— противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны;

— диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам;

— квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Наверх

5. Пирамида

Пусть H ― высота пирамиды, P_осн ― периметр основания пирамиды, S_осн ― площадь основания пирамиды, S_бок ― площадь боковой поверхности пирамиды, S_полн ― площадь полной поверхности пирамиды, V ― объем пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

S_полн=S_осн плюс S_бок;

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_оснH .


Замечание.
Если все двугранные углы при основании пирамиды равны  бета , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны h_бок, то S_бок= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби P_оснh_бок= дробь: числитель: S_осн, знаменатель: косинус бета конец дроби .

Наверх

6. Усечённая пирамида

Пусть H ― высота усеченной пирамиды, P_1 и P_2 ― периметры оснований усеченной пирамиды, S_1 и S_2 ― площади оснований усеченной пирамиды, S_бок ― площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, S_полн ― площадь полной поверхности усеченной пирамиды, V ― объем усеченной пирамиды.

Тогда имеют место следующие соотношения:

S_полн=S_1 плюс S_2 плюс S_бок;

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби H левая круглая скобка S_1 плюс S_2 плюс корень из S_1S_2 правая круглая скобка .

Замечание. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны  бета , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны h_бок, то: S_бок= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка P_1 плюс P_2 правая круглая скобка h_бок= дробь: числитель: |S_1 минус S_2|, знаменатель: косинус бета конец дроби .

Наверх

7. Цилиндр

Пусть h ― высота цилиндра, r ― радиус цилиндра, S_бок ― площадь боковой поверхности цилиндра, S_полн ― площадь полной поверхности цилиндра, V ― объем цилиндра.

Тогда имеют место следующие соотношения:

S_бок=2 Пи rh;

S_полн=2 Пи r левая круглая скобка r плюс h правая круглая скобка ;

V= Пи r в квадрате h.

Наверх

8. Конус

Пусть h ― высота конуса, r ― радиус основания конуса, l ― образующая конуса, S_бок ― площадь боковой поверхности конуса, S_полн ― площадь полной поверхности конуса, V ― объем конуса.

Тогда имеют место следующие соотношения:

S_бок= Пи rl;

S_полн= Пи r левая круглая скобка r плюс l правая круглая скобка ;

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи r в квадрате h.

Наверх

9. Усечённый конус

Пусть h ― высота усеченного конуса, r и r_1 ― радиусы основания усеченного конуса, l ― образующая усеченного конуса, S_бок ― площадь боковой поверхности усеченного конуса, V ― объем усеченного конуса. Тогда имеют место следующие соотношения:

S_бок= Пи левая круглая скобка r плюс r_1 правая круглая скобка l;

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи h левая круглая скобка r в квадрате плюс rr_1 плюс r_1 в квадрате правая круглая скобка .

Наверх

10. Сфера и шар

Пусть R ― радиус шара, D ― его диаметр, S ― площадь ограничивающей шар сферы, S_h ― площадь сферической поверхности шарового сегмента (шарового слоя), высота которого равна h, V ― объем шара, V_сегм ― объем сегмента, высота которого равна h, V_сект ― объем сектора, ограниченного сегментом, высота которого равна h. Тогда имеют место следующие соотношения:

Наверх

Материалы, выдаваемые на экзамене, смотрите здесь

  • Полный краткий справочник
    • Формулы сокращенного умножения
    • Модуль числа, модуль выражения
    • Степень с действительным показателем
    • Корень n-ой степени из числа
    • Логарифмы
    • Арифметическая прогрессия
    • Геометрическая прогрессия
    • Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
    • Основные формулы тригонометрии
    • Производная и интеграл
    • Треугольник
    • Четырехугольники
    • Окружность и круг
    • Призма
    • Пирамида
    • Усеченная пирамида
    • Цилиндр
    • Конус
    • Усеченный конус
    • Сфера и шар
    • Векторы и координаты
  • Особенности экзаменационных заданий профильной математики
    • Задания 1: округление величин, проценты
      • Особенности экзаменационных заданий на округление
      • Округление величин с избытком и недостатком
      • Проценты
      • Особенности экзаменационных заданий на проценты
    • Задания 2: анализ графических зависимостей
      • Анализ графических зависимостей
      • Особенности экзаменационных заданий на чтение графиков и диаграмм
    • Задания 3 и 6: планиметрия
      • Треугольник
        • Равносторонний треугольник
        • Равнобедренный треугольник
        • Прямоугольный треугольник
        • Тригонометрические функции дополнительных углов
        • Основное тригонометрическое тождество и следствия из него
        • Смежные углы
        • Средняя линия треугольника
        • Медиана треугольника
        • Биссектриса треугольника
        • Высота треугольника
        • Серединный перпендикуляр
        • Теорема косинусов
      • Параллелограмм
        • Прямоугольник
        • Ромб
        • Параллелограмм Вариньона
        • Трапеция
      • Правильный шестиугольник
      • Теоремы о площадях многоугольников
      • Окружность
        • Вписанный угол
        • Хорда
        • Касательная к окружности
        • Секущая
        • Круг и его элементы
        • Соотношения между элементами окружности и круга
        • Вписанная окружность
        • Описанная окружность
      • Вектор
        • Сумма и разность векторов
        • Координаты вектора
        • Скалярное произведение векторов
        • Расстояния от точки до координатных осей
        • Расстояние между точками
    • Задания 4: вероятности событий
      • Определение вероятности
      • Теоремы о вероятностях событий
      • Особенности экзаменационных заданий на начала теории вероятности
    • Задания 5: простейшие уравнения
      • Простейшие уравнения
      • Линейные уравнения
      • Квадратные уравнения
      • Рациональные уравнения
      • Иррациональные уравнения
      • Показательные уравнения
      • Логарифмические уравнения
      • Особенности решения экзаменационных заданий на простейшие уравнения
    • Задания 7: производные, первообразные
      • Правила дифференцирования
      • Производная числа, линейной и степенной функции
      • Производная многочлена
      • Уравнение прямой
      • Уравнение касательной
      • Физический смысл производной
      • Монотонность и экстремумы функции
      • Первообразная
      • Криволинейная трапеция и ее площадь
    • Задания 8: стереометрия
      • Особенности экзаменационных заданий по стереометрии
      • Куб
      • Призма. Прямоугольный параллелепипед
        • Прямая призма
        • Прямоугольный параллелепипед и его свойства
        • Особенности правильной шестиугольной призмы
      • Пирамида
      • Сечения
      • Цилиндр и его соотношения
      • Конус и его соотношения
      • Сфера и шар
        • Комбинации круглых тел. Вписанные сферы
        • Комбинации круглых тел. Описанные сферы
        • Комбинации конуса и цилиндра
        • Комбинации многогранников и круглых тел. Описанные сферы
        • Комбинации многогранников и круглых тел. Вписанные сферы
        • Комбинации конуса, цилиндра и многогранников
    • Задания 9: тождественные преобразования выражений
      • Действия с дробями
      • Формулы сокращенного умножения
      • Степень и её свойства
        • Свойства степени
        • Степень с дробным показателем
      • Арифметический корень
        • Свойства арифметического корня
      • Определение логарифма и его свойства
      • Основные тригонометрические формулы
      • Правило для запоминания формул приведения
      • Свойства четности и нечетности функций
    • Задания 10: задачи с прикладным содержанием
      • Задачи с прикладным содержанием
    • Задания 11: текстовые задачи
      • Определение процента
      • Правило креста для решения задач на смеси
      • Движение по прямой
      • Движение по окружности
      • Алгоритм решения задач на совместную работу
    • Задания 12: исследование функций при помощи производной
      • Производная некоторых элементарных функций
      • Правила дифференцирования
      • Монотонность и экстремумы функции
      • Наибольшее и наименьшее значение функции

15 января 2013

В закладки

Обсудить

Жалоба

Теория по геометрии для сдачи ЕГЭ по математике

Немного теории, которая непременно пригодится на ЕГЭ.

Теория по геометрии для сдачи ЕГЭ по математике

Теория по геометрии для сдачи ЕГЭ по математике

Теория по геометрии для сдачи ЕГЭ по математике

Теория по геометрии для сдачи ЕГЭ по математике

Теория по геометрии для сдачи ЕГЭ по математике

Теория по геометрии для сдачи ЕГЭ по математике

Теория по геометрии для сдачи ЕГЭ по математике

Другие материалы смотрите в разделе ЕГЭ по математике.

Справочник

«ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ГЕОМЕТРИИ»

Содержание:

1.    
Теоремы базового уровня……………………………………….3 – 11 стр.

1.1.                
Теорема Фалеса Милетского……………………………..……3 стр. 1.2. Теорема
Пифагора………………………………………………3 стр. 1.3.
Теорема синусов………………………………………………..4 стр. 1.4. Теорема косинусов……………………………………………..4 стр.

1.5.         
Теорема биссектрис…………………………………………….5 стр.

1.6.         
Теорема о пересечении медиан треугольника……………..…5 стр. 1.7. Теорема о высотах
треугольника………………………………5 стр. 1.8.
Площади треугольников……………………………….………6 стр.

1.9.            
Вписанный и центральный углы……………………………….7 стр.

1.10.       
Вписанная окружность треугольника………………………..8 стр.

1.11.       
Описанная окружность треугольника……………………..…8 стр.

1.12.       
Вневписанная окружность треугольника……………………..8 стр. 1.13.  Площади
четырехугольников……….……………………..….9 стр.

1.14.       
Вписанный четырехугольник………………..………………10 стр.

1.15.       
Описанный четырехугольник…………..……………………10 стр.

1.16.       
Теорема о двух секущих……..………………………………11 стр. 1.17. Теорема о касательной и
секущей……………………………11 стр.

1.18. Теорема
о двух хордах………………………………………..11 стр.

2.    
Теоремы профильного уровня…………………………………12 – 13  стр.

2.1.                
Теорема Менелая………………………………………………12 стр. 2.2. Теорема
Чевы…………………………………………………..12 стр.

2.3.         
Теорема Ван – Обеля………………………………………….12 стр.

2.4.         
Теорема Стюарта………………………………………………13 стр.

2.5.         
Теорема Птолемея…………………………………………….13 стр.

2.6.         
Теорема Аполлония……………………………………………13 стр.

Теорема Фалеса
Милетского
«Несколько параллельных прямых a║b║c║d и т.д., отсекающие на
одной из сторон угла равные отрезки, и на другой стороне угла также отсекающие
на одной из сторон угла равные отрезки, и на другой стороне угла также отсекают
равные отрезки»

 

Теорема Пифагора

1.     Квадрат
гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

2.     Если
квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то
треугольник – прямоугольный.

 

 

Теорема синусов

Пусть a, b, c – стороны треугольника; α, β, γ –
противолежащие им углы; R – радиус описанной окружности. Тогда: 

 

Теорема косинусов

Пусть a, b, c – стороны треугольника; α –  угол,
противолежащий стороне a. Тогда: 

α

Теорема биссектрис

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на два
отрезка, длины которых относятся так же, как длины соответствующих сторон.

Теорема о пересечении медиан треугольника

В треугольнике три медианы пересекаются в одной точке. Точка
пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, если считать от вершины, из
которой проведена медиана. 

 

Теорема о высотах треугольника

В треугольнике высоты пересекаются в одной точке.

Площади треугольников

 

 ;

;

;

 

(формула
Герона)

 где:

            
a,b,c – стороны треугольника

            
ha – высота треугольника

            
p – полупериметр треугольника

            
r – радиус вписанной окружности

            
R – радиус описанной окружности

            
β – угол между сторонами 

Вписанный и центральный углы

Угол называется вписанным в окружность, если его вершина
лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

На рисунке вписанным углом является ABC.  

Центральным называется угол вершиной в центре окружности. На
рисунке центральным углом является угол AOC.

 

Вписанная окружность треугольника

В любой треугольник можно
вписать единственную окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник, совпадает
с точной пересечения его биссектрис. 

Описанная окружность треугольника

Около любого треугольника можно описать
единственную окружность. Центр окружности, описанной около треугольника,
совпадает с точкой пресечения серединных перпендикуляров к его сторонам

  

Вневписанная окружность треугольника

В любом треугольнике биссектрисы двух
внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются
в одной точке.

Площади четырехуголников

— площадь любого четырехугольника, где

     
d1 – первая диагональ

     
d2 – вторая диагональ

     
α – угол между диагоналями

    —     площадь     четырехугольника,

вписанного в окружность (формула Герона), где

     
p – полупериметр четырехугольника

     
a, b, c и d – стороны четырехугольника

S = aha – площадь паралелограмма, где

     
a – основание паралелограмма

     
ha – высота, проведенная к основанию

S = ab sinβ – площадь параллелограмма, где

     
a и b – стороны паралелограмма

     
β – угол между смежными сторонами

S = ab – площадь прямоугольника, где

a и b – стороны квадрата

S =  – площадь квадрата, где

a – сторона квадрата

S = ahaплощадь ромба, где

     
a – сторона ромба

     
ha – высота, проведенная к стороне

S =   – площадь ромба, где

     
a – сторона ромба

     
β – угол между сторонами ромба

Вписанный четырехугольник

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только
тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180.

 

                                                                     

Описанный четырехугольник

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и
только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

 

DC   
+ AB = DA + BC

Теорема о двух секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие,
то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой
секущей на ее внешнюю часть: 

 

MAMB = MC  MD 

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности
проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен
произведению секущей на ее внешнюю часть

                                                                     MC2
= MA
 MB

M

                                                 B
                             
 

Теорема о двух
хордах
Если две хорды окружности AB и CD пересекаются в точке S, то
произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. AS  SD = CS  SB                 

                                                           D
                              
 

AS  SD = CS  SB

A

Теорема Менелая

 

Теорема Чевы

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на
противоположной стороне или ее продолжении, называется  чевианой.

 

Теорема Ван-Обеля

 

Теорема Стюарта

 

py

                                               a
                                                                                             
 

Теорема
Птолемея

Если
четырехугольник вписан в окружность, то

                                    AB+ AD = AC  

Теорема Аполлония

                                                             A
             Если AD – медиана треугольника ABC, то

Желаем вам успехов!

Планиметрия

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

  1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
  2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников:

  1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
  3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Площади фигур

Площадь треугольника

  1. $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
  2. $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
  3. Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
  4. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
  5. $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
  6. Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
  7. Для равностороннего треугольника $S={a^2 √3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.

Площади четырехугольников

Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

Ромб

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Квадрат

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Параллелограмм

$S=a·b·sinα$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, а $α$ — угол между этими сторонами.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$CD^2=DB·AD$

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$CB^2=AB·DB$

$AC^2=AB·AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC·CB=AB·CD$

Метрические соотношения в окружности

1. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.

2. Если хорды $АС$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $N$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

$AN·NC=BN·ND$

Пример:

Хорды $АВ$ и $CD$ пересекаются в точке $Е$. Найдите $ЕD$, если $АЕ=16, ВЕ=9, СЕ=ED$.

Решение:

Если хорды $АВ$ и $СD$ пересекаются в некоторой точке $Е$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

$AЕ·ЕВ=СЕ·ЕD$

Так как $СЕ=ED$, данное выражение можно записать в виде:

$ЕD^2=AЕ·ЕВ$

Подставим числовые значения

$ЕD^2=16·9$

$ЕD=√{16·9}=4·3=12$

Ответ: $12$

3. Если из одной точки к одной окружности проведены две секущие, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равно произведению второй секущей на свою внешнюю часть.

$АС·ВС=EC·DC$

4. Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной.

$BD·СB=AB^2$

Вписанные и описанные окружности для четырехугольников.

1. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

$АВ+CD=BC+AD$

2. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.

$∠В+∠D=180°$

$∠A+∠C=180°$

Вневписанные окружности

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.

Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.

Точки $О_1, О_2$ и $О_3$ – центры вневписанных окружностей.

Связь площади треугольника с радиусами вневписанных окружностей.

Введем обозначения:

$S$ — площадь треугольника;

$p$ — полупериметр треугольника;

$a, b, c$ — стороны треугольника;

$r_a, r_b, r_c$ — радиусы вневписанных окружностей касающиеся соответственно сторон $a, b$ и $c$;

Для данных обозначений справедливы равенства:

$r_a={S}/{p-a};$

$r_b={S}/{p-b};$

$r_c={S}/{p-c}.$

Пример:

В прямоугольном треугольнике $АВС$ угол $С=90°, АС=6, ВС=8$. Найдите радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы.

Решение:

Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны $АВ$ равен:

$r_{АВ}={S}/{p-АВ}$, где $S$ — площадь треугольника, $р$ — полупериметр треугольника.

Чтобы подставить в формулу данные, найдем сначала площадь треугольника и его полупериметр.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$S={АС·АВ}/{2}={6·8}/{2}=24$

Нам неизвестна гипотенуза, найдем ее по теореме Пифагора:

$АВ=√{АС^2+СВ^2}=√{6^2+8^2}=√{100}=10$

Зная все стороны, вычислим полупериметр:

$р={6+8+10}/{2}=12$

Теперь можем все данные подставить в формулу нахождения радиуса вневписанной окружности:

$r_{АВ}={S}/{p-АВ}={24}/{12-10}={24}/{2}=12$

Ответ: $12$

Биссектриса

Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.

Свойства биссектрисы:

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

2. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.

$AD=DC$

3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

4. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает равнобедренный треугольник.

5. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

6. В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.

${AB}/{AC}={BA_1}/{A_1C}$

7. Для нахождения длины биссектрисы справедлива формула:

$АА_1=√{АВ·АС-ВА_1·А_1 С}$

Медиана

Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Свойства медиан:

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.

$S_1=S_2$

2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.

3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.

4. Для нахождения длины медианы, проведенной к стороне «с», справедлива формула:

$М_с={√{2(а^2+b^2)-c^2}}/{2}$

Высота

Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

$BB_1$ — высота

Свойства высот:

1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

2. При пересечении двух высот получаются подобные треугольники:

$∆АА_1 В~∆СС_1В;$

$∆АС_1 М~∆СМА1$

3. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

4. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

$h_a:h_b:h_c={1}/{a}:{1}/{b}:{1}/{c}$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sin⁡α}={b}/{sinβ} ={c}/{sinγ} =2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Пример:

В треугольнике $АВС ВС=16, sin∠A={4}/{5}$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

${ВС}/{sin⁡A} =2R$

Далее подставим числовые данные и найдем $R$

${16·5}/{4}=2R$

$R={16·5}/{4·2}=10$

Ответ: $10$

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα.$

Геометрия на плоскости (планиметрия)


Задание
1

#199

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В треугольнике (ABC): (angle B = 81^{circ}), (angle C = 25^{circ}). Найдите внешний угол при вершине (A). Ответ дайте в градусах.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, (angle B + angle C =) внешнему углу при вершине (A), следовательно (A_{text{внеш}}) ( = 81^{circ} + 25^{circ} = 106^{circ}).

Ответ: 106


Задание
2

#200

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В треугольнике (ABC): (angle A = 22^{circ}), внешний угол при вершине (C) равен (130^{circ}). Найдите (angle B). Ответ дайте в градусах.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, (angle A + angle B = C_{text{внеш}}), тогда (22^{circ} + angle B = 130^{circ}), откуда находим (angle B = 130^{circ} — 22^{circ} = 108^{circ}).

Ответ: 108


Задание
3

#201

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В треугольнике (ABC): (angle C = 35^{circ}), внешний угол при вершине (B) равен (91^{circ}). Найдите (angle A). Ответ дайте в градусах.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, (angle C + angle A = B_{text{внеш}}), тогда (35^{circ} + angle A = 91^{circ}), откуда находим (angle A = 91^{circ} — 35^{circ} = 56^{circ}).

Ответ: 56


Задание
4

#202

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В треугольнике (ABC): (angle C = 70^{circ}), (AB = BC). Найдите (angle B). Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle A = angle C = 70^{circ}). Так как у любого треугольника сумма углов равна (180^{circ}), то (angle B = 180^{circ} — 70^{circ} — 70^{circ} = 40^{circ}).

Ответ: 40


Задание
5

#203

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В треугольнике (ABC): (angle A = 47^{circ}), (AB = BC). Найдите (angle B). Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle C = angle A = 47^{circ}). Так как у любого треугольника сумма углов равна (180^{circ}), то (angle B = 180^{circ} — 47^{circ} — 47^{circ} = 86^{circ}).

Ответ: 86


Задание
6

#204

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В треугольнике (ABC): (angle C = 36^{circ}), (AB = BC). Найдите (angle B). Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle A = angle C = 36^{circ}). Так как у любого треугольника сумма углов равна (180^{circ}), то (angle B = 180^{circ} — 36^{circ} — 36^{circ} = 108^{circ}).

Ответ: 108


Задание
7

#205

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В треугольнике (ABC): (angle B = 38^{circ}), (AB = BC). Найдите (angle C). Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle A = angle C). Так как у любого треугольника сумма углов равна (180^{circ}), то (180^{circ} = 38^{circ} + angle A + angle C = 38^{circ} + 2cdot angle A), откуда (2cdot angle A = 142^{circ}), тогда (angle A = 71^{circ}).

Ответ: 71

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Темы по всеобщей истории для егэ по истории 2022
  • Темы по всемирной истории егэ
  • Темы по биологии которые будут на егэ по
  • Темы по английскому языку для сдачи устного экзамена
  • Темы по английскому 6 класс для экзаменов