Теорема фалеса задачи егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Всего: 16 1–16

Добавить в вариант

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C₁, A₁ и B₁ соответственно, причём AC₁ : C₁B  =  8 : 3, BA₁ : A₁C  =  1 : 2, CB₁ : B₁A  =  3 : 1. Отрезки BB₁ и CC₁ пересекаются в точке D.

а)  Докажите, что ADA₁B₁  — параллелограмм.

б)  Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC  =  28, BC  =  18.

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Санкт-Петербург, Задания 16 ЕГЭ–2020

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Точка M  — середина SA, на ребре SB отмечена точка N так, что

а)  Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью CMN, если все рёбра равны 12.

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Краснодарский край, Задания 13 ЕГЭ–2022

Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.

а)  Докажите, что MK  =  NL.

б)  Найдите MN, если известно, что BC  =  3, AD  =  8 и MK : KL  =  1 : 3.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 46.

Плоскость α проходит через середины двух противоположных ребер треугольной пирамиды и параллельна медиане одной из ее граней.

а)   Докажите, что среди медиан граней этой пирамиды в точности две являются параллельными к плоскости α.

б)   Найдите площадь сечения данной пирамиды плоскостью α, если эти медианы перпендикулярны друг другу и равны 2.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 345.

Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны.

а)  Доказать, что прямые BH и ED параллельны.

б)  Найти отношение BH к ED, если

Источник: ЕГЭ — 2016. Основная волна 06.06.2016. Центр

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и

CC₁. Точки A₂ и C₂ симметричны середине стороны AC относительно прямых BC и AB соответственно.

а)  Докажите, что отрезки A1A₂ и C₁С₂ лежат на параллельных прямых.

б)  Найдите расстояние между точками A₂ и C₂, если известно, что AB  =  7, BC  =  6, CA  =  5.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 139.

Две окружности касаются внешним образом в точке А. Прямая l касается первой окружности в точке В, а второй  — в точке С.

а)  Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

б)  Найдите площадь треугольника АВС, если радиусы окружностей 8 и 2.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 97.

АК  — биссектриса треугольника АВС, причем ВК:КС=2:7. Из точек В и К проведены параллельные прямые, которые пересекают сторону АС в точках D и F соответственно, причем AD:FC=3:14.

а)  Докажите, что АВ в 2 раза больше AD.

б)  Найдите площадь четырехугольника DBKF, если Р  — точка пересечения BD и AK и площадь треугольника АВР равна 27.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 229.

В правильной четырехугольной призме АВСDA₁B₁C₁D₁ на боковых ребрах АА₁ и DD₁ взяты соответственно точки К и М так, что АК : А₁К = 2 : 3, DM : D₁M = 4 : 1.

а)  Докажите, что плоскость ВМК параллельна прямой АС.

б)  Найдите расстояние от точки А до плоскости ВМК, если АВ  =  8, АА₁  =  10.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 321 (часть C).

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.

а)  Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны;

б)  Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2016, ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016. Вариант 410. Запад

Точки E и F расположены соответственно на стороне ВС и высоте ВР остроугольного треугольника АВС так, что AP  =  3, BE : EC  =  10 : 1, а треугольник AEF является равносторонним.

а)  Докажите, что ортогональная проекция точки Е на АС делит отрезок АС в отношении 1 : 16, считая от вершины С.

б)  Найдите площадь треугольника AEF.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 336.

Прямая p, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает прямые AB, AC, BD и CD в точках E, F, G и H соответственно, причём EF = FG.

а)  Докажите, что точки пересечения прямой p с диагоналями AC и BD делят отрезок EН на три равных части;

б)  Найдите EF, если BC = 3, AD = 4.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 88.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM  =  DN  =  4 и AK  =  3.

а)  Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.

б)  Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ — 2016. Основная волна по математике 06.06.2016. Вариант 437. Юг

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA  =  8. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC  =  SK : KC  =  1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а)  Докажите, что плоскость α делит ребро AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A.

б)  Найдите расстояние между прямыми SA и KN.

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 405, Задания 14 (С2) ЕГЭ 2019

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковове ребро SA равно 10. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а)  Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 1 : 7, считая от вершины S.

б)  Найдите расстояние между прямыми SA и KN.

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 409, Задания 14 (С2) ЕГЭ 2019

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB  =  SM : MC  =  5 : 1. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна SA.

а)  Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью α — прямоугольник.

б)  Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка A, а основанием  — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2019

Всего: 16 1–16

Источник

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Класс: 10 11 6 7 8 9
Атрибут:

Всего: 37 1–20 | 21–37

Добавить в вариант

На высоте BH треугольника ABC отмечена некоторая точка D. Прямая AD пересекает сторону BC в точке E, прямая CD пересекает сторону AB в точке F. Точки G и J являются проекциями соответственно точек F и E на сторону AC. Площадь треугольника HEJ вдвое больше площади треугольник HFG. В каком отношении высота BH делит отрезок FE?

Пусть точки О и I  — центр описанной и вписанной окружностей треугольника АВС соответственно. Известно, что угол АIO прямой, а величина угла СIO равна 45°. Найти отношение сторон АВ : ВС : СА.

На высоте AH остроугольного треугольника ABC отмечена точка L. Оказалось, что Точка P  — основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AL. Докажите, что прямая KL касается описанной окружности треугольника CLP.

(М. Стынян)

В трапеции ABCD точки K, N принадлежат отрезку BC, BK  =  KN  =  NC  =  1, а точки P, Q принадлежат отрезку AD, AP  =  PQ  =  QD  =  2. Прямые BC и AD параллельны. Точка K соединена с точками A, P, Q, D. Точка P соединена с точками B, K, N, C. Докажите, что точки пересечения прямых BP и AK, KQ и PN, KD и PC лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции.

В остроугольном треугольнике SAP проведена высота AK. На стороне PA выбрали точку L, а на продолжении стороны SA за точку A  — точку M так, что и Прямые SL и PM пересекают прямую AK в точках N и O соответственно. Докажите, что 2ML  =  NO.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AK и CM. Известно, что середины отрезков AB, BC и MK лежат на одной прямой. Найдите AB, если BK  =  4, а KC  =  5.

Пусть все углы треугольника ABC меньше 120° и Рассмотрим точку  внутри треугольника, для которой

Пусть прямая BT пересекает сторону AC в точке E, а прямая CT пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC пересекаются в некоторой точке M, причём MB : MC  =  TB : TC.

В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC, BCD, CDA и DAB лежат на одной окружности.

Точка М является серединой гипотенузы ВС прямоугольного треугольника АВС, а точка Р делит катет АС в отношении Докажите, что величины углов РВС и АМР равны.

Пусть АН, ВР и СТ  — высоты, а М  — середина стороны ВС в остроугольном треугольнике АВС. Прямая РМ пересекает продолжение стороны АВ за вершину В в точке Y, а прямая ТН пересекает продолжение стороны АС за вершину С в точке Х. Доказать, что прямые ВС и XY параллельны.

Существует ли тетраэдр, в сечениях которого двумя разными плоскостями получаются квадраты и

Тип 0 № 72

В прямоугольном треугольнике АВС отмечены: точка К  — середина гипотенузы АВ и на катете ВС точка М такая, что Пусть отрезки АМ и СК пересекаются в точке Р. Докажите, что прямая КМ касается описанной окружности треугольника АКР.

На стороне AB треугольника ABC выбрана такая точка P, что 3AP  =  AB. В треугольниках APC и BPC проведены биссектрисы PK и PL соответственно, а в треугольниках APK и BPL опущены высоты AQ и BR. В каком отношении прямая CP делит отрезок QR?

В прямоугольном треугольнике ABC точка M  — середина гипотенузы BC, а точки P и T делят катеты AB и AC в отношении

Обозначим за К точку пересечения отрезков ВТ и РM, за E  — точку пересечения отрезков СР и МТ, и за О  — точку пересечения отрезков СР и ВТ. Доказать, что четырёхугольник ОКME  — вписанный.

От прямой линии, проходящей через точки пересечения медиан и биссектрис тупоугольного треугольника, двумя его сторонами отсекается отрезок длинной на 1 см меньше, чем одна из длин сторон данного треугольника. Найдите наименьшую из возможных длин сторон этого треугольника, если их длины выражаются натуральными числами (в см) и образуют арифметическую прогрессию.

На стороне AC правильного треугольника ABC отмечена точка K, такая что AK : KB  =  1 : 2. На стороне BC отметили точку L, а на стороне AC  — точку M, так что сумма длин KL + LM + MB минимальна. Найдите отношение CM : MA.

Аналоги к заданию № 480: 508 Все

В куске породы, имеющем форму правильной шестиугольной призмы, образовались два кристалла-двойника ACEG₁ и B₁D₁F₁G, вросшие друг в друга (см. рисунок). Каждый из кристаллов имеет форму правильного тетраэдра с вершиной в центре основания своего двойника и ребром 1 см. Определить, какую форму имеет общая часть этих кристаллов, и найти ее объем (замечание: кристаллы в форме тетраэдров образуют сфалерит, шеелит, редко-алмаз).

В куске породы, имеющем форму правильной шестиугольной призмы, образовались два кристалла-двойника ACEG₁ и B₁D₁F₁G, вросшие друг в друга (см. рисунок). Каждый из кристаллов имеет форму правильного тетраэдра с вершиной в центре основания своего двойника и ребром 3 см. Определить, какую форму имеет общая часть этих кристаллов, и найти ее объем (замечание: кристаллы в форме тетраэдров образуют сфалерит, шеелит, редко-алмаз).

Через вершину A параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ BD, сторону CD и прямую BC в точках E, F и G соответственно. Найдите отношение BE : ED, если FG : FE  =  4.