Теорема птолемея задача егэ

Всего: 8    1–8

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 8    1–8

2364 В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка M, причем /_BAM=30^@. Прямая AM пересекает окружность, описанную около треугольника ABC в точке N, отличной от А. Известно, что /_BNC=105^@, AB=2, AC=2sqrt6. а) Доказать, что BN:NC = 1:sqrt2 б) Найдите длину отрезка AN
Решение В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка M, причем угол BAM = 30 градусам ! ларин егэ по математике 2020 профильный уровень Вариант 320 Задание 16 # Два способа решения: 1 способ) Через теорему синусов и косинусов
(Решение Leonid Argail) 2 способ) через теорему Птолемея — Решение Елены Ильиничны Хажинской

1. Метод проведения вспомогательной
окружности.

Проведение вспомогательной окружности около
четырехугольника позволяет установить
равенство вписанных углов, либо использовать
свойства четырехугольника, вписанного в
окружность и свойства описанной окружности.

Задача 1. В треугольнике АВС
проведены биссектрисы из вершин А и С. Пусть К и L
– основания перпендикуляров, опущенных из
вершины В на эти биссектрисы.

Докажите, что прямая КL параллельна АС. [3]

Задача 2. Внутри острого угла,
равного ,
взята точка М, удаленная от сторон угла на
расстояния k и n.

Найти расстояние от вершины угла до точки М.
[3]

Задача 3. Дан остроугольный
треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС во внешнюю
сторону построены равные прямоугольники АВМN и
LВСК так, что АВ = КС.

Докажите, что прямые АL, NК и МС пересекаются
в одной точке. [3]

Задача 4. В треугольнике NMF
медиана МА делит угол М так, что NMА = 20° и АMF= 30°. Из точки А опущены
перпендикуляры АК и АС на стороны NM и MF
соответственно.

Вычислить площадь треугольника АКС, если АК
= 5 и КС = 7. [2]

Задача 5. Пусть А₁ , В₁
, С₁ – точки касания вписанной
окружности остроугольного треугольника АВС со
сторонами ВС, АС, АВ соответственно. Обозначим
через Н₁ и Н ортоцентры треугольников ВС₁А₁
и СА₁В₁ соответственно.

Доказать, что четырехугольник ВН₁НС —
вписанный. [3]

2. Применение теоремы Птолемея

Теорема Птолемея: В любом вписанном
четырехугольнике произведение диагоналей равно
сумме произведений противоположных сторон, т.е.
АС•ВD=AB•CD+BC•AD.

Задача 1. В окружность вписан
равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС). На дуге
АВ взята произвольная точка К и соединена
хордами с вершинами треугольника.

Доказать, что АК • КС = АВ² – КВ².
[3]

Задача 2. Длины катетов
прямоугольного треугольника равны а и в. На его
гипотенузе во внешнюю сторону треугольника
построен квадрат, одна из сторон которого
совпадает с гипотенузой.

Найдите расстояние от вершины прямого угла
треугольника до центра квадрата. [3]

Задача 3. В равнобочной
трапеции основание АD равно диагонали АС.
Известно, что САD
= СDМ, где М –
середина ВС.

Найти углы трапеции. [1]

Задача 4. Вокруг
равностороннего треугольника АВС описана
окружность радиуса R и на дуге ВС окружности
взята точка М так, что дуга ВС делится этой точкой
в отношении 1:3, считая от вершины В.

Найти расстояние АМ. [1]

Задача 5. Доказать, что в
равнобочной трапеции произведение длин
оснований равно разности квадратов диагонали и
боковой стороны. [2]

Используемая литература

1. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по
математике для 10 кл. М., Просвещение, 1989 г.

2. О.Ю. Черкасов. Планиметрия на вступительном
экзамене, “Московский лицей”, 1996г.

3. Задачи математических конкурсов и олимпиад
2007-2010 гг.

4.  Теорема Птолемея

Клавдий Птолемей (ок.100-ок.178)– древнегреческий астроном, математик, географ. Он ввёл понятия широты и долготы местности. Автор «Великого математического построения астрономии в 13 книгах» («Альмагест»), в котором, в частности,  изложены сведения по прямолинейной и сферической тригонометрии и дана теорема о выпуклом четырёхугольнике, вписанном в окружность. Благодаря теореме он составил таблицу хорд, которой воспользовался для астрономических вычислений.

Сумма произведений двух пар противоположных сторон вписанного четырёхугольника равна произведению его диагоналей     

Запишем теоремы синусов для треугольников АВD, АВС, ВСD:  

,  , , , ,  .

Теорема будет доказана, если будет показано равенство тригонометрических выражений, получившихся при подстановке в формулу после сокращения на :

  и   . После тригонометрических преобразований левой и правой части  и   получаем тождественное равенство.

Другое доказательство прямой теоремы связано с небольшим дополнительным построением. Проведём отрезок АQ  так, чтобы  углы QАD и ВАС были равны. Из подобия треугольников  QАD и ВАС следует равенство  или . Из подобия треугольников  QАВ и АСD следует равенство  или .

Сложив равенства ,    получаем  .

Покажем, как Птолемей составил таблицу хорд. Допустим, дан диаметр окружности d и хорды двух дуг: а и b.

Найдём хорду разности этих дуг.

Запишем теорему с учётом того, что треугольники МАС и МВС прямоугольные:

, откуда получаем формулу для хорды .   Следует заметить, что .   Разделив дугу пополам, можно найти хорду половины дуги. Птолемей установил длину хорды дуги 0,50 и, пользуясь этим, вычислил хорды всех дуг с шагом в 0,50. Это были первые тригонометрические таблицы в истории математики.

Задачи на теорему Птолемея

1. На окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС, взята произвольная точка М, отличная от А, В и С. Доказать, что один из отрезков АМ, АВ, АС равен сумме двух других.
2. В шестиугольнике АВСDЕF, вписанном в окружность, АС = СЕ = ЕА,  .    Найти периметр шестиугольника.
3. Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. Докажите, что .

5.  Определение радиуса вневписанной  окружности в треугольнике

Пусть в треугольнике АВС точка О – центр вневписанной окружности, точка Р – центр описанной окружности, Е – центр вписанной окружности, угол ВАС равен α, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности,  ρ – радиус вневписанной окружности, M,  F,  D,  H,  K,  Q – точки касания окружностей со сторонами треугольника или угла.

Запишем следующую систему равенств: .  Из системы следует формула .  Запишем теорему косинусов для стороны а:

Таким образом,    и   .

Можно получить формулу для r следующим образом: ,  , , следовательно    

Воспользовавшись формулой для ρ  несложно получить следующие равенства:

  и  .

Теорема Мансиона

Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам. Пауль Мансион – бельгийский математик, 1844-1919 г.

Пусть N – середина отрезка ЕО. Докажем, что в этом случае отрезок РN есть радиус  описанной  окружности.  Итак, .

Вопрос от Юлии:
Подскажите, как можно решить задачу: В треугольнике MNP угол M равен 40 градусов, угол N равен 20 градусов, а MN-NP=8. Найти длину биссектрисы, проведенной из вершины угла P. Задача взята из вступительной работы по математике в 8 класс физико — математического лицея.

Решение репетитора по математике к задаче про биссектрису (Колпаков А.Н.):

Пусть NP=x, MN=x+8. Очевидно, что . По теореме синусов имеем равенство:
Применим формулу синуса тройного угла:
. Сокращая на , после несложных преобразований получим, что
В треугольнике KNP снова по теореме синусов запишем:

Как и следовало ожидать, вся тригонометрия сокращается. Задача интересна тем, что имеет весьма красивое и простое решение (которое я показал) в противовес долгому и мучительному стандартному решению (через отрезок KN и теорему косинусов в треугольнике PKN).

Вопрос от Людмилы: Подскажите, как решить задачу: в равнобедренном треугольнике с углом альфа при основании высота, опущенная на основание, больше радиуса вписанного в треугольник круга на m. Основание треугольника равно? Спасибо.
Задача про высоту и радиус. Решение репетитора по математике.(Колпаков А.Н. )
По техническим причинам вместо альфа будем использовать родной и любимый всеми математиками икс :). Пусть в треугольнике ABC угол  — угол при основании. Обозначим буквой N точку касания окружности с боковой стороной AB. Тогда и имеют два равных угла и . Поэтому . Так как высота больше радиуса на m, то BO=m. По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике имеем
Тогда . По определению тангенса острого угла A в прямоугольном треугольнике ABD имеем
Тогда

Вопрос репетитору по математике от Жанат:
Пожалуйста. Помогите решить задачу на площадь по геометрии. Прошу вас…
В треугольнике АВС AB=AC=13; AC=24. На его стороне АС дана точка D так, что CD=6. Найдите

Решение репетитора (Колпаков А.Н.).
Найдем сначала площадь всего треугольника ABC. Есть возможность действовать или по формуле Герона , или через высоту, проведенную к основанию. Дабы не усложнять рисунок дополнительной линией репетитор по математике работает с первым способом. Тогда  — полупериметр треугольника.
Воспользуемся известным фактом: при равных высотах отношение площадей двух треугольников равно отношению их оснований

Вопрос от Роберта:
Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачу из типовых вариантов ЕГЭ под номером C4 (задача представлена ниже).Треугольник ABC вписан в окружность. Ее радиус равен 12 см. Известно, что BC=4cм и AB = 6 см . Найдите AC.
Репетитор по математике использует теорему Птолемея (А.Н. Колпаков)
Самое быстрое и красивое решение задачи дает редкая, но в некоторых ситуациях незаменимая теорема Птолемея. Она есть у меня в справочном отделе сайта: если четырехугольник вписан в окружность, то сумма произведений его сторон равна произведению его диагоналей. У нас никакого, казалось бы, четырехугольника нет. Построим его. Дополнительное построение репетитора по математике будет следующим: продлим радиус BO до пересечения его с дугой AC в точке К. Получим четырехугольник ABCK. Он вписан в окружность. Искомый отрезок AC — его диагональ. Очевидно, что BK=24 см. Так вписанные углы BAK и BCP опираются на диаметр, следовательно они прямые. По теореме Пифагора в треугольниках и находим катеты AK и CK и применяем:


Применяем терему Птолемея:


Сокращая на 24 получим окончательно:

Комментарий репетитора о применении теоремы Птолемея: на ЕГЭ можно использовать любой известный в математике факт, не обязательно соответствующий программе 5-11 класса. Надо только на него не забыть сослаться при оформлении. Если нужно школьное решение — можно действовать через поиск углов A и C (по формуле ). Найдя эти углы, применить теорему о сумме углов в треугольнике и через формулы приведения, удаляя «пи», найти косинус угла B по формуле . После этого AC легко находится по теореме косинусов. Но в таком случае мы получим не только более длинное решение, но и более громоздкое в плане вычислений.

Вопрос репетитору по математике от Светланы Ивановны:Уважаемый Александр Николаевич! Если Вам не трудно, помогите решить задачу: В трапеции АВСД сумма острых углов 90 градусов, меньшая диагональ ВД перпендикулярна основаниям ВС и АД. Найдите площадь трапеции, если основание АД = 2, СД = 18.
Репетитор о задаче с трапецией (А.Н. Колпаков)
Так как , то острыми будут углы A и C. Так как , то (по двум углам). Пусть BD=x, тогда составляя пропорцию из сторон подобных треугольников, получим , откуда BC=frac{x}{2}[/math]. По теореме Пифагора в треугольнике BDC составим уравнение
У меня получился корень .
Тогда . После некоторых манипуляций с иррациональностями получаем в ответе .

Вопрос репетитору от Артема Иванова.Треугольник KLM подобен треугольнику NPR.Докажите,что отношение длин медиан,проведенных из K и N,равно коэффициенту подобия треугольников. Помогите, пожалуйста, задача с контрольной. Я ученик 8 класса. Не из России.
Репетитор по математике о задаче про медианы. Решение достаточно простое. Пусть коэффициент подобия треугольников равен k. Тогда . Так как и . Следовательно . Поскольку у подобных треугольников равны соответственные углы, то . Треугольники LKH и PNE будут подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем . Что и требовалось доказать.

Вопрос репетитору по математике от Тимерлана Селахова
Помогите с решениями этой задачи:

Решение (Колпаков А.Н.):
Треугольник ABD равнобедренный по определению (т.к. AB=DB по условию) и ВМ — медиана (т.к. АМ=DМ по условию). Следовательно ВМ — биссектриса и высота (по тереме о совпадении медианы с биссектрисой и высотой). Тогда и поэтому Так как и  — смежные углы, то

Вопрос от Тамины. Помогите найти площадь большого прямоугольника, разделенного на 12 квадратов, если площадь закрашенного квадрата равна 1 кв.см.

Задача про закрашенный квадрат. Решение репетитора по математике:

Очевидно, что площадь пяти нижних квадратов равна 8 и длина прямоугольника ABCD равна 4 см. Пусть BE=x, тогда NK=4-2x и соответственно NP=NM=2-x MH=x- (2-x)=2x-2. Так как в длине отрезка MP укладывается 3 длины квадрата со стороной 2х-2, то очевидно MP=3 (2x-2). Учитывая, что MP=NK, получаем уравнение:
4-2x=3 (2x-2)
откуда x=1,25. Следовательно

Pages: 1 2