Теорема виета в егэ

ЕГЭ Профиль №18. Исследование дискриминанта и применение теоремы виетаadmin2019-09-10T21:58:22+03:00

Теорема Виета звучит так:

Теорема Виета широко используется при решении задач, в которых

• не требуется найти корни квадратного уравнения, а лишь некоторое их соотношение;
• нужно найти значение параметра, при котором значение корней удовлетворяет заданному соотношению.

С помощью теоремы Виета можно устно находить корни квадратного уравнения, а также проверять, являются ли заданные числа корнями уравнения.

Чтобы грамотно использовать теорему Виета, ее нужно хорошо понимать.

Остановимся подробнее на каждом слове этой теоремы. Сначала о коэффициентах квадратного уравнения:

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен 1, то есть если

В общем случае не каждое квадратное уравнение является приведенным, например, уравнение не является приведенным. В этом уравнении .

Но каждое квадратное уравнение можно сделать приведенным, для этого достаточно обе части уравнения вида разделить на :

В полученном уравнении старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен  , свободный член равен .

То есть корни  произвольного квадратного уравнения, согласно теоремы Виета,  удовлетворяют системе:

Например корни уравнения

удовлетворяют системе

Обратная теорема Виета позволяет составить квадратное уравнение по значениям его корней:

Например, числа -7 и -2 являются корнями уравнения ,   или 

Решим несколько задач с использованием теоремы Виета.

Задача 1. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней равен

Так как произведение корней должно быть числом рациональным, второй корень может представлять выражение, сопряженное выражению , то есть дополняющее его до формулы разности квадратов. Это выражение :

Тогда ;

Отсюда получаем уравнение:

   

Задача 2. Найдите значения выражения , где и — корни уравнения .

Если в задаче не требуется найти значения корней квадратного уравнения, а только их соотношение, следовательно, нужно воспользоваться теоремой Виета.

Запишем теорему Виета для этого уравнения:

Теперь мы знаем, чему равны сумма и произведение корней. Представим выражение  в виде комбинации суммы и произведения. Приведем дроби к общему знаменателю.

   

Ответ: -8

Задача 3. Найдите значение выражения , где и — корни уравнения .

Эта задача аналогична предыдущей, только в ней чуть сложнее преобразование выражения  в комбинацию выражений  и .

Вспомним формулу квадрата суммы: . Перенесем  влево и получим соотношение (1)

Запишем теорему Виета для уравнения :

(по формуле 1)

Ответ: 20,5

Задача 4. Решите устно уравнение:

Теорем Виета позволяет в некоторых случаях легко находить корни квадратного уравнения.

Для этого удобно придерживаться такой последовательности шагов:

1. Выписываем теорему Виета для данного уравнения.
2. Определяем знаки корней.
3. Раскладываем на два множителя свободный член, и определяем,  какая пара множителей в сумме дает второй коэффициент, взятый с противоположным знаком.

Для данного уравнения 

1  

2  Определим знаки корней.

Для определения знаков удобно пользоваться такой таблицей:

Так как в уравнении  произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней также отрицательна, следовательно, корень с большим модулем отрицателен.

3. Будем раскладывать на множители число 24, имея в виду, что множитель с большим модулем отрицателен, и выбираем пару чисел, сумма которых равна -2.

Очевидно, что это числа -6 и 4.

Ответ: -6; 4

Задача 5. Решите устно уравнение:

1  

2 Определим знаки корней.

Так как в уравнении

произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней отрицательна, следовательно, корень с большим модулем отрицателен.

В данном случае корни проще подобрать, зная их сумму: . Можно предположить, что . Проверим, чему равно произведение этих выражений:

Предположение верное.

Ответ: 

Следствием из теоремы Виета являются такие полезные факты:

Задача 6. Найти корни уравнения:

Заметим, что  , следовательно, .

Задача 7.

Найти корни уравнения:

Заметим, что  , следовательно,

Как решать задачи с параметром с помощью теоремы Виета читайте здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Факт 1.
(bullet) Теорема Виета для квадратного уравнения:
если квадратное уравнение (ax^2+bx+c=0) имеет корни (x_1) и (x_2) (необязательно различные), то [x_1+x_2=-dfrac baqquad {small{text{и}}}qquad
x_1x_2=dfrac ca] (bullet) Если квадратное уравнение (ax^2+bx+c=0) имеет корни (x_1) и (x_2) (необязательно различные), то [ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)]
 

Факт 2.
(bullet) Теорема Виета для кубического уравнения:
если кубическое уравнение (ax^3+bx^2+cx+d=0) имеет корни (x_1), (x_2) и (x_3) (необязательно все различные), то [x_1+x_2+x_3=-dfrac baqquad {small{text{и}}}qquad
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=dfrac caqquad {small{text{и}}}qquad
x_1x_2x_3=-dfrac da] (bullet) Если кубическое уравнение (ax^3+bx^2+cx+d=0) имеет корни (x_1), (x_2) и (x_3) (необязательно все различные), то [ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)]

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНО ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ

«ТЕХНИКУМ СЕРВИСА И ТУРИЗМА № 29»

(ГБПОУ ТСиТ № 29)

Методическая разработка

по применению

теоремы Виета для решения уравнений                

по дисциплине Алгебра .

        Москва        

                                                                                   2017

Методическая разработка выполнена с целью обмена опытом с преподавателями, а также для студентов техникума для формирования системы математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности и продолжения образования, а также для использования при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.

Рассмотрена на заседании цикловой комиссии общеобразовательных дисциплин Протокол № _____ от «___»________________2017г. Председатель ПЦК_________А.А.Данилова

Составитель:  Антипова Л.А., преподаватель ГБПОУ ТСиТ № 29

Введение

Данная работа рассматривает теорию к решению примеров двух типов,  используя  теорему Виета. Предлагается решить 20 приведенных  квадратных уравнений и 20 полных квадратных уравнений.

Теорема Виета позволяет нам решить любое квадратное приведённое уравнение практически за секунды. На первый взгляд это кажется достаточно сложной задачей, но после 5- 10 уравнений, можно научиться видеть корни сразу, что очень удобно при подготовке к ОГЭ   и ЕГЭ. Из приведённых примеров, и пользуясь теоремой, видно как можно значительно упростить решение квадратных уравнений, ведь используя эту теорему, можно решить квадратное уравнение практически без сложных расчётов и вычисления дискриминанта, а как известно чем меньше расчётов, тем сложнее допустить ошибку, что немаловажно. Дается общий алгоритм решения примеров по теореме Виета. Приводится значение данной теоремы. Мы достаточно часто сталкиваемся с уравнениями, решение которых требует длинных вычислений, а иногда и эти вычисления не приносят успеха. И как следствие, возникает вопрос: а нельзя ли для этого уравнения найти простое, рациональное, короткое и изящное решение. Необходимо помнить, что каждая математическая задача требует индивидуального подхода. Не всегда полезно следовать общим алгоритмам, отклонение от них иногда приводит к более рациональному решению.

     Теорема Виета играет огромную роль при решении квадратных уравнений. И все-таки польза от формул — систем равенств, связывающих корни уравнений с их коэффициентами, есть. Есть хотя бы потому, что они содержат одну «подсказку», помогающую решать некоторые уравнения вообще без всяких формул (но уже не в уме, тут потребуется немало изобретательности и сообразительности).

     Полученные Виетом системы равенств, связывающие корни уравнений произвольной (не только второй!) степени с их коэффициентами, теперь называются теоремой Виета, и каждый ученик сегодня знает это имя. Какая высокая честь для ученого! Какая по-настоящему вечная память и слава! Стоит поразмышлять об этом…

Исследования Виета дали совершенно новое направление работе своих современников, а алгебраические идеи его оказали сильнейшее влияние на европейскую науку, он прославился обобщением алгебры.

            Первое практическое применение этой теоремы – составление квадратного уравнения, имеющего заданные корни. Второе: она позволяет устно решать многие квадратные уравнения. На отработку этих навыков, прежде всего и обращается внимание в школьных учебника.

При повторении пройденного материала за 8 класс в 9 классе и за 9 класс на 1-м курсе техникума для обобщающего повторения и систематизации знаний и умений обучающихся по алгебре целесообразно повторить решение примеров на теорему Виета, т.к .при использовании данной теоремы сокращается время решения примеров и задач. Что немаловажно для 9 класса при подготовке к ОГЭ, а 1 и 2 курсов для сдачи экзаменов. При  этом необходимым условием эффективности повторения  является  связь решаемых уравнений с текущим, изучаемым материалом.

В восьмом классе, учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и способами их решения. При этом, как показывает опыт, большинство учащихся при решении полных квадратных уравнений применяют только один способ – формулу корней квадратного уравнения. Для учеников, хорошо владеющих навыками устного счета, этот способ явно нерационален. Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто и в старших классах, а там тратить время на расчет дискриминанта просто жалко. На мой взгляд,  при изучении квадратных уравнений, следует уделить больше времени и внимания применению теоремы Виета (по программе А.Г. Мордковича Алгебра-8, на изучение темы “Теорема Виета. «Разложение квадратного трехчлена на линейные множители” запланировано только два часа).

В большинстве учебников алгебры эта теорема формулируется для приведенного квадратного уравнения и гласит, что если уравнение  имеет корни  и , то для них выполняются равенства , . Затем формулируется утверждение, обратное к теореме Виета, и предлагается ряд примеров для отработки этой темы.

Возьмем конкретные примеры и проследим на них логику решения с помощью теоремы Виета.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Допустим, это уравнение имеет корни, а именно,  и . Тогда по теореме Виета одновременно должны выполняться равенства 

Обратим внимание, что произведение корней – положительное число. А значит, корни уравнения одного знака. А так как сумма корней также является положительным числом, делаем вывод, что оба корня уравнения – положительные. Вернемся снова к произведению корней. Допустим, что корни уравнения – целые положительные числа. Тогда получить верное первое равенство можно только двумя способами (с точностью до порядка множителей):  или . Проверим для предложенных пар чисел выполнимость второго утверждения теоремы Виета: . Таким образом, числа 2 и 3 удовлетворяют обоим равенствам, а значит, и являются корнями заданного уравнения.

Ответ: 2; 3.

Выделим основные этапы рассуждений при решении приведенного квадратного уравнения  с помощью теоремы Виета:

записать утверждение теоремы Виета

(*)

(первым равенством рекомендуется записывать произведение корней);

• определить знаки корней уравнения (Если произведение и сумма корней – положительные, то оба корня – положительные числа. Если произведение корней – положительное число, а сумма корней – отрицательное, то оба корня – отрицательные числа. Если произведение корней – отрицательное число, то корни имеют разные знаки. При этом, если сумма корней – положительная, то больший по модулю корень является положительным числом, а если сумма корней меньше нуля, то больший по модулю корень – отрицательное число);
• подобрать пары целых чисел, произведение которых дает верное первое равенство в записи (*);
• из найденных пар чисел выбрать ту пару, которая при подстановке во второе равенство в записи (*) даст верное равенство;
• указать в ответе найденные корни уравнения.

Приведем еще примеры.

Пример 2. Решите уравнение .

Решение.

Пусть  и  — корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета Заметим, что произведение – положительное, а сумма – отрицательное число. Значит, оба корня – отрицательные числа. Подбираем пары множителей, дающих произведение 10 (-1 и -10; -2 и -5). Вторая пара чисел в сумме дает -7. Значит, числа -2 и -5 являются корнями данного уравнения.

Ответ: -2; -5.

Пример 3. Решите уравнение .

Решение.

Пусть  и  — корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета Заметим, что произведение – отрицательное. Значит, корни – разного знака. Сумма корней – также отрицательное число. Значит, больший по модулю корень – отрицательный. Подбираем пары множителей, дающих произведение -10 (1 и -10; 2 и -5). Вторая пара чисел в сумме дает -3. Значит, числа 2 и -5 являются корнями данного уравнения.

Ответ: 2; -5.

Заметим, что теорему Виета в принципе можно сформулировать и для полного квадратного уравнения:  если квадратное уравнение  имеет корни  и , то для них выполняются равенства , . Однако применение этой теоремы довольно проблематично, так как в полном квадратном уравнении по крайней мере один из корней (при их наличии, конечно) является дробным числом. А работать с подбором дробей долго и трудно. Но все-таки выход есть.

Рассмотрим полное квадратное уравнение . Умножим обе части уравнения на первый коэффициент а и запишем уравнение в виде . Введем новую переменную  и получим приведенное квадратное уравнение , корни которого  и  (при их наличии) могут быть найдены по теореме Виета. Тогда корни исходного уравнения будут . Обратим внимание, что составить вспомогательное приведенное уравнение  очень просто: второй коэффициент сохраняется, а третий коэффициент равен произведению ас. При определенном навыке учащиеся сразу составляют вспомогательное уравнение, находят его корни по теореме Виета и указывают корни заданного полного уравнения. Приведем примеры.

Пример 4. Решите уравнение .

Решение

Составим вспомогательное уравнение  и по теореме Виета найдем его корни . А значит, корни исходного уравнения .

Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение .

Решение

Вспомогательное уравнение имеет вид . По теореме Виета его корни . Находим корни исходного уравнения .

Ответ: .

Примеры на применение теоремы Виета

Задание 1. Решите приведенное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Задание 2. Решите полное квадратное уравнение с помощью перехода к

вспомогательному приведенному квадратному уравнению.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Давая эти задания, нужно учитывать уровень и степень подготовки обучающихся.

Так, задание 1-для слабоподготовленных обучающихся , задание 2-предназначается для

хорошо успевающих и сильных учащихся, то есть задания даются разноуровневые,  

соблюдается дифференцированный подход.

Критерии оценок:

1задание, 2задание — за 18-20 примеров «5»

За 12-17 примеров-«4»,за10-11  примеров-«3».

Ответы: 1-задание.

1)2;5  2)2;4  3)2;6  4)4;5  5)5  6)-3;-5  7)-3;-7  8)-9;-11 9)-2;-7 10)-4;-6  11)-2;3

12)-2;4  13)-2;6  14)-2;8  15)-3;10  16)-5;2  17)-7;2  18)-5;4  19)-6;4  20)-6;5.

Значение теоремы Виета

Теорема Виета позволяет нам решить любое квадратное приведённое уравнение практически за секунды. На первый взгляд это кажется достаточно сложной задачей, но после 5 -6 уравнений, можно научиться видеть корни сразу.

Из приведённых примеров, и пользуясь теоремой, видно как можно значительно упростить решение квадратных уравнений, ведь используя эту теорему, можно решить квадратное уравнение практически без сложных расчётов и вычисления дискриминанта, а как известно чем меньше расчётов, тем сложнее допустить ошибку, что немаловажно.

Мы можем составить общий алгоритм решения по теореме Виета.

Общий алгоритм решения по теореме Виета

— Приводим  квадратное уравнение к приведённому виду, если уравнение дано нам в неприведённом виде. Когда коэффициенты в квадратном уравнении, которое раньше мы представили как приведённое,  получились дробными( не десятичными ), то в этом случае следует решать наше уравнение через дискриминант.

Также бывают случаи, когда возврат к начальному уравнению позволяет нам работать с “удобными” числами.

— В случае , когда коэффициенты уравнения являются целыми, следует решать уравнение по теореме Виета.

Примечание :  Если в течении нескольких секунд, нам не удаётся найти корни по теореме Виета, то следует решать через дискриминант, это зачастую бывает быстрее.

Литература

1)Выгодский М.Я Справочник по элементарной математике, АСТ, Астрель, 2003г

2)Гусев В.А Учебно-справочное пособие, Астрель, 2003г

3)Прохоров Ю.В Математика. Энциклопедия, Большая  Российская энциклопедия ,2004г

4)Смолякова Справочник по математике 5-8 класс, БАО

5)А.Г.Мордкович « Алгебра 8»,  2014г.

6) http://www.hrono.ru/biograf/bio_we/viet.html