Теоремы необходимые для егэ

Планиметрия

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Площади фигур

Площадь треугольника

1. $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
2. $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
3. Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
4. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
5. $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
6. Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
7. Для равностороннего треугольника $S={a^2 √3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.

Площади четырехугольников

Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

Ромб

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Квадрат

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Параллелограмм

$S=a·b·sinα$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, а $α$ — угол между этими сторонами.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$CD^2=DB·AD$

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$CB^2=AB·DB$

$AC^2=AB·AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC·CB=AB·CD$

Метрические соотношения в окружности

1. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.

2. Если хорды $АС$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $N$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

$AN·NC=BN·ND$

3. Если из одной точки к одной окружности проведены две секущие, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равно произведению второй секущей на свою внешнюю часть.

$АС·ВС=EC·DC$

4. Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной.

$BD·СB=AB^2$

Вписанные и описанные окружности для четырехугольников.

1. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

$АВ+CD=BC+AD$

2. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.

$∠В+∠D=180°$

$∠A+∠C=180°$

Вневписанные окружности

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.

Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.

Точки $О_1, О_2$ и $О_3$ – центры вневписанных окружностей.

Связь площади треугольника с радиусами вневписанных окружностей.

Введем обозначения:

$S$ — площадь треугольника;

$p$ — полупериметр треугольника;

$a, b, c$ — стороны треугольника;

$r_a, r_b, r_c$ — радиусы вневписанных окружностей касающиеся соответственно сторон $a, b$ и $c$;

Для данных обозначений справедливы равенства:

$r_a={S}/{p-a};$

$r_b={S}/{p-b};$

$r_c={S}/{p-c}.$

Биссектриса

Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.

Свойства биссектрисы:

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

2. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.

$AD=DC$

3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

4. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает равнобедренный треугольник.

5. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

6. В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.

${AB}/{AC}={BA_1}/{A_1C}$

7. Для нахождения длины биссектрисы справедлива формула:

$АА_1=√{АВ·АС-ВА_1·А_1 С}$

Медиана

Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Свойства медиан:

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.

$S_1=S_2$

2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.

3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.

4. Для нахождения длины медианы, проведенной к стороне «с», справедлива формула:

$М_с={√{2(а^2+b^2)-c^2}}/{2}$

Высота

Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

$BB_1$ — высота

Свойства высот:

1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

2. При пересечении двух высот получаются подобные треугольники:

$∆АА_1 В~∆СС_1В;$

$∆АС_1 М~∆СМА1$

3. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

4. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

$h_a:h_b:h_c={1}/{a}:{1}/{b}:{1}/{c}$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sin⁡α}={b}/{sinβ} ={c}/{sinγ} =2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα.$

Формулы для профильного ЕГЭ-2022 по математике

Формулы сокращённого умножения
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Вероятность
Свойства степеней
Свойства логарифмов
Тригонометрия
Производные
Первообразные
Геометрия

Формулы сокращённого умножения

`(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2`
`(a − b)^2=a^2 − 2ab + b^2`
`a^2 − b^2=(a + b)(a − b)`
`a^3 + b^3=(a + b)(a^2 − ab + b^2)`
`a^3 − b^3=(a − b)(a^2 + ab + b^2)`
`(a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`
`(a − b)^3=a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3`

Прогрессии

Арифметическая прогрессия:

`a_n=a_(n-1)+d`

`a_n=a_1+(n-1)*d`

`S_n=((a_1+a_n)*n)/2`

Геометрическая прогрессия:

`b_n=b_(n-1)*q`

`b_n=b_1*q^(n-1)`

`S_n=((q^n-1)*b_1)/(q-1)`

Бесконечно убывающая: `S=b_1/(1-q)`

Вероятность

Вероятность события A:	`P(A)=m/n`
События происходят A и B происходят одновременно	`A*B`
Независимые события:	`P(A*B)=P(A)*P(B)`
Зависимые события:	`P(A*B)=P(A)*P(B|A)`
Происходит или событие A, или B	`A+B`
Несовместные события:	`P(A+B)=P(A)+P(B)`
Совместные события:	`P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)`

Свойства степеней

`a^0=1`	`a^1=a`
`a^(-1)=1/a`	`a^(-n)=1/a^n`
`a^(1/2)=sqrt(a)`	`a^(1/n)=root(n)(a)`
`a^m*a^n=a^(m+n)`	`a^m/a^n=a^(m-n)`
`(a*b)^n=a^n*b^n`	`(a/b)^n=a^n/b^n`
`(a^m)^n=a^(m*n)`	`a^(m/n)=root(n)(a^m)`

Свойства логарифмов

`log_ab=c``a^c=b`
`log_a1=0`
`log_aa=1`
`log_a(b*c)=log_ab+log_ac`
`log_a(b/c)=log_ab-log_ac`
`log_ab^n=n*log_ab`
`log_(a^m)b=1/m*log_ab`
`log_ab=1/(log_ba)`
`log_ab=(log_cb)/(log_ca)`
`a^(log_cb)=b^(log_ca)`
`a^(log_ab)=b`

Тригонометрия

`alpha`	`0`	`pi/6`	`pi/4`	`pi/3`	`pi/2`	`pi`	`(3pi)/2`	`2pi`
`0^circ`	`30^circ`	`45^circ`	`60^circ`	`90^circ`	`180^circ`	`270^circ`	`360^circ`
`sinalpha`	`0`	`1/2`	`sqrt(2)/2`	`sqrt(3)/2`	`1`	`0`	`-1`	`0`
`cosalpha`	`1`	`sqrt(3)/2`	`sqrt(2)/2`	`1/2`	`0`	`-1`	`0`	`1`
`text(tg)alpha`	`0`	`sqrt(3)/3`	`1`	`sqrt(3)`	`infty`	`0`	`infty`	`0`
`text(ctg)alpha`	`infty`	`sqrt(3)`	`1`	`sqrt(3)/3`	`0`	`infty`	`0`	`infty`

Основные соотношения

`sin^2alpha+cos^2alpha=1`
`text(tg)alpha=sinalpha/cosalpha=1/(text(ctg)alpha)`

Формулы двойного угла

`cos2alpha={(cos^2alpha-sin^2alpha),(1-2sin^2alpha),(2cos^2alpha-1):}`
`sin2alpha=2sinalphacosalpha`
`text(tg)2alpha=(2text(tg)alpha)/(1-text(tg)^2alpha)`

Формулы суммы и разности аргументов

`sin(alpha+-beta)=sinalphacosbeta+-cosalphasinbeta`

`cos(alpha+-beta)=cosalphacosbeta∓sinalphasinbeta`

`text(tg)(alpha+-beta)=(text(tg)alpha+-text(tg)beta)/(1∓text(tg)alpha*text(tg)beta)`

Преобразование суммы и разности в произведение

`sinalpha+-sinbeta=2sin((alpha+-beta)/2)cos((alpha∓beta)/2)`

`cosalpha+cosbeta=2cos((alpha+beta)/2)cos((alpha-beta)/2)`

`cosalpha-cosbeta=-2sin((alpha+beta)/2)sin((alpha-beta)/2)`

Формулы половинного аргумента

`sin(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/2)`
`cos(alpha/2)=+-sqrt((1+cosalpha)/2)`
`text(tg)(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/(1+cosalpha))=(1-cosalpha)/sinalpha=sinalpha/(1+cosalpha)`

Обратные тригонометрические функции

`sinx=A`	`x=(-1)^k*arcsinA + pik` или `{(x=arcsinA + 2pik),(x=pi-arcsinA+2pik):}`	`kinZZ`
`cosx=A`	`x=±arccosA + 2pik`	`kinZZ`
`tg x=A`	`x=text(arctg) A + pik`	`kinZZ`
`ctg x=A`	`x=text(arcctg) A + pik`	`kinZZ`

Также некоторые тригонометрические соотношения смотрите в разделе Геометрия.

Производные

Основные правила дифференцирования

`(u+-v)’=u’+-v’`
`(u*v)’=u’*v+u*v’`
`(u/v)^’=(u’*v-u*v’)/v^2`
`[f(g(x))]’=f'(g(x))*g'(x)`

Уравнение касательной

`y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)`

Производные элементарных функций

`C’=0`	`(C*x)’=C`
`(x^m)’=mx^(m-1)`	`(sqrtx)’=1/(2sqrtx)`
`(1/x)^’=-1/x^2`
`(e^x)’=e^x`	`(lnx)’=1/x`
`(a^x)’=a^x*lna`	`(log_ax)’=1/(xlna)`
`(sinx)’=cosx`	`(cosx)’=-sinx`
`(text(tg)x)’=1/cos^2x`	`(text(ctg)x)’=-1/sin^2x`
`(arcsinx)’=1/sqrt(1-x^2)`	`(arccosx)’=-1/sqrt(1-x^2)`
`(text(arctg))=1/(1+x^2)’`	`(text(arcctg))’=-1/(1+x^2)`

Также некоторые сведения про производные смотрите в описании задач
№14 (база), №7 (профиль), №12 (профиль).

Первообразные

Первообразная:	`F'(x)=f(x)`
Неопределённый интеграл:	`intf(x)dx=F(x)+C`
Определённый интеграл (формула Ньютона-Лейбница):	`int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)`

Таблица первообразных

`f(x)`	`F(x)`		`f(x)`	`F(x)`
`a`	`ax`
`x^n`	`x^(n+1)/(n+1)`		`1/x`	`lnx`
`e^x`	`e^x`		`a^x`	`a^x/lna`
`sinx`	`-cosx`		`cosx`	`sinx`
`1/cos^2x`	`text(tg)x`		`1/sin^2x`	`-text(ctg)x`
`1/(x^2+a^2)`	`1/atext(arctg)x/a`		`1/(x^2-a^2)`	`1/(2a)ln|(x-a)/(x+a)|`
`1/sqrt(a^2-x^2)`	`text(arcsin)x/a`		`1/sqrt(x^2+a)`	`ln|x+sqrt(x^2+a)|`

Геометрия

Планиметрия (2D)

Площади фигур:

Окружность:	`S=pir^2`
Треугольник:	`S=1/2ah`
Параллелограмм:	`S=ah`
Четырёхугольник:	`S=1/2d_1d_2sinvarphi`
Трапеция:	`S=(a+b)/2*h`

Стереометрия (3D)

Призма:	`V=S_(осн)h`
Пирамида:	`V=1/3S_(осн)h`
Конус:	`V=1/3S_(осн)h`
	`S_(бок)=pirl`
Цилиндр:	`V=pir^2h`
	`S_(бок)=2pirh`
Шар:	`V=4/3pir^3`
	`S=4pir^2`

Факт 1.
(bullet) Множество натуральных чисел (mathbb{N}) – это числа (1,
2, 3, 4 ) и т.д.
(bullet) Множество целых чисел (mathbb{Z}) состоит из натуральных чисел, противоположных им ((-1, -2, -3 ) и т.д.) и нуля (0).
(bullet) Рациональные числа (mathbb{Q}) – числа вида (dfrac ab), где (ain mathbb{Z}), (bin mathbb{N}).
 
Таким образом, существует включение: (mathbb{N}) содержится в (mathbb{Z}), а (mathbb{Z}) содержится в (mathbb{Q}).
 

Факт 2.
(bullet) Правила сложения дробей: [begin{aligned} &dfrac ab+dfrac cb=dfrac{a+c}b[2ex]
&dfrac ab+dfrac cd=dfrac{ad+bc}{bd}end{aligned}] Пример: (dfrac {31}6+dfrac {67}6=dfrac{31+67}6=dfrac{98}6)
 
(bullet) Правила умножения дробей: [dfrac abcdot dfrac cd=dfrac{ac}{bd}] Пример: (dfrac 47cdot dfrac{14}5=dfrac{4cdot 14}{7cdot 5})
 
(bullet) Правила деления дробей: [dfrac ab: dfrac cd=dfrac abcdot dfrac dc] Пример: (dfrac 45 :dfrac 67=dfrac 45cdot dfrac 76)
 

Факт 2.
(bullet) Сокращение дробей – деление числителя и знаменателя на одно и то же число, отличное от нуля.
Пример:
 
(begin{aligned} &dfrac{98}6=dfrac{49cdot
2llap{/}}{3cdot
2llap{/}}=dfrac{49}3[2ex]
&dfrac{4cdot 14}{7cdot 5}=dfrac{4cdot 2cdot
7llap{/}}{7llap{/}cdot
5}=dfrac 85[2ex]
&dfrac{4cdot 7}{5cdot 6}=dfrac {2llap{/}cdot 2cdot 7}{5cdot
3cdot
2llap{/}}=dfrac{14}{15}end{aligned})
 
(bullet) Если (dfrac ab) – несократимая дробь, то ее можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель (b) делится только на числа (2) и (5).
Пример: дробь (dfrac2{65}) нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, так как (65=5cdot 13), то есть (dfrac2{65}=0,0307…)
дробь (dfrac3{160}) можно представить в виде конечной десятичной дроби, так как (160=2^5cdot 5), то есть (dfrac3{160}=0,01875).
 

Факт 3.
(bullet) Формулы сокращенного умножения:
(blacktriangleright) Квадрат суммы и квадрат разности: [(a+b)^2=a^2+2ab+b^2] [(a-b)^2=a^2-2ab+b^2]

(blacktriangleright) Куб суммы и куб разности: [(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3quad {small{text{или}}}quad
(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)] [(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3quad {small{text{или}}}quad
(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)]

Заметим, что применение данных формул справа налево часто помогает упростить вычисления:
(13^3+3cdot 13^2cdot 7+3cdot 13cdot 49+7^3=(13+7)^3=20^3=8000)

(blacktriangleright) Разность квадратов: [a^2-b^2=(a-b)(a+b)]

(blacktriangleright) Сумма кубов и разность кубов: [a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)] [a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)]

Заметим, что не существует формулы суммы квадратов (a^2+b^2).
Заметим, что применение данных формул слева направо часто помогает упростить вычисления:

(dfrac{7^6-2^6}{7^4+14^2+16}=
dfrac{(7^2-2^2)(7^4+7^2cdot2^2+2^4)}
{7^4+(7cdot2)^2+2^4}=7^2-2^2=45)
 

Факт 4.
(bullet) Квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых и удвоенных попарных произведений: [begin{aligned}
&(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc[2ex]
&(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd[2ex]
&{small{text{и т.д.}}}end{aligned}]

Этапы закрепощения крестьян в России

Крепостное право на Руси появилось позже, чем во многих средневековых европейских королевствах. Это было связано с объективными причинами – низкая плотность населения, зависимость от ордынского ига.

---

Задания 12-18 досрочного ЕГЭ по математике

3 примера по каждому заданию. Досрочный ЕГЭ по математике прошёл 28 марта.

---

ОГЭ по математике. Тренировочный вариант СтатГрад

Видеоуроки ОГЭ | Вчера, 21:46

Решение тестовой части (№1-19) тренировочной работы по математике от 18 апреля 2022 года.

---

ГИА по геометрии после 9 класса я так понимаю, потому что ЕГЭ будет просто по математике, где тоже будут присутствовать вопросы по геометрии. Для ГИа нужна программа учебного процесса с самого начала с 7 класса до 9 класса включительно. Что там есть на сколько помню это признаки равенства треугольников, теоремы по этой теме, в 8 классе есть признаки подобия, меть задачи решать и на построение и на нахождение равенства. Всю программу надо по сути знать, есть пробники, можно по ним ориентироваться. модератор выбрал этот ответ лучшим тигре­н-ок [52K] 7 лет назад Конечно, легко ответь ВСЕ. Но это будет, скорее не совсем правильно. В каждом экзамене есть своя логика и схема построения вопросов. Так что и ГИА по геометрии не являются каким-то редким исключением. Возьмем за основу, что в экзаменационные вопросы заложен основной (краткий) курс за седьмой, восьмой, девятый класс. Всего объема знаний, конечно, не потребуется (да это и невозможно столько запомнить нормальному школяру). В интернете можно сказать уже готовые перечни требуемой информации, на которую и стоит направить все свои усилия. Тут главное обладать одним из двух: либо золотыми мозгами, либо хитрость (у кого есть и то и другое — счастливчики). Вот тут можно скачать перечень теорем и формул нужных для сдачи ГИА по геометрии. Апрел­и [50.4K] 7 лет назад Надо выделить основные важные теоремы, выучить формулы и побольше решать задач, чтобы в памяти остались,и тогда легче будет пересказать. Школьные тетради по геометрии можно еще раз просмотреть, ну или напишите шпаргалки. Елена Д [357K] 7 лет назад Ну как, какие… Все, которые только есть в школьной программе до девятого класса включительно. Геометрия — это точная наука, и Вам, скорее всего, не удастся выучить одно и совершенно не знать другого. Да там всё очень чётко и понятно — важно только постараться, чтобы как следует вникнуть в материал, понять, тогда он сам собой запомнится, зубрить ничего не придётся. Kin96­3 [36.1K] 6 лет назад Чтобы сдать Государственную Итоговую Аттестацию по геометрии, нужно уметь решать задачки. А чтобы успешно решать задачи, нужно знать базовые формулы. Например, такие: как определяется площадь треугольника или площадь параллелограмма. Также и базовые теоремы нужно знать. А остальное всё приложится. Удачи! yuliy­akoty­a [33K] 7 лет назад Для успешного прохождения ГИА по геометрии,конечно же было бы неплохо знать основные теоремы и правила.Все знать невозможно,если только вы не отличник.Попробуйте повторить все основные теоремы,учить не обязательно,после прочтения в голове обязательно отложится.Теорем не так уж и много. incol­or [18.4K] 7 лет назад Для того чтобы сдать ГИА по геометрии необходимо знать всю школьную программу геометрии . Если вы добросовестно относились к выполнению школьных и домашних заданий, то проблем не буде. Перед экзаменом повторите основной пройденный материал, на экзамене все вспомните. Геометрия не такая уже сложная наука там теорем по школьной программе совсем капля. Для того что бы сдать экзамен придется всех их выучить. Если учили в течение года проблем не будет. А вот перед экзаменами запомнить все не удастся только повторить. Удачи! дольф­аника [376K] 7 лет назад Чем больше, тем лучше. Берете и учите все теоремы по геометрии, их не так много и если что-то учили, то останется только закрепить материал. Теоремы можно заучивать с одновременным написанием их на бумаге, можно немного доказательства проштудировать. [поль­зоват­ель забло­киров­ан] [54.2K] 7 лет назад Для сдачи ГИА по геометрии надо знать наизусть все теоремы из курса геометрии, это за период с седьмого класса по девятый класс — там теорем очень много и формул, выучить их довольно таки тяжело, но возможно. Alexf­ort [11.9K] 7 лет назад Для того, чтобы чувствовать себя уверенно, желательно знать всё, что предусмотрено учебной программой по математике. Знаете ответ?

© «Формулы по геометрии» 2012
Все права защищены

Теорема Пифагора 

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

c2 = a2 + b2

Теорема Фалеса

Через произвольные точки A1,  A2,  …   An–1,  An, лежащие на стороне AO угла AOB, проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках B1,  B2,  …  Bn–1,  Bn, соответственно. Тогда справедливы равенства ОА1 / ОВ1 = А1А2 / В1В2 = А2А3 / В2В3 = … = Аn-1An / Bn-1Bn 

Теорема косинусов 

Квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними.

a2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A

Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства: a sinA = b sinB = c sinC = 2R

R — радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема Менелая 

Если на сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки C1 и A1, а точка B1 взята на продолжении стороны AC за точку C, то точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

АС1 С1В * ВА1 А1С * СВ1 В1С = 1