Теория чисел егэ 2022 - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Задачи повышенной сложности

Числовые множества

1. Натуральные числа – числа, которые мы используем для счета предметов, счёт начинается с единицы, поэтому ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается $N$.

2. Целые числа – это ноль и «плюс – минус натуральные числа». Множество целых чисел обозначается $Z$.

3. Рациональные числа – это всевозможные дроби ${m}/{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ – натуральное число, т.е. $n≠0$. Множество рациональных чисел обозначается $Q$.

Делимость

Число $а$ делится на число $с≠0$, если найдется такое число $b$, что $a=c·b$.

Если число $а$ делится на $с$, то число с называется делителем числа $а$.

Если числа $а$ и $b$ делятся на $с$, то их сумма $а + b$ тоже делится на $с$.

Признаки делимости:

Признак делимости на $2$

Число делится на $2$ тогда и только тогда, когда его последняя цифра ноль или делится на $2$, то есть является чётной.

Признак делимости на $3$

Число делится на $3$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на $4$

Число делится на $4$ тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на $4$.

Признак делимости на $5$

Число делится на $5$ тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на $5$ (то есть равна $0$ или $5$).

Признак делимости на $6$

Число делится на $6$ тогда и только тогда, когда оно делится на $2$ и на $3$.

Признак делимости на $7$

Число делится на $7$ тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на $7$ (например, $217$ делится на $7$, так как $21 — (2 · 7) = 7$ делится на $7$).

Признак делимости на $8$

Число делится на $8$ тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на $8$.

Признак делимости на $9$

Число делится на $9$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $9$.

Признак делимости на $10$

Число делится на $10$ тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на $11$

Число делится на $11$ тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на $11$ (то есть $182919$ делится на $11$, так как $1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22$ делится на $11$). Следствие факта, что все числа вида $10^n$ при делении на $11$ дают в остатке $(-1)^n$.

Признак делимости на $12$

Число делится на $12$ тогда и только тогда, когда оно делится на $3$ и на $4$.

Признак делимости на $13$

Число делится на $13$ тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно $13$ (например, $949$ делится на $13$, так как $94 + (4 · 9) = 130$ делится на $13$).

Признак делимости на $14$

Число делится на $14$ тогда и только тогда, когда оно делится на $2$ и на $7$.

Признак делимости на $15$

Число делится на $15$ тогда и только тогда, когда оно делится на $3$ и на $5.$

Признак делимости на $17$

Число делится на $17$ тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно $17.$

Признак делимости на $19$

Число делится на $19$ тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно $19$ (например, $646$ делится на $19$, так как $64 + (6 · 2) = 76$ делится на $19$).

Четность и нечетность чисел

Число называется четным, если оно делится нацело на $2$. Если $а$ четное число, то его вид можно записать $a=2n$.
Число называется нечетным, если оно не делится нацело на $2$. Если $а$ нечетное число, то его вид можно записать $a=2n+1$.
Сумма любого количества четных слагаемых четна.
Сумма четного количества нечетных слагаемых – четное число.
Сумма нечетного количества нечетных слагаемых – нечетное число.
Если в произведении все множители нечетные числа, то произведение – нечетное число.
Если в произведении попадется хотя бы одно четное число, то в результате умножения получится четное число.

Простые и взаимно простые числа

Простые числа – это целые числа, большие единицы, которые имеют только два положительных делителя, а именно самих себя и $1$.

Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих делителей, кроме единицы. Например, числа $15$ и $4$ взаимно просты, так как их общий делитель равен $1$.

Свойства взаимно простых чисел.

Пусть $а$ и $b$ – взаимно простые числа, тогда для них справедливы следующие высказывания.

Если некоторое число делится на $а$ и $b$, то оно делится и на их произведение $аb$.
Если произведение $ас$ делится на $b$, то с делится на $b$.
Если целые числа $а$ и $b$ взаимно просты, то их сумма $(а + b)$ и произведение $(а·b)$ так же являются взаимно простыми числами.
Если целые числа $а$ и $b$ взаимно просты, то НОД (наименьший общий делитель) из суммы $(а + b)$ или разности ($а — b$) равен $1$ или $2$.
Любые два последовательных натуральных числа взаимно просты.
Если целые числа $а$ и $b$ взаимно просты, то НОД $(а + b$ или $a^2-ab+b^2)$ равен $1$ или $3$.

Числовые свойства степеней

Точный квадрат целого числа не может оканчиваться цифрами $2, 3, 7, 8,$ а также нечётным количеством нулей.
Квадрат натурального числа либо делится на $4$, либо при делении на $8$ даёт остаток $1$.
Квадрат натурального числа либо делится на $9$, либо при делении на $3$ даёт остаток $1$.
Разность квадратов двух целых чисел одинаковой четности делится на $4$.
При делении на $3$ куб целого числа и само число дают одинаковые остатки $(0,1,2)$.
При делении на $9$ куб целого числа дает в остатке $0,1$ или $8$.
При делении на $4$ куб целого числа дает в остатке $0,1$ или $3$.
Число $m^5$ оканчивается на ту же цифру, что и число $m$.

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое нескольких величин — это отношение суммы величин к их количеству.

Чтобы вычислить среднее арифметическое нескольких чисел, нужно взять сумму этих чисел и разделить все на количество слагаемых. Частное и будет средним арифметическим этих чисел.

Среднее геометрическое чисел

Чтобы найти среднее геометрическое чисел надо:

Перемножить все числа
Из полученного выражения в п.1 надо извлечь корень, степени, равной количеству элементов ряда.

Пример:

Найдите среднее геометрическое чисел $3,9,8$

Решение:

1. Найдем произведение чисел $3·9·8=216$

2. Извлечем корень третьей степени из полученного произведения

$√^3{216}=6$ – полученный результат и есть среднее геометрическое.

Ответ: $6$

Факториал

Факториал числа — это произведение натуральных чисел от $1$ до самого числа (включая данное число). Обозначается знаком (!).

$n!=1·2·3·….·n$

Факториал нуля равен единице $0!=1$

Пример:

Вычислите $7!$

Решение:

7!=1·2·3·4·5·6·7=5040

Ответ: 5040

Последовательности

Последовательность чисел – это набор чисел, в котором каждому числу можно присвоить некоторый номер, причем каждому номеру соответствует единственное число данного набора. Номер числа – это всегда натуральное число, нумерация номеров начинается с единицы. Число с номером $n$ (то есть $n$ — ый член последовательности) обычно обозначается $a_n$.

Большинство последовательностей можно задать аналитическим способом.

Последовательность задана аналитически, если указана формула ее $n$ – го члена. Например, $a_n=4n+3$. В данной формуле указав конкретное число $n$, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если номер $n=5$, то подставим $5$ в формулу последовательности, получим числовое выражение, вычислив которое получим член последовательности с соответствующим номером. $a_5=4·5+3=23$

Прогрессии

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

$а_1$ — первый член арифметической прогрессии

$d$ — разность между последующим и предыдущим членом прогрессии

$d=a_(n+1)-a_n$

$a_n$ — член арифметической прогрессии, стоящий на $n$-ом месте

$n$ — номер места для членов арифметической прогрессии

$S_n$ — сумма первых n членов арифметической прогрессии

Формула, для нахождения n-ого члена прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n={(a_1+a_n)·n}/{2}$

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

$b_1$ — первый член геометрической прогрессии

$q$ — знаменатель геометрической прогрессии, показывает во сколько раз последующее число больше предыдущего.

$q={b_{n+1}}/{b_n}$

$b_n$ — $n$-ый член геометрической прогрессии

$S_n$ — сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии

Формула, для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

$b_n=b_1·q^{n-1}$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n={b_1·(q^n-1)}/{q-1},q≠1$

Источник

9 марта 2018

В закладки

Обсудить

Жалоба

Теория чисел

Задача 19 профильного ЕГЭ.

В данном материале приведено подробное описание тем, которые используются при решении задачи 19 ЕГЭ. Сюда входят и теория чисел, и прогрессии (арифметическая и геометрическая), и деление с остатков, и признаки делимости чисел. По каждой из этих тем приведены методы решения и разбор примеров.

Автор: Колесник Марина Анатольевна.

19pro.docx

Источник

ЕГЭ №18 (19). Теория чисел. Рекуррентная задача – самая сложная задача мартовского статграда 2021

ЕГЭ 18 (19) – это задачи на теорию чисел, на свойства чисел, на последовательности. Что такое рекуррентная последовательность?

Сейчас узнаете…

Последовательности чисел нам хорошо известны ещё с 8 – 9 класса. Например, прогрессии – арифметическая и геометрическая.

На ЕГЭ довольно часто попадаются задачи на последовательности – как на стандартные прогрессии, так и на необычные – у каждой из которых какая-то своя формула. И формулы у таких последовательностей обычно рекуррентные – то есть такие, когда каждое следующее число вычисляется через значения каких-то предыдущих.

Например, самая известная не-прогрессия – это последовательность Фибоначчи: каждое число равно сумме двух предыдущих.

Такие последовательности – это не просто очередные бессмысленные упражнения математиков (которым, как известно, делать нечего, вот и грузят всех своими задачками). Последовательности очень часто встречаются нам в жизни, и с их помощью очень удобно описывать некоторые процессы.

Например, говорят, что Фибоначчи свою последовательность придумал, наблюдая за размножением кроликов: первые 2 месяца жизни кролик просто растёт, а потом начинает каждый месяц рожать нового кролика (в среднем).

Сколько будет кроликов через полгода? Через год? В задаче 18 (19 из последнего статграда нам попалась как раз такая последовательность.

Смотрите видео, и вы научитесь исследовать такие последовательности, а также узнаете, как правильно решается эта задача.

Источник

Доступность

Смотреть видеоурок ЕГЭ по математике профильного уровня можно в любое время и в любом месте.

Достаточно иметь какое-либо устройство с выходом в Интернет:

Персональный компьютер
Ноутбук
Планшет
Смартфон

Удобство

Видеоуроки для подготовки к ЕГЭ по математике позволяют максимально рационально использовать свободное от учебы время. Вам не придется тратить драгоценные минуты на поездки к репетитору или в какие-либо обучающие центры. Видеоуроки ЕГЭ по математике, посмотреть которые вы можете на образовательном портале «Школково», содержат весь необходимый материал для эффективной подготовки к экзамену. Кроме того, наш ресурс позволяет каждому ученику выстроить коммуникацию со своим преподавателем.

Информативность

Каждый школьник может выбрать именно тот видеоурок ЕГЭ по математике, тема которого соответствует изучаемому или повторяемому им материалу. Таким образом, выпускник может быстрее и легче усвоить новую информацию или восполнить пробелы в знаниях.

При подготовке к экзамену нужно делать упор не на его сдачу как самоцель, а на повышение уровня знаний учащегося. Для этого необходимо изучать теорию, отрабатывать навыки, решая разнообразные варианты профильного ЕГЭ по математике нестандартными способами с развернутыми ответами, следить за динамикой обучения.

А поможет вам во всем этом образовательный проект «Школково».

Источник

Вот она! Загадочная. Нестандартная. Задача 18 Профильного ЕГЭ по математике.

Эта задача оценивается в целых 4 первичных балла, и они пересчитываются в 9-10 тестовых.

Можно ничего не знать. И удачно подобрать пример. И получить 1 балл за пункт (а). Во всяком случае, попробовать это сделать.

А можно потратить 2 часа на перебор вариантов… и так ничего и не найти. Если не знаешь секретов решения этой задачи. ОК, некоторые из секретов мы расскажем.

Действительно, пункт (а) в задаче 18 почти всегда решается сразу. Пункт (б) тоже решается быстро, но только если повезет. Пункт (в) без специальной подготовки решить невозможно.

Необходимая теория для решения задач на числа и их свойства — это всего две страницы. Делимость чисел, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, основная теорема арифметики, признаки делимости на 3, на 4, на 5, на 8, 9, 10 и 11. Ничего сложного.

Повторите также темы: Арифметическая прогрессия и Геометрическая прогрессия.

Начинать лучше всего с подготовительных задач.

Затем стоит освоить метод «Оценка плюс пример». Для того чтобы применить этот метод, от строгих оценок, которые даны в условии (со знаками > или < ), переходим к нестрогим (со знаками ≥ или ≤ ).

Узнать о секретах решения задания 18 Профильного ЕГЭ по математике.

Узнать больше о решении уравнений в целых числах. В школьных учебниках этого нет.

Один из необходимых навыков для решения пункта (в) – работа с неравенствами. В школьных учебниках этого тоже нет.

Многие считают, что если в этой задаче в пункте (а) ответ «да», то во втором обязательно должно быть «нет». Авторитетно заявляем: нет, необязательно! Может быть любое сочетание из «да» и «нет». И может быть «да» в обоих пунктах, и «нет» в обоих.

Если вопрос в этой задаче (неважно, в каком пункте) формулируется как «Может ли быть…» — и дальше некоторое утверждение, и ваш ответ: «Да», — то одного вашего «Да» недостаточно. Нужен пример. И если вы его подберете, вы не обязаны объяснять, как нашли его.

Если ответ на этот вопрос: «Нет», то вам нужно это доказать. «Нет, потому что…» — и приводите свое доказательство.

В общем, проще показать это на примерах:

1. За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.

а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта?

б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 — при получении двух звёзд и 2000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

а) Заметим, что заряд аккумулятора при прохождении уровня уменьшается на 3, 6 или 9 пунктов, и все эти числа делится на 3. Поскольку 32 не делится на 3, заряд не мог уменьшиться на 32 пункта.

б) Да, на 33 пункта заряд мог уменьшиться.

Пусть на х уровнях получено по 3 звезды, на у уровнях — по 2 звезды и на z уровнях — по 1 звезде.

Тогда:

, то есть .

Сложив уравнения и , получим, что x+y+z=7 (пройдено 7 уровней).

Системе удовлетворяют При этом заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта.

в) Поскольку и x+y+z=7 , получаем, что y+2z=4 . Возможны варианты:

z=0 , тогда, получено 47 тысяч очков.

z=1 , тогда , получено 48 тысяч очков.

z=2 , тогда , получено 49 тысяч очков – это максимально возможное количество.

Это была простая задача №18. А вот сложная.

2. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в два раза?

б) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе № 2 равняться 1?

в) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Пусть в первой школе писали тест учеников, а во второй учеников, причем
m=51-n , .

Пусть учащиеся первой школы набрали в сумме $S_{1}$ балл, а учащиеся второй $S_{2}$ баллов.

Тогда средние баллы равны $frac{S_{1}}{n}$ и $frac{S_{2}}{m}$ .

Пусть из первой школы во вторую перешел ученик, набравший за тест баллов.

а) Предположим, что средний балл в школе № 1 вырос в два раза. Тогда $frac{2S_1}{n}= frac{S_1 - k}{n-1}$ .

Отсюда: $S_{1}left ( n-2 right )=-kn$ .

Поскольку положительно, получаем, что – противоречие с условием.

Ответ в пункте (а): нет.

б) Во втором пункте ответ тоже «нет». Предположим, что $frac{S_{2}}{m}=1$ . Получим:

$frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n};$

$frac{S_{2}+k}{m+1}=1,1cdot frac{S_{2}}{m}$ .
Поскольку m=51-n ,

$frac{S_{2}+k}{52-n}=1,1cdot frac{S_{2}}{51-n}$ .

Если $frac{S_{2}}{m}=1$ ,то $frac{S_{2}}{51-n}$ .

Тогда:

$frac{51-n+k}{52-n}=1,1$ . Отсюда:

. Очевидно, kleq 6 и .

Что будет, если k=6 ? Тогда .

Подставив эти и в уравнение

$frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n}$ , получим: $frac{S_{1}-6}{2-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{2}$ , $S_{1}=frac{40}{3}$ , противоречие с условием, поскольку $S_{1}$ – целое. Значит,

С другой стороны, из условия $frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n}$ получаем, что
$10kn=S_{1}left ( 11-n right )$ , значит, .

Но если , то и kgeq 6 – получили противоречие.

в) По условию, и в первой, и во второй школах первоначально средний балл был целым числом. Он не может быть равен единице (из пункта (б)). Проверим, может ли он быть равен 2, 3, 4…

Пусть первоначально средний балл равен 2. Тогда

$frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n};$

$frac{S_{2}+k}{52-n}=frac{1,1cdot S_{2}}{51-n};$

$frac{S_{2}}{m}=2$ . Условие по-прежнему должно выполняться.

Преобразуя эти уравнения, получим:

$S_{2}=2left ( 51-n right )=102-2n;$

$frac{102-2n+k}{52-n}=1,1cdot 2;$

Значит, $kgeq frac{52}{5}$ и kleq 12 . Подходит k = 11 и k = 12 .

При таких значениях уравнение n=62-5k имеет решения n = 7 или n = 2 .

Подставим поочередно пары и в уравнение

$frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n}$ , получим, что целых решений $S_{1}$ это уравнение не имеет.

Пусть первоначально средний балл равен 3. Тогда

$frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1cdot frac{S_{1}}{n};$

$frac{S_{2}+k}{52-n}=frac{1,1cdot S_{2}}{51-n};$

$frac{S_{2}}{m}=3$ ,

$frac{153-3n+k}{52-n}=1,1cdot 3;$

, подходит , тогда $S_{1}=40$ .

Например, в первой школе тест писали 2 учащихся и набрали 22 и 18 баллов. В школе № 2 писали тест 49 учащихся и каждый набрал по три балла, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 18 баллов.

Да, непростая это задача, восемнадцатая задача из варинта ЕГЭ. Но если к ней привыкнуть, потренироваться, то вполне можно решить и заработать необходимые на ЕГЭ баллы. Мы учим решать эту задачу на наших интенсивах в ЕГЭ-Студии, а также на Онлайн-курсе. Многим нашим выпускникам она обеспечила поступление на бюджетные отделения ведущих вузов.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 18. Числа и их свойства u0026#8212; профильный ЕГЭ по Математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Источник: ЕГЭ по математике 10.06.2013. Вторая волна. Центр. Вариант 601., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за проигрыш ─ 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а)  Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 3, d = 2?

б)  Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10.

в)  Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью  — 0,5 очка, за проигрыш  — 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а)  Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 2, d = 2?

б)  Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10?

в)  Каковы все возможные значения d, если известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 87.

Известно, что a, b, c, и d  — попарно различные положительные двузначные числа.

а)  Может ли выполняться равенство

б)  Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в)  Какое наименьшее значение может принимать дробь если и

Пусть q  — наименьшее общее кратное, а d  — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 3x = 8y − 29.

а)  Может ли быть равным 170?

б)  Может ли быть равным 2?

в)  Найдите наименьшее значение

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на теорию чисел

Задание
1

#1075

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ряд выписаны числа от (1) до (22). Можно ли между ними расставить знаки “(+)”( )и “(-)”( )так, чтобы в результате получился (0)?

Среди чисел (1, 2, 3, …, 22) всего (11) четных и (11) нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки в результате всегда получится нечетное число. А так как (0) – четное число, то так расставить знаки нельзя.

Ответ:

Нет

Задание
2

#1076

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ряд выписаны числа от (1) до (98). Можно ли между ними расставить знаки “(+)”( )и “(-)”( )так, чтобы в результате получилось (2)?

Среди чисел (1,2,3, …, 98) всего (49) четных и (49) нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки в результате всегда получится нечетное число. А так как (2) – четное число, то так расставить знаки нельзя.

Ответ:

Нет

Задание
3

#1077

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли разменять (1000) рублей купюрами по (5, 25, 125) рублей так, чтобы всего оказалось (101) купюра? (купюры в (5, 25, 125) рублей бывают)

Так как у нас купюры только нечетного номинала, и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей, поэтому не сможем разменять (1000) рублей.

Ответ:

Нет

Задание
4

#1078

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли разменять (600) рублей купюрами по (7, 49, 73) рубля так, чтобы всего оказалось (17) купюр? (купюры в (7, 49, 73) рубля бывают)

Так как у нас купюры только нечетного номинала, и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей, поэтому не сможем разменять (600) рублей.

Ответ:

Нет

Задание
5

#1079

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Сумму двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число (123456789)?

Предположим, что такое может быть. Пусть (a) и (b) – целые числа из нашей задачи, тогда ((a+b)cdot acdot b=123456789). Так как число (123456789) – нечетное, то (a), (b) – нечетные, но тогда число ((a+b)) – четное, но тогда число ((a+b)cdot acdot b) – четное, но (123456789) – нечетное, следовательно получили противоречие, а значит такого быть не могло.

Ответ:

Нет

Задание
6

#1080

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число (10011001)?

Предположим, что такое может быть. Пусть (a) и (b) – целые числа из нашей задачи, тогда ((a-b)cdot acdot b=10011001). Так как число (10011001) – нечетное, то (a), (b) – нечетные, но тогда число ((a-b)) – четное, но тогда число ((a-b)cdot acdot b) – четное, но (10011001) – нечетное, следовательно получили противоречие, а значит такого быть не могло.

Ответ:

Нет

Задание
7

#1081

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли представить (1) в виде суммы четырех дробей (dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}+dfrac{1}{c}+dfrac{1}{d}), где (a, b, c,
d) – нечетные натуральные числа?

Предположим, что можно. Тогда [dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}+dfrac{1}{c}+dfrac{1}{d}=1,] приведем в левой части все к общему знаменателю:
[dfrac{bcd+acd+abd+bcd}{abcd}=1qquadRightarrowqquad bcd+acd+abd+bcd=abcd.] Но так как (a, b, c, d) – нечетные натуральные числа, то получаем, что четное число равно нечетному – противоречие, значит так представить (1) нельзя.

Ответ:

Нет

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник