Теория чисел егэ математика профиль

Задачи повышенной сложности

Числовые множества

1. Натуральные числа – числа, которые мы используем для счета предметов, счёт начинается с единицы, поэтому ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается $N$.

2. Целые числа – это ноль и «плюс – минус натуральные числа». Множество целых чисел обозначается $Z$.

3. Рациональные числа – это всевозможные дроби ${m}/{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ – натуральное число, т.е. $n≠0$. Множество рациональных чисел обозначается $Q$.

Делимость

Число $а$ делится на число $с≠0$, если найдется такое число $b$, что $a=c·b$.

Если число $а$ делится на $с$, то число с называется делителем числа $а$.

Если числа $а$ и $b$ делятся на $с$, то их сумма $а + b$ тоже делится на $с$.

Признаки делимости:

Признак делимости на $2$

Число делится на $2$ тогда и только тогда, когда его последняя цифра ноль или делится на $2$, то есть является чётной.

Признак делимости на $3$

Число делится на $3$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на $4$

Число делится на $4$ тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на $4$.

Признак делимости на $5$

Число делится на $5$ тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на $5$ (то есть равна $0$ или $5$).

Признак делимости на $6$

Число делится на $6$ тогда и только тогда, когда оно делится на $2$ и на $3$.

Признак делимости на $7$

Число делится на $7$ тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на $7$ (например, $217$ делится на $7$, так как $21 — (2 · 7) = 7$ делится на $7$).

Признак делимости на $8$

Число делится на $8$ тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на $8$.

Признак делимости на $9$

Число делится на $9$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $9$.

Признак делимости на $10$

Число делится на $10$ тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на $11$

Число делится на $11$ тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на $11$ (то есть $182919$ делится на $11$, так как $1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22$ делится на $11$). Следствие факта, что все числа вида $10^n$ при делении на $11$ дают в остатке $(-1)^n$.

Признак делимости на $12$

Число делится на $12$ тогда и только тогда, когда оно делится на $3$ и на $4$.

Признак делимости на $13$

Число делится на $13$ тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно $13$ (например, $949$ делится на $13$, так как $94 + (4 · 9) = 130$ делится на $13$).

Признак делимости на $14$

Число делится на $14$ тогда и только тогда, когда оно делится на $2$ и на $7$.

Признак делимости на $15$

Число делится на $15$ тогда и только тогда, когда оно делится на $3$ и на $5.$

Признак делимости на $17$

Число делится на $17$ тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно $17.$

Признак делимости на $19$

Число делится на $19$ тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно $19$ (например, $646$ делится на $19$, так как $64 + (6 · 2) = 76$ делится на $19$).

Четность и нечетность чисел

1. Число называется четным, если оно делится нацело на $2$. Если $а$ четное число, то его вид можно записать $a=2n$.
2. Число называется нечетным, если оно не делится нацело на $2$. Если $а$ нечетное число, то его вид можно записать $a=2n+1$.
3. Сумма любого количества четных слагаемых четна.
4. Сумма четного количества нечетных слагаемых – четное число.
5. Сумма нечетного количества нечетных слагаемых – нечетное число.
6. Если в произведении все множители нечетные числа, то произведение – нечетное число.
7. Если в произведении попадется хотя бы одно четное число, то в результате умножения получится четное число.

Простые и взаимно простые числа

Простые числа – это целые числа, большие единицы, которые имеют только два положительных делителя, а именно самих себя и $1$.

Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих делителей, кроме единицы. Например, числа $15$ и $4$ взаимно просты, так как их общий делитель равен $1$.

Свойства взаимно простых чисел.

Пусть $а$ и $b$ – взаимно простые числа, тогда для них справедливы следующие высказывания.

1. Если некоторое число делится на $а$ и $b$, то оно делится и на их произведение $аb$.
2. Если произведение $ас$ делится на $b$, то с делится на $b$.
3. Если целые числа $а$ и $b$ взаимно просты, то их сумма $(а + b)$ и произведение $(а·b)$ так же являются взаимно простыми числами.
4. Если целые числа $а$ и $b$ взаимно просты, то НОД (наименьший общий делитель) из суммы $(а + b)$ или разности ($а — b$) равен $1$ или $2$.
5. Любые два последовательных натуральных числа взаимно просты.
6. Если целые числа $а$ и $b$ взаимно просты, то НОД $(а + b$ или $a^2-ab+b^2)$ равен $1$ или $3$.

Числовые свойства степеней

1. Точный квадрат целого числа не может оканчиваться цифрами $2, 3, 7, 8,$ а также нечётным количеством нулей.
2. Квадрат натурального числа либо делится на $4$, либо при делении на $8$ даёт остаток $1$.
3. Квадрат натурального числа либо делится на $9$, либо при делении на $3$ даёт остаток $1$.
4. Разность квадратов двух целых чисел одинаковой четности делится на $4$.
5. При делении на $3$ куб целого числа и само число дают одинаковые остатки $(0,1,2)$.
6. При делении на $9$ куб целого числа дает в остатке $0,1$ или $8$.
7. При делении на $4$ куб целого числа дает в остатке $0,1$ или $3$.
8. Число $m^5$ оканчивается на ту же цифру, что и число $m$.

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое нескольких величин — это отношение суммы величин к их количеству.

Чтобы вычислить среднее арифметическое нескольких чисел, нужно взять сумму этих чисел и разделить все на количество слагаемых. Частное и будет средним арифметическим этих чисел.

Среднее геометрическое чисел

Чтобы найти среднее геометрическое чисел надо:

1. Перемножить все числа
2. Из полученного выражения в п.1 надо извлечь корень, степени, равной количеству элементов ряда.

Факториал

Факториал числа — это произведение натуральных чисел от $1$ до самого числа (включая данное число). Обозначается знаком (!).

$n!=1·2·3·….·n$

Факториал нуля равен единице $0!=1$

Последовательности

Последовательность чисел – это набор чисел, в котором каждому числу можно присвоить некоторый номер, причем каждому номеру соответствует единственное число данного набора. Номер числа – это всегда натуральное число, нумерация номеров начинается с единицы. Число с номером $n$ (то есть $n$ — ый член последовательности) обычно обозначается $a_n$.

Большинство последовательностей можно задать аналитическим способом.

Последовательность задана аналитически, если указана формула ее $n$ – го члена. Например, $a_n=4n+3$. В данной формуле указав конкретное число $n$, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если номер $n=5$, то подставим $5$ в формулу последовательности, получим числовое выражение, вычислив которое получим член последовательности с соответствующим номером. $a_5=4·5+3=23$

Прогрессии

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

$а_1$ — первый член арифметической прогрессии

$d$ — разность между последующим и предыдущим членом прогрессии

$d=a_(n+1)-a_n$

$a_n$ — член арифметической прогрессии, стоящий на $n$-ом месте

$n$ — номер места для членов арифметической прогрессии

$S_n$ — сумма первых n членов арифметической прогрессии

Формула, для нахождения n-ого члена прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n={(a_1+a_n)·n}/{2}$

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

$b_1$ — первый член геометрической прогрессии

$q$ — знаменатель геометрической прогрессии, показывает во сколько раз последующее число больше предыдущего.

$q={b_{n+1}}/{b_n}$

$b_n$ — $n$-ый член геометрической прогрессии

$S_n$ — сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии

Формула, для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

$b_n=b_1·q^{n-1}$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n={b_1·(q^n-1)}/{q-1},q≠1$

Вот она! Загадочная. Нестандартная. Задача 18 Профильного ЕГЭ по математике.

Эта задача оценивается в целых 4 первичных балла, и они пересчитываются в 9-10 тестовых.

Можно ничего не знать. И удачно подобрать пример. И получить 1 балл за пункт (а). Во всяком случае, попробовать это сделать.

А можно потратить 2 часа на перебор вариантов… и так ничего и не найти. Если не знаешь секретов решения этой задачи. ОК, некоторые из секретов мы расскажем.

Действительно, пункт (а) в задаче 18 почти всегда решается сразу. Пункт (б) тоже решается быстро, но только если повезет. Пункт (в) без специальной подготовки решить невозможно.

Необходимая теория для решения задач на числа и их свойства — это всего две страницы. Делимость чисел, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, основная теорема арифметики, признаки делимости на 3, на 4, на 5, на 8, 9, 10 и 11. Ничего сложного.

Повторите также темы: Арифметическая прогрессия и Геометрическая прогрессия.

Начинать лучше всего с подготовительных задач.

Затем стоит освоить метод «Оценка плюс пример». Для того чтобы применить этот метод, от строгих оценок, которые даны в условии (со знаками > или < ), переходим к нестрогим (со знаками ≥ или ≤ ).

Узнать о секретах решения задания 18 Профильного ЕГЭ по математике.

Узнать больше о решении уравнений в целых числах. В школьных учебниках этого нет.

Один из необходимых навыков для решения пункта (в) – работа с неравенствами. В школьных учебниках этого тоже нет.

Многие считают, что если в этой задаче в пункте (а) ответ «да», то во втором обязательно должно быть «нет». Авторитетно заявляем: нет, необязательно! Может быть любое сочетание из «да» и «нет». И может быть «да» в обоих пунктах, и «нет» в обоих.

Если вопрос в этой задаче (неважно, в каком пункте) формулируется как «Может ли быть…» — и дальше некоторое утверждение, и ваш ответ: «Да», — то одного вашего «Да» недостаточно. Нужен пример. И если вы его подберете, вы не обязаны объяснять, как нашли его.

Если ответ на этот вопрос: «Нет», то вам нужно это доказать. «Нет, потому что…» — и приводите свое доказательство.

В общем, проще показать это на примерах:

1. За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.

а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта?

б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 — при получении двух звёзд и 2000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

а) Заметим, что заряд аккумулятора при прохождении уровня уменьшается на 3, 6 или 9 пунктов, и все эти числа делится на 3. Поскольку 32 не делится на 3, заряд не мог уменьшиться на 32 пункта.

б) Да, на 33 пункта заряд мог уменьшиться.

Пусть на х уровнях получено по 3 звезды, на у уровнях — по 2 звезды и на z уровнях — по 1 звезде.

Тогда:

, то есть .

Сложив уравнения и , получим, что (пройдено 7 уровней).

Системе удовлетворяют При этом заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта.

в) Поскольку и , получаем, что . Возможны варианты:

, тогда, получено 47 тысяч очков.

, тогда , получено 48 тысяч очков.

, тогда , получено 49 тысяч очков – это максимально возможное количество.

Это была простая задача №18. А вот сложная.

2. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в два раза?

б) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе № 2 равняться 1?

в) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Пусть в первой школе писали тест учеников, а во второй учеников, причем
, .

Пусть учащиеся первой школы набрали в сумме балл, а учащиеся второй баллов.

Тогда средние баллы равны и .

Пусть из первой школы во вторую перешел ученик, набравший за тест баллов.

а) Предположим, что средний балл в школе № 1 вырос в два раза. Тогда .

Отсюда: .

Поскольку положительно, получаем, что  – противоречие с условием.

Ответ в пункте (а): нет.

б) Во втором пункте ответ тоже «нет». Предположим, что . Получим:

.
Поскольку ,

.

Если ,то .

Тогда:

. Отсюда:

. Очевидно, и .

Что будет, если ? Тогда .

Подставив эти и в уравнение

, получим: , , противоречие с условием, поскольку – целое. Значит, 

С другой стороны, из условия получаем, что
, значит, .

Но если , то и – получили противоречие.

в) По условию, и в первой, и во второй школах первоначально средний балл был целым числом. Он не может быть равен единице (из пункта (б)). Проверим, может ли он быть равен 2, 3, 4…

Пусть первоначально средний балл равен 2. Тогда

. Условие по-прежнему должно выполняться.

Преобразуя эти уравнения, получим:

.

Значит, и . Подходит и .

При таких значениях уравнение имеет решения или .

Подставим поочередно пары и в уравнение

, получим, что целых решений это уравнение не имеет.

Пусть первоначально средний балл равен 3. Тогда

,

, подходит , тогда .

Например, в первой школе тест писали 2 учащихся и набрали 22 и 18 баллов. В школе № 2 писали тест 49 учащихся и каждый набрал по три балла, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 18 баллов.

Да, непростая это задача, восемнадцатая задача из варинта ЕГЭ. Но если к ней привыкнуть, потренироваться, то вполне можно решить и заработать необходимые на ЕГЭ баллы. Мы учим решать эту задачу на наших интенсивах в ЕГЭ-Студии, а также на Онлайн-курсе. Многим нашим выпускникам она обеспечила поступление на бюджетные отделения ведущих вузов.

ЕГЭ №18 (19). Теория чисел. Рекуррентная задача – самая сложная задача мартовского статграда 2021

ЕГЭ 18 (19) – это задачи на теорию чисел, на свойства чисел, на последовательности. Что такое рекуррентная последовательность?

Сейчас узнаете…

Последовательности чисел нам хорошо известны ещё с 8 – 9 класса. Например, прогрессии – арифметическая и геометрическая.

На ЕГЭ довольно часто попадаются задачи на последовательности – как на стандартные прогрессии, так и на необычные – у каждой из которых какая-то своя формула. И формулы у таких последовательностей обычно рекуррентные – то есть такие, когда каждое следующее число вычисляется через значения каких-то предыдущих.

Например, самая известная не-прогрессия – это последовательность Фибоначчи: каждое число равно сумме двух предыдущих.

Такие последовательности – это не просто очередные бессмысленные упражнения математиков (которым, как известно, делать нечего, вот и грузят всех своими задачками). Последовательности очень часто встречаются нам в жизни, и с их помощью очень удобно описывать некоторые процессы.

Например, говорят, что Фибоначчи свою последовательность придумал, наблюдая за размножением кроликов: первые 2 месяца жизни кролик просто растёт, а потом начинает каждый месяц рожать нового кролика (в среднем).

Сколько будет кроликов через полгода? Через год? В задаче 18 (19 из последнего статграда нам попалась как раз такая последовательность.

Смотрите видео, и вы научитесь исследовать такие последовательности, а также узнаете, как правильно решается эта задача.

9 марта 2018

В закладки

Обсудить

Жалоба

Теория чисел

Задача 19 профильного ЕГЭ.

В данном материале приведено подробное описание тем, которые используются при решении задачи 19 ЕГЭ. Сюда входят и теория чисел, и прогрессии (арифметическая и геометрическая), и деление с остатков, и признаки делимости чисел. По каждой из этих тем приведены методы решения и разбор примеров.

Автор: Колесник Марина Анатольевна.

19pro.docx

1. Цифры и числа – это не синонимы. Цифры – это символы, которыми записывают числа. Числа состоят из цифр, как слова состоят из букв. Пример: число (1806) состоит из цифр (1), (8), (0) и (6).

2. Однозначные числа – числа, состоящие из одной цифры, например (7). Двухзначные числа – состоящие из двух цифр, например (29). Трехзначные – из трёх, например (341). И так далее.

3. Простое число – число, имеющее только два делителя, – единицу и само себя (при этом число (1) простым не считается). Пример: (13) или (277).

4. Составное число – число, имеющее больше двух делителей. Например, (12) или (735).

5. Натуральное число – целое положительное число. Пример: (5), (34), (6908)…
   (0) – не натуральное, (-7) – тоже.

6. Четное число – целое число делящиеся на (2). Нечетное число – целое число не делящиеся на (2). Пример: (12), (1000), (106) – четные; (3), (99), (9000001) – нечетные.

7. Если написано «попарно различные числа», это означает, что все числа в наборе разные. То есть, любые (2) числа не равны друг другу. (Для меня загадка, почему в задачах не пишут просто «все числа разные»).

8. Если цифры числа неизвестны, их можно записать буквами и провести сверху черточку. Пример: (overline{abc}) – число, состоящие из цифр (a), (b), (c).

9. Любое двухзначное число можно представить как: (overline{ab}=10a+b).
                                                                          Трехзначное: (overline{abc}=100a+10b+c).
                                                                  Четырехзначное: (overline{abcd}=1000a+100b+10c+d).
                                                                            (n) – значное: (underbrace{overline{abcd…z}}_{n ;цифр} =10^{n-1}a+10^{n-2} b+…+z).

10. Признаки делимости

    • На (2): последняя цифра числа делится на (2) (в том числе (0))

    • На (3): сумма цифр числа делится на (3). Например, число (4635) делится на (3), т.к. (4+6+3+5=18) (а (18) делится на (3))

    • На (4): две последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на (4)

    • На (5): последняя цифра (0) или (5)

    • На (6): одновременно соблюдаются признаки делимости на (2) и (3)

    • На (7): признаков делимости, увы, нет

    • На (8): три последние цифры нули или образуют число, делящееся на (8)

    • На (9): сумма цифр числа делится на (9)

    • На (10): последняя цифра числа — ноль

    

    • На (11): разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на (11).
      Например, число (281765) делится на (11), т.к. сумма цифр нечетных мест (2+1+6=9), сумма цифр на четных (8+7+5=20), т.е. разность между ними (11), а (11) делится на (11)

    

    Если разность равна нулю – число тоже будет делиться на (11). Пример: число (5247).

    • На (25): две последнее цифры (00), (25), (50) или (75)

    • На (100): две последнее цифры (00)

    • На (125): три последнее цифры (000) или образуют число, делящееся на (125).

11. Делимость чисел:

• Число (b) делится на число (a), если найдётся такое целое число (q), что (b=a cdot q).
  Обозначается (b ,vdots , a). Например, (6) делится на (2), т.к. (6=2cdot 3).
  Также в этом случае число (b) называют кратным числу (a).

• Делитель – число, на которое делится другое число без остатка. Например: (a) – в предыдущем пункте делитель числа (b); (4) — делитель числа (8), (13) — делитель числа (39), (100) — делитель числа (10000).

• Общим делителем чисел называют такое число, которое является делителем для каждого из них. Например, общим делителем чисел (12) и (30) будет число (4).

• Два числа называются взаимно простыми, если их общим делителем является только (1). Например: (12) и (5);   (25) и (14);   (3) и (11).
  Замечание: два любых простых числа автоматически являются взаимно простыми.

• Если число делится на каждое из двух взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.
  Например, (5) и (3) – взаимно простые числа. Число (6825) делится и на (5) (последняя цифра числа пятерка), и на (3) (сумма цифр (6+8+2+5=21) — делится на (3)). Значит, (6825) делится на (15) (произведение (5) и (3)).

• Если одно из двух чисел делится на некоторое число, то и их произведение делится на это число. Например, (9m, vdots , 3), так как (9) делится на (3) (здесь и далее (m), (k) и (n) – любые целые числа).

• Если два числа делятся на некоторое число, то и их сумма, и их разность делятся на это число. Например, ((3k+9m), vdots , 3), так как (3k) – делится на (3) и (9m) – делится на (3). Еще пример: ((99-88+77), vdots , 11).

• Если одно из чисел делится на некоторое число, а второе нет, то их сумма и их разность не делятся на это число. Например, если (k) целое, то: ((3k+17))  (3);  ((930-174))  (10).

• Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то и первое делится на третье. Или на языке математики — если (a, vdots , b) и (b, vdots , c), то (a, vdots , c).
  Например, т.к. (1000, vdots , 100) и (100, vdots , 25), то и (1000, vdots , 25). Еще пример: если (63n, vdots , m) и (m) — четное, то (63n) — четное.

• Если произведение нескольких чисел делится на некоторое простое число, то хотя бы одно из них делится на это простое число. Например, если (5k,⋮,3), то (k,⋮,3).

12.  Основная теорема арифметики:

• Каждое натуральное число, большее единицы, либо является простым, либо может быть разложено на простые множители.

Примеры:
число (20) может быть разложено в произведение (2cdot 2cdot 5)
число (105 =21 cdot 5=7cdot 3 cdot5)
число (17) – является простым числом и разложено быть не может.

Замечание: разложение (17) как (17cdot 1) – не подходит, т.к. единица не считается простым числом.

• Любые два разложения одного и того же числа могут отличаться только порядком множителей.
  Например, разложение числа (6) мы можем записать либо как (2cdot 3), либо как (3cdot 2) и более никак.
  Замечание: вот именно поэтому (1) не считается простым числом, ведь иначе любое число имело бы бесконечно много разложений: (2cdot 3cdot 1);   (2cdot 1cdot 3cdot 1);   (2cdot 1cdot 3cdot 1cdot 1cdot 1)….

13. Арифметическая и геометрическая прогрессия

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

(ЗАДАНИЕ 19 ИЗ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ, ПРОФИЛЬНЫЙ
УРОВЕНЬ)

Аннотация

Статья посвящена проблеме подготовки учащихся к решению задач по теории
чисел, которые входят в комплект заданий профильного уровня ЕГЭ по математике в
качестве задания под номером 19. Указанные задачи вызывают затруднение даже у
хорошо подготовленных участников, некоторые школьники даже не предпринимают
попыток решения этого задания. В статье перечислены необходимые методы и приемы
решения, а также даны рекомендации по подготовке учащихся к решению задания 19
ЕГЭ.

Ключевые
слова: математика, ЕГЭ, теория чисел.

Важной частью обучения математике сегодня является подготовка к Единому
государственному экзамену (ЕГЭ), особенно в старших классах. Желающие
продолжить обучение по техническим или математическим специальностям выбирают
профильный уровень ЕГЭ по математике, который отличается от базового более
высокой сложностью и разнообразием заданием.

Проведенный анализ результатов ЕГЭ по математике показывает, что у
обучающихся среди заданий по алгебре наибольшую сложность вызывают задачи 18 и
19, требующие развернутого ответа, т.е. уравнения и неравенства с параметром и
задача на исследование простейших математических моделей.

Мы считаем, что эти задачи необходимо рассматривать дополнительно,
обращая внимания на особенности решения. В частности, на некоторых сайтах
указывают, что задача 19 является олимпиадной [10; 11], а иногда даются
рекомендации не тратить время на ее решение [4]. Однако это задание включает в
себя элементы теории чисел и не выходит за пределы школьной программы [8, с.
161]. Как нам кажется, при определенных условиях можно повысить эффективность
подготовки учащихся с целью успешного решения последней задачи профильного
уровня ЕГЭ.

Элементы теории чисел представляют значимость именно для
математического образования, так как позволяют сформировать понятие числа как
основы числовых систем. Кроме того, изучение теории чисел положительно
воздействует на развитие логического мышления, формируют математическую
культуру учащихся, учит их работать с абстрактными понятиями [1, с. 99].

По мнению, И.Л. Мирошниченко и Е.Н. Селезневой необходимо регулярно
разбирать с учащимися задачи на теорию чисел, начиная с 5-6 класса. При этом
содержание задач должно соответствовать изучаемым темам. Например, авторы
приводят примеры задач, которые можно использовать в процессе изучения таких
тем, как «Признаки делимости», «Среднее арифметическое», «Арифметический
квадратный корень», «Квадратный трехчлен» и т.д. [3, с. 55].

Но не всегда один учитель ведет весь курс математики у одного класса,
часто происходят замены учителя, либо школьник меняет образовательное
учреждение. К тому же такой подход требует от учителя серьезных затрат времени
на поиск или составление задачи, подходящей по своему содержанию. Также не
следует исключать вероятности изменения структуры ЕГЭ, в результате чего задача
на теорию чисел будет исключена из комплекта заданий. Поэтому целенаправленную
подготовку учащихся начинают ближе к экзамену, обычно в старших классах.

В своей статье А.Е. Семенова указывает, что для решения задачи 19 ЕГЭ участники
экзамена должны знать признаки делимости, понятие наименьшего общего кратного,
а также свойства чисел [6, с. 994].

На наш взгляд, помимо указанных понятий, следует повторить и закрепить
с учащимися алгоритм нахождения наименьшего общего кратного и наибольшего
общего делителя, порядок вычисления арифметической и геометрической прогрессии.
При повторении следует основной упор сделать на решение задач, как заданных
явно («Последовательность n натуральных чисел представляет собой
арифметическую прогрессию. Может ли их сумма быть равна 10?»), так и в виде
сюжетной задаче: («12 одинаковых монет нужно разместить вдоль стенок квадратной
коробки так, чтобы возле каждой стенки находилось равное количество монет. Каким
образом можно выполнить?»).

В пособии А.Э. Сергеева и И.В. Соколовой выделены следующие группы
типовых задач, составленных по мотивам задания 19: прогрессии, уравнения в
целых числах, обыкновенные дроби, простые числа и свойства делителей [7].

Рассмотрим, какие знания, методы и приемы будут полезны при решении
задания 19 ЕГЭ:

– алгоритм Евклида для нахождения НОД;

– свойство делимости чисел: произведение чисел делится на простое
число, если один из множителей делится на это число;

– свойство делимости чисел: если число а не делится ни на одно простое
число меньше , то оно простое;

– метод математической индукции;

– методы решения линейного диофантова уравнения: поиск частного решения
и переход к общему; выразить одно неизвестное через другое; геометрический;

– перебор вариантов,

– метод
разложения числа на множители,

– метод остатков. [2; 5; 7].

Учитывая, что задание 19 можно отнести к нестандартным задачам, т.е. не
имеющим единого алгоритма решения, то мы считаем необходимым придерживаться
принципов регулярности, систематичности и последовательности при подготовке к
ее решению. Учащиеся должны хорошо ориентироваться в методах решения, знать
основные приемы, упрощающие решение, быть знакомы с типовыми задачами. Поэтому сначала
необходимо рассмотреть простые примеры, позволяющие отработать практическое
применение названых методов и приемов.

Например, изучение метода нахождения НОД с помощью алгоритма Евклида,
может включать в себя задачи различных уровней сложности:

1. Использование алгоритма на конкретном примере, т.е. нахождение НОД
любых двух натуральных чисел (числа могут называть сами учащиеся, либо учитель
выбирает трехзначные и четырехзначные числа).

2. Использование алгоритма для буквенных (нахождение НОД 2n+17 и n+7) или
числовых выражений (нахождение НОД 2¹⁰⁰-1 и 2¹²⁰-1).

3. Решение задач из сборника по подготовке к ЕГЭ (На какое число и при
каких натуральных значениях n сократима дробь  ?).

Наиболее оптимальным вариантом подготовки учащихся, на наш взгляд,
является разработка элективного курса, направленного на знакомство учащихся с
теорией чисел. Курс может быть представлен также и в дистанционном формате,
например, на основе системы MOODLE, возможности использования которой в
обучении школьников математике описывается в работе одного из авторов данной статьи
[9]. Преимущество решения задач по теории чисел во внеурочной деятельности
состоит в том, чтобы научить решать тех школьников, которые стремятся получить
максимальный балл профильного уровня ЕГЭ.

Подводя итоги, можно сделать вывод, что сложность задания 19
профильного уровня ЕГЭ по математике вполне преодолима, если участник будет
заниматься дополнительной подготовкой, изучая элементы теории чисел.

Литература

1. Гапонова Ю.С. Роль и место элементарной теории чисел в математическом
образовании школьников // Концепция «общества знаний» в современной науке: сб.
ст. Межд. науч.-практ. конф. – Уфа: Аэтерна, 2018. – С. 98-103.

2. Иванова В.И. Линейное диофантово уравнение и 4 способы его решения
// Первое сентября. Открытый урок [Электронный ресурсы]. – Режим доступа: https://urok.1sept.ru/articles/501260.

3. Мирошниченко И.Л., Селезнева Е.Н. Элементы теории чисел в школьном
курсе математики // Вестник педагогического опыта. – 2019. – №44. – С. 51-55.

4. Ненко И. Как подготовиться к ЕГЭ по математике //
Нижний Новгород онлайн [Электронный
ресурсы]. – Режим доступа: https://www.nn.ru/news/articles/uchitelya_rasskazali_na_chem_v_ege_po_matematike_zavalivaetsya_kazhdyy_vtoroy/69093625/.

5. Свиридова А.В. Способы решений уравнений в целых числах
// Старт в науке [Электронный
ресурсы]. – Режим доступа: https://school-science.ru/4/7/828

6. Семенова А.Е.  Элементы теории чисел в школьном курсе математики //
Аллея науки. – 2019. – Т. 3. – №5. – С. 993-995.

7. Сергеев А. Э., Соколова И. В. Теория чисел в задаче №19
профильного ЕГЭ по математике: учеб. пособие. – Краснодар : КубГАУ, 2019. – 108
с.

8. Соколова И.В., Сергеев А.Э. Методические рекомендации к
решению задачи № 19 профильного
ЕГЭ по математике // Современные проблемы науки и образования. – 2018. – № 6. –
С. 161.

9. Солощенко М.Ю., Петров И.Л. Использование системы MOODLE в
обучении школьников математике // Проектирование и реализация математического образования в школе и
вузе. Сборник научных трудов. – Стерлитамак, 2015. С. 63-66.

10. Структура ЕГЭ по математике 2019-2020 // Geniusmath [Электронный ресурсы]. – Режим доступа: http://courses.geniusmath.ru/blogs/read/struktura-iege-po-matiematikie-2019-2020/.

11. Шутова О. Профильный ЕГЭ по математике: что нужно
знать к 2021 году? // MaximumBlog [Электронный ресурсы]. – Режим доступа: https://blog.maximumtest.ru/post/profilnyj-ege-po-matematike-chto-nuzhno-znat.html.

Числа и их свойства.

Задание №19 ЕГЭ по математике

Оглавление

1. Введение 2

2. Теория чисел 3

2.1. Множества чисел, иерархия множеств 3

2.2. Определение делимости 4

2.2.1. Делимость целых чисел, простые числа, НОД, свойства делимости 4

2.2.2. Чётные и нечётные числа 5

2.2.3. Основная теорема арифметики 6

2.2.4. Признаки делимости целых чисел. 6

2.3. Среднее арифметическое и среднее геометрическое 7

2.4. Прогрессии и их свойства, формулы 8

2.4.1 Арифметическая прогрессия 8

2.4.2 Геометрическая прогрессия 8

3. Методы решения задания № 19 10

3.1. Построение математической модели 10

3.2. Метод кругов Эйлера 10

3.3. Метод математической индукции 10

3.4. Принцип Дирихле 12

3.5. Перебор значений по заданным условиям 12

4. Заключение 13

Источники информации 14

Приложение 15

1. Введение

Понятие числа возникло ещё в древности из практической потребности людей, когда людям были необходимы меры счёта и измерения. Пифагорейцы считали числа «причиной и началом» вещей. Со временем понятие числа стало основным понятием математики.

Свойства чисел — одна из интереснейших тем для изучения. Задание №19 единого государственного экзамена «Числа и их свойства» — одно из самых интересных и сложных заданий второй части. Знания, необходимые для решения данной задачи, ученики получают ещё в средней школе.

Целью работы является

• Изучение алгоритмов и способов решения задания №19 ЕГЭ по профильной математике.

Объект исследования: задание №19 профильного ЕГЭ по математике

Методы исследования:

1. Изучение теоретического материала;

2. Решение задач ЕГЭ прошлых лет.

Поставлены следующие задачи:

1. Изучить теоретический материал для решения задания №19;

2. Научиться решать задание №19 ЕГЭ по математике профильного уровня, изучить основные методы решения;

3. Разобрать задания №19 из вариантов ЕГЭ прошлых лет;

4. Решить и оформить несколько заданий №19 ЕГЭ;

1. Теория чисел

2.1. Множества чисел, иерархия множеств

Число — основное понятие математики, которое используется для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Выделяют следующие множества чисел:

Натуральные числа — числа, используемые при счете (перечислении) предметов:

N = {1 ,2, 3, …}

Целые числа — включают в себя натуральные числа, числа противоположные натуральным (т.е. с отрицательным знаком) и ноль.

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Рациональные числа — числа, представляемые в виде обыкновенной дроби a / b, где a ∈ b, ∈ N, b ≠0

Q = {m / n, m ∈ Z, n ∈ N}

При переводе в десятичную дробь рациональное число представляется конечной или бесконечной периодической дробью.

Иррациональные числа — числа, которые представляются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Обозначается как I. Типичным примером является π.

Действительные (вещественные) числа — объединение рациональных и иррациональных чисел. Обозначается R = {I + Q}

Комплексные числа – множество чисел C.

C = {x + iy, где x ∈ R и y ∈ R}, где i − мнимая единица.

Рис. 1 Иерархия множеств

2.2. Определение делимости 2.2.1. Делимость целых чисел, простые числа, НОД, свойства делимости

Опр. Пусть n – целое число (n ∈ Z), m – натуральное число (m ∈ N). Говорят, что n делится нацело на m, если существует такое целое число p ∈ Z, такое, что

n = mp

m называют делителем числа n, n называют делимым, а p называют частным от деления n на m

Любое целое число n можно представить в виде n = mp + q, где m называют делителем числа n, n называют делимым, а p называют частным от деления n на m, а q – остатком от деления n на m. qm называют делителем числа n, n называют делимым, а p называют частным от деления n на m.

Число q находится на отрезке от 0 до m – 1.

Опр. Натуральное число a1 называется простым, если оно имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Простых чисел бесконечное множество.

Множество простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Опр. Наибольшее натуральное число, являющееся натуральным делителем каждого из натуральных чисел m и n, называют наибольшим общим делителем этих чисел и обозначают НОД (m, n).

Например, если m = 36 и n = 84, то НОД (36, 84) = 12.

Опр. Два числа называются взаимно простыми, если их НОД равен 1.

Например: 14 и 25, так как НОД (14, 25) = 1

Пусть a ∈ Z, b ∈ Z, m ∈ N, то справедливы следующие свойства делимости:

1.Если a и b делятся на m, то числа a — b и a + b также делятся на m.

2. Если a и b делятся на m, то при любых целых числах k и l число ak + bl также делится на m.

3. Если a делится на m, а b не делится на m, то числа a + b и a — b также не делятся на m.

4. Если a делится на m, а m делится на k ∈ N, то число a также делится на k.

5. Если a делится на m, а b не делится на m, то число ab делится на m.

6. Если a делится на каждое из чисел m и k, причем НОД (m, k) = 1, то a делится на произведение mk.

7. Если a делится на m, то ak делится на mk при любом k ∈N.

8. Если ab делится на m и b взаимно просто с m, то a делится на m.

9. В ряде из n подряд идущих целых чисел хотя бы одно делится на n нацело.

2.2.2. Чётные и нечётные числа

Опр. Целое число называется чётным, если оно делится на 2 без остатка

a – чётное число, если a = 2n, где n ∈ Z {…, -4, -2, 0, 2, 4, …}

Опр. Целое число называется нечётным, если при делении на 2 оно даёт остаток 1

a – нечётное число, если a = 2n – 1, где n ∈ Z {…, -3, -1, 1, 3, …}

2.2.3. Основная теорема арифметики

Для каждого натурального числа n 1 существует единственное разложение на простые множители. Это значит, что для любого натурального числа два разложения на простые множители могут отличаться только порядком этих множителей.

2.2.4. Признаки делимости целых чисел.

Признак делимости на 2.

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётна.

Признак делимости на 10.

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0.

Признак делимости на 5.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0 или 5.

Признак делимости на 3.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 9.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 4.

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами (в том же порядке), делится на 4.

Признак делимости на 8.

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда трёхзначное число, образованное тремя его последними цифрами (в том же порядке), делится на 8.

Признак делимости на 11.

У данного числа найдём сумму цифр, стоящих на чётных местах, и сумму цифр, стоящих на нечётных местах. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность этих сумм делится на 11 (в частности, равна нулю).

Признак делимости на 13.

Число делится на 13, если знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 13.

2.3. Среднее арифметическое и среднее геометрическое

Опр. Среднее арифметическое множества чисел — число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество.

Пусть задано множество чисел A = {a₁, a₂, a₃, …, a_n}, тогда среднее арифметическое этого множества (Q) равно Q = (a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n) / n

Среднее арифметическое множества, в котором все числа равны, является каждое число этого множества.

Опр. Средним геометрическое нескольких положительных вещественных чисел – такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось

Пусть задано множество чисел B= {b₁, b₂, b₃, …, b_n}, тогда среднее арифметическое этого множества (M) равно M =

Опр. Среднее геометрическое двух чисел называется их средним пропорциональным.

2.4. Прогрессии и их свойства, формулы

Опр. Прогрессия — последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

2.4.1 Арифметическая прогрессия

Опр. Арифметическая прогрессия — прогрессия, каждый следующий член которой равен предыдущему, увеличенному на фиксированное для прогрессии число.

Общий вид арифметической прогрессии:

a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …, a₁ + (n — 1)d

Рекуррентная формула n – го члена арифметической прогрессии:

a_n= a_n-1 + d

Формула n – го члена арифметической прогрессии:

a_n= a₁ + (n – 1)d

Заметим, что если d0, то прогрессия возрастает, если d

d = an – an-1

Сумма n первых членов арифметической прогрессии (S_n):

S_n =

S_n =

2.4.2 Геометрическая прогрессия

Опр. Геометрическая прогрессия – прогрессия, в которой каждый следующий член больше предыдущего в фиксированное количество раз.

Общий вид геометрической прогрессии: b₁, b₁q, b₁q², b₁q³, …, b₁q^n-1

Рекуррентная формула n члена геометрической прогрессии:

b_n = b_n-1q

Формула n члена геометрической прогрессии: b_n =b₁q^n-1

Если b₁ 0 и q 0, то прогрессия является возрастающей, если 0qqq = 0 – стационарной

q =

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии (S_n):

S_n =

Сумма всех членов бесконечно убывающей прогрессии: (S):

S =

1. Методы решения задания № 19

3.1. Построение математической модели

Опр. Метод построения математической модели – главная составляющая решения любой математической задачи. Суть метода заключается в переходе от бытового языка (например, русского) к языку математическому. Так, например, запись «у Пети было 12 яблок» можно представить, как «П = 12». То есть мы переходим к уравнениям, системам уравнений, решение которых приводит к решению данной задачи.

3.2. Метод кругов Эйлера

Опр. Диаграмма Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Первое их использование приписывают Леонарду Эйлеру. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Диаграммы Эйлера используются при решении задач на множества.

Рис 2. Диаграмма Эйлера

3.3. Метод математической индукции

Опр. Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — базис индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n +1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Докажем формулу суммы натуральных чисел от 1 до n, обозначим её как S(n):

• Базовый случай n = 1, сумма чисел от 1 до 1 равна 1, проверим формулу подставив в неё n = 1:

• Значит, наше утверждение верно для базового случая n.

• Докажем истинность для утверждения n +1:

• Подставим n + 1 в исходную формулу:

• Заметим, что:

• Тогда:

• Вынесем n + 1 за скобку:

• Мы доказали истинность формулы для n + 1, а значит она верна для любого натурального числа n.

3.4. Принцип Дирихле

Опр. Принцип Дирихле — утверждение, сформулированное немецким математиком Дирихле в 1834 году, устанавливающее связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий.

Формулировка принципа Дирихле также может пригодиться при решении задачи № 19 ЕГЭ по математике:

Если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика.

3.5. Перебор значений по заданным условиям

Перебор значений по заданным условиям также является методом решения задачи. Иногда задание №19 можно решить подбором, пункты «а» и «б» можно доказать, попросту приведя примеры и дав ответ «да» / «нет».

1. Заключение

Результатом работы стала собранная в одном месте теория, необходимая для решения задания №19 профильного ЕГЭ по математике. Также были решены задания ЕГЭ прошлых лет, задания с сайта РЕШУ ЕГЭ и сборника ЕГЭ по профильной математике 2020 года. Всего было решено10 задач №19 второй части профильного ЕГЭ по математике.

Поставленные задачи работы выполнены: теория для решения задания изучена, задания №19 ЕГЭ прошлых лет разобраны и оформлены в соответствии с требованиями экзамена.

Источники информации

1. «Задачи на целые числа» Корянов А.Г., Прокофьев А.А. — Р. на Д.: 2016. — 272 с.

2. «Математика абитуриенту», В. В. Ткачук 4-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2007. — 976с.

3. «Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты 2020», И. В. Ященко М.: Издательство «Национальное образование», 2020 – 256 с. – (ЕГЭ.ФИПИ – школе)

4. «Математика: Новый полный справочник школьника для подготовки к ЕГЭ», А. Г. Мордкович, В. И. Глизбург, Н. Ю. Лаврентьева – Москва: Издательство АСТ, 2018 – 351 с.

5. Борис Трушин [Электронный ресурс], URL: https://www.youtube.com/user/trushinbv

6. Википедия – свободная энциклопедия [Электронный ресурс], URL: https://ru.wikipedia.org/ (дата обращения: 19.01.2020)

7. Высшая математика [Электронный ресурс], URL: http://www.math24.ru/ (дата обращения: 19.01.2020)

8. Подготовка к олимпиадам и ЕГЭ по математике и физике [Электронный ресурс], URL: http://mathus.ru/ (дата обращения 06.01.2020)

9. Публичная страница канала «Wild Mathing» «ВКонтакте» [Электронный ресурс], URL: https://vk.com/wildmathing (дата обращения 08.01.2020)

10. Сдам ГИА: РЕШУ ЕГЭ [Электронный ресурс], URL: https://ege.sdamgia.ru/

Приложение

1. З адание №19 демоверсии ЕГЭ 2020 года

1. Задание №19 реального ЕГЭ 2017 года

1. З адание №19 реального ЕГЭ 2018 года

1. Задание №19 реального ЕГЭ 2018 года

1. Тренировочный вариант Ларина №42 с сайта РЕШУ ЕГЭ.

1. Тренировочный вариант Ларина №42 с сайта РЕШУ ЕГЭ.

1. З адание №19 из сборника И. В. Ященко 2020 год (вар. 35).

1. Задание №19 из сборника И. В. Ященко (вар. 20)

1. Задание №19 из демоверсии ЕГЭ 2018 года.

1. Задание №19 с сайта РЕШУ ЕГЭ № 514744