Теория групп мфти экзамен

Теория групп

И. И. Богданов

Конспект подготовил Александр Васильев

ФИВТ МФТИ

2016

2 ФИВТ МФТИ

• 1 Группы и подгруппы Оглавление
  • 1 Основные понятия
  • 1 Примеры групп
  • 1 Смежные классы
  • 1 Нормальные подгруппы
  • 1 Сопряжение
  • 1 Гомоморфизмы групп
  • 1 Действие группы на множество
• 2 Свойства групп
  • 2 p-группы
  • 2 Лемма Бернсайда
  • 2 Прямое произведение групп
  • 2 Коммутант
  • 2 Разрешимые группы
  • 2 Простые группы
  • 2 Теоремы Силова
• 3 Задание групп
  • 3 Свободные группы
  • 3 Соотношения
• 4 Конечно порождённые абелевы группы
  • 4 Конечно порождённые абелевы группы без кручения
  • 4 Строение конечно порождённых абелевых групп
• 5 Кольца и поля
  • 5 Базовые понятия теории колец
  • 5 Поле разложения многочлена

4 ФИВТ МФТИ

1 Примеры групп

1.(Z,+),(Zn,+) единственные (с точностью до изоморфизма) циклические
группы. Подгруппа циклической группы также циклическая.
2.(F,+),(F∗,⋅), гдеF поле.
3.(V,+), гдеV линейное пространство.
4 группа перестановокnэлементов (т. е. биекций{ 1 ,…,n}→{ 1 ,…,n})
относительно композиции. Перестановку можно записать в виде таблицы,
или же в виде произведение независимых циклов (циклπ=(a 1 … ak) это
перестановка такая, чтоπ(ai)=ai+ 1 дляi= 1 ,…,k− 1 иπ(ak)=a 1 , осталь-
ные элементы неподвижны). Кроме того,Snпорождается множеством всех
транспозиций. Знак перестановкиσ∈Snесть(− 1 )σ=sgnσ=(− 1 )N(σ), где
N(σ) число инверсий вσ(совпадает по чётности с количеством транс-
позиций в любом разложенииσ).
5(F) группа невырожденных матриц надF относительно умноже-
ния.
6(V), гдеV линейное пространство надF, обратимые преобразова-
нияV относительно композиции.GL(V)≅GLdimV(F).
7. Подгруппы этих групп, в частности:
— An<Sn подгруппа всех чётных перестановок.
— SLn(F)<GLn(F) подгруппа всех матриц с единичным определите-
лем.
— On<GLn(R) подгруппа всех ортогональных матриц.
— Cn<C∗:Cn={z∈CSzn= 1 },Cn≅Zn.

1 Смежные классы

Определение 1. ПустьH<G,g∈G.Левый смежный классэлементаg
поH этоgH,правыйHg, гдеAB={abSa∈A,b∈B}дляA,B⊂G(вме-
сто одного элемента подразумевается множество из этого элемента). G~H
множество всех левых смежных классов поH,HƒG правых.

Замечание.Для любыхa,b∈G aH∩bH≠∅⇔b− 1 a∈H⇔aH=bH⇔b∈aH.
Значит, левые (правые) смежные классы разбиениеG.
Утверждение 1.ПустьH<G. ТогдаGHравномощноHƒG.
Доказательство.Построим биекциюφ∶GH→HƒG:φ(gH)=Hg− 1. Заме-
тим, чтоφ(gH)=Hg− 1 =H− 1 g− 1 =(gH)− 1 , а тогдаφкорректно определено и
является отображением изG~HвHƒG. Биективность следует из существова-
нияφ− 1 ∶Hg↦g− 1 H. ∎

Теория групп 5

Замечание.ОтображениеgH↦Hgне всегда корректно определено.
Определение 1. ЕслиH<G, тоиндексомH вGназываетсяSG∶HS=
SG~HS=SHƒGS.
Теорема 1(Лагранжа).Для конечной группыSGS=SHS⋅SG∶HS.
Следствие. SHSделитSGS, и для любогоg∈GSgSделитSGS.

1 Нормальные подгруппы

Определение 1.ПустьH<Gназываетсянормальной подгруппойв
G(H◁G), если∀g∈G gH=Hg.

Замечание.Эквивалентно:H=g− 1 Hg.
Примеры.

1◁G.

2.{e}◁G.

1. ЕслиG абелева, то все подгруппы нормальны.

4◁Sn. Действительно, еслиσ∈An, тоσAn=An=Anσ. Иначе, σAn=
Sn∖An=Anσ.

5.⟨(1 2)⟩ ~◁S 3 .⟨(1 2)⟩={id,(1 2)}.(1 3)⟨(1 2)⟩={(1 3),(1 2 3)}, но⟨(1 2)⟩(1 3)=
{(1 3),(1 3 2)}.

Утверждение 1.ПустьH<G,SG∶HS= 2. ТогдаH◁G.
Доказательство.Gразбивается на левые смежные классы поH, один из
них H=eH, а значит другой G∖H. Аналогично, правые смежные классы
H иG∖H. Значит, если g∈H, тоgH =Hg=H. Если жеg∈G∖H, то
gH=G∖H=Hg. ∎
Утверждение 1.ПустьH 1 ,H 2 ◁G. ТогдаH 1 ∩H 2 ◁G.
Доказательство.H 1 ∩H 2 <G тривиально. Проверим, что для произволь-
ногоg∈Gверноg− 1 (H 1 ∩H 2 )g=H 1 ∩H 2 .∀h∈H 1 ∩H 2 g− 1 hg∈H 1 ∧g− 1 hg∈H 2 ⇒
g− 1 hg∈H 1 ∩H 2. Мы показали, что∀g∈G g− 1 (H 1 ∩H 2 )g⊆H 1 ∩H 2. Этого доста-
точно:g(H 1 ∩H 2 )g− 1 ⊆H 1 ∩H 2 ⇒H 1 ∩H 2 =g− 1 g(H 1 ∩H 2 )g− 1 g⊆g− 1 (H 1 ∩H 2 )g. ∎

Замечание.ЕслиH<Gи∀g∈G g− 1 Hg⊆H, то∀g∈G g− 1 Hg=H.
Утверждение 1.ПустьH◁G,K<G. ТогдаHK={hk∶h∈H,k∈K}<
G. ЕслиK◁G, то иHK◁G.
Доказательство.Покажем, чтоHK=KH. Действительно,HK=⋃k∈KHk=
⋃k∈KkH = KH. Теперь покажем, что HK < G: (HK)(HK) = H(KH)K =
HHKK=HK;(HK)− 1 =K− 1 H− 1 =KH=HK.
Если жеK◁G, то∀g∈G gHK=HgK=HKg⇒HK◁G. ∎

Теория групп 7

Утверждение 1.Пустьφ∶G→H гомоморфизм. Тогда:
1.φ(eG)=eH.
2.φ(g− 1 )=φ(g)− 1.
Доказательство.
1.φ(e)=φ(e 2 )=φ(e)φ(e)⇒e=φ(e).
2.φ(g− 1 )φ(g)=φ(g− 1 g)=φ(e)=e.
∎
Утверждение 1. Гомоморфизм φ∶G →H является мономорфизмом
⇔Kerφ={e}.
Доказательство.φ(e)=e⇒e∈Kerφ. Еслиφ мономорфизм, то∀e≠g∈G φ(g)≠
φ(e)⇒Kerφ={e}. Если∃g 1 ≠g 2 ∶φ(g 1 )=φ(g 2 )⇒φ(g 1 − 1 g 2 )=φ(g 1 )− 1 φ(g 2 )=e⇒
e≠g− 11 g 2 ∈Kerφ. ∎
Примеры.
1.φ∶G→H,φ(g)=e.
2.φ∶Z→Zn,φ(a)=a(modn);Kerφ=nZ.
3.φ∶GLn(F)→F∗,φ(A)=detA;Kerφ=SLn.
4. Изоморфизм является гомоморфизмом. В частности, существуют изомор-
физмы группы на себя(автоморфизмы). Например, еслиx∈G, тоφx∶
g↦gx автоморфизм.
Утверждение 1.Пустьφ∶G→H гомоморфизм групп. ТогдаImφ<
H,Kerφ◁G.
Доказательство.Еслиh 1 ,h 2 ∈Imφ, тоhi=φ(gi).gi∈G⇒h 1 h 2 =φ(g 1 g 2 )∈
Imφ,h− 11 =φ(g 1 − 1 )∈Imφ. Значит,Imφ<H.
Если g 1 ,g 2 ∈ Kerφ, то φ(g 1 g 2 ) = φ(g 1 )φ(g 2 ) = e, φ(g− 11 ) = e ⇒ g 1 g 2 ,g− 11 ∈
Kerφ⇒Kerφ< G. Кроме того, φ(x− 1 ⋅Kerφ⋅x)= φ(x)− 1 ⋅φ(Kerφ)⋅φ(x)=
φ(x)− 1 φ(x)=e⇒∀x∈G x− 1 Kerφ⋅x⊆Kerφ⇒Kerφ◁G. ∎

Замечание.ЕслиK<H, тоφ∶K→H,φ(k)=k это гомоморфизм,Imφ=
K.

Пусть K◁G. Рассмотрим GK множество левых смежных классов по
K. ЕслиaK,bK ∈GK, тоaK⋅bK=a(Kb)K=abKK =abK∈GK (в силу
нормальности).
Теорема 1.(GK,⋅) группа.
Доказательство.Ассоциативность следует из ассоциативности в G. Ней-
тральный элемент этоK=eK, обратный кaKa− 1 K. ∎
Определение 1.Полученная группа факторгруппагруппыGпо нор-
мальной подгруппеK.

8 ФИВТ МФТИ

Теорема 1.Отображениеπ∶G→GK,π(g)=gK, является эпиморфиз-
мом,Kerπ=K.
Доказательство.π(g 1 g 2 )=g 1 g 2 K=g 1 K⋅g 2 K=π(g 1 )π(g 2 )⇒π гомомор-
физм. ЛюбойgK∈GKестьπ(g)⇒π эпиморфизм.g∈Kerπ⇔π(g)=gK=
K⇔g∈K. Итак,Kerπ=K. ∎
Определение 1.πестественныйэпиморфизмG→GK.
Теорема 1(основная теорема о гомоморфизмах групп).Пустьφ∶G→
H гомоморфизм групп,Kerφ=K. ТогдаK◁GиImφ≅GK.
Наоборот, еслиK◁G, то существует эпиморфизм группπ∶G→GK,Kerφ=
K.
Доказательство.Осталось доказать изоморфность образу:Imφ≅GK.
Определимψ∶G~K→Imφтак:ψ(aK)=φ(aK)=φ(a)φ(K)=φ(a). Если
φ(a)∈Imφ, тоφ(a)=ψ(aK)⇒ψ сюрьекция. Еслиψ(aK)=ψ(bK), тоφ(a)=
φ(b) ⇒ φ(a− 1 b) = e ⇒ a− 1 b ∈ Kerφ = K ⇒ b ∈aK ⇒ bK = aK. Итак, ψ
инъекция.
Теперь покажем что ψ сохраняет операции:ψ(aK)⋅ψ(bK) = φ(a)φ(b) =
φ(ab)=ψ(abK)=ψ(aK⋅bK). Значит,ψ изоморфизм. ∎

Замечание.Еслиh∈Imφ, тоψ− 1 (h)=φ− 1 (h).
Примеры.
1.φ∶Z→Zn,φ(a)=a modnφ=nZ,Imφ=Zn⇒Zn≅ZnZ.
2∶GLn(F)→F∗.Imdet=F∗;Kerdet=SLn(F)⇒GLn(F)SLn(F)≅F∗.
Упражнение. SnAn≅?.
Теорема 1(первая теорема об изоморфизме).ПустьH◁G,K<G. Тогда:
1=KH<G.
2∩H◁K.
3H≅K(H∩K).
Доказательство.Первый пункт уже доказан. Второй и третий следуют
из рассмотрения естественного эпиморфизма: π ∶ G → GH. Тогда πHK ∶=
πTHK иπK ∶= πTK гомоморфизмы групп.ImπHK = π(HK) = π(H)π(K) =
π(K)=ImπKπHK=H,KerπK=K∩H. ТогдаHKH≅ImπHK=ImπK≅
K(H∩K). ∎

Замечание.Явный вид изоморфизма:k(H∩K)∈K(H∩K)↔kH∈HKH.
Замечание.K∩H◁K, посколькуK∩H=KerπK.
Пример.ПустьG=S 4 ,H=V 4 ={id,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}. Нетруд-
но поверить, чтоV 4 ◁S 4 (V 4 называется четверной группой Клейна). Положим
K=S 3 <S 4 .H∩K={id}. Это значит, что∀hi∈H,ki∈K h 1 k 1 =h 2 k 2 ⇒H∋
h− 21 h 1 =k 2 k 1 − 1 ∈K⇒h 1 =h 2 ,k 1 =k 2. Значит,SHKS=SHS⋅SKS= 24 ⇒HK=S 4.
Применяя первую теорему об изоморфизме, имеемS 4 V 4 =HKH≅K~H∩K=
S 3 ~{id}≅S 3.

10 ФИВТ МФТИ

Доказательство.Пусть задано действиеGнаΩпо определению 1. По-
ложим дляg∈G Ig∶Ω→Ω,Ig(ω)=g(ω). ТогдаIgh(ω)=(gh)(ω)=g(h(ω))=
Ig○Ih(ω), т. е.Igh=Ig○Ih. Кроме того,Ig○Ig− 1 =Ie=Ig− 1 Ig, причёмIe=id. Т.
е.Ig− 1 это обратное отображение кIg, а значитIg биекция. Итак,g↦Ig
это требуемый гомоморфизм.
Наоборот, пустьg↦Ig гомоморфизмG→S(Ω), то положимg(ω)=Ig(ω).
Тогда(gh)(ω)=Igh(ω)=Ig○Ih(ω)=g(h(ω)), т. е. первое свойство доказано.
Кроме того,Ie=id, т. е.e(ω)=ω. ∎
Определение 1.Пустьφ∶G→S(Ω) действие группы на множестве.
Тогда ядром этого действия называетсяKerφ= {g∈G S ∀ω∈Ω g(ω)= ω}.
Действие называетсяточным(илиэффективным), еслиKerφ={e}, т. е. если
φ мономорфизм.
Примеры.
1=GL(V)действует наV:φ∈GL(V),v∈V, тоφ(v)=φ(v)(точно).

2действует на{ 1 ,…,n}тривиальным образом (точно).
3. ЕслиGдействует наΩ, то можно определить действиеGнаΩ 2 :g((ω 1 ,ω 2 ))=
(g(ω 1 ),g(ω 2 )).
4. Рассмотрим группуO 2 всех преобразований плоскости, и вR 2 рассмот-
рим правильныйn-угольникDn с центром вOТогда можно определить
группу диэдраDn={φ∈O 2 Sφ(Dn)=Dn}. ТогдаDnдействует на:
(a) ПлоскостьR 2
(b) Вершиныn-угольника
(c) Стороныn-угольника
(d) Множество точкеn-угольника
Определение 1.ПустьGдействует наΩ,ω∈ΩТогдаорбитойэлемента
ω называется G(ω)={g(ω) Sg∈G}. Два элементаω 1 ,ω 2 ∈Ω эквивалентны
относительно действия, еслиω 2 ∈G(ω 1 ).
Утверждение 1. Определённое отношение является отношением эк-
вивалентности, его классы это орбиты действия.
Доказательство.ω 1 =e(ω 1 ), т. е. отношение рефлексивно. Еслиω 2 ∈G(ω 1 ),
тоω 2 =g(ω 1 )⇒g− 1 (ω 2 )=g− 1 (g(ω 1 ))=e(ω 1 )=ω 1 ⇒ω 1 ∈G(ω 2 ) отношение
симметрично. Еслиω 2 =g 1 (ω 1 ),ω 3 =g 2 (ω 2 ), тоω 3 =g 2 (g 1 (ω 1 ))=(g 2 ○g 1 )(ω 1 )
транзитивность.
Наконец,{ω′Sω′∈G(ω)}=G(ω). ∎
Следствие. Ωразбивается на орбиты действия.
Определение 1.Действие называетсятранзитивным, если у него одна
орбита, т. е.∀ω,ω′∈Ω∃g∈G∶ω′=g(ω).
Пример.У действияGL(V)наV две орбиты:{ 0 }иV∖{ 0 }.

Теория групп 11

Определение 1. ПустьGдействует наΩ,ω∈Ω. ТогдаSt(ω)={g∈GS
g(ω)=ω}называетсястабилизатором(стационарной подгруппой) элемента
ω.
Утверждение 1. St(ω)<G
Доказательство.Еслиg,h∈St(ω), то(gh)(ω)=g(h(ω))=ω⇒gh∈St(ω).
g− 1 (ω)=g− 1 (g(ω))=e(ω)=ω⇒g− 1 ∈St(ω). ∎
Утверждение 1. ПустьG действует наΩ,ω∈Ω,ω′∈G(ω); пусть
ω′=g′(ω). Тогда{g∈GSω′=g(ω)}=g′St(ω)=St(ω′)g′
Доказательство.ω′ = g(ω) ⇔g′− 1 (ω′)= (g′− 1 g)(ω) ⇔ ω = (g′− 1 g)(ω) ⇔
g′− 1 g ∈ St(ω) ⇔ g ∈ g′St(ω). Наоборот, ω′ = g(ω) ⇔ ω = g− 1 (ω′) ⇔ g− 1 ∈
g′− 1 St(ω′)⇔g∈St(ω′)g′. ∎
Следствие. St(ω)=g′− 1 St(ω′)g′, т. е. стабилизаторы двух элементов од-
ной орбиты сопряжены.
Следствие. SG(ω)S=SG∶St(ω)S(еслиG(ω) конечна, тоSG(ω)S=SStSG(ωS)S).
Доказательство.Сопоставим любомуω′∈ G(ω)множество {g∈G Sω′=
g(ω)}. Это множество левый смежный класс поSt(ω). Ясно, что разным эле-
ментам в G(ω)соответствуют разные смежные классы и любому смежному
классу соответствуетω′∈G(ω). Итак, мы придумали биекцию междуG(ω)и
G~St(ω). ∎
Теорема 1(формула орбит).Пусть группаGдействует на множество
Ω=Ω 1 ⊔⋅⋅⋅⊔Ωk, гдеΩi орбиты действия, пустьωi∈Ωi. Тогда

SΩS=

k
Q
i= 1

SΩiS=

k
Q
i= 1

SG∶St(ωi)S

1.7 Примеры действия группы

Действие на себя левыми сдвигами

Ω =G,∀g,ω∈G g(ω)= g⋅ω. Орбиты – всяG (т. е. действие транзитив-
но), ядро тривиально (g≠e⇒gω≠ω; такое действие называетсясвободным).
St(ω)=e. Это значит, что верна теорема Кэли:
Теорема 1(Кэли).ПустьG группа. Тогда вS(G)есть подгруппаH≅
G.
Доказательство.Действие левыми сдвигами определяет гомоморфизмφ∶
G→S(Ω)=S(G), причёмKerφ={e}. Значит,φ мономорфизм,G≅Imφ<
S(G). ∎

Действие на смежные классы сдвигами

ПустьH<G. ТогдаGдействует левыми сдвигами наΩ=GH:∀g,x∈G g(xH)=
gxH (g 1 (g 2 (xH))=g 1 g 2 xH =(g 1 g 2 )(xH). Орбита GH. СтабилизаторxH
это {gSgxH =xH}. НоgxH =xH ⇔gx∈xH ⇔g∈ xHx− 1. Значит, ядро

Теория групп 13

Действие сопряжением на подгруппы

Ω множество подгруппG,g(H)=Hg− 1 =gHg− 1 <G. Орбита подгруппы
H все подгруппы, сопряжённые сH. СтабилизаторHSt(H)={g∈GSgH=
Hg}=NG(H)нормализаторподгруппыH(H) наибольшая (по вклю-
чению) подгруппа вG, в которойHнормальная.

Замечание.Количество подгрупп, сопряжённых сHестьSG∶NG(H)S.

Глава 2

Свойства групп

2 p-группы

Определение 2.Пустьp простое число. ГруппаGназываетсяp-группой,
еслиSGS=pn,n∈N∖{ 0 }.
Пример.ЕслиSGS=p, то по теореме Лагранжа порядокe≠g∈Gравенp,
т. е.S<g>S=p=SGS⇒G=⟨g⟩. Значит,Gциклическая и абелева.
Теорема 2.ПустьGp-группа. ТогдаZ(G)≠{e}.
Доказательство.Рассмотрим действиеGна себя сопряжением. Орбиты
классы сопряжённости, если g∈ Z(G), то gG= {g}, иначеg ∉Z(G) ⇒ 1 <
SgGS=SG∶CG(g)S=pkзависит отg, ноk⩾ 1. Выберем представителейgiдля
каждого класса сопряжённости,i∈{ 1 ,…,n}, тогда по формуле орбит:

pn=SGS=

n
Q
i= 1

SgiGS=SZ(G)S+ Q
SgGiS> 1

SG∶CG(gi)S.

Второе слагаемое сумма нетривиальных степенейp, но тогдаp∣ SZ(G)S ⇒
SZ(G)S> 1. ∎
Теорема 2.ПустьG не абелева группа. ТогдаG~Z(G) не цикличе-
ская.

Замечание.Z(G)◁G⇒можем рассматривать факторгруппу. Условие неа-
белевости важно, так как иначеG=Z(G), и тогдаG~Z(G)тривиальна, а по-
тому циклична.

Доказательство.Пусть это не верно. ПоложимZ =Z(G), иGZ =⟨aZ⟩,
a∈G⇒все левые смежные классы имеют видak⋅Z,k∈Z, т. к.GZциклична.
Рассмотрим произвольныеg,h∈G:g=akx,h=aly,k,l∈Z,x,y∈Z. Но тогда
gh=akxaly=alyakx=hg, ведьxиyкоммутируют со всеми элементами. Значит,
Gабелева, противоречие. ∎
Следствие. ЕслиSGS=p 2 , гдеp простое, тоG абелева.
Доказательство.Gp-группа⇒Z(G)≠{e}, т. е.SZ(G)S=pилиSZ(G)S=p 2.
Во втором случаеZ(G)=G, т. е.G абелева. Если жеSZ(G)S=p, тоSGZ(G)S=
p⇒GZ(G) циклическая, тогдаGвсё равно должна быть абелевой. ∎

14

16 ФИВТ МФТИ

Следствие (Лемма Бернсайда).Пусть конечная группаGдействует на
конечноеΩ, обозначим заΩ~Gмножество орбит этого действия. Тогда

SΩ~GS= 1
SGSgQ∈G

F(g).

Доказательство.ПустьΩ~G={Ωi}ki= 1 , тогда тем же действиемGдействует
наΩiтранзитивно. ОбозначимFi(g)=S{w∈ΩiSg(w)=w}S. Тогда по теореме
∑g∈GFi(G)=SGS, при этомF(G)=∑ki= 1 Fi(G), а тогда

Q

g∈G

F(g)=

k
Q
i= 1

Q

g∈G

Fi(g)=k⋅SGS=SΩ~GS⋅SGS. ∎

Пример. Пустьp нечётное простое число,k∈N. Нужно найти количе-
ство ожерелий изpбусин, которые могут иметьkразных цветов, повороты и
перевороты отождествляются. Если бы они не отождествлялись, ответом было
быkp. Обозначим множество фиксированных ожерелий заΩ, на него действу-
ет группа диэдраDp, тогда искомое число SΩ~DpS. Орбита одно ожерелье с
точностью до поворотов и переворотов. По лемме Бернсайда, достаточно найти
F(g)для любогоg∈Dp.

1=e,F(g)=SΩS=kp.

2 осевая симметрия,F(g)=k(p+ 1 )~ 2.

3 нетривиальный поворот. Тогда он сохранит элемент только если все
бусины имеют один цвет, т. к.p простое, т. е.F(g)=k.

Итого,SΩDpS= 21 p(kp+k(p+ 1 ) 2 ⋅p+k(p− 1 )).

2 Прямое произведение групп

Определение 2. ПустьG 1 ,G 2 группы. Их (внешним)прямым произ-
ведением называется множествоG =G 1 ×G 2 ={(g 1 ,g 2 ) Sg 1 ∈G 1 ,g 2 ∈G 2 } с
операцией(g 1 ,g 2 )⋅(g′ 1 ,g 2 ′)=(g 1 g′ 1 ,g 2 g 2 ′).
Утверждение 2.ЕслиG 1 ,G 2 группы, тоG 1 ×G 2 группа.
Доказательство.Ассоциативность следует из ассоциативностиG 1 иG 2 , ней-
тральным будет(e 1 ,e 2 )а обратным к(g 1 ,g 2 )(g− 11 ,g− 21 ). ∎
Утверждение 2.Для группG 1 ,G 2 ,G 3 верно:

1 1 ≅G 1 ×{e}◁G 1 ×G 2

2 1 ×G 2 ≅G 2 ×G 1

3.(G 1 ×G 2 )×G 3 ≅G 1 ×(G 2 ×G 3 )

Доказательство.

Теория групп 17

1. Очевидно,G 1 ×{e}<G 1 ×G 2. При этом,

(g′ 1 ,g 2 ′)− 1 (g 1 ,e)(g′ 1 ,g 2 ′)=(g 1 ′− 1 g 1 g′ 1 ,e)∈G 1 ×{e}⇒G 1 ×{e}◁G 1 ×G 2.

Изоморфизм же осуществляется отображениемφ∶g↦(g,e).
2. Изоморфизм осуществляется отображением(g 1 ,g 2 )↦(g 2 ,g 1 ).

1. Изоморфизм ((g 1 ,g 2 ),g 3 )↦(g 1 ,(g 2 ,g 3 )). ∎
   Замечание.Таким образом можно определитьG 1 ×⋅⋅⋅×Gk. Более того, ана-
   логично можно определить и прямое произведение бесконечного числа групп:
   ∏α∈IGα, гдеI произвольное множество индексов.

Теорема 2.ПустьA,B◁G,AB=G,A∩B={e}. ТогдаG≅A×B.
Доказательство.Покажем, что ∀a∈A,b∈B ab=ba. Действительно, рас-
смотримaba− 1 b− 1 :aba− 1 ∈Bиba− 1 b− 1 ∈Aиз их нормальности, а тогдаaba− 1 b− 1 ∈
A∩B={e}, т. е.aba− 1 b− 1 =e⇒ab=ba.
Построим отображение φ ∶A×B → G: φ∶ (a,b) ↦ab. Тогда φ((a 1 ,b 1 )⋅
(a 2 ,b 2 )) =φ((a 1 a 2 ,b 1 b 2 )) =a 1 a 2 b 1 b 2 = a 1 b 1 a 2 b 2 = φ((a 1 ,b 1 ))⋅φ((a 2 ,b 2 )) ⇒φ
гомоморфизм. Т. к.AB=G,Imφ=AB=G. Наконец, если(a,b)∈Kerφ, то
ab =e ⇒a= b− 1 ∈A∩B ={e}⇒ a= b=e ⇒Kerφ={(e,e)}. Значит,φ
изоморфизм. ∎
Определение 2.В ситуации, описанной в теореме,Gявляетсявнутрен-
ним прямым произведением AиB.

Замечание.GA=ABA≅BB∩A=B{e}≅Bпо первой теореме об изо-
морфизме. Аналогично,G~B=A.

Утверждение 2.ПустьG=A×B прямое произведение группAиB.
Пусть A 1 ◁A,B 1 ◁B. Тогда A 1 ×B 1 ◁A×B, причём (A×B)(A 1 ×B 1 )=
(AA 1 )×(BB 1 ).
Доказательство.ПустьA=AA 1 ,B=BB 1 , и пустьπA∶A→A,πB∶B→
B соответствующие канонические эпиморфизмы. Рассмотримπ=πA×πB ∶
A×B→A×B,π(a,b)=(πA(a),πB(b)). Нетрудно видеть, чтоπ эпиморфизм
групп.Kerπ=KerπA×KerπB=A 1 ×B 1. Итак,A×B=Imπ≅(A×B)Kerπ=
(A×B)~(A 1 ×B 1 )(иA 1 ×B 1 =Kerπ◁G). ∎
В заключение, рассмотрим более общую ситуацию. ПустьA◁G,B <G,
причёмAB=G,A∩B={e}. В этом случае,Gназывается полупрямым произ-
ведениемAиB:G=A⋋B.
Примеры.
1=An⋋⟨( 1 , 2 )⟩,n⩾ 2. (ноSn≇An×⟨( 1 , 2 )⟩приn⩾ 3 , ибоZ(Sn)={e}).
2 4 =V 4 ⋋S 3.
Как описать полупрямые произведения групп? ПустьG=A⋋B,∀b∈B bAb− 1 =
A. Значит, группаBдействует сопряжением наA, т. е. возникает гомоморфизм

Теория групп 19

Следствие. K◁G⇒K′◁G.
Доказательство.Пустьg∈G,Ig∈AutG,Ig(x)=xg− 1. Тогда, т. к.K◁G, то
Ig(K)=K, т. е.IgTK∶K→K автоморфизм группыK. Значит,Ig(K′)=K′, т.
е.gK′g− 1 =K′⇒K′◁G. ∎
Определение 2. G′′ =(G′)′, по индукции, G(n) =(G(n− 1 ))′. Подгруппа
G(n)называетсяn-м коммутантомгруппыG.
Следствие. G′◁G; более того,G(n)◁G.
Доказательство.Индукция поn. Приn= 0 ,G◁G. Шаг индукции преды-
дущее следствие. ∎
Теорема 2.Для группыGверно:
1G′ абелева группа.
2. ЕслиG′<K<G, тоK◁G.
3. ЕслиK◁G, причёмGK абелева, тоG′<K.
Замечание. Это значит, что G′ наименьшая по включению нормальная
подгруппа, факторгруппа по которой Абелева.

Доказательство.

1. Пустьπ∶G→GG′ канонический эпиморфизм, тогда∀x,y∈G[π(x),π(y)]=
   π([x,y])=e⇒π(x)иπ(y)коммутируют. Посколькуπ эпиморфизм, то
   GG′ абелева.
2. Рассмотримπ(K)=KG′<GG′. ПосколькуGG′ абелева, тоKG′◁
   G~G′, и по второй теореме об изоморфизмеK◁G.
3. Пусть GK абелева. Рассмотрим канонический эпиморфизм π′ ∶G →
   GK. Тогдаπ′([x,y])=[π′(x),π′(y)]=e⇒[x,y]∈Kerπ′=Kдля произ-
   вольныхx,y∈G. Значит,G′<K.
   ∎
   Замечание.Наоборот, еслиG′<K<G,тоGK≅(GG′)(KG′) абелева.
   Замечание.В конце доказательства мы, по сути, увидели, что для любого
   гомоморфизмаφ∶G→A, гдеA абелева,Kerφ>G′.

Упражнение.ПустьH◁G,K=[G,H]. ТогдаK наименьшая подгруппа
такая, чтоHK<Z(GK).
Определение 2.ПустьG группа,M⊆G. Тогданормальная подгруппа,
порождённая множествомM, есть

⟨M⟩норм=
H◁G,M⊆H

H.

Утверждение 2.⟨M⟩норм=⟨MG⟩, гдеMG={mgSm∈M,g∈G}.
Доказательство.ЕслиH◁G,M⊆H, тоMG⊆H. Значит,⟨MG⟩=⋂H<G,H⊇MGH⊆
⋂H◁G,H⊇MH=⟨M⟩норм. Наоборот,⟨MG⟩◁G, т. к.∀g∈G⟨MG⟩g=⟨MGg⟩=⟨MG⟩,
поэтому⟨M⟩норм⊆⟨MG⟩. ∎

20 ФИВТ МФТИ

Утверждение 2.ПустьG=⟨M⟩. ТогдаG′=⟨{[m 1 ,m 2 ]Sm 1 ,m 2 ∈M}⟩норм.
Доказательство.Обозначим правую часть равенства черезH. РазG′◁G
и[m 1 ,m 2 ]∈G′для любыхm 1 ,m 2 ∈M, получаемH<G′.
Наоборот, рассмотрим GH и канонический эпиморфизм π ∶ G → GH;
[π(m 1 ),π(m 2 )]=π([m 1 ,m 2 ])=eдля произвольныхm 1 ,m 2 ∈M. Итак,GH=
⟨π(M)⟩, и любые два элемента изπ(M)коммутируют. Значит,GH абелева,
откудаG′<H.
Значит,G′=H. ∎
Упражнение. Приведите пример, когдаG′≠⟨{[m 1 ,m 2 ]Sm 1 ,m 2 ∈M}⟩.
Замечание.Для группыGобе подгруппыZ(G)иG′показывают, насколько
¾далека¿Gот абелевой.

2 Разрешимые группы

Определение 2.ГруппаGназываетсяразрешимой, если существует та-
коеn∈N, чтоG(n)={e}.
Пример.S 3 ′=A 3 =⟨(1 2 3)⟩,A 3 абелева, а потомуA′ 3 ={e}=S 3 ( 2 ). Значит,
S 3 разрешима.

Замечание.Наименьшееnтакое, чтоG(n)={e}, называетсяступенью раз-
решимости.

Теорема 2.ПустьK◁G. ТогдаGразрешима⇔KиG~Kразрешимы.
Доказательство.

⇒ K<G⇒K(n)<G(n). Значит,Kразрешимо. Пустьπ∶G→GK кано-
нический эпиморфизм. Тогда(GK)′=π(G′), и по индукции(GK)(n)=
π(G(n)). Т. к.G(n)={e}при некоторомn,(GK)(n)={K}⇒G~Kразре-
шима.

⇐ ПустьK(n)={e},(GK)(l)={e}. Тогдаπ(G(l))=(GK)(l)={e}, т. е.G(l)<
Kerπ=K. Значит,G(l+n)=(G(l))(n)<K(n)={e}. ∎
Следствие.ПустьK 1 ,K 2 ◁G разрешимые (нормальные) подгруппы. То-
гдаK 1 ⋅K 2 ◁Gтакже разрешима.
Доказательство.Заметим, чтоK 1 ◁K 1 ⋅K 2 ;K 1 разрешима по условию,
(K 1 ⋅K 2 )~K 1 ≅K 2 ~(K 1 ∩K 2 )(по первой теореме об изоморфизме) также раз-
решима, т. к. разрешимыK 1 иK 2 (по теореме). Значит,K 1 ⋅K 2 также разре-
шима. ∎
Следствие.В любой конечной группеGсуществует наибольшая по вклю-
чению нормальная разрешимая подгруппа (это просто произведение всех нор-
мальных разрешимых подгрупп).
Теорема 2.ПустьG группа. Тогда равносильны следующие утвержде-
ния:

1 разрешима.

Main navigation

• Поступление

  

  Поступай на Новый физтех ИТМО

  Начать знакомство с факультетом можно ещё до поступления: вы можете прийти к нам на экскурсию, пройти летнюю практику или годовую стажировку. Все потенциальные научные руководители и кураторы программ открыты для общения, так что не стесняйтесь звонить и писать нам с любыми вопросами.
  • Бакалавриат
  • Магистратура
  • Аспирантура
  • Школьникам
  • Стажировки
• Факультет

  

  Новый физтех — это…

  это творческая синергия почетных профессоров, молодых амбициозных учёных и студентов. За десять лет совместной работы мы выросли из маленькой лаборатории в крупный научный центр, где сегодня развиваются самые актуальные научные направления и реализуются образовательные программы.

  • Сотрудники
  • Новости
  • История
  • Вакансии
  • Семинары
  • СМИ о нас
  • Видео
• Образование

  

  Обучение на Новом физтехе ИТМО

  Обучаясь у нас, вы получаете качественное образование в области физики. Уже на последних курсах бакалавриата студенты начинают заниматься научной работой, а в магистратуре являются полноценными сотрудниками научного центра. Наши выпускники работают в лучших лабораториях и высокотехнологичных компаниях по всему миру.

  • Расписание занятий
  • Бакалавриат
  • Физика в ИТМО
  • Магистратура
  • Студенты
• Исследования

  

  Научная работа на факультете

  Мы занимаемся теоретическими и экспериментальными исследованиями в таких областях, как нанофотоника, метаматериалы, топологическая фотоника, радиофизика, квантовая оптика, плазмоника и др. Работы публикуются в мировых рецензируемых научных журналах.

  • Направления исследований
  • Публикации
  • Оборудование
  • Гранты
  • Научные группы
  • Наш софт
  • Патенты
• Работа на Новом физтехе
• Контакты

Уже послезавтра, в понедельник 2 сентября, начнется первая учебная неделя, и первокурсники посетят свои первые в жизни лекции и семинары в качестве студентов Физтеха. Недавно закончившие школу ребята задают много вопросов о том, как устроена учеба в нашем вузе, и редакция «Потока» подготовила для 1 курса статью с ответами на самые популярные из них.

Ну а заглянувшим на огонек студентам старших курсов напоминаем, что на нашем сайте есть раздел с учебными материалами, которые могут быть вам полезны.

---

[su_note note_color=”##2998ff” radius=”10″ class=”box-shadow: rgba(0,0,0,1.2) 0px 1px 3px;«]

Какие предметы есть и как проходят занятия?

Для начала ознакомьтесь со своим учебным расписанием. Там есть три класса предметов:

• Лекции (выделены розовым) – новая для большинства первокурсников форма занятий, проходящая в формате полуторачасового монолога преподавателя. Это происходит в большой аудитории, вмещающей в себя всех студентов курса с факультета (факультетов). Лектор рассказывает теоретический материал, а студенты слушают и конспектируют. Также на некоторых предметах преподаватели могут устраивать небольшие контрольные для проверки посещаемости и лучшего усвоения материала.

• Семинары (выделены голубым) проходят в достаточно похожей на школьную атмосфере — семинарист разбирает практические задачи по темам лекций в небольшой аудитории, работая с одной академической группой. Именно преподавателю семинарских занятий вы сдаете домашние задания и контрольные работы по пройденным темам.
• Практические занятия (выделены жёлтым) разделяются на лабораторные работы («лабы»), английский язык и физическую культуру. Расскажем о них поподробнее.

[/su_note]

[su_note note_color=”##2998ff” radius=”10″ class=”box-shadow: rgba(0,0,0,1.2) 0px 1px 3px;«]

Лабораторные работы?

«Лабы» проходят в формате занятия-написания работы (взаимодействие с установкой, снятие экспериментальных данных и т.д.) и занятия-сдачи, на которых преподаватель проверяет ваш отчет о проделанной работе. Отчеты обычно готовят в тетради формата А4.

Большинство студентов использует Excel и другие программы для обработки экспериментальных данных и построения графиков. Некоторые предпочитают оформлять весь отчет на компьютере (например, в системе верстке LaTeX). Однако это разрешают не все преподаватели — обязательно уточните у своего «лабника», какие у него требования к отчету.

[/su_note]

[su_note note_color=”##2998ff” radius=”10″ class=”box-shadow: rgba(0,0,0,1.2) 0px 1px 3px;«]

Погодите, на семинарах есть домашние задания?

Не совсем. На Физтехе существует сборник программ и заданий — задавальник, в котором по основным предметам написан список задач, который вы должны прорешать в течение семестра. Эти задачи разбиты на 2-3 группы (задания), а также распределены по неделям (рекомендации от кафедры, в каком объеме необходимо заниматься). Для каждого задания указан срок сдачи его семинаристу и контрольной по пройденным темам.

[/su_note]

[su_note note_color=”##2998ff” radius=”10″ class=”box-shadow: rgba(0,0,0,1.2) 0px 1px 3px;«]

Расписание контрольных? Помимо сессии, есть и контрольные работы в течение семестра?

Да, обычно после/перед сдачей задания семинарист предлагает вам решить задачи по пройденным темам в формате семинарской контрольной. У 1 курса проводятся также 2 полусеместровые работы, единых для всех групп — по 1 заданию общефиза и 2 заданию матана. Также после 1 задания по матану есть коллоквиум — «репетиция» устного экзамена по первой трети программы. За контрольные вы получаете баллы БРС на кафедре высшей математики и какие-либо бонусы к устному/письменному экзамену по других предметам.

[/su_note]

[su_note note_color=”##2998ff” radius=”10″ class=”box-shadow: rgba(0,0,0,1.2) 0px 1px 3px;«]

БРС? А это что за зверь такой и с чем его едят?

На некоторых кафедрах Физтеха принята балльно-рейтинговая система проведения промежуточной аттестации студентов. Суть в том, что оценки/результаты, полученные в течение всего семестра на лекциях, контрольных, семинарах и т.д. напрямую идут в общий зачет в виде какого-то количества баллов. Затем вы получаете такие же баллы на экзамене/зачете, они суммируются с набранными за семестр и переводятся в оценку. С БРС на кафедре высшей математики вы можете здесь: математический анализ, аналитическая геометрия (документ прошлого года, может незначительно отличаться в текущем семестре).

[/su_note]

[su_note note_color=”##2998ff” radius=”10″ class=”box-shadow: rgba(0,0,0,1.2) 0px 1px 3px;«]

А почему все старшекурсники говорят мне, что самое важное на Физтехе — пары по физре и английскому? Мы же вроде приехали сюда физикой/информатикой заниматься!

Дело в том, что в департаментах физкультуры и иностранных языков тоже существует БРС, в которой большинство баллов зарабатываются именно за посещение занятий (если точнее, то на английском в случае пропуска вы теряете и балл за посещение, и балл за контрольную/презентацию/etc, которые были на пропущенной паре). И если на всех остальных предметах умный, но не посещающий занятия студент может прийти и закрыть задолженности по всему семестру разом (в той и иной степени), то на физре и английском он просто не имеет такой возможности и получает академическую задолженность.

Подробно о БРС по физкультуре можно почитать в этом посте. А в материале социального деканата вы можете узнать, какие специализации представлены в департаменте. Обращаем ваше внимание, что на многих специализациях допускается посещение физкультуры в удобное для вас время (не по расписанию) — уточните это у своего преподавателя.

БРС в департаменте иностранных языков складывается из посещения занятий (10%), домашних заданий и ответов на паре (70%) и итоговых контрольных в конце семестра (20%). Подробнее об этом вам расскажет ваш преподаватель на первом после тестирования занятии.

[/su_note]

[su_note note_color=”##2998ff” radius=”10″ class=”box-shadow: rgba(0,0,0,1.2) 0px 1px 3px;«]

А как подводятся итоги семестра на сессии?

Учебные занятия на Физтехе длятся 15 календарных недель. Таким образом, последние пары пройдут 13 декабря, а с 16 по 21 декабря будет зачетная неделя. Зачеты разделяются на недифференцированные («зачет»/«незачет») и дифференцированные (с оценкой). Все зачеты нужно получить до конца зачетной недели. Да, кстати, если вы еще не слышали об этом, то у нас десятибалльная система оценивания:

• 10-8 = «отлично» («5»)
• 7-5 = «хорошо» («4»)
• 4-3 = «удовлетворительно» («3»)
• 2-1 = «неудовлетворительно» («2»)

Затем, с 22 декабря до конца января проходит экзаменационная сессия. Экзамены есть устные, а есть устные + письменные. На устном экзамене вы вытягиваете билеты с теоретическими вопросами, которые необходимо вывести и доказать, а на письменном — несколько практических задачек, которые необходимо решить. Если письменного экзамена нет, то на устном в билет также входит практическая задача.

[/su_note]

[su_note note_color=”##2998ff” radius=”10″ class=”box-shadow: rgba(0,0,0,1.2) 0px 1px 3px;«]

Звучит это все немного пугающе, и букв много. Учиться прям очень сложно? Можно найти свободное время?

Конечно! Если правильно распределить время и приоритеты, учеба на Физтехе хоть и сложна, но реальна для всех, кто поступил сюда, пройдя столь строгий конкурсный отбор. Наоборот, с нашей нагрузкой важно заниматься чем-то еще, иметь какое-то хобби, которые будет приносить вам радость и отдых от учебы. Большинство физтехов стараются реализовать себя во множестве самых разных проектах и увлечениях, что вы могли увидеть на ярмарке Дня Первокурсника. На правах рекламы — если тебе интересно участвовать в работе самого крупного студенческого СМИ МФТИ, то присоединяйся к редакции «Потока»!

Также в конце сентября-начале октября состоится День Энтузиаста, на котором вы сможете узнать еще больше о существующих в МФТИ студенческих клубах и организациях. Не бойтесь попытаться реализовать себя и в учебе, и в чем-то еще — вы же физтехи!

[/su_note]

---

Статья обновлена в соответствии с реалиями 2019 года. Оригинал был опубликован на Потоке в сентябре 2017 года. В материале использованы фотографии пресс-службы МФТИ.

Поделиться

Твитнуть

Поделиться

Главная → Московский физико-технический институт (Государственный университет)

Московский физико-технический институт (Государственный университет)

МФТИ

г. Долгопрудный (Московская обл.), Институтский пер., д. 9

Одновременно можно подать документы на 3

специальностей

Специальности и профили (программы) обучения МФТИ

Подробное описание каждой специальности и всех ее профилей обучения ВУЗа 

Даты приема документов и зачисления в МФТИ

Сроки подачи документов на бюджет и платно, даты публикации приказов о зачислении

Комбинации ЕГЭ МФТИ

Комбинация ЕГЭ и специальности, на которые можно по ней поступить

Описание МФТИ

Московский физико-технический институт — ведущий технический вуз страны, который входит в престижные рейтинги лучших университетов мира. Здесь обучают фундаментальной и прикладной физике, математике, информатике, химии, биологии, компьютерным технологиям и другим естественным и точным наукам. Сегодня Физтех — это передовой научный центр. За последние годы здесь открылось 64 новые лаборатории, где работают ученые с мировым именем. Они занимаются проблемами старения и возрастных заболеваний, прикладной и фундаментальной физикой, нанооптикой, квантовыми вычислениями, фотоникой и многим другим. 

День рождения Физтеха —  25 ноября. В этот день в 1946 году вышло постановление Совета Министров СССР о создании физико-технического факультета (ФТФ) МГУ, а через 5 лет на его базе был создан Московский физико-технический институт. 

Отцами-основателями Физтеха считаются три нобелевских лауреата: Пётр Капица, Николай Семёнов и Лев Ландау, а также проректор МГУ по специальным вопросам и куратор предшественника МФТИ ФТФ МГУ Сергей Христианович. 

Они заложили основу образования в МФТИ — уникальную «систему Физтеха»: отбор самых талантливых абитуриентов и вовлечение студентов в реальную научно-исследовательскую работу под руководством выдающихся ученых в базовых организациях. Таких организаций-партнеров на Физтехе больше ста. Среди них, помимо целого ряда институтов Российской академии наук, крупнейшие российские компании: Яндекс, Сбербанк-технологии, ABBYY и многие другие. 

В МФТИ ежегодно учатся около 7 000 студентов, а преподают более 80 академиков и членов-корреспондентов РАН. Кстати, это дает самое большое число академиков на одного студента среди всех российских вузов.

За время существования из МФТИ выпустилось более 36 тысяч человек, многие из которых добились успехов в самых разных областях науки, бизнеса и даже искусства. 150 из них стали академиками и членами-корреспондентами РАН,а один — Президентом РАН. 6000 получили звание  доктора наук, 17000 стали кандидатами наук. Физтех дал миру двух нобелевских лауреатов —  Андрея Гейма и Константина Новоселова, трех летчиков-космонавтов, трех министров по науке и одного из авторов архитектурных принципов построения вычислительных комплексов Бориса Бабаяна.

Факультеты МФТИ

Факультеты и специальности преподаваемые

Отзывы о МФТИ

Еще ВУЗы

Специализированные ВУЗы по категориям

© 2023 vuzopedia.com • сайт о высшем образовании

Все торговые марки, знаки и логотипы являются собственностью их владельцев.