Теория игр егэ информатика разбор

Содержание:

• Объяснение заданий 19, 20 и 21 ЕГЭ по информатике
  • Теория игр. Поиск выигрышной стратегии
• Решение 19, 20, 21 заданий ЕГЭ по информатике
  • Игра с двумя кучами камней или табличка
• Задания для тренировки 19, 20, 21 заданий ЕГЭ (взяты из КИМ и сборников прошлых лет)
  • Игра с одной кучей камней
  • Игра с набором слов

19-е задание: «Анализ алгоритма логической игры»

Уровень сложности

— повышенный,

Требуется использование специализированного программного обеспечения

— нет,

Максимальный балл

— 1,

Примерное время выполнения

— 6 минут.

  
Проверяемые элементы содержания: Умение анализировать алгоритм логической игры

20-е задание: «Поиск выигрышной стратегии»

Уровень сложности

— повышенный,

Требуется использование специализированного программного обеспечения

— нет,

Максимальный балл

— 1,

Примерное время выполнения

— 6 минут.

  
Проверяемые элементы содержания: Умение найти выигрышную стратегию игры

21-е задание: «Дерево игры для выигрышной стратегии»

Уровень сложности

— повышенный,

Требуется использование специализированного программного обеспечения

— нет,

Максимальный балл

— 1,

Примерное время выполнения

— 10 минут.

  
Проверяемые элементы содержания: Умение построить дерево игры по заданному алгоритму и найти выигрышную стратегию

19_8:

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 59. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 59 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 53.

  
Задание 21 ЕГЭ.
Найдите два значения S, при которых одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

• Нарисуем таблицу, в первом столбце которой будем откладывать количество камней в первой куче, а в первой строке — количество камней во второй куче. Получим матрицу. Поскольку в первой куче количество начинается с 5, то это и будет первым значением в таблице. Во второй куче начнем с наибольшего возможного числа — 53. Таблица пригодится для решения заданий 20 и 21:



• Для начала найдем все выигрышные позиции для первой строки таблицы, т.е. для первого хода. Обозначим их плюсами (+):



Выигрышные позиции для первой строки ищем по принципу увеличения количества камней S в 2 два раза: 5 + S*2 >=59. Получим S>=27

• Для того, чтобы получить наименьшее значение S, в качестве первого хода Пети необходимо увеличивать в два раза вторую кучу. Т.е. для решения задания необходимо найти такое наименьшее S, при котором Петя походил неверно, и попал своим ходом в выигрышную позицию для своего соперника, т.е. в ячейку с плюсом:



S = 14
1 ход Петя: 14*2 = (5,28)
2 ход Ваня: 28*2 = (5,56), Сумма = 61, Выигрыш! 

Ответ: 14

✎ Задание 20:

• Проанализируем таблицу, и для каждой строки найдем выигрышные позиции с одного хода. Т.е. которые позволят игроку, оказавшемуся «на них», выиграть за один ход (получить суммарно 59 и более камней):



При заполнении таблицы выигрышными позициями можно проследить закономерность «узора», а заполнять позиции по аналогии.

• Найдем проигрышные позиции: те, которые ведут только в выигрышные позиции для соперника (ведут только в плюсы)



Проигрышные позиции: (6,26) (8,25) (10,24) (12,23) (14,22)

• В задании требуется найти минимальное S, котором выиграет Петя, но выиграет он НЕ первым своим ходом, а вторым. То есть в нашем случае необходимо найти S, которое может перевести соперника в проигрышную позицию. То есть в минус. Для первой строки (так как первым будет ходить Петя) таких значений два:



• Наименьшее S = 24

• Для решения этого задания найдем выигрышные позиции со второго хода, т.е. которые могут перевести соперника в проигрышную позицию (с минусом):



• Чтобы выиграл Ваня, но выиграл не первым ходом, а вторым, необходимо, чтобы Петя находился в такой позиции, которая ведет его только на выигрышные позиции со второго хода:

Ответ: 23 25

>19_9:

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя.
За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень больше, чем убирается).

Например, пусть в одной куче 6, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 5).

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 20 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче – S камней, S > 10.

✎ Задание 19:

• В столбце А отложим значения — количество камней в первой куче. Начнем с ячейки А2, в которую внесем начальное количество камней, т.е. 10. Автозаполнением продлим значения вниз до 0:



• В строке 1 таблицы (начиная с ячейки B1) отложим значения для второй кучи. Поскольку в задании говорится, что победа будет достигнута при S<=20, и достигнуть этого значения более сильной командой можно уменьшив кол-во камней во второй куче в два раза, начиная с числа 40: 40/20. То есть возьмем значение больше 40, примерно 45. Используем автозаполнение до значения 11:



• Из двух команд, которые могут выполнять игроки, выберем наиболее сильную, т.е. благодаря которой можно быстрее достичь выигрышного диапазона и попасть в значения S<=20. Это команда уменьшения количества камней в два раза, т.е. /2.
• Для каждой из ячеек полученной таблицы рассчитаем значение, полученное в результате уменьшения в два раза той кучи камней, в которой большее количество камней (так как это даст меньший результат). Например, для ячейки С5, в которой игрок имеет в первой куче 7 камней, а во второй куче 44 камня, мы бы выполнили действие 44/2+7. Т.е. уменьшили вдвое вторую кучу, т.к. в ней больше камней. Еще необходимо обращать внимание на четность и нечетность значений (в Excel это функция ЕНЕЧЁТ — возвращает ИСТИНУ, если значение нечетно).
• Чтобы автоматизировать процесс необходимо использовать формулу, в которой найдем максимальное значение из двух вариантов:

Минимальное из
(ЕСЛИ(ЕНЕЧЁТ(1-я куча) то (1-я куча+1)/2+2-я куча, 
иначе 1-я куча/2+2-я куча);
ЕСЛИ(ЕНЕЧЁТ(2-я куча) то (2-я куча+1)/2+1-я куча, 
иначе 2-я куча/2+1-я куча)).

• Выразив это в формуле Excel, получим результат, который внесем в ячейку B2:

 = МИН(ЕСЛИ(ЕНЕЧЁТ($A2);($A2+1)/2+B$1;$A2/2+B$1);ЕСЛИ(ЕНЕЧЁТ(B$1);(B$1+1)/2+$A2;B$1/2+$A2))

• Здесь знак $ будем использовать для фиксации столбца А и строки 1 при копировании формулы.
• Скопируем формулу на всю таблицу.
• Выделим всю таблицу и используем Условное форматирование для выделения тех значений, которые попадают в выигрыш (<21):



• Выделенные значения — это значения, которые можно получить в сумме двух куч, выполнив ход из данной ячейки. И по сути, это и есть выигрышные позиции с 1 хода.
• Далее следуем логике рассуждения: Ваня сможет выиграть своим первым ходом в том случае, если Петя оказывается РЯДОМ с выигрышной позицией, и любой его ход попадает ТОЛЬКО в выигрышные позиции для Вани (в выделенную область). Это позиция при S = 21:

Ответ: 21
✎ Задание 20:

• Продолжаем работать с той же таблицей, что и в задании 19. Выделим все проигрышные позиции (из которых можно походить только в выигрышные позиции для соперника, т.е. в выделенные ячейки):



• Петя может выиграть свои вторым ходом, если он не может выиграть первым ходом, но может выполнить ход в позицию, проигрышную для соперника (в ячейку, выделенную красным). Такие позиции назовем выигрышные позиции со второго хода. Найдем минимальное и максимальное значение S при таком первом ходе Пети:



При S=44 Пете необходимо уменьшить 2-ю кучу вдвое (44/2 = 22), чтобы оказаться в проигрышной позиции для соперника.

• Выделим все такие выигрышные позиции со второго хода:



• Далее придерживаемся следующей логики: Ваня сможет выиграть свои первым или вторым ходом, но при этом не гарантированно первым ходом, если у Пети будет возможность выполнить ходы только в позиции выигрышные со второго хода. Найдем такое S:



При S = 24 Петя сможет уменьшить кучи на один камень, и тогда оказывается в выделенной зеленой области — выигрышные позиции со второго хода для Вани, либо уменьшить количество камней вдвое, и тогда Ваня оказывается в выигрышной позиции с первого хода (розовая область).

Ответ: 24

19_7: с экзамена ЕГЭ 2020г. (со слов учащегося):

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. На табличке написаны два значения. Оба игрока в свой ход могут заменить одно из значений на сумму обеих (по своему выбору). Первый ход делает Петя. Игра считается законченной когда сумма обеих значений равняется не меньше 56. То есть выигрывает игрок, получивший 56 или более в сумме. Начальное значение (10, S).

Типовые задания для тренировки

• Задание 19.
  Максимальное S при котором Петя НЕ может выиграть своим первым ходом S = 22. Петя проиграет, если в сумме получится 55 и меньше. Первое значение = 10, необходимо найти второе значение, при этом максимальное. Схематично отобразим варианты ходов:

(10,22) - ход Пети - (10+22, 22) - итог суммы обеих значений таблички: 32 + 22 = 54 (<56)

Для того, чтобы сделать сумму большей, Петя заменит первое значение на сумму, так как оно меньше второго значения (10<22)

• Задание 20.
  В начальной позиции (9, 15) выигрышная стратегия есть у Вани. Для себя отобразим схематично выигрышную партию Вани:



Зеленым цветом выделены выигрышные ходы.

• Задание 21.
  В начальной позиции (3, 7) выигрышная стратегия есть у Вани. Изобразим дерево всех возможных партий при этой стратегии (раз говорится «при этой стратегии» имеем в виду, выигрышную стратегию Вани):



Дерево для выигрышной стратегии Вани: для Вани отображены только ходы по стратегии, для Пети — все возможные ходы. Зеленым цветом — выигрышный ход, красная обводка — ход по стратегии.

19_6:

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 44.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 44 или больше камней.

• Нарисуем таблицу, в первом столбце которой будем откладывать количество камней в первой куче, а в первой строке — количество камней во второй куче. Получим матрицу. Поскольку в первой куче количество начинается с 5, то это и будет первым значением в таблице. Во второй куче начнем с наибольшего возможного числа — 38:



Задание 19 а):

• Далее будем рассуждать так: Петя может выиграть первым ходом, выполнив команду *2 (увеличить количество камней в куче в два раза), если вместо S (кол-во камней во второй куче), мы будем изменять значение, начиная от 20, до последнего возможного по условию значения 38:

5 + 20*2 = 45 (>44)

* 5 - кол-во камней в первой куче, оно не меняется по условию

• Соответственно, все значения большие 20 дадут в результате число большее 44. Укажем это в таблице. + означает выигрышную позицию с первого хода:



Ответ 1 а):

S = [20;38] (На ЕГЭ пояснить ходы, например: (5; 20) -> (Ход Пети)-> (5;40); 40 + 5 = 45)

Задание 19 б):

• Поскольку Ваня будет ходить вторым, то необходимо поменять количество камней и в первой куче. Значит рассмотрим ситуации, что Петя мог бы ходить первым ходом в (7;S) и в (10;S). Укажем, будут ли эти позиции выигрышные с одного хода: например (7;19) выигрышная позиция, т.к. игрок выполнит ход в (7;38) и выиграет (7 + 38 = 45). Соответственно, выигрышными являются и все позиции (7;больше 19). Проанализируем таблицу, увеличивая количество камней в первой куче и выполняя поиск выигрышных позиций с одного хода:



• Последующая логика рассуждений: Ваня может выиграть своим первым ходом, когда Петя своим первым ходом сможет ходить только в выигрышные позиции с первого хода (в +). Отметим такие позиции, учитывая, что это первый ход Пети, и кол-во камней в первой куче должно быть 5. Найденные позиции будут проигрышными позициями (-):



• Находим единственное такое значение — (5; 19). Т.е. S = 19.
Ответ 1 б):

S = 19 (На ЕГЭ пояснить ходы, например: (5; 19) -> (Ходы Пети): (5;21),(5;28);(7;19);(7;28). Везде следующим ходом выиграет Ваня, см. предыдущ. пункт)

Задание 20:

• Обратим внимание, что в таблице, все образовавшиеся «уголки» являются проигрышными позициями (с 1-го хода): то есть если игрок, оказывается в такой позиции, то он может выполнить ход только в выигрышные позиции (то есть следующим ходом выиграет соперник):



• Логика рассуждений: Петя сможет выиграть своим вторым ходом, когда своим первым ходом он попадет в проигрышную позицию, т.е. переведет соперника в проигрышную ситуацию. Такие значения: S = 16, 17 или 18. Назовем эти позиции выигрышными со второго хода (2+):

Ответ 3: S = 14 (На ЕГЭ пояснить ходы, ссылаясь на объяснения в предыдущих пунктах)

19_3: Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 29. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 29 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 28.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Задание 19 ЕГЭ
а) Укажите такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

Задание 20 ЕГЭ
Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причем:
— Петя не может выиграть за один ход;
— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Для указанных значений S опишите выигрышную стратегию Пети.

Задание 21 ЕГЭ
Укажите значение S, при котором:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах — количество камней в позиции

Дерево не должно содержать партий, невозможных при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не является верным ответом на это задание.

Задание 19.
• а) Петя может выиграть, если S = 15, … 28

15, ..., 28 - выигрышные позиции с первого хода

• б) Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если в куче будет S = 14 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 15 или 28 камней. В обоих случаях Ваня удваивает кучу и выигрывает в один ход.

S = 14
Петя: 14 + 1 = 15  выигрышная позиция (см. п. а). Выигрывает Ваня
Петя: 14 * 2 = 28   выигрышная позиция (см. п. а). Выигрывает Ваня

14 - проигрышная позиция

Задание 20.

• Возможные значения S: 7, 13. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 14 камней: в первом случае удвоением, во втором — добавлением одного камня. Эта позиция разобрана в п. 1б. В ней игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выиграть не может, а его противник (то есть Петя) следующим ходом выиграет.

S = 7
Петя: 7 * 2 = 14  проигрышная позиция (см. п. 1 б). Выигрывает Петя
S = 13
Петя: 13 + 1 = 14 проигрышная позиция (см. п. 1 б). Выигрывает Петя

7, 13 - выигрышные позиции со второго хода

Задание 21.

• Возможные значения S: 12. После первого хода Пети в куче будет 13 или 24 камня. Если в куче их станет 24, Ваня удвоит количество камней и выиграет первым ходом. Ситуация, когда в куче 13 камней, разобрана в п. 2. В этой ситуации игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом.

S = 12
Петя: 12 + 1 = 13  
Ваня: 13 + 1 = 14 проигрышная позиция (см. п. 1 б). Выигрывает Ваня вторым ходом!

В таблице изображено дерево возможных партий (и только их) при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) подчеркнуты. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде.

Дерево всех партий, возможных при стратегии Вани:

* красный круг означает выигрыш

19_4: Досрочный егэ по информатике 2018, вариант 1. Задание 19:

Два игрока, Паша и Вася, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня или увеличить количество камней в куче в пять раз. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 69.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 69 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 68.

19.
а) S ≥ 14. При количестве камней в куче от 14 и выше Паше необходимо увеличить их количество в пять раз, тем самым получив 70 или более камней.

S ≥ 14 выигрышные позиции

 
б) S = 13. Паша своим первым ходом может сделать 14, 17 или 65 камней, после этого Вася увеличивает количество в пять раз, получая 70, 85 или 325 камней в куче.

S = 13 
Паша 1 ход: 13 + 1 = 14
Паша 1 ход: 13 + 4 = 17
Паша 1 ход: 13 * 5 = 65

Ваня 1 ход: [14, 17, 65] * 5 = S ≥ 14  Ваня выигрывает

13 - проигрышная позиция

20. S = 9, 12. Для данных случаев Паше необходимо прибавить 4 камня к куче из 9 камней, либо 1 камень к куче из 12, и получить кучу из 13 камней.
После чего игра сводится к стратегии, описанной в пункте 1б.

S = 13 
Паша 1 ход: 9 + 4 = 13  Паша выигрывает
Паша 1 ход: 12 + 1 = 13 Паша выигрывает

9, 12 - выигрышные позиции со второго хода

21. S = 8. Своим первым ходом Паша может сделать количество камней в куче 9, 12 или 40. Если Паша увеличивает кол-во в пять раз, тогда Вася выигрывает своим первым ходом, увеличивая количество камней в пять раз.
Для случая 9 и 12 камней Вася использует стратегию, указанную в п.2.

S = 8 
Паша 1 ход: 8 + 1 = 9   Ваня Выигрывает (см. п.2)
Паша 1 ход: 8 + 4 = 12  Ваня Выигрывает (см. п.2)
Паша 1 ход: 8 * 5 = 40  

19_1:

Два игрока, Паша и Валя, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 7 камней, за один ход можно получить кучу из 14 или 8 камней. У каждого игрока, чтобы сделать ход, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 28. Если при этом в куче осталось не более 44 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. Например, если в куче было 23 камня, и Паша удвоит количество камней в куче, то игра закончится и победителем будет Валя. В начальный момент в куче было S камней, 1≤ S ≤ 27.

Задание 19 ЕГЭ
а) При каких значениях числа S Паша может выиграть в один ход? Укажите все такие значения и соответствующие ходы Паши.
б) У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 26, 25, 24? Опишите выигрышные стратегии для этих случаев.

Задание 20 ЕГЭ
У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 13, 12? Опишите соответствующие выигрышные стратегии.

Задание 21 ЕГЭ
У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 11? Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах — количество камней в позиции.

Задание 19 ЕГЭ:

а) Паша имеет выигрышную стратегию и может выиграть за один ход, если S = 27: тогда ему достаточно добавить один камень, чтобы игра закончилась при 28 камнях в куче; или если S = 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 (44/2 = 22 и 28/2 = 14, т.е. от 14 до 22): тогда необходимо удвоить кучу.

S=27
Паша: 27 + 1 = 28 - Выигрыш!

27 - выигрышная позиция

б) При S = 26 выигрышная стратегия есть у Вали. Паша делает ход первым, у него есть возможность либо удвоить количество камней в куче, и тогда количество превысит 44, — выигрывает Валя; либо увеличить количество на один камень, станет 27 камней: следующая Валя, — она может положить один камень и выиграть.

S=26
Паша: 26 * 2 = 52   Валя выигрывает! или:
Паша: 26 + 1 = 27
Валя: 27 + 1 = 28 - Выигрыш! 

26 - проигрышная позиция

При S = 25 выигрышная стратегия есть у Паши. Удваивать количество камней нет смысла, т.к. количество превысит 44, значит, Паша добавит один камень, их станет 26, следующая Валя, — она может либо добавить камень (станет 27 камней, следующим ходом выиграет Паша) либо удвоить — и сразу проиграть, т.к. станет более 44 камней.

S=25
Паша: 25 + 1 = 26
Валя: 26 ...  проигрышная позиция (см. выше) Паша выигрывает!

25 - выигрышная позиция

При S = 24 выигрышная стратегия есть у Вали. Паша делает ход первым: удваивать кучу нет смысла, т.к. в ней станет более 44, значит, Паша добавит один камень, их станет 25; следующая — Валя: она может только добавить один камень (станет 26 камней, следующим ходом Паша оказывается в проигрышной позиции, см. пункт при S = 26).

S=24
Паша: 24 + 1 = 25 
Валя: 25 ...  выигрышная позиция (см. выше) Валя выигрывает!
 
24 - проигрышная позиция

Задание 20 ЕГЭ:

При S = 13 или S = 12 выигрышная стратегия есть у Паши. Паша удваивает количество и в куче остается 26 или 24 камня. Это проигрышная позиция для того, кто ходит (см. п. 1 б), а следующий ход за Валей.

Задание 21 ЕГЭ:

При S = 11 выигрышная стратегия есть у Вали. Паша делает первый ход: в куче остается либо 22, либо 12 камней. Обе эти позиции выигрышные для того, кто ходит. При S = 12 последовательность игры описана в пункте 2, а при S = 22 — в пункте 1а.

  
Дерево возможных партий:


* Для Вали отображены только ходы по стратегии
** красный круг означает выигрыш
*** фиолетовый круг — конец игры (проигрыш)

19_5:

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 73.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 73 камня или больше.

Задание 1.

Для каждой из начальных позиций (6, 33), (8, 32) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.

Задание 2.

Для каждой из начальных позиций (6, 32), (7, 32), (8, 31) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию.

Задание 3.

Для начальной позиции (7, 31) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной вами выигрышной стратегии. Представьте дерево в виде рисунка или таблицы.

• Задание 1. В начальных позициях (6, 33), (8, 32) выигрышная стратегия есть у Вани.
• Задание 2. В начальных позициях (6, 32), (7, 32) и (8, 31) выигрышная стратегия есть у Пети.
• Задание 3. В начальной позиции (7, 31) выигрышная стратегия есть у Вани.

19_2: 2017 год (один из вариантов со слов выпускника):

Петя и Ваня играют в игру: есть набор слов, необходимо последовательно называть буквы этих слов. Побеждает тот игрок, который называет последнюю букву любого слова из набора. Петя ходит первым.

Например, есть набор слов {Волк, Информатика, Страшно}; для заданного набора слов Петя своим первым ходом может назвать букву В, И или С. Если Петя выберет букву В, то победит Ваня (следующие ходы: Петя — В, Ваня — О, Петя — Л, Ваня — К).

  
Задание 1
А) Даны 2 слова (набора букв) {ИКЛМНИКЛМНХ, НМЛКИНМЛКИ}. Определить выигрышную стратегию.

Б) Даны 2 слова {ТРИТРИТРИ…ТРИ, РИТАРИТАРИТАРИТА…РИТА}. В первом слове 99 букв, во втором 164. Определить выигрышную стратегию.

Задание 2
Необходимо поменять две буквы местами из набора пункта 1А в слове с наименьшей длинной так, чтобы выигрышная стратегия была у другого игрока. Объяснить выигрышную стратегию.

Задание 3
Дан набор слов {Ворона, Волк, Волна, Производная, Прохор, Просо}. У кого из игроков есть выигрышная стратегия? Обосновать ответ и написать дерево всех возможных партий для выигрышной стратегии.

А) Для выигрыша Пете достаточно выбрать первую букву слова с нечетным количеством букв, тогда последний ход делает Петя. При исходном наборе слов выигрышная стратегия есть у Пети. Она заключается в том, что своим первым ходом он должен выбрать букву И (слово ИКЛМНИКЛМНХ из 11 букв). Ване придется выбрать букву К. Таким образом, они последовательно будут называть буквы первого слова, пока Петя не выберет последнюю букву Х. На этом игра закончится выигрышем Пети. При данной стратегии возможна только одна партия. Заключением партии будет написано слово ИКЛМНИКЛМНХ.

Б) При исходном наборе слов выигрышная стратегия есть у Пети. Она заключается в том, чтобы выбрать слово с нечетным количеством букв, т.к. при такой стратегии последнюю букву в любом случае записывает Петя. Т.о., Петя должен выбрать букву Т, т.к. в первом слове 99 букв.

2. Если поменять местами во втором слове (НМЛКИНМЛКИ) буквы Н и И, то получится следующий набор слов:

   {ИКЛМНИКЛМНХ, ИМЛКННМЛКИ}
   

   Для данного набора выигрышная стратегия есть у Вани. Петя в любом случае должен будет выбрать букву И, а Ваня следующим ходом может перевести игру в проигрышную позицию для Пети, т.е. перейти на второе слово, назвав букву М. Такая стратегия приведет Ваню к выигрышу, так как последнюю букву слова — И — запишет именно он.

3. Выигрышная стратегия есть у Вани, так как при любом выборе Пети, Ваня может перевести игру в проигрышную позицию для Пети, т.е. «перейти» на слово с четным количеством букв. Такая стратегия позволит Ване написать последнюю букву и тем самым выиграть игру.

Дерево возможных партий:

* Для Вани отображены только ходы по стратегии
** Красный круг означает выигрыш