Теория игр программирование егэ информатика

Продолжаем наш видеокурс по подготовке к ЕГЭ по информатике 2023!

Сегодня разберём задачи из 19, 20 и 21 задания ЕГЭ по информатике. Для этих задач существует спасительный шаблон на Python, который позволяет получить на них правильные ответы и затратить минимум сил и времени.

Приступим к первой серии задач из демоверсии ЕГЭ по информатике 2021 года.

Задание 19 (Демо 2021)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат
две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один
ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень
или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть
в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем
обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх
позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы,
у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах
становится не менее 77. Победителем считается игрок, сделавший
последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой
в кучах будет 77 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было семь камней, во второй куче –
S камней; 1 ≤ S ≤ 69.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может
выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит
описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может
встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной
стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока,
не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся
выигрышными независимо от игры противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого
хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация
возможна.

Решение:

Решим задачу с помощью шаблона на языке программирования Python. Если хотите ознакомится с аналитическим решением задач на теорию игр, можете посмотреть мои статьи по 19 Заданию, 20 Заданию, 21 Заданию. Но с помощью шаблонов на экзамене решать быстрее и легче.

Введём параметр p, который будет олицетворять позицию игры (ход).

def F(x, y, p):
    if x + y >= 77 and p==3: return True
    if x + y < 77 and p==3: return False

    return F(x+1, y, p+1) or F(x*2, y, p+1) or F(x, y+1, p+1) or F(x, y*2, p+1)
  

for s in range(1, 70):
    if F(s, 7, 1):
        print(s)

Заводим функцию F. Она принимает параметры: x — количество камней в одной куче, y — в другой, p-позиция игры.

Дальше описываем победу. Если x+y>=77 и позиция равна 3 (1 Ход Вани), то возвращаем True, что означает победу.

Если, позиция уже равна 3, но сумарное количество камней меньше, чем должно быть для победы, то возвращаем False (проигрыш).

Если мы не вышли на первых двух условиях, то, значит, продолжаем прокручивать ходы, рекурсивно запускаем функцию F.

Т.к. здесь формулировка: «Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого
хода Пети.», то между функциями ставим союз ИЛИ (or).

В конце перебираем все возможные значения для s через цикл for, ищём те значения, которые подходят по условию задачи. Значение p всегда увеличиваем на 1.

Ответ: 18

Задание 20 (Демо 2021)

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два таких значения S,
при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно
выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как
будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Решение:

Легко переделать из прошлой задачи.

def F(x, y, p):
    if x + y >= 77 and p==4: return True
    if x + y < 77 and p==4: return False
    if x + y >= 77: return False

    if p%2==0:
        return F(x+1, y, p+1) and F(x*2, y, p+1) and F(x, y+1, p+1) and F(x, y*2, p+1)
    else:
        return F(x+1, y, p+1) or F(x*2, y, p+1) or F(x, y+1, p+1) or F(x, y*2, p+1)
  

for s in range(1, 70):
    if F(s, 7, 1):
        print(s)

Теперь должен выигрывать Петя на своём втором ходе. Поэтому в условиях ставим позицию p=4.

Добавляется третье условие. Если кто-то выиграл, но на первых двух условиях мы не вышли из функции, то, значит, выиграл не тот, кто нам нужен, следовательно, возвращаем Fasle.

Здесь вопрос отличается от 19 задания. Здесь Петя должен побеждать при любом ходе соперника, а не при одном неудачном ходе Вани, поэтому добавляется ещё условие.

Для чётных p (это ходы Пети), возвращаем разные ходы через and, т.к. он должен побеждать в любом случае.

Для нечётных p (это ходы Вани), возвращаем ходы через or.

Ответ:

Задание 21 (Демо 2021)

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при
котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть
первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно
выиграть первым ходом.

Решение:

Опять используем прошлый шаблон, но немного модернизируем.

def F(x, y, p):
    if x + y >= 77 and (p==3 or p==5): return True
    if x + y < 77 and p==5: return False
    if x + y >= 77: return False

    if p%2==1:
        return F(x+1, y, p+1) and F(x*2, y, p+1) and F(x, y+1, p+1) and  F(x, y*2, p+1)
    else:
         return F(x+1, y, p+1) or F(x*2, y, p+1) or F(x, y+1, p+1) or  F(x, y*2, p+1)


def F1(x, y, p):
    if x + y >= 77 and p==3: return True
    if x + y < 77 and p==3: return False
    if x + y >= 77: return False

    if p%2==1:
        return F1(x+1, y, p+1) and F1(x*2, y, p+1) and F1(x, y+1, p+1) and  F1(x, y*2, p+1)
    else:
         return F1(x+1, y, p+1) or F1(x*2, y, p+1) or F1(x, y+1, p+1) or  F1(x, y*2, p+1)

for s in range(1, 70):
    if F(s, 7, 1):
        print(s)

print()

for s in range(1, 70):
    if F1(s, 7, 1):
        print(s)

Здесь Ваня должен выигрывать либо на первом своём ходе (p=3), либо на втором своём ходе (p=5).

Т.к. Ваня не должен гарантированно выиграть своим первым ходом, то мы создаём ещё одну функцию F1, похожую на основную функцию F, которая вычисляет, когда Ваня именно гарантированно выигрывает на своём первом ходе (p=3). И, затем, мы из тех чисел, которые получились в первой функции F, исключаем числа, которые получились во второй функции F1.

В первой функции получилось 30,33, а во второй результатов нет. Получается ответ 30.

Ответ: 30

Следущая вариация задач отличается от первой лишь задачей в 19-ом задании. Рассмотрим демоверсию ЕГЭ по информатике 2022. Так же в этой серии задач будет одна куча, но из-за этого шаблон практически никак не меняется.

Задание 19 (Демо 2022)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит
куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход
игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней
в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть
неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится
не менее 29. Победителем считается игрок, сделавший последний ход,
т.е. первым получивший кучу, в которой будет 29 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 28.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может
выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит
описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может
встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной
стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока,
не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся
выигрышными независимо от игры противника.

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход,
но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Решение:

Здесь вопрос отличается от прошлой 19-ой задачи. Здесь Петя должен выиграть в любом случае. Мы эту задачу можем воспринимать, как 20-ую из демоверсии 2021. Ведь там тоже игроку нужно обязательно было побеждать. Осталось написать шаблон с соответствующими параметрами.

def F(x, p):
    if x>=29 and p==3: return True
    if x<29 and p==3: return False
    if x>=29: return False

    if p%2==1:
        return F(x+1, p+1) and F(x*2, p+1)
    else:
         return F(x+1, p+1) or F(x*2, p+1)

for s in range(1, 29):
    if F(s, 1):
        print(s)

Заводим функцию F. Т.к. у нас одна куча, то она принимает параметры: x — количество камней в куче, p-позиция игры.

Дальше описываем победу. Если x>=29 и позиция равна 3 (1 Ход Вани), то возвращаем True, что означает победу.

Если, позиция уже равна 3, но камней меньше, чем должно быть для победы, то возвращаем False (проигрыш).

Третье условие. Если кто-то выиграл, но на первых двух условиях мы не вышли из функции, то, значит, выиграл не тот, кто нам нужен, следовательно, возвращаем Fasle.

Если мы не вышли на первых трёх условиях, то, значит, продолжаем прокручивать ходы, рекурсивно запускаем функцию F.

Для нечётных p (это ходы Вани), возвращаем разные ходы через and, т.к. он должен побеждать в любом случае. При этом увеличиваем на 1 значение p.

Для чётных p (это ходы Пети), возвращаем ходы через or.

В конце перебираем все возможные значения для s через цикл for, ищём те значения, которые подходят по условию задачи.

Ответ: 14

Задание 20 (Демо 2022)

Для игры, описанной в задании 19, найдите два таких значения S, при
которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно
выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как
будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Решение:

Задача точно такая же, как и в 19 задании, только теперь обязательно должен побежать Петя на своём втором ходу (p=4), при любой игре Вани.

Пишем тот же шаблон, немного отредактировав его.

def F(x, p):
    if x>=29 and p==4: return True
    if x<29 and p==4: return False
    if x>=29: return False

    if p%2==0:
        return F(x+1, p+1) and F(x*2, p+1)
    else:
         return F(x+1, p+1) or F(x*2, p+1)

for s in range(1, 29):
    if F(s, 1):
        print(s)

Получается 7 и 13.

Ответ:

Задание 21 (Демо 2022)

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение S, при котором
одновременно выполняются два условия:

− у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть
первым или вторым ходом при любой игре Пети;

− у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть
первым ходом.

Если найдено несколько значений S, в ответе запишите минимальное из них.

Решение:

Опять используем прошлый шаблон, но немного модернизируем.

def F(x, p):
    if x>=29 and (p==3 or p==5): return True
    if x<29 and p==5: return False
    if x>=29: return False

    if p%2==1:
        return F(x+1, p+1) and F(x*2, p+1)
    else:
         return F(x+1, p+1) or F(x*2, p+1)


def F1(x, p):
    if x>=29 and p==3: return True
    if x<29 and p==3: return False
    if x>=29: return False

    if p%2==1:
        return F1(x+1, p+1) and F1(x*2, p+1)
    else:
         return F1(x+1, p+1) or F1(x*2, p+1)

for s in range(1, 29):
    if F(s, 1):
        print(s)

print()

for s in range(1, 29):
    if F1(s, 1):
        print(s)

Здесь Ваня должен выигрывать либо на первом своём ходе (p=3), либо на втором своём ходе (p=5).

Т.к. Ваня не должен гарантированно выиграть своим первым ходом, то мы создаём ещё одну функцию F1, похожую на основную функцию F, которая вычисляет, когда Ваня именно гарантированно выигрывает на своём первом ходе (p=3). И, затем, мы из тех чисел, которые получились в первой функции F, исключаем числа, которые получились во второй функции F1.

В первой функции получилось 12,14, а во второй 14. Получается ответ 12.

Ответ: 12

На сегодня всё. Мы рассмотрели самые распространённые вариации задач из 19-21 задания и подобрали к ним «противоядие». До новых встреч!

На этой странице вы узнаете

• Как выбрать пуленепробиваемую логику решения?
• Как будет выглядеть общая структура необходимых функций?

Чем пингвин-киборг круче пингвина-мужчины? Вторые имеют неограниченное количество камней и придумывают разнообразные азартные игры с ними. А пингвины-киборги довольно умны, чтобы не играть в азартные игры на свои драгоценные камни, и настолько самодостаточны, что играют только с собой. 

Идея решения

В статье «Теория игр» мы подробно рассмотрели, как не проигрывать в играх с камнями или заранее знать, что проиграем. Если вы ещё не знакомы с этой темой, советуем сначала заглянуть в ту статью, а потом вернуться сюда.

Итак, мы мега-мозги в теории игр и полны решимости применять узнанное на практике. Пора заставить программу выполнить за нас всю работу.

Неплохо было бы и программе дать знать, как найти и проверить выигрышные и проигрышные позиции. Здесь нам пригодятся функции из статьи «Функция и рекурсия».

1. Одна функция будет проверять позиции на выигрыш за один ход.
2. Другая будет проверять проигрышные позиции за один ход. Из них будут ходы в выигрышные, что мы определим с помощью первой функции.
3. Третья сможет проверить более сложные выигрышные позиции. Они приведут в проигрышные, что мы определим с помощью второй функции.

Идея последовательного решения поможет нам выстроить любую логику и найти любую позицию. Самое приятное: считать все это придется не нам, а программе.

Реализация решения

Для решения задачи нужно придумать саму задачу. Пусть условие будет такое:

1. Играют два пингвина — Петр и Виссарион. Петр ходит первым.
2. Перед ними лежит одна куча камней. На своем ходу игрок может добавить в кучу 3 камня или увеличить количество камней в куче в 4 раза. 
   Например, если в куче находится 10 камней, игрок может увеличить это значение до 13 или до 40.
3. Игра продолжается до тех пор, пока в куче не окажется 203 камня или больше. 
4. Выигрывает тот, кто сделает последний ход.

В начале игры в куче лежало Х камней (1 <= X <= 202).

Проверка выигрыша за 1 ход

Из каких позиций Петр выиграет первым ходом?

Напомню:

Позиция, выигрышная за 1 ход, — та, из которой есть хотя бы один такой ход, который даст нам выигрышное значение.

Проверяем возможные ходы. Хотя бы один из них должен дать выигрышное значение — 203 и больше. Когда нужен “хотя бы один” — используем or.

Важно сформулировать задачу для программы как можно четче. Например, в дальнейшем функции может попасться на проверку значение, большее или равное 203. Нет необходимости рассматривать эту позицию, так как это уже выигрышное значение, выигрывать дальше из него нет никакого смысла. Учтем в условии: ранее достигнутое выигрышное значение не будет выигрышной позицией.

Итак, вид функции будет следующим:

def win1(X):
	return (X < 203 and (X + 3 >= 203 or X * 4 >= 203))

Найдем с ее помощью все позиции, выигрышные за 1 ход. Используем цикл for и переберем диапазон значений Х. Найдя подходящее, занесем его в отдельный массив. Тогда мы сразу получим все подходящие значения и без проблем узнаем любую информацию о них: количество, минимальное или максимальное значение и так далее.

def win1(X):
	return (X < 203 and (X + 3 >= 203 or X * 4 >= 203))

ans = []
for i in range(1, 203):
	if win1(i):
		ans.append(i)

print(len(ans))

_____________________________________________________________________
Вывод: 152

Проверка проигрыша за 1 ход

Из каких позиций у Пети нет никаких шансов обыграть Виссариона? 

Напомним:

Позиция, проигрышная за 1 ход, — та, любой ход из которой ведет в выигрышную позицию, так выигрыш передается сопернику.

Проверка будет иметь несколько отличий:

1. Выигрышную позицию проверим с помощью уже написанной функции win1 — будет ли новая позиция после нашего хода выигрышной.
2. Так как каждый ход должен вести в выигрышную позицию, будем использовать and.
3. Дополнительная проверка — из текущей позиции нельзя выиграть. Если из текущей позиции можно и выиграть, и проиграть — зачем проигрывать? Шансы на победу нас сейчас не интересуют.

Функция будет иметь следующий вид:

def loss1(X):
	return ((not win1(X)) and win1(X + 3) and win1(X * 4))

Поиск подходящих значений будет происходить так же, как и в предыдущей задаче — перебором подходящих значений и их сохранением в массив:

def win1(X):
	return (X < 203 and (X + 3 >= 203 or X * 4 >= 203))

def loss1(X):
	return ((not win1(X)) and win1(X + 3) and win1(X * 4))

ans = []
for i in range(1, 203):
	if loss1(i):
		ans.append(i)

print(ans)
_____________________________________________________________________
Вывод: [48, 49, 50]

Проверка выигрыша за 2 хода

Рассмотрим особую позицию.

При каких условиях Петр однозначно обыграет Виссариона, но не с первого своего хода, а только со второго?

Хотя бы один ход из такой позиции должен передать проигрыш нашему сопернику.

Как будем действовать?

1. “Хотя бы один ход” — используем or.
2. Для проверки используем уже написанную функцию loss1 — будет ли позиция после нашего хода проигрышной.
3. Дополнительная проверка по условию задачи — из текущей позиции нельзя выиграть за 1 ход.

Вид самой функции:

def win2(X):
	return ((not win1(X)) and (loss1(X + 3) or loss1(X * 4)))

Поиск подходящих значений с ее помощью:

def win1(X):
	return (X < 203 and (X + 3 >= 203 or X * 4 >= 203))

def loss1(X):
	return ((not win1(X)) and win1(X + 3) and win1(X * 4))

def win2(X):
	return ((not win1(X)) and (loss1(X + 3) or loss1(X * 4)))

ans = []
for i in range(1, 203):
	if win2(i):
		ans.append(i)

print(ans)
_____________________________________________________________________
Вывод: [12, 45, 46, 47]

Фактчек

• Написание функций для проверки позиций на выигрышную/проигрышную — идеальный вариант, так как так мы сможем использовать их повторно в последующих проверках.
• Если проверяем позицию на выигрышную за два хода, нужно получить хотя бы одну проигрышную позицию. В проверке ходов используется or.
• Если проверяем позицию на проигрышную, нужно, чтобы каждая из позиций после хода игрока была выигрышной. В проверке используем and.
• Нельзя забывать про дополнительные условия — какие позиции не должны рассматриваться, какими позиции не должны быть.

Проверь себя

Условие задачи:

1. Играют два пингвина — Петр и Виссарион. Петр будет ходить первым.
2. Перед ними лежит одна куча камней. На своем ходу игрок может добавить в кучу 8 камней или увеличить количество камней в куче в 3 раза. Например, если в куче находится 10 камней, игрок может увеличить это значение до 18 или до 30.
3. Игра продолжается до тех пор, пока в куче не окажется 145 камней или больше. Выигрывает тот, кто сделает последний ход.
4. В начальный момент в куче лежит Х камней (1 <= X <= 144).

Задание 1.
Сколько существует значений Х таких, что Петр выиграет первым же своим ходом?

1. 96
2. 8
3. 45
4. 15

Задание 2.
Выберите минимальное значение Х такое, что при игре из него Виссарион выиграет первым своим ходом вне зависимости от игры Петра.

1. 17
2. 41
3. 40
4. 48

Задание 3.
Выберите максимальное значение Х такое, что Петр сможет выиграть Виссариона при любой его игре на своем втором ходу, но не сможет выиграть первым своим ходом.

1. Таких значений не существует
2. 14
3. 15
4. 40

Ответ: 1. — 1; 2. — 2; 3. — 4.

Введение

Привет друг! Проблемы с теорией игр? В этой статье мы разберем код, который решает любые прототипы стандартных 19-21 задач из КЕГЭ. Чтобы максимально понять ниже описанный код, я крайне рекомендую сначала научиться решать эти задачи ручками.

Условие

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в четыре раза.
В начальный момент в первой куче было 3 камня, во второй куче — S камней, 1 ≤ S ≤ 57. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 61. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 61 или больше камней.

1. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

2. Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

   • Петя не может выиграть за один ход;
   • Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

3. Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

   • у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
   • у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение

Winpos

Первым делом нам надо написать функцию, которая будет возвращать True если игрок находиться в выигрышной позиции и False если игрок не находиться в выигрышной позиции.

Обозначим переменные count1 и count2 как количество камней в 1 и 2 куче соответственно.
Если изначально суммарное количество камней в кучах меньше 61

if (count1 + count2 < 61)

и при любом следующем ходе оно становиться больше либо равно 61

((count1 + count2 + 1 >= 61) or
(count1 * 4 + count2 >= 61) or 
(count1 + count2 * 4 >= 61))

то мы возвращаем True, что означает что игрок находиться в выигрышной позиции.
Иначе мы возвращаем False, что означает что игрок не находиться в выигрышной позиции.

def winpos(count1, count2):
    if (count1 + count2 < 61) and ((count1 + count2 + 1 >= 61) or
       (count1 * 4 + count2 >= 61) or (count1 + count2 * 4 >= 61)):
        return True
    else:
        return False

Первая функция готова, приступим к написанию следующей.

Losspos

Теперь нам надо написать функцию, которая будет возвращать True если игрок находится в проигрышной позиции и False если игрок не находится в проигрышной позиции.

Если изначально игрок не находиться в выигрышной позиции

if not winpos(count1, count2)

и каждый следующий ход противника является выигрышным

(winpos(count1 + 1, count2) and winpos(count1, count2 + 1) and
 winpos(count1 * 4, count2) and winpos(count1, count2 * 4))

то мы возвращаем True, что означает что игрок находиться в проигрышной позиции.
Иначе, мы возвращаем False, что означает что игрок не находиться в проигрышной позиции.

def losspos(count1, count2):
    if not winpos(count1, count2) and (winpos(count1 + 1, count2) and
        winpos(count1, count2 + 1) and winpos(count1 * 4, count2) and
        winpos(count1, count2 * 4)):
        return True
    else:
        return False

Вторая функция готова, осталась еще одна.

Prewinpos

Последняя функция должна возвращать True если игрок находится в предвыигрышной позиции и False если игрок не находится в предвыигрышной позиции.

Если изначально игрок не находится в выигрышной позиции

if not winpos(count1, count2)

и любой следующий ход противника является проигрышным

(losspos(count1 + 1, count2) or losspos(count1, count2 + 1) or
 losspos(count1 * 4, count2) or losspos(count1, count2 * 4)):

то мы возвращаем True, что означает что игрок находится в предвыигрышной позциии.
Иначе, мы возвращаем False, что означает что игрок не находиться в предвыигрышной позциии.

def prewinpos(count1, count2):
    if not winpos(count1, count2) and (losspos(count1 + 1, count2) or
        losspos(count1, count2 + 1) or losspos(count1 * 4, count2) or
        losspos(count1, count2 * 4)):
        return True
    else:
        return False

Основа готова, осталось просто перебрать значения, чем мы сейчас и займемся.

1 Задача

Условие задачи можно воспринимать так: «Ваня находиться в выигрышной позиции(выигрывает за один ход)».

Изначально в первой куче 3 камня

count1 = 3

а во второй куче S камней, 1 ≤ S ≤ 57

for s in range(1, 58):

Перебираем все возможные комбинации с S, при которых игрок находится в выигрышной позиции

if winpos(count1 + 1, s) or winpos(count1, s + 1) or
   winpos(count1 * 4, s) or winpos(count1, s * 4):

и если хоть одна такая комбинация существует, то мы выводим S на экран и прерываем цикл.

print("19:", s)
break

Получается следующий код, который решает эту задачу

count1 = 3
for i in range(1, 58):
    if winpos(count1 + 1, i) or winpos(count1, i + 1) or
        winpos(count1 * 4, i) or winpos(count1, i * 4):
        print("19:", i)
        break

2 Задача

Условие задачи можно воспринимать так: «Ваня находится в проигрышной позиции».

Перебираем все возможные комбинации с S, при которых игрок находиться в проигрышной позиции, и если такие комбинации существуют, то мы выводим S на экран

for i in range(1, 58):
    if losspos(count1 + 1, i) or losspos(count1, i + 1) or
        losspos(count1 * 4, i) or losspos(count1, i * 4):
        print("20:", i)

3 Задача

Условие задачи можно воспринимать так: «Ваня находиться или в выигрышной или в предвыигрышной позиции»

Перебираем все возможные комбинации с S, при которых игрок находиться или в выигрышной или в предвыигрышной позиции, и если такие комбинации существуют, то мы выводим S на экран

if (winpos(count1 + 1, i) or predwinpos(count1 + 1, i)) and 
   (winpos(count1, i + 1) or predwinpos(count1, i + 1)) and 
   (winpos(count1 * 4, i) or predwinpos(count1 * 4, i)) and 
   (winpos(count1, i * 4) or predwinpos(count1, i * 4)):
   print("21:", i)

2 Способ

Подробней с этим методом решения теории игр вы можете ознакомится на канале Алексея Кабанова

Мемоизация

Для оптимизации рекурсии подключим декоратор cache из модуля functools.

from functools import cache

Moves

Напишем функцию moves, которая принимает количество камней в обеих кучах и возвращает всевозможные варианты ходов.

def moves(heap):
    a, b = heap
    return (a + 1, b), (a * 4, b), (a, b + 1), (a, b * 4)

Game

Напишем функцию game, которая рекурсивно описывает игру.

@cache
def game(heap):
    if sum(heap) >= 61:
        return 0
    steps = [game(x) for x in moves(heap)]
    if any(x % 2 == 0 for x in steps):
        return min(x for x in steps if x % 2 == 0) + 1
    else:
        return max(steps) + 1

1-3 задача

Перебираем все значения s и выводим на экран необходимые данные.

for s in range(57, 0, -1):
    print(s, ": ", game((3, s)), " | ", [game(x) for x in moves((3, s))])

На выходе мы получаем полное дерево игры, в котором можно увидеть ответы на поставленные задачи.

Public user contributions licensed under
cc-wiki license with attribution required

Хотите готовиться со мной к ЕГЭ?
Пишите: ydkras@mail.ru
Немного обо мне.

В задачах 19-21 ЕГЭ по информатике требуется проанализировать некую простую игру. Однако хотя игра и проста, её анализ может оказаться достаточно хитрым делом. Поэтому приходит мысль: а нельзя ли, чтобы этот анализ выполнил компьютер? (Спойлер: Можно!)

Немного теории.

Основную идею, лежащую в основе теории игр, подобных описанным в задачах ЕГЭ, можно выразить в двух словах: игроки умные. Это означает, что если у кого-то из игроков в текущей позиции есть возможность сделать выигрышный ход, то он этот ход сделает.

Таким образом, если в текущей позиции у игрока есть хотя бы один ход, ведущий к выигрышу, то это — выигрышная позиция для данного игрока. 

Если же в ответ на любой ход текущего игрока его противник выигрывает, то для текущего игрока такая ситуация — проигрышная.

Теперь более-менее понятно, как должна выглядеть программа, анализирующая ход игры. Прежде всего она должна проверить, не выиграл ли уже кто-то из игроков. Если это так — то дальнейший анализ позиции не требуется. 

Затем нужно просмотреть все возможные ходы текущего игрока. Если них есть хоть один выигрышный для него — в данной позиции он выиграл. Если же при любом его ходе выигрывает его противник — то можно считать, что данный игрок уже проиграл.

Если же неверно ни первое, ни второе — то ситуация неопределенная.(Вообще-то для игр из задач ЕГЭ всегда можно сказать, кто из игроков выиграет, такая неопределенность возникает только из-за ограничения на число ходов.)

Данную процедуру следует рекурсивно применять к позициям, возникающим по ходу игры.

А теперь — практика.

Решим программно задачи 19-21 из 8 варианта с сайта Полякова. Условие выглядит следующим образом:

(№ 3084) (А. Кабанов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру.
Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход
делает Петя. За один ход игрок может
  а) добавить в кучу один камень;
  б) увеличить количество камней в куче в два раза;
  в) увеличить количество камней в куче в три раза.
Игра
завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не
менее 43. Если при этом в куче оказалось не более 72 камней, то
победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае
победителем становится его противник. В начальный момент в куче было S
камней, 1≤S≤42.
Ответьте на следующие вопросы:
  Вопрос 1. Найдите минимальное значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.
  Вопрос 2. Сколько существует значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
  Вопрос 3. Найдите минимальное и максимальное значения S, при которых одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Функция имеет три параметра: number (номер хода), limit (ограничение на количество ходов) и s (количество камней в куче). При первом обращении следует задавать значение number,  равное 1 (т.е. ходы мы нумеруем с единицы).

Переменная player принимает значение 1 для нечетных номеров ходов (т.е. ходы 1, 3 и т.д. совершает первый игрок) и значение 2 — для четных номеров. Переменная rival, наоборот, равна 2 для нечетных номеров ходов и 1 — для четных. Таким образом, player — это номер игрока, который делает текущий ход, а rival — номер его противника.

Прежде всего функция проверяет, не завершилась ли игра. Если число камней S не менее 43 и не более 72, то это означает, что текущий игрок проиграл: перед этим его противник сделал победный ход. Функция завершается, вернув значение rival. Если же число камней более 72, то соперник текущего игрока только что сделал проигрышный для себя ход, и выиграл текущий игрок. Программа возвращает значение player. 

Далее проверяется ограничение на число ходов. Если это ограничение превышено (number>limit), то дальнейшие ходы не выполняются и программа возвращает значение 0 (т.е. победитель не определён).

Далее осуществляются рекурсивные вызовы функции  hod с параметром number+1 (т.е. номер хода увеличен на единицу), с тем же самым значением limit и числом камней в куче 3S, 2S и S+1 (согласно условиям задачи).

Рекомендую сначала проверять значения, как можно сильнее отличающиеся от исходного (т.е. 3S и 2S) и потом S+1. Это позволяет уменьшить число вершин «дерева игры», которые анализирует программа. С этой же целью программа, обнаружив выигрышный для текущего игрока ход (т.е. результат вызова функции равен player), немедленно возвращает значение player и не выполняет дальнейших проверок ходов.

Если все три результата ходов равны rival, то в данной позиции все ходы текущего игрока приводят к его проигрышу, и программа возвращает значение rival. 

Если же для текущего игрока нет ни одного выигрышного хода, но у него есть ходы, не приводящие к его проигрышу, то ситуация неопределённая, и программа возвращает 0.

Теперь проведем анализ данной игры и получим ответы на заданные в задаче вопросы.

Первый вопрос: каково минимальное значение S, при котором второй игрок выигрывает своим первым ходом? Для ответа на него достаточно вызвать функцию для всех значений S таких, что 1<=S<=42, с ограничением на количество ходов, равным 2 (т.е. игроки делают по одному ходу). Если функция hod вернет значение, равное 2, то при данном начальном значении S второй игрок выигрывает в любом случае.

Второй вопрос: сколько имеется значений S, при которых первый игрок не может выиграть своим первым ходом, но гарантированно выигрывает вторым?

Для этого надо запустить программу два раза, первый раз с ограничением на число ходов 1, а второй раз — с ограничением 3. Если в первом случае программа вернет значение 0 (нет победителя), а второй — 1, то при данном S первый игрок не может гарантированно выиграть своим первым ходом, но непременно выигрывает вторым. Вместо ограничений 1 и 3 можно взять 2 и 4: дополнительный ход второго игрока (если он возможен) ничего не меняет.

Наконец, последний вопрос: при каких значениях S второй игрок не может гарантированно выиграть первым ходом, но обязательно выиграет вторым? Для этого надо опять запустить функцию дважды, с ограничением на число ходов 2 и 4. Если в первом случае функция вернет 0, а во втором — 2, то это искомое значение.   

Вот программа, которая выполняет данные проверки:

for s in range(1,43):
    h2 = hod(1,2,s)
    h4 = hod(1,4,s)
    rez = »
    if h2 == 2: rez = ‘*** 19 ***’
    if h2 == 0:
        if h4 == 1: rez = ‘*** 20 ***’
        if h4 == 2: rez = ‘*** 21 ***’
    print(s,h2, h4, rez)

Результат выполнения программы следующий (из него исключены строки, которые не дают ответов не поставленные вопросы):

7 0 1 *** 20 ***
12 0 2 *** 21 ***
13 0 1 *** 20 ***
14 2 2 *** 19 ***
39 0 2 *** 21 ***
40 0 1 *** 20 ***
41 2 2 *** 19 ***

Следовательно, ответы на вопросы задачи таковы:

Вопрос 1: такие значения — 14 и 41, минимальное — 14.

Вопрос 2: такие значения — 7, 13 и 40, всего их 3.

Вопрос 3: такие значения — 12 и 39. Минимальное — 12, а максимальное — 39.

А теперь решим задачи 19-21 из демонстрационного варианта ФИПИ 2022 г.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 29. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 29 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 28.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

19. Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20. Для игры, описанной в задании 19, найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21. Для игры, описанной в задании 19, найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
− у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
− у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе запишите минимальное из них.

Вопросы по сути те же, что и в задаче с сайта Полякова, однако правила игры другие. 

Перепишем функцию hod для данных правил:

Основная программа выглядит так же, как и в предыдущем случае. Единственное изменение — вместо range(1,43) в ней записано range(1,29).

Результат выполнения программы следующий (в нём опять-таки опущены несущественные строки):

Если Петя глуповат…

При составлении программы мы предполагали, что игроки — умные и ошибочных ходов не делают. Но на сайте «Решу ЕГЭ» очень часто встречаются задачи, где один из игроков дает маху. Вот пример задачи 19 (задача 27416):

Но как быть с тем, что наша функция предполагает безошибочную игру, а условие задачи подразумевает, что первый игрок сделал ошибочный ход? А очень просто: надо вызвать функцию четыре раза с позициями, которые могут получиться после первого хода Пети. В параметрах функции надо указать, что это — второй ход, и задать ограничение на количество ходов, равное двум. Если хотя бы в одном случае функция даст ответ, что выиграл второй игрок, то это и будет ответом на вопрос задачи.

Таким образом, основная программа выглядит так:

s1=7
for s2 in range(1,70):
    if hod(2,2,s1*2,s2)==2 or hod(2,2,s1,s2*2)==2 or hod(2,2,s1+1,s2)==2 or hod(2,2,s1,s2+1)==2:
        print(s2)
        break

Она дает правильный ответ: 18 камней.

Когда основная функция написана, не представляет сложности решить задачи 20 и 21. Вот их вопросы (правила игры, естественно, те же самые):

Основная программа опять-таки похожа на первый вариант, отличия незначительные:

s1=7
for s2 in range(1,70):
    h2 = hod(1,2,s1,s2)
    h4 = hod(1,4,s1,s2)
    rez = »
    if h2 == 0:
        if h4 == 1: rez = ‘*** 20 ***’
        if h4 == 2: rez = ‘*** 21 ***’
    print(s2,h2, h4, rez)

Результат работы программы (опять-таки опущены несущественные строки):

30 0 2 *** 21 ***
31 0 1 *** 20 ***
33 0 2 *** 21 ***
34 0 1 *** 20 ***

Таким образом, ответ на вопрос задачи 20 — это 31 и 34, а на вопрос задачи 21 — 30 (напомню, что там требуется минимальное значение из двух ответов: 30 и 33).

Итак, мы убедились, что задачи 19-21 ЕГЭ по информатике можно решить программно, и решение — не слишком сложное.

(c) Ю.Д.Красильников, 2021 г.