Четырехугольники
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
$АВ││CD;BC││AD.$
Свойства параллелограмма:
1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.
$АВ=CD;BC=AD$
$∠А=∠С; ∠В=∠D$.
2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
$∆ABD=∆BCD.$
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
$BO=OD; AO=OC.$
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
$BD^2+AC^2=2(AB^2+AD^2)$
5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник.
$∆АВК$ — равнобедренный.
6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в $90°$.
Площадь параллелограмма:
- Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними. $S=a·b·sinα$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, а $α$ — угол между этими сторонами.
- Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. $S=h_a·a$, где $a$ — сторона параллелограмма, $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$.
Пример:
Определите синус острого угла параллелограмма, если его большая высота равна $7$, а стороны $10$ и $14$.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.
$S=a·b·sinα$, из этой формулы можем выразить синус угла.
$sinα={S}/{a·b}$
Стороны параллелограмма нам известны, осталось вычислить площадь. Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение высоты на основание. Нам известна большая высота параллелограмма, а большая высота опускается к меньшей стороне параллелограмма, следовательно, $S=7·10=70$.
Подставим все известные данные в формулу синуса:
$sinα={S}/{a·b}={70}/{14·10}=0.5$
Ответ: $0.5$
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника:
- Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтму у него присутствуют все свойства параллелограмма).
- Диагонали прямоугольника равны. $BD=AC$.
Площадь прямоугольника равна половине произведения смежных (соседних) сторон.
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба:
- Все свойства параллелограмма.
- Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. $BD⊥AC$.
- Диагонали ромба являются биссектрисами углов.
Площадь ромба:
- Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. $S={d_1·d_2}/2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба
- Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус острого угла ромба. $S=a^2·sinα$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата:
- Все свойства прямоугольника.
- Все свойства ромба.
Площадь квадрата:
- $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
- $S={d^2}/{2}$, где $d$ — диагональ квадрата.
Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.
Параллельные стороны называются основаниями: $ВС$ и $AD$ — основания.
Непараллельные стороны называются боковыми сторонами: $АВ$ и $CD$ – боковые стороны.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.
Свойства средней линии трапеции:
1. Средняя линия параллельна основаниям трапеции.
$MN││BC; MN││AD.$
2. Средняя линия равна полусумме оснований.
$MN={BC+AD}/{2}$
3. Диагональ делит среднюю линию на две части, каждая из которых является средней линией получившихся треугольников.
$МК$ — средняя линия треугольника $ABD; MK={AD}/{2}$.
$KN$ — средняя линия треугольника $BCD; KN={BC}/{2}$.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
Свойства равнобедренной трапеции:
1. Углы при основаниях равны.
$∠А=∠D; ∠B=∠C.$
2. Диагонали в равнобедренной трапеции равны.
$BD=AC.$
3. Основание высоты равнобедренной трапеции, опущенной из меньшего основания, делит другое основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований.
$АС_1={BC+AD}/{2}.$
4. Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований.
$BC=B_1C_1;$
$AB_1=C_1 D={AD-BC}/{2}.$
5. Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность.
6. Если в равнобедренной трапеции диагонали пересекаются под прямым углом, то высота рана длине средней линии данной трапеции.
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
$АВ+CD=BC+AD$
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.
$∠В+∠D=180°$
$∠A+∠C=180°$
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.
Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)
- Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
- Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Признаки подобия треугольников:
- Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
- Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
- Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.
Свойства биссектрисы:
1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
2. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
$AD=DC$
3. В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.
${AB}/{AC}={BA_1}/{A_1C}$
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$AC^2+BC^2=AB^2$
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
${a}/{sinα}={b}/{sinβ}={c}/{sinγ}=2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.
Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα;$
$b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosβ;$
$c^2=b^2+a^2-2·b·a·cosγ.$
Профильный уровень ЕГЭ по математике, в отличие от базового, более сложный и его должны сдавать выпускники, планирующие поступать в вузы на технические, инженерные, экономические специальности.
Задания в экзаменационной работе обычно выстроены от простого к сложному и первое задание это, как правило, самое легкое, как бы разминочное. Так и Задание 1 ЕГЭ по профильной математике – это задание базового уровня на знания элементарной математики, представляющее собой простейшую задачу на несложные арифметические действия.
• Вид задания — текстовая задача.
• Тип — с кратким ответом.
• Сложность — базовая.
• Максимальное количество получаемых баллов — 1.
• Период выполнения — 120 секунд.
Необходимые знания
1-е Задание по профильной математике — это текстовая задача базового уровня сложности. Ответ должен быть дан в краткой форме в виде целого числа или конечной десятичной дроби, оценивается в 1 балл.
Для выполнения задания необходимо знать:
- арифметические действия;
- простые и десятичные дроби и действия с ними;
- проценты;
- пропорции;
- перевод одних единиц измерения в другие;
- построение математической модели задачи;
- интерпретация результата решения задачи;
- учет реальных ограничений в интерпретации результата.
5 типов заданий
Наиболее часто встречаются задания пяти типов:
- задачи, связанные с жизненными ситуациями (определение времени, веса, стоимости и т.д.);
- на вычисление процентов;
- на округление результата в большую или меньшую сторону;
- на пропорции;
- различные комбинации четырех предыдущих вариантов.
Опыт подготовки к ЕГЭ прошлых лет показал, что у учащихся часто возникают трудности с решением задач на перевод из одних единиц измерения в другие (часы в сек., км в см, кг в гр. и т. п.). Следует обратить внимание на то, что часы и минуты считаются не в десятичной системе, ведь в часе – 60 минут, а в минуте – 60 секунд. Наиболее эффективным способом подготовки к профильной математике являются курсы «Уникум» РУДН по математике. Здесь вы получите разбор всех типов заданий, теорию и практику, пробные варианты ЕГЭ на протяжении всей подготовки. Преподаватель курсов, в том числе, сделает разбор 1-го задания ЕГЭ по математике профильного уровня.
Примеры
Пример 1
Пример 1Автомобиль проехал 80 миль, в 1 миле 1609,34 метров. Сколько километров проехал автомобиль? Ответ округлить до целого значения.
Решение:
Определяем сколько км в 1 миле: 1 миля=1609,34 м:1000 м=1,60934 км
Сколько км проехал автомобиль: 80 миль*1,60934 км=128,7472 км
Округляем до целого значения по правилам математического округления: 128,7472 км
Ответ: 129
Пример 2
В магазине по акции продаются шоколадки. Обычная цена 1 шоколадки 35 рублей. По акции 3 шоколадки продаются по цене 2-х. Какое максимальное количество шоколадок может по акции приобрести покупатель, если он готов потратить на них не более 300 рублей?
Решение:
Определяем стоимость 3 шоколадок по акции: 2 шок.*35 руб.+1 шок.*0 руб.=70 руб.
При продаже по акции 3 шоколадки являются одной товарной позицией. Определим, сколько таких товарных позиций можно купить на 300 руб.: 300 руб.:70 руб.=4,29
Округляем до целого, т.к. шоколадки продаются только по 3 шт.: 4*3 шок.= 12 шок.
Ответ: 12
Пример 3
Площадь стен в ванной составляет 23,8 м2. Сколько понадобится пластиковых панелей для отделки стен, если панель имеет размер 40 Х 120 см.
Решение:
Переведем размеры 1 панели из см в м: 40 см:100=0,4 м и 120 см:100=1,2 м
Площадь 1 панели в м2: 0,4м*1,2м=0,48 м2
В 23,8 м2 уложится: 23,8 м2:0,48 м2=49,58 шт.
Поскольку панели продаются целиком, для покрытия всей площади понадобится 50 панелей.
Ответ: 50
Пример 4
Средняя скорость полета самолета составляет 360 км/час. Определить его среднюю скорость в м/сек.
Решение:
Переводим км в метры: 360*1000 м=360 000 м
Часы в минуты: 1 час=60 мин, минуты в секунды: 60 мин=60*60сек= 3600 сек
Определяем скорость: 360 000 м:3600 сек=100 м/сек
Ответ: 100
Пример 5
Поезд отправился из Самары в Москву в 22 часа 10 минут (время московское) и прибыл в Москву в 10 часов 10 минут на следующие сутки. Сколько часов поезд находился в пути?
Решение:
В день отбытия из Самары поезд был в пути: 24 ч-22 ч 10 мин=23 ч 60 мин–22 ч 10 мин=1 ч 50 мин
В день прибытия поезд был в пути: 10 ч 10 мин
Общее время в пути: 1 ч 50 мин+10 ч 10 мин=11 ч 60 мин=12 ч
Ответ: 12
Пример 6
Олег живет в 9-этажном многоподъездном доме. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Олег живёт в квартире №81. Укажите номер подъезда, в котором живёт Олег?
Решение:
Количество квартир в одном подъезде: 9 * 4=32
Значит квартиры распределяются по подъездам так:
1-й подъезд – с 1-й по 32-ю
2-й – с 33-й по 64-ю
3-й – с 65-й по 96-ю
Квартира №81 находится в 3-м подъезде
Ответ: 3
В Задании 1 профильной математики как правило встречаются задачи на действия с дробями в том или ином виде.
Действия с дробями
Для того, чтобы получить правильный ответ на 1 задание ЕГЭ по математике, теорию нужно знать в первую очередь. Сложности у сдающих ЕГЭ возникают с дробями и задачами, где представлены дроби. Дробью называется форма представления числа. Сама дробная черта означает деление. Делимое — это числитель дроби, знаменатель — делитель. С дробями можно делать все то, что и с обычными числами: делить, умножать, складывать, вычитать.
Сложение дробей
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример: сложить дроби
Числители 1-й и 2-й дроби складываются, знаменатель остается неизменным
Сложение дробей с различающимися знаменателями:
Пример: сложить дроби
Сначала дроби нужно привести к общему знаменателю, таким знаменателем является произведение знаменателей 1-й и 2-й дроби, а числитель 1-й дроби умножается на знаменатель 2-й, числитель 2-й дроби на знаменатель 1-й. Затем числители складываются:
Вычитание дробей проводится аналогично сложению. Просто числители не складываются, а вычитаются.
Умножение дробей
Пример: перемножить дроби:
Просто перемножаются числители и знаменатели
Деление дробей
Пример: разделить
Деление заменяем на умножение на дробь обратную дроби, на которую делим
Как видите, задачи из Задания 1 по профильной математике легкие, на знания математики из курса младших и средних классов, что, однако не отменяет необходимость освежить в памяти эти знания и еще раз порешать эти несложные задачи. Особенно полезно решать реальные варианты заданий прошлых лет под контролем опытных преподавателей. А такую возможность и дают подготовительные курсы «Уникум» РУДН по математике.
- 08.10.2018
Необходимая теория для успешного освоения и решения заданий №1 по математике профильного уровня на ЕГЭ в 2021 году.
Представлена вся теория и алгоритм решения различных заданий такого типа.
- Тренировочные кимы ЕГЭ по математике
- Практика — примеры для решения каждого типа заданий
Обсудить решение конкретных заданий вы можете в комментариях ниже.
Смотреть в PDF:
Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.
Комментарии
+14
#1
Ilmira
12.05.2019 11:42
Я сдам ЕГЭ!
Я сдам ЕГЭ!
Я сдам ЕГЭ!
Я сдам ЕГЭ!
Цитировать
+16
#2
xhaofi
24.04.2020 07:11
Дай Бог, чтобы я сдала ЕГЭ!! 
Цитировать
+2
#3
РАД
20.10.2021 20:23
Я СДАМ ЕГЭ!!!
Все на сотку 
Цитировать
Добавить комментарий
Комментарии без регистрации. Несодержательные сообщения удаляются.
За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 3 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 80.6%
Ответом к заданию 1 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Разбор сложных заданий в тг-канале
Задачи для практики
Задача 1
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=7$, $cos A={3} / {5}$
(см. рис.). Найдите $AB$.
Решение
$sin A = {BC}/{AB}$.
$sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 — {9}/{25}} = {4}/{5}$.
${4}/{5} = {7}/{AB}, AB = {35}/{4}=8.75$.
Ответ: 8.75
Задача 2
Угол $ACO$ равен $32^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-32°=58°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=58°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-58°=122°$, так как дуга $DB=180°$.
Ответ: 122
Задача 3
Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Меньшая дуга $AB$ равна $48^°$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$.
Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° — 48° = 132°$.
Ответ: 132
Задача 4
Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.
Ответ: 146
Задача 5
Периметр треугольника равен $40$, а радиус вписанной окружности равен $3$. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {40}/{2} · 3 = 60$.
Ответ: 60
Задача 6
Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $AOM$ равен $28^°$. Найдите вписанный угол $MNB$. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠AOM$ — центральный, он измеряется дугой $AM$, то есть $︶AM = 28°$. $AB$ — диаметр, значит $︶AB = 180°$, а $︶MB = 180° — 28° = 152°$. $∠MNB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠MNB = 76°$.
Ответ: 76
Задача 7
Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $MOB$ равен $116^°$. Найдите вписанный угол $MAB$. Ответ дайте в градусах.
Решение
$∠ MOB$ — центральный, он измеряется дугой $MB$. $∠ MAB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠ MAB={116°} / {2}=58°$.
Ответ: 58
Задача 8
В треугольнике $ABC$ равны боковые стороны $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$,
$sin ∠ BAC=0{,}6$ (см. рис.). Найдите $BH$.
Решение
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
$∠BAC = ∠ABC, sin ∠ABC = {AH}/{AB}, AH = AB sin ∠ABC. AH = 15 · 0.6 = 9$.
Из $△AHB: HB = √{AB^2 — AH^2} = √{225 — 81} = √{144} = 12$.
Ответ: 12
Задача 9
В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $sin ∠ BAC={√ {5}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $BH$.
Решение
В треугольнике напротив равных сторон лежат равные углы. $∠ BAC=∠ ABC$, $sin ∠ ABC={AH} / {AB}$, $AH=AB sin ∠ ABC$. $AH=15⋅ {√ {5}} / {3}=5√ {5}$. Из $▵ AHB:$ $HB=√ {AB^2-AH^2}=√ {225-125}=√ {100}=10$.
Ответ: 10
Задача 10
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=9$, $sin A={4} / {11}$ (см. рис.). Найдите $AB$.
Решение
$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {9}/{{4}/{11}} = {99}/{4} = 24.75$.
Ответ: 24.75
Задача 11
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $224$, а отношение соседних сторон равно ${2} / {7}$.
Решение
Рассмотрим прямоугольник $ABCD$
$AD : AB = 2 : 7, S_{ABCD} = AD · AB$
$S_{ABCD} = 224$, тогда $224 = AD · AB$
Пусть $x$ — некоторое положительное действительное число, тогда $AD = 2x, AB = 7x$
Отсюда, $224 = 2x · 7x$
$224 = 14x^2$
$x^2 = {224}/{14}$
$x^2 = 16$
$x = 4$
Следовательно, $P = 2(AD+AB) = 2(2·4+7·4) = 2·4(2+7) = 8·9 = 72$.
Ответ: 72
Задача 12
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $48$, а отношение соседних сторон равно $3:4$.
Решение
Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ (см. рис.). $AD:AB=3:4$, $S_{ABCD}=AD⋅ AB$; $S_{ABCD}=48$, тогда
$48=AD⋅ AB$. Пусть $k$ — некоторое положительное действительное число и
$AD=3k$, $AB=4k$. Отсюда $48=3k⋅ 4k$; $48=12k^2$; $k^2=4$, $k=2$. Следовательно, $P=2(AD+AB)=2(3⋅ 2+4⋅ 2)=28$.
Ответ: 28
Задача 13
Площадь прямоугольника равна $22$. Найдите его большую сторону, если она на $9$ длиннее меньшей стороны.
Решение
$S_{ABCD} = AB·CB$.
Обозначим большую сторону через $x$, тогда меньшая сторона $x — 9$. Итак, $22 = x(x — 9)$
$ x^2 — 9x — 22 = 0$
$D = 81 + 88 = 169 = 13^2$
$ x = {9±13}/{2}$
$ x_1 = 11$
$ x_2 = -2$ (не подходит).
Ответ: 11
Задача 14
Основания равнобедренной трапеции равны $15$ и $9$. Высота трапеции равна $6$. Найдите тангенс острого угла.
Решение
Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ — высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$.
$tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD — BC}/{2} = {15 — 9}/{2} = 3, BK = 6$ (по условию). $tg ∠BAD = {6}/{3} = 2$.
Ответ: 2
Задача 15
Основания равнобедренной трапеции равны $14$ и $6$. Высота трапеции равна $7$. Найдите тангенс острого угла.
Решение
Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$.
$tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD — BC}/{2} = {14 — 6}/{2} = 4, BK = 7$ (по условию). $tg ∠BAD = {7}/{4} = 1.75$.
Ответ: 1.75
Задача 16
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=6√ {3}$, $tg A={√ {3}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $AB$.
Решение
$tgA = {BC}/{AC}, {√3}/{3} = {BC}/{6√3}, BC = {6√3·√3}/{3} = 6$.
Из $△ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2$;
$AB^2 = (6√3)^2 + 6^2 = 36·3 + 36 = 36·4 = 144, AB = 12$.
Ответ: 12
Задача 17
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $5$ и $16$.
Решение
Рассмотрим ромб $ABCD$.
$S_{ABCD} = {1}/{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.
$S_{ABCD} = {1}/{2}·5·16 = 40$.
Ответ: 40
Задача 18
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150^°$. Боковая сторона треугольника равна $12$. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Пусть в $△ABC ∠C = 150°, AC = CB$.
$S_{ACB} = {1}/{2}AC·CB·sin∠ACB = {1}/{2}·12·12·sin150° = 72·sin 30° =72·{1}/{2} = 36$.
Ответ: 36
Задача 19
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30^°$. Боковая сторона треугольника равна $7$. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Пусть в $▵ ABC$ $∠ C=30°$, $AC=BC=7$ (см. рис.). $S_{ACB}={1} / {2} AC⋅ CB⋅ sin ∠ ACB={1} / {2}⋅ 7⋅ 7⋅ sin 30°={1} / {2}⋅ 49⋅ {1} / {2}={49} / {4}=12{,}25$.
Ответ: 12.25
Задача 20
Периметр прямоугольника равен $28$, а площадь $48$. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
Решение
Пусть $x$ и $y$ — две стороны прямоугольника. Из условия следует система уравнений:
${{table {2(x+y)=28{,}}; {xy=48{.}};}$
Из первого уравнения системы: $x+y=14$
$y=14-x$.
Подставляя выражение для переменной $y$ во второе уравнение системы, получим:
$x(14-x)=48$
$x^2-14x+48=0$
$x_1=8$
$x_2=6$
Тогда $y_1=14-8=6$
$y_2=14-6=8$
Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна $6$.
Ответ: 6
Рекомендуемые курсы подготовки
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Аннотация к рабочей программе по математике (алгебре и началам анализа), 11 класс , профильный уровень; рабочая программа по алгебре и началам анализа профильного уровня 11 класс и рабочая программа по алгебре и началам анализа базового уровня 11 класс
Аннотация к рабочей программе по МАТЕМАТИКЕ (алгебре и началам анализа) Класс: 11 .Уровень изучения учебного материала: профильный.Программа по алгебре и началам анализа для 11 класса составлена на ос…
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по биологии. Уровень образования (класс) 11 класс (профильный уровень)
Программа разработана на основе Программы общеобразовательных учреждений по биология для 10-11 классов, авторы: Г.И. Дымшиц, О.В. Саблина, 2008, государственного образовательного стандарта (Э.Д. Днепр…
Контрольная работа 11 класс Теория вероятностей Профильный уровень
Контрольная работа по теме «Теория вероятностей»Игральный кубик подбрасывают дважды. Определите вероятность того, что при двух бросках выпадает разное количество очков. В партии из 10 деталей 8 …
Рабочая программа ФКГОС по биологии на уровень среднего общего образования (профильный уровень)
Рабочая программа составлена на основе Примерной программы среднего (полного) общего образования (профильный уровень) и Программы среднего (полного) общего образования по биологии для 10-11 классов (п…
Рабочая программа ФКГОС по химии на уровень среднего общего образования (профильный уровень)
Рабочая программа по химии на уровень среднего общего образования (профильный уровень) составлена на основе Примерной программы среднего (полного) общего образования по химии (профильный уровень)…
Задачи по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности»(для подготовки к ЕГЭ по математике профильный уровень)
Задачи по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности»(для подготовки к ЕГЭ по математике профильный уровень)…
Тренировочные упражнения. Теория вероятностей( профильный уровень)
Типовые тренировочные задачи….
Уважаемый посетитель!
Если у вас есть вопрос, предложение или жалоба, пожалуйста, заполните короткую форму и изложите суть обращения в текстовом поле ниже. Мы обязательно с ним ознакомимся и в 30-дневный срок ответим на указанный вами адрес электронной почты
Статус Абитуриент Студент Родитель Соискатель Сотрудник Другое
Филиал Абакан Актобе Алагир Алматы Алушта Анапа Ангарск Архангельск Армавир Асбест Астана Астрахань Атырау Баку Балхаш Барановичи Барнаул Белая Калитва Белгород Бельцы Берлин Бишкек Благовещенск Бобров Бобруйск Борисов Боровичи Бронницы Брянск Бузулук Чехов Челябинск Череповец Черкесск Дамаск Дербент Димитровград Дмитров Долгопрудный Домодедово Дубай Дубна Душанбе Екатеринбург Электросталь Елец Элиста Ереван Евпатория Гана Гомель Гродно Грозный Хабаровск Ханты-Мансийск Хива Худжанд Иркутск Истра Иваново Ижевск Калининград Карабулак Караганда Каракол Кашира Казань Кемерово Киев Кинешма Киров Кизляр Королев Кострома Красноармейск Краснодар Красногорск Красноярск Краснознаменск Курган Курск Кызыл Липецк Лобня Магадан Махачкала Майкоп Минеральные Воды Минск Могилев Москва Моздок Мозырь Мурманск Набережные Челны Нальчик Наро-Фоминск Нижневартовск Нижний Новгород Нижний Тагил Ногинск Норильск Новокузнецк Новосибирск Новоуральск Ноябрьск Обнинск Одинцово Омск Орехово-Зуево Орел Оренбург Ош Озёры Павлодар Пенза Пермь Петропавловск Подольск Полоцк Псков Пушкино Пятигорск Радужный Ростов-на-Дону Рязань Рыбинск Ржев Сальск Самара Самарканд Санкт-Петербург Саратов Сергиев Посад Серпухов Севастополь Северодвинск Щербинка Шымкент Слоним Смоленск Солигорск Солнечногорск Ставрополь Сургут Светлогорск Сыктывкар Сызрань Тамбов Ташкент Тбилиси Терек Тихорецк Тобольск Тольятти Томск Троицк Тула Тверь Тюмень Уфа Ухта Улан-Удэ Ульяновск Ургенч Усть-Каменогорск Вёшенская Видное Владимир Владивосток Волгодонск Волгоград Волжск Воркута Воронеж Якутск Ярославль Юдино Жлобин Жуковский Златоуст Зубова Поляна Звенигород
Тип обращения Вопрос Предложение Благодарность Жалоба
Тема обращения Поступление Трудоустройство Обучение Оплата Кадровый резерв Внеучебная деятельность Работа автоматических сервисов университета Другое
* Все поля обязательны для заполнения
Я даю согласие на обработку персональных данных, согласен на получение информационных рассылок от Университета «Синергия» и соглашаюсь c политикой конфиденциальности
- ЕГЭ по математике профиль
Материал для отработки заданий №1 в ЕГЭ по профильной математике — теория и практика.
Задание №1 в варианте ЕГЭ по математике профильного уровня – одно из самых легких. И тем не менее ученики часто ошибаются, решая такие задачи. Почему?
Потому что не прочитали условие или допустили арифметическую ошибку.
Внимательно читайте условие и проверяйте решение.
Задачи в разъяснениях специально подобраны так, чтобы представить все возможные типы заданий.
Автор: Алькаева Лариса Рахимовна
→ скачать конспект
→ скачать практические задания
Виды задач в задании №1:
— вычисления, простейшие уравнения и пропорции;
— задачи на округление (с недостатком, с избытком);
— задачи на проценты
Источник информации: vk.com/club169850563
Связанные страницы: