Теория относительности егэ физика задачи

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Принципы СТО.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: принцип относительности Эйнштейна, инвариантность скорости света.

Принцип относительности Галилея, подробно рассмотренный в предыдущем листке, говорит о том, что никакие лабораторные опыты механики не помогут определить, покоится ли лаборатория или движется равномерно и прямолинейно.

Но возникает закономерный вопрос: а кто заставляет нас ограничиваться лишь механическими явлениями? Давайте перейдём в другие области физики: будем наблюдать в движущейся лаборатории распространение тепла или света, ставить опыты с электромагнитными колебаниями, изучать ядерные процессы. . . Раз уж механика нам не помощник, то, быть может, где-нибудь в молекулярной физике, электродинамике, оптике, атомной или ядерной физике найдутся явления, на протекании которых скажется равномерно-прямолинейное движение лаборатории? Тогда, сопоставив ход таких явлений в неподвижной и в движущейся системах отсчёта, мы зафиксируем факт движения и сможем измерить его скорость.

С развитием электродинамики поначалу казалось, что так оно и есть. Дело в том, что, в отличие от законов механики Ньютона, уравнения Максвелла оказались не инвариантными относительно преобразований Галилея.

Гипотеза о мировом эфире.

Из уравнений Максвелла следует, например, что свет в вакууме распространяется со скоростью c= 300000 км/с в любом направлении, причём эта скорость не зависит от того, покоится ли источник света или движется. Физиков данный факт ничуть не удивлял: свет рассматривался как колебания особой всепроникающей среды — неподвижного мирового эфира. Считалось, что электромагнитные волны распространяются в эфире аналогично звуковым волнам в воздухе, а со звуком ведь дело обстоит точно так же: сигнал от бибикнувшего автомобиля бежит в воздухе во все стороны со скоростью примерно 330 м/с вне зависимости от скорости, с которой движется автомобиль.

А теперь представьте себе, что вы находитесь в звездолёте, который мчится в космическом вакууме со скоростью v= 50000км/с относительно удалённых звёзд. Вы сидите лицом по ходу движения звездолёта и смотрите на лампочку, которая находится в его носовой части.

Свет от лампочки, не обращая внимания на её движение, перемещается относительно звёзд со скоростью c. Вы движетесь навстречу свету со скоростью v; стало быть, относительно вас свет имеет скорость
c+v= 350000 км/с. Вы измеряете эту скорость, сопоставляете её с известным значением c и приходите к выводу, что двигаетесь со скоростью 50000 км/с! Таким образом, электромагнитные явления вроде бы позволяют отличить покой от равномерного прямолинейного движения.

У вас, кстати, может возникнуть вопрос: а чем плох аналогичный эксперимент со звуком? Давайте бибикнем в носовой части длинного движущегося лимузина, измерим скорость звука относительно нас и опровергнем принцип относительности Галилея! Ничего не выйдет: если лимузин замкнутый (как и должно быть), то он увлекает свой воздух вместе с собой, и вы ничего не заметите. А вот в звездолёте вам никуда не деться от всепроникающего «эфирного ветра», который несётся вам в лицо и увеличивает тем самым скорость света в описанном выше эксперименте с лампочкой. (Пытаясь спасти принцип относительности Галилея применительно к электродинамике, Герц предположил, что эфир также увлекается движущимися телами. Из этой гипотезы следовало, однако, что струя воды, увлекая эфир, должна увлекать и луч света — а в экспериментах такого не наблюдалось.)

Соответственно, многие учёные (в том числе выдающийся голландский физик Х. Лоренц) считали, что инерциальные системы отсчёта, будучи равноправными с точки зрения механики, в электродинамике перестают быть таковыми. Имеется выделенная, привилегированная система отсчёта, связанная с неподвижным мировым эфиром. Остальные системы отсчёта движутся относительно неё, и возникающий «эфирный ветер» меняет в них величину скорости света.

С целью обнаружения эфирного ветра в 1881 году был поставлен один из самых знаменитых физических экспериментов — опыт Майкельсона. С помощью чувствительного интерферометра производились попытки измерить скорость Земли относительно эфира. А именно, исследовалась интерференционная картина, даваемая двумя когерентными пучками света, имеющими перпендикулярные направления. Интерферометр движется относительно эфира вместе с Землёй; при вращении интерферометра меняется направление эфирного ветра относительно интерферометра, что должно сказываться на скоростях пучков и давать сдвиги интерференционной картины.

Однако никаких сдвигов обнаружено не было! Наблюдения проводились в разное время года (когда скорость Земли ощутимо меняла направление) и неизменно давали отрицательный результат. Интерферометр был настолько точный, что списать отсутствие эфирного ветра на недостаточную чувствительность прибора было нельзя.

Почему же движение Земли относительно эфира не удаётся зафиксировать? Не сомневаясь в существовании эфира, Лоренц заметил, что результаты опыта Майкельсона полностью объясняются, если сделать невероятное предположение: размеры движущегося предмета сокращаются в направлении движения! Так, если стержень длины начинает двигаться вдоль своей оси со скоростью , то его длина становится равной:

(1)

Эта гипотеза, названная лоренцевым сокращением, не вытекала на тот момент из каких-либо физических принципов и стояла особняком, будучи призвана лишь справиться с отрицательным результатом опыта. Но тем не менее формула (1) действительно оказалась верна! Её объяснение пришло позже, уже в рамках теории относительности Эйнштейна.

Постулаты Эйнштейна.

Альберт Эйнштейн — величайшая фигура в истории физики. Для разрешения трудностей, описанных выше, он отказался от некоторых сложившихся в физике устоев и предпринял весьма радикальные шаги. Сформулируем ещё раз те проблемы, с которыми столкнулась физика, и их решения, предложенные Эйнштейном.

1. Не удаётся обнаружить привилегированную систему отсчёта, связанную с неподвижным мировым эфиром.

Так её и нет вовсе. Никакого эфира не существует. Все инерциальные системы отсчёта полностью равноправны между собой, и никакими физическими опытами нельзя выделить одну из них среди остальных.

Таким образом, Эйнштейн обобщил принцип относительности Галилея с механических на вообще все физические явления.

Принцип относительности Эйнштейна. Всякое физическое явление при одних и тех же начальных условиях протекает одинаково в любой инерциальной системе отсчёта.

Следовательно, если ваша лаборатория находится внутри корабля, то не только механический, но и вообще никакой эксперимент не даст вам ответа на вопрос, покоится ли корабль или движется равномерно и прямолинейно. Вы можете ставить опыты с газами, изучать тепловые явления, наблюдать за распространением электромагнитных волн, следить за атомными и ядерными процессами, анализировать взаимодействия элементарных частиц — и нигде вам не удастся обнаружить каких-либо отклонений в протекании этих явлений, вызванных фактом равномерно-прямолинейного движения корабля.

В предыдущем разделе мы убедились в том, что законы механики имеют одинаковую математическую форму во всех инерциальных системах отсчёта: уравнения, выражающие эти законы, инвариантны относительно преобразований Галилея. Таков смысл принципа относительности Галилея. Обобщающий его принцип относительности Эйнштейна утверждает, что любой физический закон имеет одинаковую математическую форму во всех инерциальных системах отсчёта. Все уравнения, выражающие законы физики, должны быть инвариантны относительно перехода из одной инерциальной системы отсчёта в другую.

В частности, основные уравнения электродинамики — уравнения Максвелла — должны сохранять свою форму при таком переходе. Как же тогда быть со следующей трудностью?

2. Электродинамика противоречит механике в том, что уравнения Максвелла не инвариант-ны относительно преобразований Галилея.

Что ж, это проблема механики, а не электродинамики. Уравнения Максвелла блестяще работают в области электромагнитных явлений. Если преобразования Галилея не вяжутся с уравнениями Максвелла, то неверны преобразования Галилея, а не уравнения Максвелла.

Но легко сказать — преобразования Галилея неверны! Во-первых, они, казалось бы, совершенно очевидны — вам наверняка не составило труда в них разобраться. Чему там, собственно говоря, быть неверным?

А во-вторых — следствием преобразований Галилея, как мы видели, является закон сложения скоростей. Вы неоднократно пользовались им при решении задач. Что же получается — и закон сложения скоростей объявляется неверным?

Да, именно так — гласил ответ Эйнштейна. Классическая механика Ньютона нуждается в глубоком, коренном пересмотре своих основных принципов. И слабый пункт классической механики состоит в том, что механические законы предполагают мгновенность распространения взаимодействий между телами.

Рассмотрим, например, гравитационное притяжение двух тел. Если одно из тел сместить в сторону, то, согласно закону всемирного тяготения, второе тело «почувствует» этот факт мгновенно, как только изменится расстояние от него до первого тела. Получается, что взаимодействие передаётся от одного тела к другому с бесконечной скоростью.

Эксперименты, однако, показывают, что механизм передачи взаимодействий состоит в следующем: изменение состояния тела меняет поле около него; возникшее возмущение поля начинает бежать во все стороны с некоторой конечной скоростью и лишь спустя определённый промежуток времени достигает другого тела. Мгновенно передающихся взаимодействий ни в каких опытах не наблюдается.

Но если взаимодействия не могут передаваться в бесконечной скоростью, то в природе существует предельная, максимальная скорость распространения взаимодействий. Изменённые законы механики должны учитывать наличие этой предельной скорости и, соответственно, конечность времени передачи взаимодействий между телами.

Второй постулат Эйнштейна отводит исключительную роль скорости света.

Принцип инвариантности скорости света. В каждой инерциальной системе отсчёта свет движется в вакууме с одной и той же скоростью; величина этой скорости не зависит от того, покоится или движется источник света.

Таким образом, вышеописанный опыт с лампочкой в носовой части звездолёта нам провести не удастся: скорость света относительно наблюдателя в звездолёте будет равна c, а не c+v, и наблюдатель не может заметить факт движения звездолёта. Классический закон сложения скоростей применительно к скорости света не работает.

Мы увидим далее, что максимальная скорость распространения взаимодействий, присущая нашему миру, оказывается равной как раз скорости света в вакууме. Никакой сигнал, никакое тело, никакой вообще материальный объект в природе не может двигаться со скоростью, превышающей c. Величина c является фундаментальной константой, отражающей свойства мира, в котором мы живём.

Оба постулата Эйнштейна — принцип относительности и принцип инвариантности скорости света — легли в основу специальной теории относительности (СТО). Эта теория затрагивает глубокие свойства пространства-времени, радикально меняя наши представления об окружающем мире. Механика, построенная Эйнштейном на постулатах СТО, получила название релятивистской (от англ. relativity — относительность).

Новые и удивительные свойства пространства-времени и новые законы, устанавливаемые в СТО, проявляются при больших скоростях движения — и тем ярче, чем ближе мы подходим к скорости света. В повседневной жизни мы не замечаем этих релятивистских эффектов — по той простой причине, что привычные нам скорости чрезвычайно малы по сравнению со скоростью света. Во многих практических задачах можно считать скорость света бесконечной — и тогда прекрасно работает классическая механика.

Итак, классическая механика оказывается приближённой теорией и годится для небольших скоростей. Релятивистская механика используется тогда, когда скорости тел достаточно близки к скорости света — в таких ситуациях классическая механика отказывает совершенно. Классическая механика является предельным случаем релятивистской механики: формулы классической механики получаются из релятивистских формул предельным переходом .

Рис. 1. Кажущийся парадокс со световой вспышкой

Какие же новые свойства пространства-времени и новые физические законы открыла теория относительности? Мы будем рассказывать о них в двух следующих разделах. Здесь мы покажем лишь, что из постулатов СТО следуют весьма неожиданные и, казалось бы, парадоксальные выводы.

Рассмотрим системы отсчёта и — те же, что и в предыдущей теме (рис. 1). В момент времени , когда их начала и находятся в одной точке, в этой точке происходит световая вспышка.

Где окажется волновой фронт вспышки к моменту времени ?

В системе свет распространяется во все стороны со скоростью . Поэтому в системе вспышка достигнет сферы радиуса с центром в точке .

В системе скорость света также равна . Значит, в системе вспышка достигнет сферы того же радиуса , но с центром в точке .

Однако точки и к моменту разойдутся на расстояние . Получается, что волновой фронт в один и тот же момент времени находится на двух разных сферах и . Противоречие?

Противоречия на самом деле нет. Причина кажущегося парадокса кроется в понятии одновременности. На место нашего интуитивного понимания одновременности приходит чёткое определение этого термина, даваемое в СТО.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

В разработке рассмотрены основные вопросы специальной теории относительности. Приведены методические указания по решению типовых задач ЕГЭ. Предназначено для учащихся 11 класса.

Примеры заданий ЕГЭ

по темам 4.1-4.5. «Основы специальной теории относительности»

Часть 1

При выполнении заданий уровня А нужно поставить знак «х» в клеточку, номер которой соответствует номеру выбранного варианта ответа.

A1

1

2

3

4

А1.Специальная теория относительности рассматривает физические процессы, происходящие

1) в любых системах отсчета

2) в гравитационном поле

3) только в неинерциальных системах отсчета

4) только в инерциальных системах отсчета и в отсутствие гравитационных полей

A2

1

2

3

4

А2. Одним из выводов СТО является относительность расстояний, измеренных в двух системах отсчета, движущихся друг относительно друга с некоторой постоянной скоростью, причем

1) наибольшей длиной обладает тело в той системе отсчета, относительно которой оно покоится

2) наибольшей длиной обладает тело в той системе отсчета, относительно которой оно движется

3) длина тела не зависит от системы отсчета

4) длина тела не зависит от скорости движения

A3

1

2

3

4

АЗ. Следствием постулатов СТО является относительность одновременности, означающая, что

1) промежуток времени между двумя событиями, отсчитываемый в разных инерциальных системах отсчета, не зависит от относительной скорости движения систем координат

2) длительность события оказывается наименьшей в неподвижной системе координат

3) длительность события оказывается наибольшей в неподвижной системе отсчета

4) длительность события обратно пропорциональна относительной скорости движения

А4. Формула Эйнштейна (первая из великих формул физики) устанавливает связь между

1) кинетической энергией тела и его массой

2) полной энергией тела, его массой и скоростью света

3) энергией покоя тела, его массой и скоростью света

4) скоростью движения тела, массой тела и его кинетической энергией

A5

1

2

3

4

A5. Постулат СТО о постоянстве скорости света в вакууме (скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО), в частности, означает

1) скорость света во всех веществах одинакова

2) скорость света не зависит от длины световой волны

3) любые сигналы в природе распространяются со скоростями, меньшими скорости света

4) вместо мгновенного действия на расстоянии или дальнодействия с бесконечной скоростью распространения должно существовать дальнодействие со скоростью света

A6

1

2

3

4

А6. Два тела движутся навстречу друг другу со скоростями v 1 = v 2 = 2 • 105 км/с относительно неподвижного наблюдателя. Во сколько раз отличаются скорости их движения относительно друг друга, вычисленные по классической и релятивистской формулам сложения скоростей?

1) «классическая» скорость больше «релятивистской» в 1,5 раза

2) «классическая» скорость меньше «релятивистской» в 2 раза

3) скорости одинаковы

4) «релятивистская скорость» составляет 0,93 классической

A7

1

2

3

4

А7. Самолет движется со скоростью v навстречу свету, излучаемому неподвижным источником. С какой скоростью v’ сближается самолет с фотоном этого света?

Часть 2

Ответом к заданиям В1— В5 будет некоторое число. Это число нужно записать без указания единиц измерения физических величин.

В1. При какой относительной скорости движения размеры тела сокращаются на 10% ?

В2. Солнце излучает ежеминутно энергию, равную 6,5 · 1021квт · ч. Считая излучение Солнца постоянным, найдите, за какое время масса Солнца уменьшится в 2 раза? Ответ дайте в годах.

ВЗ. При какой скорости релятивистская масса движущегося электрона вдвое больше его массы покоя?

В4. Во сколько раз увеличивается продолжительность существования нестабильной частицы (по часам неподвижного наблюдателя), если она начинает двигаться со скоростью, составляющей 99% скорости света?

В5. Какую часть скорости света должна составлять скорость частицы, чтобы ее кинетическая энергия была равна энергии покоя?

Оглавление

Введение1  

       1   ЕГЭ по физике

 2   Исследование ошибок, допущенных на ЕГЭ в разделе «Элементы СТО»

        Объект исследования: ошибка  при вычислении энергии частицы, движущейся со скоростью близкой к скорости света

     Содержание

      Глава 1  

Основные и вспомогательные знания, формирующие понимание СТО 5

Глава 2

Возможные причины  возникновения ошибки7

       Глава 3

         Методические рекомендации при решении задач на вычисление энергии релятивистской частицы из раздела «Элементы теории относительности».            ………… …………………………………………..….…………………………….11

Литература………………………………………..…..……………………………20

Приложения……………………………………………………………………………………………….21     

 Единый государственный экзамен заставляет учителей, давно работающих в школе, пересматривать методику подготовки выпускников к выпускному экзамену по физике, а начинающих учителей — искать дополнительную методическую литературу, которая помогла бы им правильно выстраивать уроки, чтобы самым рациональным путем  приводить учащихся к успешной сдаче экзамена.

 К сожалению, результаты ЕГЭ этого года и прошлых лет показывают, что и фундаментальные принципы, и законы, и эмпирические закономерности, и частные следствия в среднем усваиваются одинаково. Это означает, что принцип выделения главного при организации учебного процесса не реализуется, небольшое число фундаментальных законов, принципов и идей растворяется в частностях, нет четкого определения статуса изучаемого, основные принципы и закономерности изучаются на тематическом уровне и не обобщаются как общефизические.

За несколько лет проведения ЕГЭ накопились данные, с помощью которых имеется возможность проанализировать результаты решения задач  по разным темам. Анализ типичных ошибок  позволяет   методически грамотно выстроить объяснение тем по каждому из разделов физики и исключить вероятность плохого результата на экзамене у хорошего ученика, так как учитель будет знать заранее,  где и какие акценты необходимо расставить и как методически правильно организовать урок.

Наибольшую тревогу вызывает усвоение основных понятий темы «Элементы СТО»: принцип равноправности ИСО и принцип постоянства скорости света. Результаты выполнения заданий по элементам СТО являются ярким примером ситуации с усвоением наиболее общих принципов физической науки.

Специальная теория относительности (СТО; также частная теория относительности) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света изучается в школьном курсе физики в 11 классе.

 В силу сложности этой теории, знакомство с ней, при малом количестве часов, становится методически сложным процессом. В специальной теории относительности в пределе малых скоростей  получаются те же следствия, что и в классической механике, с которой учащихся начинают знакомить уже с 7 класса.

 Поэтому, если мы хотим разобраться и выяснить  причины ТИПИЧНЫХ ОШИБОК  при решении учащимися задач по специальной теории относительности на ЕГЭ, то давайте проследим каким образом и какие знания должны были быть изучены и усвоены ими до момента знакомства со специальной теорией относительности.

Цель работы:  провести экскурс в основной материал, расставить  АКЦЕНТЫ,               — на которые нужно обратить внимание учеников, исследовать  типичные ошибки, которые встречаются  при вычислении энергии частицы(тела) раздела «Элементы СТО» и показать методически,  как выстроить объяснение тем, ведущих к максимальному усвоению этого материала.

 Глава 1.  Основные и вспомогательные знания, формирующие понимание СТО

Расчет энергии тела или частицы тела можно встретить в следующих разделах:

• Классическая механика (полная механическая энергия, энергия движущегося тела)
• Молекулярная физика (кинетическая энергия молекулы)
• Термодинамика (внутренняя энергии тела)
• Электродинамика (энергия  движущейся заряженной  частицы)
• Элементы теории относительности (движение (тела) частицы со скоростью близкой к скорости света)

Можно утверждать, что энергию мы вычисляем при изучении любого раздела физики.

Причины возникновения ошибки удобнее рассмотреть, используя хронологию изучения материала с 7 класса. Рассмотрим с помощью таблицы, какие основные и вспомогательные знания формируют наше понимание СТО и энергии в ней.

Глава 2.    Причины возникновения ошибки

В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей.

Идеи и положения СТО, кардинально изменившие представления о пространстве, времени и движении, могут быть поняты только в сравнении с соответствующими классическими воззрениями.

Основные понятия классической механики

• Пространство
• Время
• Материальная точка
• Система отсчета

Согласно классическому определению: движение материальной точки представляет собой процесс непрерывного изменения ее пространственных координат с течением времени относительно фиксированной системы отсчета. Среди множества систем отсчета в классической механике выделяется инерциальная система отсчета.

В инерциальной системе отсчета свободная материальная точка либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно (υ = соnst =0 или υ = соnst ≠ 0). Данное утверждение является и определением ИСО и законом (законом инерции).

В классической механике принимается в качестве фундаментального постулата принцип относительности, гласящий, что все ИСО механики равноценны (эквивалентны). Иначе говоря, любые механические явления протекают одинаково при одинаковых начальных условиях.

первый момент, который готовит учащихся к пониманию СТО — это знание того, что такое инерциальные системы отсчета (ИСО )и понимание  принципа относительности

Из этого принципа, впервые сформулированного вначале 17 в. Г.Галилеем, следуют два важных положения:

1.Любую ИСО можно принять  за неподвижную.

2. Каждая ИСО движется относительно другой ИСО, принятой за неподвижную, со скоростью υ = соnst, т. е. равномерно и прямолинейно.

В ньютоновской  механике введен постулат абсолютности времени: для всех ИСО существует единое, абсолютное время, совпадающее со временем каждой из них:

t =const или ∆t = τ = inv,

где символ «inv» (инвариант, инвариантный- французское слово — неизменяющийся) используется в том смысле, что величина, к которой он относится, абсолютна – одинакова для всех ИСО, не изменяется при переходе от одной из них к другой. Так, если установлено, что τ = 0, т.е. в какой-либо ИСО два события одновременны, то они будут одновременны и относительно любой другой ИСО.

 учащиеся привыкают понимать, что   различные физические величины нужно воспринимать как относительные или как абсолютные

1.2 Законы электродинамики и принцип относительности

После того как во второй половине 19 в. Максвеллом были сформулированы основные законы электродинамики,

С этими законами учащиеся начинают знакомиться с 8 класса, постепенно пополняя свои представления об электромагнитных явлениях, и следует обратить их внимание, что взгляды ученых меняются, а полученные факты и результаты экспериментов заставляют их пересматривать  представление о том или ином явлении. В электродинамике скорость распространения электромагнитных волн в вакууме одинакова по всем направлениям с = 3·108 м/с.  Однако,  с другой стороны, в соответствии с законом сложения скоростей, вытекающим из преобразования Галилея, скорость может равняться с только в одной избранной системе отсчета. В любой другой инерциальной системе отсчета, движущей по отношению к этой избранной системе со скоростью υ, скорость света должна равняться с + υ.

Это означает, что если справедлив обычный закон сложения скоростей, то при переходе из одной инерциальной системы отсчета к другой законы электродинамики должны меняться так, что в этой новой системе отсчета скорость света равнялась не с, а с + υ.

Таким образом, обнаружились определенные противоречия между электродинамикой и механикой Ньютона. Возникшие противоречия пытались решить различными способами.

На этом этапе  учащимся необходимо закрепить понятие, с которым они уже встречались в 9 классе (при изучении Закона всемирного тяготения): границы применимости той или иной теории 

Описываемые специальной теорией относительности отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами, а скорости, при которых такие эффекты становятся существенными, — релятивистскими скоростями. В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета, т.е. такие, в которых выполняется закон инерции,  и скорость света в вакууме является универсальной постоянной.

При́нцип соотве́тствия — в методологии науки утверждение, что любая новая научная теория при наличии старой, хорошо проверенной теории находится с ней не в полном противоречии, а даёт те же следствия в некотором предельном приближении (частном случае). 

Принцип соответствия в теории относительности

В специальной теории относительности в пределе малых скоростей  получаются те же следствия, что и в классической механике. Так,преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, время течёт одинаково во всех системах отсчёта, кинетическая энергия становится равной  и т.д.

   

Глава 3. Методические рекомендации при решении задач на вычисление энергии релятивистской частицы  раздела СТО

Понятно, чтобы приступить к решению задачи (в которой встречается наша ошибка), например на расчет полной и кинетической энергии протона, движущегося со скоростью 0,75с, необходимо ПРОЛОЖИТЬ дорогу к решению через дополнительные задачи, минимизирующие возможность этой ошибки.

1.  «Относительность скорости»

Задача

  По шоссе равномерно движутся в противоположных направлениях два автомобиля с одинаковыми  скоростями 120 км/ч. Определите их относительную скорость?

Решение:

Свяжем с первой частицей неподвижную систему отсчета K, относительно которой она движется со скоростью u. Со второй частицей свяжем систему K ‘, движущуюся вдоль оси x со скоростью v относительно неподвижной системы K в направлении, противоположном оси x, то есть противоположном скорости u.

Используем классический закон сложения скоростей!!!!

ЗАДАЧА №1

 Две частицы движутся в вакууме вдоль прямой навстречу друг другу со скоростями 0,5 с и 0,75 с. Определите их относительную скорость.

Дано:

u = 0,5 с,
v = 0,75 с.
________

u ‘ – ?

Решение

Свяжем с первой частицей неподвижную систему отсчета K, относительно которой она движется со скоростью u. Со второй частицей свяжем систему K ‘, движущуюся вдоль оси x со скоростью v относительно неподвижной системы K в направлении, противоположном оси x, то есть противоположном скорости u.

 Используя релятивистский закон сложения скоростей, и учитывая, что проекция скорости v на ось x отрицательна, !!!

запишем выражение для скорости в неподвижной системе отсчета: 

Отсюда находим относительную скорость частиц u ‘: 

Подставляя численные значения, имеем:

Обратить внимание!!!!

Задачи, в которых два тела двигаются в одном направлении или же в противоположных со скоростями  близкими к скорости света  встречаются сразу две типичные ошибки:

1. Используют классический закон сложения скоростей
2. Даже если написали релятивистский закон сложения скоростей, забывают  учитывать знак.

Уровень С

Две галактики разбегаются от центра Вселенной в противоположных направлениях с одинаковой скоростью 0,70 с относительно центра. С какой скоростью они удаляются друг от друга?

Р е ш е н и е. Для определения относительной скорости галактик υ

12х воспользуемся релятивистским законом преобразования скоростей: 

υ

 х = ( υ12х` + υ0)/ (1 + υ1х υ0`/ с2). (1)

Учтем, что галактики движутся в разные стороны относительно центра Вселенной, υ

1 = υ = 0,70 с и υ2 = — υ = — 070 с. Тогда уравнение (1) примет вид υ = ( υ12` — υ)/ (1 — υ1`υ/ с2). Из данного уравнения находим

υ

12` = 2 υ/ (1 – υ2/с2).

Подставим в формулу числовые значения: υ

12` = 2 ∙ 0,70с/ (1 – 0,70с ∙ 0,70с /с2) ≈ 0,94с. Две галактики удаляются друг от друга со скоростью 0,94 с.

1. Относительность времени или массы, или линейных размеров

Перед следующей задачей  рассмотрите задачу, по нахождению времени движения поезда длиной 150м через тоннель длиной 200м со скоростью 30м/с.

Задача №3
Частица, называемая мезоном, движущаяся со скоростью 0,99с, пролетела в системе отсчета К от места своего рождения до точки распада расстояние 4,7 км. Найдите собственное время жизни мезона.

Р е ш е н и е. В системе К время движения мезона t от точки своего рождения до распада определяется по формуле t = L/υ, (1)

где L — расстояние, пройденное мезоном, υ – скорость движения. Собственное время 

 движения частицы в системе координат, связанной с самой частицей, определяется по формуле: = t. (2)

Из уравнений (1) и (2) находим:

 = (L/υ) .

Подставляя числовые значения, получим 

 = 2,2 ∙ 10-6 с. Собственное время жизни мезона составляет 2,2 ∙ 10-6 с.

Задача №4

Уровень  С

Система К` движется относительно К со скоростью 1,50 ∙ 108 м/с. В начале отсчета времени t = 0, t` = 0 начала О и О` систем совпадали. Координаты центра шара, покоящегося в системе К`, x`= 40м, y`= 20 м, z` = 0. Какими будут координаты центра шара в системе К через 2,00 мкс? 

Р е ш е н и е. В задаче требуется найти координаты центра шара в системе отсчёта К: x, y, z. Согласно преобразованиям Лоренца имеем

x = (x` + υt`)/ 

, (1)

y = y`, (2)

z = z`. (3)

Чтобы определить координату х в системе отсчета К, надо найти собственное время 

 между событиями по часам наблюдателя, находящегося в системе К`  = t, где t – промежуток времени между теми же событиями в системе. Подставим в формулу необходимые данные: = 2 ∙ 10-6= 1,73 ∙ 10-6 с.

Тогда координата х найдем, используя формулу (1):

х = (40 м + 1,50 ∙ 10

8 м/с ∙ 1,73 ∙ 10-6 с )/ 0,87 ≈344 м.Учитывая преобразования Лоренца, имеем y = 20 м , z = 0. Координаты центра шара в системе К такие: х = 344м, y = 20 м , z = 0. 

Обратить внимание!!!

При решении задач на движение со  СКОРОСТЯМИ  БЛИЗКИМИ К СКОРОСТИ СВЕТА  необходимо помнить о релятивистских эффектах

• сокращения линейных размеров,
• замедление времени,
• увеличения массы тела

в движущихся системах отсчета

1.3 Относительность энергии

Задача

А) По шоссе равномерно движутся в противоположных направлениях два автомобиля с одинаковыми  скоростями, относительно системы отсчета, связанной с Землёй. Найти значение кинетической энергии первого тела относительно Земли и второго тела.

Б) Тело начало  движение вертикально вверх со скоростью 15м/с. Определите его полную энергию и кинетическую энергию  через 1 секунду.

Задача №4

Протон движется со скоростью 0,75 с. Определите его энергию покоя, полную энергию и кинетическую энергию.

Дано:

v = 0,75 с,
m = 1,67 • 10–27 кг,
c = 3 • 108 м/с.
E0 – ? E – ? Eк – ?
________

Решение

Энергия покоя протона определяется по формуле Эйнштейна: E0 = mc2.

Полная энергия протона:

В релятивистской механике кинетическая энергия Eк частицы определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя E0 этой частицы: Eк = E – E0. Подставляя числовые значения величин, получаем:

E0 = 1,67 • 10–27 кг • (3 • 108)2 м2/с2 = 15 • 10–11 Дж.
E = 2,52 • 10–27 кг • (3 • 108)2 м2/с2 = 22,7 • 10–11 Дж.
Eк = 22,7 • 10–11 Дж – 15 • 10–11 Дж = 7,7 • 10–11 Дж.

Обобщение

Не все поступающие в ВУЗ знают, что механическая энергия и работа являются относительными величинами. В лучшем случае указывается относительный  характер потенциальной энергии.

 Относительность кинетической энергии следует из  формулы для нее:

, где скорость величина относительная, значит кинетическая энергия величина относительная  — на это НАДО ОРАТИТЬ ВНИМАНИЕ уже в 7 классе при знакомстве с кинетической энергией, закрепить в 9 классе и повторить перед введением релятивистской энергией.

Понимание границ применимости :

Чтобы определить какие формулы для  энергии можно применять  при решении задач в разделе СТО, целесообразно еще раз оговорить границы применимости классической физики. Обратить внимание, что классическое выражение для энергии можно использовать при энергетических вычислениях только тогда, когда выполняются два условия:

 а)   скорость рассматриваемого тела мала по сравнению со скоростью света;
б)   массы покоя участвующих в исследуемом процессе тел не изменяются.

Если одно из этих условий не выполнено, то при вычислениях необходимо пользоваться релятивистским выражением энергии :

Er = m0c2/√(1 — v2/c2) = mc2  

Релятивистская энергия. 

Из принципа независимости законов физики в инерциальных системах отсчета, следует, что во всех таких системах должен соблюдаться закон сохранения энергии.

Пусть в инерциальной системе отсчета К тело (или частица) движется со скоростью 

= соnst. Тогда релятивистская энергия Ер, согласно теории относительности, определяется следующим выражением:

Е

р = mc2/.

Как следует из формулы, релятивистская энергия больше собственной энергии этого тела, равной Е = mc

2. Разность между релятивистской энергией движущегося тела и его собственной энергии равна кинетической энергии Ек тела: Ер – Е = Ек.^ Релятивистский импульс. Формула определения релятивистского импульс такова:
р = mυ/.

Из формулы видно, что с увеличением скорости υ релятивистский импульс растет быстрее, чем классический р

к = mυ. Отметим, что классический импульс может быть получен из формулы релятивистского импульса при υ << с.
^ Связь между релятивистским импульсом и релятивистской энергией. Иэ формул определения релятивистских импульса и энергии и исключив скорость, после преобразований получим 
Е2 = m2c4 + р2 c2. (1)
Это соотношение справедливо не только для массовых, но и для безмассовых частиц. Покажем это. На основании выше указанных формул определения релятивистской энергии и релятивистского импульса можно записать Е = рс2/ υ. Тогда энергия частицы, движущаяся со скоростью υ = с, будет равна Е = рс.

Из уравнения (1) получим m

2c4 = Е2 — р2 c2. Но Е = рс, следовательно, m2c4 = 0 или m = 0. Таким образом, мы приходим к выводу, что безмассовые частицы (m = 0) могут двигаться только со скоростью света в вакууме.
Выражение (1) для безмассовой частицы можно записать в виде
Е2 — р2 c2 = m2c4 = 0.

Данное выражение справедливо для любой безмассовой частицы во всех инерциальных системах отсчёта.

Литература:

1. Берков, А.В. и др. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010, Физика: учебное пособие для выпускников. ср. учеб. заведений   / А.В. Берков, В.А. Грибов. – ООО «Издательство Астрель», 2009. – 160 с.
2. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ТАБЛИЦЫ ПО ФИЗИКЕ. КЛАСС!ная физика для любознательных. / http://class-fizika.narod.ru/tabl.htm 
3. Касьянов, В.А. Физика, 11 класс : учебник для общеобразовательных школ / В.А. Касьянов. – ООО «Дрофа», 2004. – 116 с.
4. Мякишев Г.Я. и др. Физика. 11 класс  учебник для общеобразовательных школ   / учебник для общеобразовательных школ Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев . –» Просвещение «, 2009. – 166 с.
5. Открытая физика [текст, рисунки]/ http://www.physics.ru
6. Подготовка к ЕГЭ /http://egephizika 
7. Система релятивистских частиц. Дефект массы и энергия связи ядра. Физические основы механики / http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom1/ch8/texthtml/ch8_7_text.htm 
8. Состав ядра. Ядерные силы. Энергия связи ядра . Портал естественных наук / http://e-science.ru/physics/theory/?t=6 
9. Справочник по физике. Оптика . www. Abitura.com/ http://www.abitura.com/handbook/optic9.html 
10. Федеральный институт педагогических измерений. Контрольные измерительные материалы (КИМ) Физика //[Электронный ресурс]// http://fipi.ru/view/sections/92/docs/ 
11. Энергия Связи и Дефект Массы Ядра . Квантовая Физика. / http://sfiz.ru/page.php?id=124 

Приложение

 Разно уровневые тренировочные вопросы и задачи:

Первый уровень

1. Какие системы отсчета называются инерциальными?
2. Сформулируйте и разъясните содержание первого постулата СТО – принципа относительности Эйнштейна.
3. В чем отличие первого постулата теории относительности в релятивистской физике от принципа относительности в классической физике?
4. Сформулируйте второй постулат СТО.
5. Сформулируйте закон сложения скоростей в классической механике.
6. Напишите релятивистский закон сложения скоростей.
7. Покажите, что классический закон сложения скоростей является частным случаем релятивистского закона сложения скоростей.
8. Может ли электрон двигаться со скоростью, превышающей скорость света в данной среде?
9. Какое время, отсчитанное между событиями, называется собственным?
10. В каких условиях наблюдается эффект замедления времени?
11. Что такое собственная длина стержня? Одинакова ли длина стержня в различных инерциальных системах отсчета? Имеет ли смысл понятие длина стержня вне связи с системой отсчета?
12. Какой стала бы длина тела в направлении вдоль скорости движения относительно неподвижного наблюдателя при v = c?
13. Какое выражение имеет закон релятивистской динамики?
14. По какой формуле определяется релятивистский импульс тела?
15. Что такое энергия покоя тела?
16. В чем состоит универсальный характер взаимосвязи импульса, энергии и массы тела?
17. Нагретая добела железная деталь охлаждена до комнатной температуры. Произошло ли изменение массы детали?

Второй уровень

18. Две космические ракеты движутся по одной прямой в одном направлении со скоростями 0,6 с и 0,8 с относительно неподвижного наблюдателя. Определите скорость удаления второй ракеты от первой по классической и релятивистской формулам сложения скоростей.
19. Две ракеты, снабженные ионными двигателями, приближаются одна к другой с противоположно направленными скоростями, равными 0,80 с и 0,70 с, относительно наблюдателя, покоящегося в некоторой точке на линии их сближения. Определите относительную скорость ракет по законам классической и релятивистской механики.
20. Определите количество лет, прошедших на Земле, если в космическом корабле при скорости его движения относительно Земли, равной 0,80 с, прошло 12 лет.
21. Определите промежуток времени, прошедший за 35 земных лет на звездолете, движущемся относительно Земли со скоростью 0,40 с.
22. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью 0,60 с. Определите, во сколько раз замедляется ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя.
23. Определите скорость движения космического корабля относительно Земли, при которой часы на нем идут в четыре раза медленнее, чем на Земле.
24. Собственная длина стержня равна 2,0 м. Определите его длину для наблюдателя, относительно которого стержень перемещается со скоростью 0,98 с, направленной вдоль стержня.
25. Жесткий стержень длиной 1 м измеряется двумя наблюдателями: первый покоится относительно стержня, второй движется вдоль него. Определите скорость движения второго наблюдателя, если измеренная им длина стержня равна 0,50 м.
26. Определите скорость движения космического корабля, если его продольные размеры для земного наблюдателя кажутся в пять раз меньше «истинных».
27. Определите размеры и форму квадратной пластинки с длиной стороны 1 м, которая удаляется от наблюдателя по прямой, параллельной одной из ее сторон, с относительной скоростью 0,80 c. Сравните площади покоящейся и движущейся пластинки.
28. Покажите, что объем куба, движущегося со скоростью v в направлении, параллельном одному из его ребер, равен 
29. Определите импульс электрона, летящего со скоростью 0,98 с.
30. Определите кинетическую энергию электрона при движении его со скоростью 0,75 с по классическим и релятивистским формулам.
31. Определите скорость движения любой частицы вещества, при которой ее кинетическая энергия равна энергии покоя.
32. Определите энергию покоя электрона и нейтрона.
33. Одинакова ли масса сжатой и свободной пружины?
34. Определите изменение массы тела, если полная энергия этого тела возросла на 1 Дж.

35. Определите скорость движения частицы, если ее полная энергия равна E, а энергия покоя E0.
36. Мощность излучения Солнца 3,9 • 1023 кВт. Определите эквивалентное уменьшение массы Солнца за одну секунду при данном излучении.

Третий уровень

37. Мезон, движущийся со скоростью 0,99 с относительно Земли, пролетел от места своего рождения до точки распада расстояние 4,7 км. Определите собственное время жизни мезона и расстояние, которое пролетел бы мезон относительно Земли, если бы релятивистский эффект относительности интервала времени не имел места.
38. Жесткий стержень покоится в подвижной системе отсчета и ориентирован в ней под углом 37° к оси абсцисс. Определите скорость движения этого стержня параллельно оси абсцисс неподвижной системы отсчета, при которой он с   точки зрения неподвижного наблюдателя наклонен к ней под углом 45°.
39. Покажите, что плотность материала куба, движущегося со скоростью v в направлении, параллельном одному из его ребер, равна 
40. Определите скорость движения тела, если его плотность возросла на 10 %.
41. Определите скорость движения стержня, при которой релятивистское сокращение его длины составит 20 %.
42. Определите угол между диагоналями квадрата при его движении со скоростью 0,90 с в направлении, параллельном одной из сторон.
43. Определите скорость и кинетическую энергию, которая должна быть сообщена космическому кораблю массой 104 кг, чтобы его часы по возвращении на Землю показывали вдвое меньшее время, чем часы на Земле.
44. Определите работу, совершаемую однородным электрическим полем при разгоне электрона от скорости 0,980 c до 0,999 c.
45. Протон, имеющий начальную скорость 0,9 c, попадает в однородное электрическое поле и, двигаясь вдоль линии напряженности, полностью теряет свою скорость. Определите разность потенциалов двух точек, между которыми перемещался протон.
46. Определите скорость и импульс частицы массой m, если ее кинетическая энергия равна удвоенной энергии покоя.
47. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы его полная энергия стала в одиннадцать раз больше энергии покоя?
48. Находящаяся в озере вода объемом 2•106 м3, нагрелась на 5 °С. Определите эквивалентное изменение массы.
49. На 1 м2 поверхности, перпендикулярной направлению солнечных лучей около Земли, но вне ее атмосферы, приходит ежесекундно примерно 1,4 кДж энергии излучения Солнца. На какое время хватит массы водорода на Солнце, чтобы поддерживать это излучение? Расстояние от Солнца до Земли около 1,5 • 108 км, масса Солнца 2 • 1030 кг, количество водорода составляет 75 % по массе.

Четвертый уровень

50. Электрон испускается под углом 37° к оси x со скоростью 0,5 с. Определите абсолютное значение и направление скорости этого электрона относительно инерциальной системы, движущейся со скоростью с (рис. 3). 
51. Стержень собственной длиной l0 движется в лаборатории поступательно так, что вектор его скорости v образует угол j со стержнем. Определите длину стержня в лабораторной системе отсчета.
52. В лабораторной системе отсчета (K-система) движется стержень со скоростью 0,98 с. По измерениям, произведенным к K-системе, его длина оказалась равной 1,08 м, а угол, который он составляет с осью x, равным 78,7°. Определите собственную длину стержня в K ‘-системе, связанной со стержнем, и угол, который он составляет с осью x ‘.
53. Частица массой m0, двигаясь со скоростью 0,8 c, испытывает неупругое столкновение с покоящейся частицей той же массы. Определите скорость и энергию покоя составной частицы, которая образовалась в результате соударения.

Ответы

2. Все инерциальные системы отсчета эквивалентны в отношении любых физических процессов. Система отсчета, движущаяся с постоянной скоростью относительно данной ИСО, также есть ИСО, поэтому, кроме исходной, имеется множество других ИСО.
8. Может, но его скорость все равно меньше скорости света в вакууме.
10. Эффект замедления времени наблюдается только в тех системах отсчета, которые движутся друг относительно друга со скоростями, близкими к скорости света в вакууме.
11. Собственной длиной стержня l0 называется длина стержня в системе отсчета, относительно которой он покоится; длина стержня в различных системах отсчета неодинакова. Не имеет.
12. Из формулы следует, что при v ® c, l ® 0, следовательно, при v = с длина тела стала бы равной нулю, что невозможно.
15. Энергия покоя тела – это внутренняя энергия тела.
17. Да, произошло, на величину Dm = Q/c2, где Q – количество теплоты, отданное деталью окружающей среде при ее охлаждении.
18. 0,2с; 0,385с.
19. 1,5с; 0,96с.
20. 20 лет.
21. 32 года.
22. 1,25.
23. 2,9 • 108 м/с.
24. 0,4 м.
25. 0,866с.
26. 2,94 •108 м/с.
27. Прямоугольник со сторонами 1 м и 0,6 м. Площадь уменьшилась на 0,4 м2.
29. 1,34 • 10–21 кг • м/с.
30. 2,3 • 10–14 Дж; 4 • 10–14 Дж.
31. 0,866с =  2,596•108 м/с. 
32. 0,51 МэВ;  939,6 МэВ.
33. Масса сжатой пружины больше, чем свободной, на величину Dm =kx2/2c2 , где k – коэффициент упругости, Dx – удлинение пружины.
34. 11,1 • 10–18 кг.
35. 
36. 4,4 • 106 т.
37. 2,21 мкс; 665 м.
38. 0,66с.
40. 0,42с.
41. 0,6с.
42. 47°.
43. 260 000 км/с; 9 • 1020 Дж.
44. 8,9 • 106 эВ.
45. 1,216 • 109 В.
46. 0,943с; 2,83mc.
47. 9,4 • 109 В.
48. 4,67 • 10–4 кг.
49. 14 400 млрд лет.
50. 0,325с; 67,3°.
51. b =v/c .
52. 1,5 м; 45°.

53. 0,5547с; 2,3m0.