15 января 2013
В закладки
Обсудить
Жалоба
Теория по геометрии для сдачи ЕГЭ по математике
Немного теории, которая непременно пригодится на ЕГЭ.
Другие материалы смотрите в разделе ЕГЭ по математике.
Геометрия на ЕГЭ по математике
Геометрия на профильном ЕГЭ по математике — одна из сложных тем для абитуриентов. Дело в том, что когда-то экзамен по геометрии в школе был обязательным, а сейчас — нет. В результате у большинства абитуриентов знания по геометрии близки к нулю.
Геометрия на профильном ЕГЭ — это три задачи в части 1 (сюда входит и планиметрия, и стереометрия), а также задача 14 (стереометрия) и для многих недосягаемая задача 16 (геометрия) из второй части. Как же научиться их решать?
Начнем с планиметрии. Прежде всего, выучите основные формулы геометрии.
На нашем сайте вы найдете курс геометрии с нуля — основные определения, формулы и теоремы, а также разбор множества экзаменационных задач по геометрии из части 1.
Для решения задач по геометрии из части 2 нужна более серьезная подготовка.
Первый этап — теория. Необходимый материал есть в учебнике по геометрии за 7-9 класс (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян). Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.
Программа по геометрии.
1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения).
2. Построение треугольника: практические задания.
а) Три стороны треугольника 
равны 
и 
сантиметров соответственно. Постройте треугольник с помощью циркуля и линейки.
б) В треугольнике угол 
равен 
градусов, сторона 
равна 
, 
равна 
. Постройте треугольник .
в) В треугольнике сторона равна 
, угол равен 
, угол 
равен 
. Постройте треугольник .
3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника.
4. Постройте с помощью циркуля и линейки:
а) серединный перпендикуляр к отрезку;
б) биссектрису угла.
5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства.
6. Теорема о сумме углов треугольника.
7. Внешний угол треугольника.
8. Постройте в одном и том же треугольнике
а) Три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника.
б) Три биссектрисы.
в) Три медианы.
9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике.
10. Средняя линия треугольника и ее свойства.
11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
12. Определения синуса, косинуса и тангенса:
— для острого угла прямоугольного треугольника;
— для произвольного угла.
13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника.
14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма.
15. Виды параллелограммов и их свойства (ромб, прямоугольник, квадрат).
16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции.
17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников.
18. Площадь треугольника. Формулы 
и 
.
19. Теоремы синусов и косинусов.
20. Чему равно отношение площадей подобных фигур.
21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?)
22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?)
23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора.
24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания.
25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними.
26. Теоремы о вписанных углах.
27. Теорема о пересекающихся хордах.
28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки.
29. Теорема о секущей и касательной.
30. Дан треугольник . Постройте:
а) окружность, вписанную в данный треугольник;
б) окружность, описанную вокруг данного треугольника.
Где находятся центры этих окружностей?
31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона).
32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника?
Программа по стереометрии
Разбирая и решая задания ЕГЭ по геометрии, вы заметите очень интересную вещь. Простые задачи из части 1, разобранные на нашем сайте, часто оказываются базовыми схемами, на которых строятся сложные задачи из части 2 профильного ЕГЭ.
Решая на ЕГЭ задачи по геометрии, обращайте особое внимание на оформление. Помните совет, который дал абитуриентам автор бестселлера «Математика — абитуриенту» В. В. Ткачук. Вот он, этот ценнейший совет:
«Подробность решения должна быть такова, чтобы его мог понять человек в 10 (десять) раз глупее вас».
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Геометрия на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Планиметрия
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.
Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)
- Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
- Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Признаки подобия треугольников:
- Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
- Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
- Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Площади фигур
Площадь треугольника
- $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
- $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
- Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
- $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
- $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
- Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
- Для равностороннего треугольника $S={a^2 √3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
Площади четырехугольников
Прямоугольник
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
Ромб
$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба
$S=a^2·sinα$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
Трапеция
$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
Квадрат
$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
Параллелограмм
$S=a·b·sinα$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, а $α$ — угол между этими сторонами.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:
Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.
$CD^2=DB·AD$
В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
$CB^2=AB·DB$
$AC^2=AB·AD$
Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.
$AC·CB=AB·CD$
Метрические соотношения в окружности
1. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.
2. Если хорды $АС$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $N$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
$AN·NC=BN·ND$
Пример:
Хорды $АВ$ и $CD$ пересекаются в точке $Е$. Найдите $ЕD$, если $АЕ=16, ВЕ=9, СЕ=ED$.
Решение:
Если хорды $АВ$ и $СD$ пересекаются в некоторой точке $Е$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
$AЕ·ЕВ=СЕ·ЕD$
Так как $СЕ=ED$, данное выражение можно записать в виде:
$ЕD^2=AЕ·ЕВ$
Подставим числовые значения
$ЕD^2=16·9$
$ЕD=√{16·9}=4·3=12$
Ответ: $12$
3. Если из одной точки к одной окружности проведены две секущие, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равно произведению второй секущей на свою внешнюю часть.
$АС·ВС=EC·DC$
4. Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной.
$BD·СB=AB^2$
Вписанные и описанные окружности для четырехугольников.
1. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
$АВ+CD=BC+AD$
2. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.
$∠В+∠D=180°$
$∠A+∠C=180°$
Вневписанные окружности
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.
Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.
Точки $О_1, О_2$ и $О_3$ – центры вневписанных окружностей.
Связь площади треугольника с радиусами вневписанных окружностей.
Введем обозначения:
$S$ — площадь треугольника;
$p$ — полупериметр треугольника;
$a, b, c$ — стороны треугольника;
$r_a, r_b, r_c$ — радиусы вневписанных окружностей касающиеся соответственно сторон $a, b$ и $c$;
Для данных обозначений справедливы равенства:
$r_a={S}/{p-a};$
$r_b={S}/{p-b};$
$r_c={S}/{p-c}.$
Пример:
В прямоугольном треугольнике $АВС$ угол $С=90°, АС=6, ВС=8$. Найдите радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы.
Решение:
Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны $АВ$ равен:
$r_{АВ}={S}/{p-АВ}$, где $S$ — площадь треугольника, $р$ — полупериметр треугольника.
Чтобы подставить в формулу данные, найдем сначала площадь треугольника и его полупериметр.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
$S={АС·АВ}/{2}={6·8}/{2}=24$
Нам неизвестна гипотенуза, найдем ее по теореме Пифагора:
$АВ=√{АС^2+СВ^2}=√{6^2+8^2}=√{100}=10$
Зная все стороны, вычислим полупериметр:
$р={6+8+10}/{2}=12$
Теперь можем все данные подставить в формулу нахождения радиуса вневписанной окружности:
$r_{АВ}={S}/{p-АВ}={24}/{12-10}={24}/{2}=12$
Ответ: $12$
Биссектриса
Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.
Свойства биссектрисы:
1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
2. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
$AD=DC$
3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.
4. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает равнобедренный треугольник.
5. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
6. В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.
${AB}/{AC}={BA_1}/{A_1C}$
7. Для нахождения длины биссектрисы справедлива формула:
$АА_1=√{АВ·АС-ВА_1·А_1 С}$
Медиана
Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.
Свойства медиан:
1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.
$S_1=S_2$
2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.
3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.
4. Для нахождения длины медианы, проведенной к стороне «с», справедлива формула:
$М_с={√{2(а^2+b^2)-c^2}}/{2}$
Высота
Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.
$BB_1$ — высота
Свойства высот:
1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
2. При пересечении двух высот получаются подобные треугольники:
$∆АА_1 В~∆СС_1В;$
$∆АС_1 М~∆СМА1$
3. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.
4. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:
$h_a:h_b:h_c={1}/{a}:{1}/{b}:{1}/{c}$
Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
${a}/{sinα}={b}/{sinβ} ={c}/{sinγ} =2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.
Пример:
В треугольнике $АВС ВС=16, sin∠A={4}/{5}$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.
Решение:
Воспользуемся теоремой синусов:
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
${ВС}/{sinA} =2R$
Далее подставим числовые данные и найдем $R$
${16·5}/{4}=2R$
$R={16·5}/{4·2}=10$
Ответ: $10$
Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα.$
Формулы для профильного ЕГЭ-2022 по математике
Формулы сокращённого умножения
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Вероятность
Свойства степеней
Свойства логарифмов
Тригонометрия
Производные
Первообразные
Геометрия
Формулы сокращённого умножения
| `(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2` | |
| `(a − b)^2=a^2 − 2ab + b^2` | |
| `a^2 − b^2=(a + b)(a − b)` | |
| `a^3 + b^3=(a + b)(a^2 − ab + b^2)` | |
| `a^3 − b^3=(a − b)(a^2 + ab + b^2)` | |
| `(a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3` | |
| `(a − b)^3=a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3` |
Прогрессии
Арифметическая прогрессия:
| `a_n=a_(n-1)+d` |
| `a_n=a_1+(n-1)*d` |
| `S_n=((a_1+a_n)*n)/2` |
Геометрическая прогрессия:
| `b_n=b_(n-1)*q` |
| `b_n=b_1*q^(n-1)` |
| `S_n=((q^n-1)*b_1)/(q-1)` |
| Бесконечно убывающая: `S=b_1/(1-q)` |
Вероятность
| Вероятность события A: | `P(A)=m/n` | |
| События происходят A и B происходят одновременно | `A*B` | |
| Независимые события: | `P(A*B)=P(A)*P(B)` | |
| Зависимые события: | `P(A*B)=P(A)*P(B|A)` | |
| Происходит или событие A, или B | `A+B` | |
| Несовместные события: | `P(A+B)=P(A)+P(B)` | |
| Совместные события: | `P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)` |
Свойства степеней
| `a^0=1` | `a^1=a` |
| `a^(-1)=1/a` | `a^(-n)=1/a^n` |
| `a^(1/2)=sqrt(a)` | `a^(1/n)=root(n)(a)` |
| `a^m*a^n=a^(m+n)` | `a^m/a^n=a^(m-n)` |
| `(a*b)^n=a^n*b^n` | `(a/b)^n=a^n/b^n` |
| `(a^m)^n=a^(m*n)` | `a^(m/n)=root(n)(a^m)` |
Свойства логарифмов
| `log_ab=c``a^c=b` | |
| `log_a1=0` | |
| `log_aa=1` | |
| `log_a(b*c)=log_ab+log_ac` | |
| `log_a(b/c)=log_ab-log_ac` | |
| `log_ab^n=n*log_ab` | |
| `log_(a^m)b=1/m*log_ab` | |
| `log_ab=1/(log_ba)` | |
| `log_ab=(log_cb)/(log_ca)` | |
| `a^(log_cb)=b^(log_ca)` | |
| `a^(log_ab)=b` |
Тригонометрия
| `alpha` | `0` | `pi/6` | `pi/4` | `pi/3` | `pi/2` | `pi` | `(3pi)/2` | `2pi` |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| `0^circ` | `30^circ` | `45^circ` | `60^circ` | `90^circ` | `180^circ` | `270^circ` | `360^circ` | |
| `sinalpha` | `0` | `1/2` | `sqrt(2)/2` | `sqrt(3)/2` | `1` | `0` | `-1` | `0` |
| `cosalpha` | `1` | `sqrt(3)/2` | `sqrt(2)/2` | `1/2` | `0` | `-1` | `0` | `1` |
| `text(tg)alpha` | `0` | `sqrt(3)/3` | `1` | `sqrt(3)` | `infty` | `0` | `infty` | `0` |
| `text(ctg)alpha` | `infty` | `sqrt(3)` | `1` | `sqrt(3)/3` | `0` | `infty` | `0` | `infty` |
Основные соотношения
| `sin^2alpha+cos^2alpha=1` | |
| `text(tg)alpha=sinalpha/cosalpha=1/(text(ctg)alpha)` |
Формулы двойного угла
| `cos2alpha={(cos^2alpha-sin^2alpha),(1-2sin^2alpha),(2cos^2alpha-1):}` | |
| `sin2alpha=2sinalphacosalpha` | |
| `text(tg)2alpha=(2text(tg)alpha)/(1-text(tg)^2alpha)` |
Формулы суммы и разности аргументов
| `sin(alpha+-beta)=sinalphacosbeta+-cosalphasinbeta` |
| `cos(alpha+-beta)=cosalphacosbeta∓sinalphasinbeta` |
| `text(tg)(alpha+-beta)=(text(tg)alpha+-text(tg)beta)/(1∓text(tg)alpha*text(tg)beta)` |
Преобразование суммы и разности в произведение
| `sinalpha+-sinbeta=2sin((alpha+-beta)/2)cos((alpha∓beta)/2)` |
| `cosalpha+cosbeta=2cos((alpha+beta)/2)cos((alpha-beta)/2)` |
| `cosalpha-cosbeta=-2sin((alpha+beta)/2)sin((alpha-beta)/2)` |
Формулы половинного аргумента
| `sin(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/2)` | |
| `cos(alpha/2)=+-sqrt((1+cosalpha)/2)` | |
| `text(tg)(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/(1+cosalpha))=(1-cosalpha)/sinalpha=sinalpha/(1+cosalpha)` |
Обратные тригонометрические функции
| `sinx=A` | `x=(-1)^k*arcsinA + pik` или `{(x=arcsinA + 2pik),(x=pi-arcsinA+2pik):}` |
`kinZZ` |
| `cosx=A` | `x=±arccosA + 2pik` | `kinZZ` |
| `tg x=A` | `x=text(arctg) A + pik` | `kinZZ` |
| `ctg x=A` | `x=text(arcctg) A + pik` | `kinZZ` |
Также некоторые тригонометрические соотношения смотрите в разделе Геометрия.
Производные
Основные правила дифференцирования
| `(u+-v)’=u’+-v’` | |
| `(u*v)’=u’*v+u*v’` | |
| `(u/v)^’=(u’*v-u*v’)/v^2` | |
| `[f(g(x))]’=f'(g(x))*g'(x)` |
Уравнение касательной
| `y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)` |
Производные элементарных функций
| `C’=0` | `(C*x)’=C` | |
| `(x^m)’=mx^(m-1)` | `(sqrtx)’=1/(2sqrtx)` | |
| `(1/x)^’=-1/x^2` | ||
| `(e^x)’=e^x` | `(lnx)’=1/x` | |
| `(a^x)’=a^x*lna` | `(log_ax)’=1/(xlna)` | |
| `(sinx)’=cosx` | `(cosx)’=-sinx` | |
| `(text(tg)x)’=1/cos^2x` | `(text(ctg)x)’=-1/sin^2x` | |
| `(arcsinx)’=1/sqrt(1-x^2)` | `(arccosx)’=-1/sqrt(1-x^2)` | |
| `(text(arctg))=1/(1+x^2)’` | `(text(arcctg))’=-1/(1+x^2)` |
Также некоторые сведения про производные смотрите в описании задач
№14 (база), №7 (профиль), №12 (профиль).
Первообразные
| Первообразная: | `F'(x)=f(x)` | |||
| Неопределённый интеграл: | `intf(x)dx=F(x)+C` | |||
| Определённый интеграл (формула Ньютона-Лейбница): | `int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)` |  |
Таблица первообразных
| `f(x)` | `F(x)` | `f(x)` | `F(x)` | |
|---|---|---|---|---|
| `a` | `ax` | |||
| `x^n` | `x^(n+1)/(n+1)` | `1/x` | `lnx` | |
| `e^x` | `e^x` | `a^x` | `a^x/lna` | |
| `sinx` | `-cosx` | `cosx` | `sinx` | |
| `1/cos^2x` | `text(tg)x` | `1/sin^2x` | `-text(ctg)x` | |
| `1/(x^2+a^2)` | `1/atext(arctg)x/a` | `1/(x^2-a^2)` | `1/(2a)ln|(x-a)/(x+a)|` | |
| `1/sqrt(a^2-x^2)` | `text(arcsin)x/a` | `1/sqrt(x^2+a)` | `ln|x+sqrt(x^2+a)|` |
Геометрия
Планиметрия (2D)
Площади фигур:
| Окружность: | `S=pir^2` | |
| Треугольник: | `S=1/2ah` | |
| Параллелограмм: | `S=ah` | |
| Четырёхугольник: | `S=1/2d_1d_2sinvarphi` | |
| Трапеция: | `S=(a+b)/2*h` |
Стереометрия (3D)
| Призма: | `V=S_(осн)h` | |
| Пирамида: | `V=1/3S_(осн)h` | |
| Конус: | `V=1/3S_(осн)h` | |
| `S_(бок)=pirl` | ||
| Цилиндр: | `V=pir^2h` | |
| `S_(бок)=2pirh` | ||
| Шар: | `V=4/3pir^3` | |
| `S=4pir^2` |
Этапы закрепощения крестьян в России
Крепостное право на Руси появилось позже, чем во многих средневековых европейских королевствах. Это было связано с объективными причинами – низкая плотность населения, зависимость от ордынского ига.
Задания 12-18 досрочного ЕГЭ по математике
3 примера по каждому заданию. Досрочный ЕГЭ по математике прошёл 28 марта.
ОГЭ по математике. Тренировочный вариант СтатГрад
Видеоуроки ОГЭ | Вчера, 21:46
Решение тестовой части (№1-19) тренировочной работы по математике от 18 апреля 2022 года.
Факт 1.
(bullet) Множество натуральных чисел (mathbb{N}) – это числа (1,
2, 3, 4 ) и т.д.
(bullet) Множество целых чисел (mathbb{Z}) состоит из натуральных чисел, противоположных им ((-1, -2, -3 ) и т.д.) и нуля (0).
(bullet) Рациональные числа (mathbb{Q}) – числа вида (dfrac ab), где (ain mathbb{Z}), (bin mathbb{N}).
Таким образом, существует включение: (mathbb{N}) содержится в (mathbb{Z}), а (mathbb{Z}) содержится в (mathbb{Q}).
Факт 2.
(bullet) Правила сложения дробей: [begin{aligned} &dfrac ab+dfrac cb=dfrac{a+c}b[2ex]
&dfrac ab+dfrac cd=dfrac{ad+bc}{bd}end{aligned}] Пример: (dfrac {31}6+dfrac {67}6=dfrac{31+67}6=dfrac{98}6)
(bullet) Правила умножения дробей: [dfrac abcdot dfrac cd=dfrac{ac}{bd}] Пример: (dfrac 47cdot dfrac{14}5=dfrac{4cdot 14}{7cdot 5})
(bullet) Правила деления дробей: [dfrac ab: dfrac cd=dfrac abcdot dfrac dc] Пример: (dfrac 45 :dfrac 67=dfrac 45cdot dfrac 76)
Факт 2.
(bullet) Сокращение дробей – деление числителя и знаменателя на одно и то же число, отличное от нуля.
Пример:
(begin{aligned} &dfrac{98}6=dfrac{49cdot
2llap{/}}{3cdot
2llap{/}}=dfrac{49}3[2ex]
&dfrac{4cdot 14}{7cdot 5}=dfrac{4cdot 2cdot
7llap{/}}{7llap{/}cdot
5}=dfrac 85[2ex]
&dfrac{4cdot 7}{5cdot 6}=dfrac {2llap{/}cdot 2cdot 7}{5cdot
3cdot
2llap{/}}=dfrac{14}{15}end{aligned})
(bullet) Если (dfrac ab) – несократимая дробь, то ее можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель (b) делится только на числа (2) и (5).
Пример: дробь (dfrac2{65}) нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, так как (65=5cdot 13), то есть (dfrac2{65}=0,0307…)
дробь (dfrac3{160}) можно представить в виде конечной десятичной дроби, так как (160=2^5cdot 5), то есть (dfrac3{160}=0,01875).
Факт 3.
(bullet) Формулы сокращенного умножения:
(blacktriangleright) Квадрат суммы и квадрат разности: [(a+b)^2=a^2+2ab+b^2] [(a-b)^2=a^2-2ab+b^2]
(blacktriangleright) Куб суммы и куб разности: [(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3quad {small{text{или}}}quad
(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)] [(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3quad {small{text{или}}}quad
(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)]
Заметим, что применение данных формул справа налево часто помогает упростить вычисления:
(13^3+3cdot 13^2cdot 7+3cdot 13cdot 49+7^3=(13+7)^3=20^3=8000)
(blacktriangleright) Разность квадратов: [a^2-b^2=(a-b)(a+b)]
(blacktriangleright) Сумма кубов и разность кубов: [a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)] [a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)]
Заметим, что не существует формулы суммы квадратов (a^2+b^2).
Заметим, что применение данных формул слева направо часто помогает упростить вычисления:
(dfrac{7^6-2^6}{7^4+14^2+16}=
dfrac{(7^2-2^2)(7^4+7^2cdot2^2+2^4)}
{7^4+(7cdot2)^2+2^4}=7^2-2^2=45)
Факт 4.
(bullet) Квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых и удвоенных попарных произведений: [begin{aligned}
&(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc[2ex]
&(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd[2ex]
&{small{text{и т.д.}}}end{aligned}]
Геометрия на профильном ЕГЭ по математике — одна из сложных тем для абитуриентов. Дело в том, что когда-то экзамен по геометрии в школе был обязательным, а сейчас — нет. В результате у большинства абитуриентов знания по геометрии близки к нулю.
Геометрия на профильном ЕГЭ — это три в части 1 (сюда входит и планиметрия, и стереометрия), а также задача 14 (стереометрия) и для многих недосягаемая 16 (геометрия) из второй части. Как же научиться их решать?
Начнем с планиметрии. Прежде всего, выучите основные формулы геометрии.
На нашем сайте вы найдете курс геометрии с нуля — основные определения, формулы и теоремы, а также разбор множества экзаменационных задач по геометрии из части 1.
Для решения задач по геометрии из части 2 нужна более серьезная подготовка.
Первый этап — теория. Необходимый материал есть в учебнике по геометрии за 7-9 класс (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян). Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.
Программа по геометрии.
1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения).
2. Построение треугольника: практические задания.
а) Три стороны треугольника равны и сантиметров соответственно. Постройте треугольник с помощью циркуля и линейки.
б) В треугольнике угол равен градусов, сторона равна двум, равна . Постройте треугольник .
в) В треугольнике сторона равна , угол равен 
, угол равен 
. Постройте треугольник .
3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника.
4. Постройте с помощью циркуля и линейки:
а) серединный перпендикуляр к отрезку;
б) биссектрису угла.
5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства.
6. Теорема о сумме углов треугольника.
7. Внешний угол треугольника.
8. Постройте в одном и том же треугольнике
а) три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника.
б) три биссектрисы.
в) три медианы.
9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике.
10. Средняя линия треугольника и ее свойства.
11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
12. Определения синуса, косинуса и тангенса
— для острого угла прямоугольного треугольника
— для произвольного угла.
13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника.
14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма.
15. Виды параллелограммов и их свойства. (ромб, прямоугольник, квадрат).
16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции.
17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников.
18. Площадь треугольника. Формулы 
и 
.
19. Теоремы синусов и косинусов.
20. Чему равно отношение площадей подобных фигур.
21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?)
22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?)
23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора.
24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания.
25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними.
26. Теоремы о вписанных углах.
27. Теорема о пересекающихся хордах.
28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки.
29. Теорема о секущей и касательной.
30. Дан треугольник . Постройте
а) окружность, вписанную в данный треугольник
б) окружность, описанную вокруг данного треугольника.
Где находятся центры этих окружностей?
31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона).
32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника?
Программа по стереометрии
Разбирая и решая задания ЕГЭ по геометрии, вы заметите очень интересную вещь. Простые задачи из части 1, разобранные на нашем сайте, часто оказываются базовыми схемами, на которых строятся сложные задачи из части 2 профильного ЕГЭ.
Решая на ЕГЭ задачи по геометрии, обращайте особое внимание на оформление. Помните совет, который дал абитуриентам автор бестселлера «Математика — абитуриенту» В. В. Ткачук. Вот он, этот ценнейший совет:
«Подробность решения должна быть такова, чтобы его мог понять человек в 10 (десять) раз глупее вас».
Математика — теория ЕГЭ
-
23.02.2020Критерии оценивания ЕГЭ по математике 2020
(37524)
-
07.01.2020Теория вероятностней ЕГЭ по математике
(39480)
-
11.03.2019Критерии оценивания ЕГЭ 2019 по математике (профиль)
(59998)
-
08.10.2018Задание 1 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(166711)
-
08.10.2018Задание 2 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(51385)
-
08.10.2018Задание 3 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(176363)
-
08.10.2018Задание 4 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(94158)
-
08.10.2018Задание 5 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(95500)
-
08.10.2018Задание 6 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(163115)
-
08.10.2018Задание 7 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(102812)
-
08.10.2018Задание 8 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(136742)
-
08.10.2018Задание 9 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(98528)
-
08.10.2018Задание 10 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(55232)
-
08.10.2018Задание 11 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(83090)
-
08.10.2018Задание 12 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(118454)
-
08.10.2018Задание 13 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(98240)
-
08.10.2018Задание 14 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(70824)
-
08.10.2018Задание 15 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(68320)
-
08.10.2018Задание 16 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(58603)
-
08.10.2018Задание 17 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(119900)
-
08.10.2018Задание 18 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(66315)
-
08.10.2018Задание 19 ЕГЭ 2021 по математике, теория
(65688)
-
12.08.2018Популярные ошибки в ЕГЭ по математике
(22795)
-
20.03.2018Критерии оценивания ЕГЭ 2019 по математике
(124281)
-
19.01.2018Задания ЕГЭ по стереометрии: как научиться решать
(20757)
-
22.12.2017Векторы, подготовка к ЕГЭ по математике
(7921)
-
22.12.2017Координаты, подготовка к ЕГЭ по математике
(5217)
-
22.12.2017Комбинации, подготовка к ЕГЭ по математике
(5640)
-
22.12.2017Площади, подготовка к ЕГЭ по математике
(10406)
-
22.12.2017Углы, подготовка к ЕГЭ по математике
(6788)
-
22.12.2017Шар и сфера, подготовка к ЕГЭ по математике
(7795)
-
22.12.2017Конус, подготовка к ЕГЭ по математике
(6870)
-
22.12.2017Цилиндр, подготовка к ЕГЭ по математике
(6976)
-
22.12.2017Правильные многогранники, подготовка к ЕГЭ по математике
(4579)
-
22.12.2017Пирамида, подготовка к ЕГЭ по математике
(7486)
-
22.12.2017Параллелепипед, подготовка к ЕГЭ по математике
(4487)
-
22.12.2017Призма, подготовка к ЕГЭ по математике
(6000)
-
22.12.2017Многоугольник, подготовка к ЕГЭ по математике
(6150)
-
22.12.2017Окружность и круг, подготовка к ЕГЭ по математике
(8743)
-
22.12.2017Трапеция, подготовка к ЕГЭ по математике
(6492)
-
22.12.2017Параллелограмм, прямоугольник, подготовка к ЕГЭ по математике
(4499)
-
22.12.2017Треугольник, подготовка к ЕГЭ по математике
(9993)
-
10.12.2017Методы решения задач по геометрии ЕГЭ по математике
(13255)
-
03.10.2017Формулы объема
(7435)
-
03.10.2017Скрещивающиеся прямые
(4019)
-
03.10.2017Аксиомы стереометрии
(5434)
-
03.10.2017Справочные материалы к ЕГЭ по математике (профиль)
(182066)
-
06.09.2017Основные свойства трапеции
(4797)
-
06.09.2017Окружность, вписанная в треугольник
(4034)
-
06.09.2017Окружность и четырехугольник
(3650)
-
06.09.2017Окружность и треугольник
(3401)
-
18.08.2017Решение задач со сложными процентами ЕГЭ по математике
(8445)
-
14.06.2017Критерии оценивания реального ЕГЭ 2017 по математике
(31004)
-
15.05.2017Как решать задачи на работу
(5918)
-
15.05.2017Как решать задачи на числовые зависимости
(4570)
-
15.05.2017Как решать задачи на прогрессии
(4900)
-
15.05.2017Как решать задачи на проценты
(7238)
-
15.05.2017Как решать задачи на движение с дополнительной скоростью
(3880)
-
15.05.2017Как решать задачи на движение по прямой
(5842)
-
15.05.2017Как решать задачи на движение по окружности
(7961)
-
29.04.2017Неравенства с модулем: как решать
(16185)
-
29.04.2017Неравенства с параметром: как решать
(5824)
-
29.04.2017Иррациональные неравенства: как решать
(8350)
-
29.04.2017Тригонометрические неравенства: как решать
(11302)
-
29.04.2017Логарифмические неравенства: как решать
(9736)
-
29.04.2017Показательные неравенства: как решать
(6213)
-
28.03.2017Методы решения уравнений, содержащих модуль
(4803)
-
28.03.2017Методы решения тригонометрических уравнений
(6397)
-
28.03.2017Методы решения уравнений высших степеней
(4730)
-
28.03.2017Методы решения показательных уравнений
(4396)
-
28.03.2017Методы решения показательно-степенных уравнений
(3658)
-
28.03.2017Методы решения неравенств, содержащих модуль
(3733)
-
28.03.2017Методы решения логарифмических неравенств
(4402)
-
28.03.2017Методы решения иррациональных уравнений
(3993)
-
28.03.2017Методы решения иррациональных неравенств
(3435)
-
20.03.2017Разбор экономических задач по математике
(26460)
-
20.03.2017Разбор задач на работу по математике
(3494)
-
20.03.2017Алгоритм решения задач на растворы по математике
(5510)
-
20.03.2017Разбор задач на движение по математике
(3495)
-
21.02.2017Разбор ключевых задач по стереометрии из ЕГЭ по математике
(5238)
-
21.02.2017Теория к заданию 14 ЕГЭ по математике (профильный уровень)
(25991)
-
03.02.2017Методика решения задач с параметрами
(10993)
-
22.12.2016Теория по математике на тему «Задачи на составление уравнений»
(3762)
-
22.12.2016Теория по математике на тему «Средние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике, окружности»
(3475)
-
22.12.2016Теория по математике на тему «Призма»
(4189)
-
22.12.2016Теория по математике на тему «Логарифмы». Часть 2
(4693)
-
22.12.2016Теория по математике на тему «Логарифмические уравнения»
(4349)
-
22.12.2016Теория по математике на тему «Функции и их графики»
(5499)
-
22.12.2016Теория по математике на тему «Декартовы координаты»
(2993)
-
10.11.2016Теория по математике на тему «Формулы стереометрии»
(9524)
-
10.11.2016Теория по математике на тему «Формулы двойного и тройного угла в тригонометрии»
(3233)
-
10.11.2016Теория по математике на тему «Конус, цилиндр, пирамида»
(4378)
-
24.09.2016Теория по математике на тему «Степенные и иррациональные функции»
(3473)
-
24.09.2016Теория по математике на тему «Производная»
(8821)
-
24.09.2016Теория по математике на тему «Параметры»
(10686)
-
24.09.2016Теория по математике на тему «Графики функций»
(8652)
-
24.09.2016Теория по математике на тему «Формулы сокращенного умножения»
(3456)
-
15.09.2016Теория по математике на тему «Окружность»
(6587)
-
15.09.2016Теория по математике на тему «МЗМ для логарифмических неравенств»
(5962)
-
15.09.2016Теория по математике на тему «Задачи на работу»
(3933)
- Треугольник
- Четырехугольники
- Окружность и круг
- Призма
- Пирамида
- Усеченная пирамида
- Цилиндр
- Конус
- Усеченный конус
- Сфера и шар
1. Формулы сокращённого умножения
Наверх
2. Модуль числа
Определение: 
Основные свойства модуля:
Наверх
3. Степень с действительным показателем
Свойства степени с действительным показателем
Пусть 
Тогда верны следующие соотношения:
Наверх
4. Корень n-ой степени из числа
Корнем n-ой степени 
из числа a называется число, n-ая степень которого равна a.
Арифметическим корнем четной степени n 
из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.
Основные свойства арифметического корня:
Наверх
5. Логарифмы
Определение логарифма: 
Основное логарифмическое тождество: 
Основные свойства логарифмов
Пусть 
Тогда верны следующие соотношения:
Наверх
6. Арифметическая прогрессия
Формула n-го члена арифметической прогрессии: 
Характеристическое свойство арифметической прогрессии: 
Сумма n первых членов арифметической прогрессии: 
При решении задач, связанных с арифметической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:
Наверх
7. Геометрическая прогрессия
Формула n-го члена геометрической прогрессии: 
Характеристическое свойство геометрической прогрессии: 
Сумма n первых членов геометрической прогрессии: 
При решении задач, связанных с геометрической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:
Наверх
8. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 
Наверх
9. Основные формулы тригонометрии
Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента:
Формулы сложения:
Формулы тригонометрических функций двойного аргумента:
Формулы понижения степени:
Формулы приведения
Все формулы приведения получаются из соответствующих формул сложения. Например:
Применение формул приведения укладывается в следующую схему:
— определяется координатная четверть, в которой лежит аргумент приводимой функции, считая, что 
;
— определяется знак приводимой функции;
— определяется название приведенной функции по следующему правилу: если аргумент приводимой функции имеет вид 
или 
, то функция меняется на сходственную функцию, если аргумент приводимой функции имеет вид 
, то функция названия не меняет.
Например, получим формулу 
:
— 
— IV четверть;
— в IV четверти тангенс отрицательный;
— аргумент приводимой функции имеет вид 
, следовательно, название функции меняется. Таким образом, 
Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
Наверх
10. Производная и интеграл
Таблица производных некоторых элементарных функций
Правила дифференцирования:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Уравнение касательной к графику функции 
в его точке 
:
Таблица первообразных для некоторых элементарных функций
Правила нахождения первообразных
Пусть 
― первообразные для функций 
и 
соответственно, a, b, k ― постоянные, 
Тогда:
— 
― первообразная для функции 
— 
― первообразная для функции 
— 
― первообразная для функции 
— Формула Ньютона-Лейбница: 
1. Треугольник
Пусть 
― длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC соответственно; 
― полупериметр треугольника ABC; A, B, C ― величины углов BAC, ABC, ACB треугольника ABC соответственно; 
― длины высот AA2, BB2, CC2 треугольника ABC соответственно; R ― радиус окружности, описанной около треугольника ABC; r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC; 
― площадь треугольника ABC. Тогда имеют место следующие соотношения:
(теорема синусов);
(теорема косинусов);
Наверх
2. Четырёхугольники
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.
Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны. Из определения следует, что квадрат является ромбом, следовательно, он обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.
Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.
Площадь четырехугольника
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Наверх
3. Окружность и круг
Соотношения между элементами окружности и круга
Пусть r — радиус окружности, d — ее диаметр, C — длина окружности, S — площадь круга, 
— длина дуги в 
градусов, 
— длина дуги в 
радиан, 
— площадь сектора, ограниченного дугой в n градусов, 
— площадь сектора, ограниченного дугой в радиан. Тогда имеют место следующие соотношения:
Вписанный угол
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.
Вписанная окружность
Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка равноудаленная от всех сторон этого многоугольника, ― точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника. Таким образом, в многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну, тогда и только тогда, когда биссектрисы его углов пересекаются в одной точке.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Описанная окружность
Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка равноудаленная от всех вершин этого многоугольника, ― точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника. Таким образом, около многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры к сторонам этого многоугольника пересекаются в одной точке.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 
Наверх
4. Призма
Пусть H ― высота призмы, AA1 ― боковое ребро призмы, 
― периметр основания призмы, 
― площадь основания призмы, 
― площадь боковой поверхности призмы, 
― площадь полной поверхности призмы, V ― объем призмы, 
― периметр перпендикулярного сечения призмы, 
― площадь перпендикулярного сечения призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:
Свойства параллелепипеда:
— противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны;
— диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам;
— квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Наверх
5. Пирамида
Пусть H ― высота пирамиды, ― периметр основания пирамиды, ― площадь основания пирамиды, ― площадь боковой поверхности пирамиды, ― площадь полной поверхности пирамиды, V ― объем пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:
;
.
Замечание. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны 
, а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны 
, то 
Наверх
6. Усечённая пирамида
Пусть H ― высота усеченной пирамиды, 
и 
― периметры оснований усеченной пирамиды, 
и 
― площади оснований усеченной пирамиды, ― площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, ― площадь полной поверхности усеченной пирамиды, V ― объем усеченной пирамиды.
Тогда имеют место следующие соотношения:
Замечание. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны , то: 
Наверх
7. Цилиндр
Пусть h ― высота цилиндра, r ― радиус цилиндра, ― площадь боковой поверхности цилиндра, ― площадь полной поверхности цилиндра, V ― объем цилиндра.
Тогда имеют место следующие соотношения:
Наверх
8. Конус
Пусть h ― высота конуса, r ― радиус основания конуса, l ― образующая конуса, ― площадь боковой поверхности конуса, ― площадь полной поверхности конуса, V ― объем конуса.
Тогда имеют место следующие соотношения:
Наверх
9. Усечённый конус
Пусть h ― высота усеченного конуса, r и 
― радиусы основания усеченного конуса, l ― образующая усеченного конуса, ― площадь боковой поверхности усеченного конуса, V ― объем усеченного конуса. Тогда имеют место следующие соотношения:
Наверх
10. Сфера и шар
Пусть R ― радиус шара, D ― его диаметр, S ― площадь ограничивающей шар сферы, 
― площадь сферической поверхности шарового сегмента (шарового слоя), высота которого равна h, V ― объем шара, 
― объем сегмента, высота которого равна h, 
― объем сектора, ограниченного сегментом, высота которого равна h. Тогда имеют место следующие соотношения:
Наверх
Материалы, выдаваемые на экзамене, смотрите здесь
- Полный краткий справочник
- Формулы сокращенного умножения
- Модуль числа, модуль выражения
- Степень с действительным показателем
- Корень n-ой степени из числа
- Логарифмы
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
- Основные формулы тригонометрии
- Производная и интеграл
- Треугольник
- Четырехугольники
- Окружность и круг
- Призма
- Пирамида
- Усеченная пирамида
- Цилиндр
- Конус
- Усеченный конус
- Сфера и шар
- Векторы и координаты
- Особенности экзаменационных заданий профильной математики
- Задания 1: округление величин, проценты
- Особенности экзаменационных заданий на округление
- Округление величин с избытком и недостатком
- Проценты
- Особенности экзаменационных заданий на проценты
- Задания 2: анализ графических зависимостей
- Анализ графических зависимостей
- Особенности экзаменационных заданий на чтение графиков и диаграмм
- Задания 3 и 6: планиметрия
- Треугольник
- Равносторонний треугольник
- Равнобедренный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Тригонометрические функции дополнительных углов
- Основное тригонометрическое тождество и следствия из него
- Смежные углы
- Средняя линия треугольника
- Медиана треугольника
- Биссектриса треугольника
- Высота треугольника
- Серединный перпендикуляр
- Теорема косинусов
- Параллелограмм
- Прямоугольник
- Ромб
- Параллелограмм Вариньона
- Трапеция
- Правильный шестиугольник
- Теоремы о площадях многоугольников
- Окружность
- Вписанный угол
- Хорда
- Касательная к окружности
- Секущая
- Круг и его элементы
- Соотношения между элементами окружности и круга
- Вписанная окружность
- Описанная окружность
- Вектор
- Сумма и разность векторов
- Координаты вектора
- Скалярное произведение векторов
- Расстояния от точки до координатных осей
- Расстояние между точками
- Треугольник
- Задания 4: вероятности событий
- Определение вероятности
- Теоремы о вероятностях событий
- Особенности экзаменационных заданий на начала теории вероятности
- Задания 5: простейшие уравнения
- Простейшие уравнения
- Линейные уравнения
- Квадратные уравнения
- Рациональные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Показательные уравнения
- Логарифмические уравнения
- Особенности решения экзаменационных заданий на простейшие уравнения
- Задания 7: производные, первообразные
- Правила дифференцирования
- Производная числа, линейной и степенной функции
- Производная многочлена
- Уравнение прямой
- Уравнение касательной
- Физический смысл производной
- Монотонность и экстремумы функции
- Первообразная
- Криволинейная трапеция и ее площадь
- Задания 8: стереометрия
- Особенности экзаменационных заданий по стереометрии
- Куб
- Призма. Прямоугольный параллелепипед
- Прямая призма
- Прямоугольный параллелепипед и его свойства
- Особенности правильной шестиугольной призмы
- Пирамида
- Сечения
- Цилиндр и его соотношения
- Конус и его соотношения
- Сфера и шар
- Комбинации круглых тел. Вписанные сферы
- Комбинации круглых тел. Описанные сферы
- Комбинации конуса и цилиндра
- Комбинации многогранников и круглых тел. Описанные сферы
- Комбинации многогранников и круглых тел. Вписанные сферы
- Комбинации конуса, цилиндра и многогранников
- Задания 9: тождественные преобразования выражений
- Действия с дробями
- Формулы сокращенного умножения
- Степень и её свойства
- Свойства степени
- Степень с дробным показателем
- Арифметический корень
- Свойства арифметического корня
- Определение логарифма и его свойства
- Основные тригонометрические формулы
- Правило для запоминания формул приведения
- Свойства четности и нечетности функций
- Задания 10: задачи с прикладным содержанием
- Задачи с прикладным содержанием
- Задания 11: текстовые задачи
- Определение процента
- Правило креста для решения задач на смеси
- Движение по прямой
- Движение по окружности
- Алгоритм решения задач на совместную работу
- Задания 12: исследование функций при помощи производной
- Производная некоторых элементарных функций
- Правила дифференцирования
- Монотонность и экстремумы функции
- Наибольшее и наименьшее значение функции
- Задания 1: округление величин, проценты
Справочник
«ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ГЕОМЕТРИИ»
Содержание:
1.
Теоремы базового уровня……………………………………….3 – 11 стр.
1.1.
Теорема Фалеса Милетского……………………………..……3 стр. 1.2. Теорема
Пифагора………………………………………………3 стр. 1.3.
Теорема синусов………………………………………………..4 стр. 1.4. Теорема косинусов……………………………………………..4 стр.
1.5.
Теорема биссектрис…………………………………………….5 стр.
1.6.
Теорема о пересечении медиан треугольника……………..…5 стр. 1.7. Теорема о высотах
треугольника………………………………5 стр. 1.8.
Площади треугольников……………………………….………6 стр.
1.9.
Вписанный и центральный углы……………………………….7 стр.
1.10.
Вписанная окружность треугольника………………………..8 стр.
1.11.
Описанная окружность треугольника……………………..…8 стр.
1.12.
Вневписанная окружность треугольника……………………..8 стр. 1.13. Площади
четырехугольников……….……………………..….9 стр.
1.14.
Вписанный четырехугольник………………..………………10 стр.
1.15.
Описанный четырехугольник…………..……………………10 стр.
1.16.
Теорема о двух секущих……..………………………………11 стр. 1.17. Теорема о касательной и
секущей……………………………11 стр.
1.18. Теорема
о двух хордах………………………………………..11 стр.
2.
Теоремы профильного уровня…………………………………12 – 13 стр.
2.1.
Теорема Менелая………………………………………………12 стр. 2.2. Теорема
Чевы…………………………………………………..12 стр.
2.3.
Теорема Ван – Обеля………………………………………….12 стр.
2.4.
Теорема Стюарта………………………………………………13 стр.
2.5.
Теорема Птолемея…………………………………………….13 стр.
2.6.
Теорема Аполлония……………………………………………13 стр.
Теорема Фалеса
Милетского «Несколько параллельных прямых a║b║c║d и т.д., отсекающие на
одной из сторон угла равные отрезки, и на другой стороне угла также отсекающие
на одной из сторон угла равные отрезки, и на другой стороне угла также отсекают
равные отрезки»
Теорема Пифагора
1. Квадрат
гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.
2. Если
квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то
треугольник – прямоугольный.
Теорема синусов
Пусть a, b, c – стороны треугольника; α, β, γ –
противолежащие им углы; R – радиус описанной окружности. Тогда:
Теорема косинусов
Пусть a, b, c – стороны треугольника; α – угол,
противолежащий стороне a. Тогда:
α
Теорема биссектрис
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на два
отрезка, длины которых относятся так же, как длины соответствующих сторон.
Теорема о пересечении медиан треугольника
В треугольнике три медианы пересекаются в одной точке. Точка
пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, если считать от вершины, из
которой проведена медиана.
Теорема о высотах треугольника
В треугольнике высоты пересекаются в одной точке.
Площади треугольников
;
;
;
(формула
Герона)
где:
•
a,b,c – стороны треугольника
•
ha – высота треугольника
•
p – полупериметр треугольника
•
r – радиус вписанной окружности
•
R – радиус описанной окружности
•
β – угол между сторонами
Вписанный и центральный углы
Угол называется вписанным в окружность, если его вершина
лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.
На рисунке вписанным углом является ABC.
Центральным называется угол вершиной в центре окружности. На
рисунке центральным углом является угол AOC.
Вписанная окружность треугольника
В любой треугольник можно
вписать единственную окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник, совпадает
с точной пересечения его биссектрис.
Описанная окружность треугольника
Около любого треугольника можно описать
единственную окружность. Центр окружности, описанной около треугольника,
совпадает с точкой пресечения серединных перпендикуляров к его сторонам
Вневписанная окружность треугольника
В любом треугольнике биссектрисы двух
внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются
в одной точке.
Площади четырехуголников
— площадь любого четырехугольника, где
•
d1 – первая диагональ
•
d2 – вторая диагональ
•
α – угол между диагоналями
— площадь четырехугольника,
вписанного в окружность (формула Герона), где
•
p – полупериметр четырехугольника
•
a, b, c и d – стороны четырехугольника
S = aha – площадь паралелограмма, где
•
a – основание паралелограмма
•
ha – высота, проведенная к основанию
S = ab sinβ – площадь параллелограмма, где
•
a и b – стороны паралелограмма
•
β – угол между смежными сторонами
S = ab – площадь прямоугольника, где
a и b – стороны квадрата
S = 
– площадь квадрата, где
a – сторона квадрата
S = aha – площадь ромба, где
•
a – сторона ромба
•
ha – высота, проведенная к стороне
S = 
– площадь ромба, где
•
a – сторона ромба
•
β – угол между сторонами ромба
Вписанный четырехугольник
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только
тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180.
Описанный четырехугольник
Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и
только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
DC
+ AB = DA + BC
Теорема о двух секущих
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие,
то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой
секущей на ее внешнюю часть:
MAMB = MC MD
Теорема о касательной и секущей
Если из точки, лежащей вне окружности
проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен
произведению секущей на ее внешнюю часть
MC2
= MA MB
M
B
Теорема о двух
хордах Если две хорды окружности AB и CD пересекаются в точке S, то
произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. AS SD = CS SB
D
AS SD = CS SB
A
Теорема Менелая
Теорема Чевы
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на
противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.
Теорема Ван-Обеля
Теорема Стюарта
p
y
a
Теорема
Птолемея
Если
четырехугольник вписан в окружность, то
AB
+ AD
= AC
Теорема Аполлония
A
Если AD – медиана треугольника ABC, то
Желаем вам успехов!