Теория по производной егэ профильная математика

Таблица производных некоторых элементарных функций

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^{n-1}$
${1}/{x}$	$-{1}/{x^2}$
$√x$	${1}/{2√x}$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	${1}/{x}$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	${1}/{cos^2x}$
$ctgx$	$-{1}/{sin^2x}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$

Физический смысл производной

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Необходимая теория:

Производная функции

Таблица производных

Первообразная функции

Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной 

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

Ответ: 0,25.

2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции в точке

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла , смежного с углом .

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Поскольку , имеем:

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

3. Прямая является касательной к графику функции

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции и прямой в точке

При значения выражений и равны.

При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть .

Из второго уравнения находим или Первому уравнению удовлетворяет только .

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

В момент времени получим:

.

Ответ: 3.

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если , то функция возрастает.

Если , то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
		0		0

5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Производная функции в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

6. На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке производная функции положительна.

Значит, функция возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3.

7. На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой

Прямая параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

Ответ: 7.

8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезке

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке такая точка всего одна! Это

Ответ: 1.

9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите точку экстремума функции на отрезке

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция , для которой является производной, называется первообразной функции Функции вида образуют множество первообразных функции

10. На рисунке изображён график — одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке

Функция для которой является производной, называется первообразной функции

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку , в которых производная функции равна нулю. Это точки максимума и минимума функции На отрезке таких точек 4.

Ответ: 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Справочник

Задание №7 профильная математика

Производной функции y=f(x)в точке x₀ называется предел (если он существует
и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что
последнее стремится к нулю. То есть,

  

Геометрический смысл производной	Физический смысл производной
Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке (тангенсу угла между касательной и осью Ох) f’(хo) = k = tg α	Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки: V(t)=x’(t)
•      Если f’(x) > 0 на промежутке, то функция f(x)  возрастает на этом  промежутке. Если f’(x) < 0 на промежутке, то функция f(x) убывает на этом промежутке	•      Если функция f(x)  возрастает на промежутке, то  f’(x) > 0 на этом  промежутке. Если функция f(x) убывает на промежутке, то f’(x) < 0 на этом промежутке
Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны
•      Точка хo называется точкой максимума функции f(х), если  существует такая окрестность точки хo, что для всех х≠ хo из этой окрестности выполняется неравенство f(х) < f(хo). •      Точка хo называется точкой минимума функции f(х), если существует такая окрестность точки хo, что для всех х≠ хo из этой  окрестности выполняется неравенство f(х) > f(хo) = 0. •      Если хo – точка экстремума функции f(х), то f’(хo) = 0.	Пусть функция f(х) дифференцируема на интервале (a;b), хo Є (a; b)   и  f’(хo) = 0, то: •  при переходе через стационарную точку хo функции f(х) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то хo – точка максимума функции f(х); •  при переходе через стационарную точку хo функции f(х) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то хo – точка минимума функции f(х).

Примеры заданий

№	Задание	Что делать?
1.	На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точке х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.	Найти тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс (отношение противолежащего катета к прилежащему катету). На рисунке выделены точки на касательной, на которых как на гипотенузе надо достроить прямоугольный треугольник. Если α <900, то tg α >0, если α >900, то tg α <0.
2.	На рисунке изображен график функции y=f(x), определённый на интервале (-10;2). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.	Подсчитать количество точек экстремума(минимумы и максимумы)
3.	На рисунке изображен график функции y=f(x), определённый на интервале (-1;12). Найдите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.	Подсчитать целые точки на промежутках убывания функции
4.	На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.	x=-2, то f ↓ => f’ <0 x=-1, то f имеет экстремум =>f’=0 x=2, то f ↑ => f’ >0 x=3, то f ↓ => f’ <0
5.	На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), и отмечены семь точек на оси абсцисс: х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8,х9 . В скольких из этих точек производная функции  f(x) отрицательна?	В скольких точках функция убывает
6.	На рисунке изображен график функции y=f’(x ) – производной функции f(x), определённой на интервале (-6;5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.	Промежутки убывания функции =производная на данном графике отрицательна, т.е.расположена ниже оси Ох. Найти сумму целых точек.
7.	На рисунке изображен график функции y=f’(x ) – производной функции f(x), определённой на интервале (-8;6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.	Промежутки возрастания функции =производная на данном графике положительна, т.е.расположена выше оси Ох. Записать длину большего промежутка
8.	На рисунке изображены график функции y=f’(x ) – производной функции f(x) и семь точек на оси абсцисс: х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7. В скольких из этих точек функция  f(x) возрастает?	Сосчитать количество точек, в которых производная на данном графике положительна
9.	Прямая y=6x+9 параллельна касательной к графику функции y=x2+7х-6. Найдите абсциссу точки касания.	Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Найти производную функции (x2+7х-6)’=2x+7=kкас=6 =>  x=-0,5
10.	Прямая y=-9x+5 параллельна касательной к графику функции y=аx2+15х+11. Найдите a.	Найти производную функции (аx2+15х+11)’=2a+15= -9 => a= -12
11.	На рисунке изображён график y=f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (-9;3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику f(x) параллельна прямой y=2x-19 или совпадает с ней.	Провести горизонтальную прямую y=2 и сосчитать количество точек пересечения с графиком.
12.	На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-3;9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику f(x) параллельна прямой y=12.	Т.к. угловой коэффициент прямой y=12 равен 0, то считаем количество точек пересечения с осью Ох.
13.	На рисунке изображен график производной функции y=f’(x). Найдите абсциссу точки, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси абсцисс или  совпадает ней.	Находим точку на графике y=f’(x), в которой у=0, т.е.точку пересечения данного графика с осью Ох => -3
14.	На рисунке изображен график производной функции y=f’(x), определенной на интервале (-7;4). В какой точке отрезка [-6;-1] функция f(x) принимает наибольшее значение?	На отрезке [-6;-1] производная положительна (лежит выше Ох) => функция возрастает, т.е. достигает наибольшего значения при наибольшем значении аргумента => -1 Значит в х=-6 достигает наименьшего значения.
15.	На рисунке изображён график y=f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (-7;4). Найдите точку максимума функции f(x).	Находим точку на оси Ох, в которой производная меняет свой знак с «+» на «-» => -1
16.	На рисунке изображён график y=f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (-6;5). Найдите точку экстремума функции f(x), принадлежащую отрезку [-5;4].	Находим точку на оси Ох, в которой производная меняет свой знак =>  -2
17.	На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-5;7). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).	Считаем сумму «горбов и впадин» по оси Ох: -3 + (-1) +0+2+3+5+6=12
18.	На рисунке изображён график y=f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (-10;8). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9;6].	Находим точки на оси Ох, в которой производная меняет свой знак  с  «+» на «-» =>  х= -4 и х=4 => 2
19.	На рисунке изображён график y=f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (-16;4). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [-14;2].	Считаем количество точек пересечения графика производной на рисунке с осью Ох => 5
20.	Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t2-3t-29, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=3с.	V(t=3)=x’(t)=( t2-3t-29)’= =2t-3=2*3-3=3
21.	Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/6t3-2t2-4t+39, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равной 38м/с.	V(t)=x’(t)=( 1/6t3-2t2-4t+39)’= =1/6 *3t2-2*2t-4=0.5t-4t-4 Если V=38, то 0.5t2-4t-4=38                         0.5t2-4t-4-38=0                        t2-8t-84=0 Решая уравнение через D, находим t=14

Производная функции на ЕГЭ

08.11.2013

Материал для подготовки к ЕГЭ по математике на тему: «Производная функции».

Содержание темы:

17.  ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 
17.1.  Правила дифференцирования 
17.2.  Таблица производных элементарных и сложных функций
17.3.  Геометрический и физический смысл производной 
Тест для проверки теоретических знаний 
Примеры 
Задачи для самостоятельного решения
Контрольный тест 

Рекомендуем использовать этот материал при тщательной подготовке к сдаче ЕГЭ на высокий балл.

В теме содержатся теория и практические задания различного уровня сложности.

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: Скачайте в pdf файле.