Теория по теме теория вероятности на егэ

Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов

$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.

Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$

Противоположные события

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}↖{-}$.

$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$

Независимые события

Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Несовместные события

Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)

Совместные события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.

Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.

Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?

Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.

Орел и решка — два возможных исхода испытания.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна .

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.

Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки равна (один благоприятный исход из шести возможных).

Вероятность четверки — тоже .

А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

Вот другой пример. В пакете  яблок, из них  — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна , а зеленое — .

Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна .
 

БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ

Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.

В фирме такси в данный момент свободно  машин:  красных,  желтых и  зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Всего имеется  машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна , то есть .

 В сборнике билетов по биологии всего  билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна , то есть .

Родительский комитет закупил  пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них  с картинами известных художников и  с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.

Задача решается аналогично.

Ответ: .

В чемпионате по гимнастике участвуют  спортсменок: — из России,  — из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.

Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен (поскольку из Китая —  спортсменок). Ответ: .

Ученика попросили назвать число от  до . Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

Каждое пятое число из данного множества делится на . Значит, вероятность равна .

Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

 — нечетные числа;  — четные. Вероятность нечетного числа очков равна .

Ответ: .

Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?

Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка.

Две монеты — уже четыре исхода:

орел	орел
орел	решка
решка	орел
решка	решка

Три монеты? Правильно,  исходов, так как .

Вот они:

орел	орел	орел
орел	орел	решка
орел	решка	орел
решка	орел	орел
орел	решка	решка
решка	орел	решка
решка	решка	орел
решка	решка	решка

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.

Ответ: .

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет  очков. Результат округлите до сотых.

Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.

Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего  возможных исходов, так как .

А теперь — благоприятные исходы:

Вероятность выпадения восьми очков равна .

Стрелок попадает в цель с вероятностью . Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре выстрела подряд.

Если вероятность попадания равна  — следовательно, вероятность промаха . Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна . А вероятность четырех попаданий подряд равна .

Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей

ПОДРОБНЕЕ

Вероятность: логика перебора.

 В кармане у Пети было монеты по  рублей и  монеты по  рублей. Петя не глядя переложил какие-то  монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами , а десятирублевые цифрами  — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора .

Однако есть более простое решение:

Кодируем монеты числами: ,  (это пятирублёвые),  (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от  до . Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами  и  не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане.

Для этого составим все возможные комбинации из набора . Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях  и  — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

…

А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — , а затем:

.

Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на . Продолжаем:

.

Всего  возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами  и  не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация нам не подходит — она означает, что фишки  и  обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только , либо только . Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего  благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна .

Ответ: .

Сумма событий, произведение событий и их комбинации

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть – вероятность того, что чайник прослужил больше года.

– вероятность того, что он сломается на второй год, – вероятность того, что он прослужит больше двух лет.

Очевидно,

Тогда

Ответ: 0,06.

События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.

Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

В нашей задаче события «чайник сломался на второй год работы» и «чайник работает больше двух лет» — несовместные. Чайник или сломался, или остается в рабочем состоянии.

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук выйдет через выход А.

Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.

Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна то есть 0,03125.

События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.

В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.

Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.

(А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй — два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 — для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?

Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку Для второго Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.

Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.

Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна . Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна .

Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% — не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.

Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% — не высшей.

Пусть случайно выбранное в магазине яйцо — из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей:

Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна

Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.

Мы получили уравнение:

Решаем это уравнение и находим, что – вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).

Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:

Если он болен гепатитом, анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. То есть анализ покажет: «есть гепатит».
Заметим, что анализ не во всех случаях выявляет гепатит у того, кто действительно им болен. С вероятностью 0,1 анализ не распознает гепатит у больного.

Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.

Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Благоприятные для этой ситуации исходы: человек болен, и анализ положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна ), или человек здоров, и анализ ложный положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна ). Так как события «человек болен» и «человек не болен» несовместны, то вероятность того, что результат анализа будет положительным, равна

Ответ: 0,0545.

Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознание или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна

Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна

В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна Это ответ.

Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.

Еще задачи ЕГЭ по теме «Теория вероятностей».

Смотрите также: парадокс Монти Холла.

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

1. Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. .
2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. .
3. Вероятность достоверного события равна 1, т.e. .
4. Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. .

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные  из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков – 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А – это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

   

Ответ: 0,4

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается “шесть факториал”.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов  В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

   

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

   

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие “У. верно решит ровно 9 задач” входит в условие “У. верно решит больше 8 задач”, но не относится к условию “У. верно решит больше 9 задач”.

Однако, условие “У. верно решит больше 9 задач” содержится в условии “У. верно решит больше 8 задач”. Таким образом, если мы обозначим события: “У. верно решит ровно 9 задач” – через А, “У. верно решит больше 8 задач” – через B, “У. верно решит больше 9 задач” через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

.

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме “Тригонометрия”, либо к теме “Внешние углы”. По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: – лампочка горит, – лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события “лампочка перегорела”, “лампочка горит”, “лампочка горит”: , где вероятность события “лампочка горит” подсчитывается как вероятность события, противоположного событию “лампочка не горит”, а именно: .

 

 

 

 

 

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

Глава 1. ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ.

Классическое определение вероятности

Итак, что же такое вероятность события? Думаю, в
повседневной практике вы нередко говорите фразы: «100%, что я приду»,
«Процентов 70%, что меня не будет». Именно в эти моменты вы уже оперируете
понятием «вероятность».

Вероятность принято обозначать латинской буквой «р».
Это безразмерная величина, у нее нет единицы измерения. Как же ее найти? 

Если мы рассмотрим выше приведенные примеры, то для
того, чтобы определить вероятность, нам необходимо данные в процентах разделить
на 100%.

 

Соответственно, меньше, чем 0% быть не может, и
больше, чем 100% быть не может. Значит, вероятность находится в пределе . То есть, если вы в примере
получили значение вероятности, выходящей из этой области значений, ищите ошибку
в вычислениях или ходе мыслей.

При этом р=0 в том случае, если событие не может
наступить ни при каких условиях. Например, вероятность  события «Луна через 10
секунд упадет на Землю» равна 0. Потому что даже если рассматривать событие
«Луна упадет на Землю» как потенциально возможное, то ограничение по времени
предполагает, что уже в данные секунды были бы такие значительные катаклизмы,
которые не позволили бы нам спокойно сидеть и читать этот текст.

Р=1, если событие состоится при любых условиях.
Например, если вы в классе с парты уроните ручку, она с вероятностью р=1
упадет, а не взлетит или окажется в состоянии невесомости.

В большинстве задач, которые вы решали ранее, в том
числе, в ГИА, вычисление вероятности сводилось к нахождению значения по
классической формуле вероятности:

бл р  общ

где N_бл – это количество
исходов, благоприятных заданным условиям, а N_общ –
общее количество возможных исходов.

Не удивляйтесь, нам в этой задаче не пришлось искать
вероятность. Да-да, и такие задачи в ЕГЭ встречаются, будьте внимательны!.

В большинстве же случаев необходимо найти именно
вероятность. Посмотрим на примере,  как это делать.

Задания для закрепления 1. В
фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых.
По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице.
Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

2.                 
На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней.
Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с
вишней.

3.                 
В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них
чѐрные с жѐлтыми надписями на бортах, остальные — жѐлтые с чѐрными надписями.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жѐлтого цвета с
чѐрными надписями.

Большинство проблем в заданиях на вероятность связано
отнюдь не с незнанием формулы, а с неумением читать. Ну серьезно, ребята, куда
вы спешите, решая первую часть? Не бегите вперед батьки в пекло, ваша
поспешность может дорогого стоить. Так обидно терять баллы из-за коварной
частички «не» (или «на» вместо «из») в вопросе, которую вы «по
невнимательности» пропустили. Не спешите, прошу вас! Поучимся читать ?

Задания для закрепления

5.                 
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в
продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для
контроля насос не подтекает.

6.                 
В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из
них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно
выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

7.                 
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из
них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в
случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по
неравенствам.

8*. Внимание,
коварная задачка! Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100
качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите
вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат
округлите до сотых.

«Порядок определяется жеребьевкой»

ВАЖНО! Если в условии задачи
сказано, что порядок определяется жребием, жеребьевкой, в случайном порядке, то
нам совершенно не важно, каким там по счету должен выступать спортсмен или
профессор. Просто «забываем» эту информацию, как лишнюю, добавленную «чтобы
запутать».

«М. будет выступать шестым» – случайное событие, и оно
равновероятное относительно другого порядка выступлений. Расшифрую последнюю
фразу: вероятность того, что этот конкретный человек окажется шестым по счету
не отличается от вероятности того, что он же будет начинать эту конференцию или
соревнования. А раз вероятности этих событий одинаковые, события называются равновероятными.
А находим вероятность мы по той же классической формуле. Кажется сложным?
Решать проще!  

Задания для закрепления

9. На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3
из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьѐвкой.
Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

10*. Внимание, коварная
задачка! На семинар приехали 4 ученых из Франции, 2 из Болгарии и 2 из
Франции. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность
того, что восьмым окажется доклад ученого из Франции.

Иногда попадаются задачи с чуть более сложными
вычислениями, где, опять же, надо внимательно-внимательно читать.  Разберем на
следующем примере:

Задания для закрепления

11.            
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80
выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений,
остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений
определяется жеребьѐвкой. Какова вероятность, что выступление представителя
России состоится в третий день конкурса?

12.            
На
олимпиаде в вузе участников рассаживают по трѐм аудиториям. В первых двух по
120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При
подсчѐте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того,
что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Частота события

Чтобы найти
вероятность, как мы помним, нужно количество благоприятных исходов разделить на
общее количество исходов. Точно так же находится и частота события,
задания на которую так же есть в прототипах. В чем же отличие? Вероятность –
это прогнозируемая величина, а частота – констатация состоявшегося факта.

Вы научились находить и частоту события. Теперь
научимся находить разницу между частотой и вероятностью одного и того же
события.

Задание для закрепления 13. В
некотором городе из 2000 появившихся на свет младенцев 1237 мальчиков. Найдите
частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

«Спрятанные» и «лишние» условия в заданиях

Вы еще не забыли, что задачи надо внимательно читать?
Бывает так, что в задаче числа прописаны необычно, в виде текста. И с такими
заданиями тоже надо научиться справляться J.

Но бывают и более сложные задания. Из которых труднее
вычленить условия. 

Или еще один пример:

Задания для закрепления 14.
Вика включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время
по четырнадцати каналам из тридцати пяти показывают рекламу. Найдите
вероятность того, что Вика попадет на канал, где реклама не идет.

15.            
Люба
включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по
шести каналам из сорока восьми показывают документальные фильмы. Найдите
вероятность того, что Люба попадет на канал, где документальные фильмы не идут.

16.            
Вася, Петя, Коля и Лѐша бросили жребий — кому начинать игру.
Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

17.            
В кармане у Коли было четыре конфеты — «Грильяж», «Ласточка»,
«Взлѐтная» и «Василѐк», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Коля
случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что
потерялась конфета «Ласточка».

18.            
В группе туристов 30 человек. Их вертолѐтом в несколько
приѐмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в
котором вертолѐт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что
турист П. полетит первым рейсом вертолѐта.

19.            
В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их
нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку
лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4,
4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова
вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Задачи на четность и делимость

Понемножку повышаем сложность заданий, вы еще не
устали? Тогда в путь!. Теперь нам надо вспомнить, что такое четные числа, что
такое «число делится на 2,3,5,9» и т.д. И еще вспомнить, что двузначных чисел
90 (от 10 до 99 включая), а трехзначных 900 (с 100 до 999 включительно). Эта
информация нам нужна в ряде заданий в качестве Nобщ.  Итак, разбираемся в
примерах.

Ответ:

Задания для закрепления

20.            
В 3 подъезде
дома квартиры с 41 по 60 включительно. Гость набрал на домофоне номер одной из
этих квартир. Найдите вероятность того, что он позвонил в квартиру с четным
номером.

21.            
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность
того, что случайно нажатая цифра будет больше 2, но меньше 7?

22.            
Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное
число от 10 до 19 делится на три?

23.            
Какова вероятность, что случайно выбранное двузначное число
делится на 5? 

Задачи с перебором вариантов Задания с монетами и
матчами.

Оооо, столько нелюбимые
ребятами задачи с монетами, кубиками и прочим! Решать их можно несколькими
способами, но мы выберем самый… наглядный, что ли. Метод перебора вариантов. Но
в данном методе нужно быть предельно внимательным, чтобы не упустить ни одного
варианта! А то расчеты окажутся неверными.

Задания для закрепления 24.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что в первый раз выпадает орѐл, а во второй — решка.

25.            
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.
Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы две решки.

Аналогичным способом решаются и задачи на матчи
(жребий определяет, какая команда будет начинать игру). Нужно тоже перебрать
варианты:

26.            
Перед началом
футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд
начнѐт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами.
Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два
раза.

Задачи на кубики (игральные кости)

Ох, уж эти кубики!
Сколько слез было пролито над этими задачками!.  А все потому, что в условие
каждой из них приходится вникать, понимая, что же в этот раз от нас хотят
составители. 

В этих задачках
встречается редкий вопрос, мы о нем говорили в самом начале: найти не саму
вероятность, а лишь число благоприятных исходов. Но мы так привыкли подставлять
Nбл в формулу, что совершенно не представляем, что именно это значение и может
быть ответом!

Хорошо, с благоприятными исходами разобрались, теперь
можно понемножку усложнять. Опираясь на принцип перебора, который только что
разобрали, решим следующий пример:

Пример 16: Таня и Маша бросают кубик по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если количество очков совпадает, это ничья. Найдите вероятность того, что Маша проиграла, если в сумме у них выпало 8 очков. Решение: Составим таблицу всех возможных исходов (как в примере 15), учитывая, что на кубике никак не может выпасть 7 очков, а поэтому случай 7+1 мы не рассматриваем!                                                                                                           Т       М                                                                                                            2        6                                                                                                            6        2                                                                                                            5        3 3                    5 4                    4

Итак, получилось всего 5 возможных исходов. Это мы нашли Nобщ. Сколько же случаев удовлетворяет условию «Маша проиграла»? Во втором и третьем случае Маша выбросила меньше очков, чем Таня. Так что Nбл равно 2. Отсюда вероятность р= Ответ: 0,4

В рассмотренных примерах мы могли выписать все
возможные исходы, и это было нашим Nобщ. Но так бывает далеко не всегда, тут
надо очень точно понимать, когда перебирать слишком трудоемко. Что же делать с
таким типом задач?

Уф, с двумя кубиками справились! Хотя тут было
непросто. С тремя будет еще интереснее!

Пример 18. Кубик бросили трижды. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 12 очков. Решение: Как найти общее количество исходов, мы прописали в примере 1.7: Nобщ=216. А вот что делать с количеством благоприятных исходов? Можно, конечно, составить полную таблицу, как в предыдущем случае. Но тогда потеря одного из исходов влечет за собой неверный ответ. Давайте поступим немножко по-другому, запишем просто все возможные комбинации цифр от 1 до 6, в сумме дающие 12, не переставляя их местами:                 6        5        1

6        4        2                 6        3        3 С цифрой 6 закончили. Теперь внимательно следим за тем, чтобы в дальнейших случаях она случайно не появилась, иначе это будет всего лишь перестановкой уже рассмотренного случая.                 5        5        2                 5        4        3                 4        4        4 Всего получилось 6 комбинаций. Но ведь мы еще можем переставлять цифры местами в каждой из них! Чтобы не вводить понятия комбинаторики, предлагаю запомнить:  Если все 3 цифры разные – они дают 6 комбинаций. Если 2 цифры совпадают, а третья отличается – то 3 комбинации. Если все цифры одинаковые – 1 комбинация. Используя это правило, найдем количество благоприятных исходов:  Nбл=6+6+3+3+6+1=25  Вероятность равна:                                                                                           р=                           После первого округления получаем значение р=0,116. После второго – р=0,12. Ответ: 0,12.

                                                                                                                                          Задания
для закрепления     

27.            
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов
опыта благоприятствуют событию: «А = сумма очков равна 7»?

28.            
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов
опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 9»?

29.            
Лена и Саша играют
в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигравает тот, кто выбросил больше
очков. Ничья, если очков поровну. Лена выкинула 3 очка. Затем кубик бросает
Саша. Найдите вероятность того, что Саша выиграет.

30.            
Найдите вероятность того, что при броске игрального кубика
выпадет нечетное число.

31.            
Найдите вероятность того, что при броске двух кубиков на
обоих выпадет число, большее 3 (подсказка: перебирайте только благоприятные
варианты. Nобщ=36).

32.            
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

33.            
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

Сложный перебор вариантов

Бывает и так, что в задании с ходу не разобраться, что
нужно перебирать варианты. Да и в принципе не понятно, с какого бока приступать
к ее выполнению! Одна из таких задач, с которой традиционно возникают
сложности, рассмотрена в примере ниже. 

В данном примере перебирать нужно было всего 6
вариантов. Но их бывает ЗНАЧИТЕЛЬНО больше. Например, задача по монеты в
карманах. Она может решаться и другими способами, но перебором нагляднее и
чуточку проще. 

Задания для закрепления 34. В
кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя,
переложил какие-то 3 монеты в другой кар15анн. Найдите
вероятность того, что обе двухрублѐвые монеты лежат в одном кармане.

Глава 2. ЗАКОНЫ ВЕРОЯТНОСТИ

Несовместные события и закон сложения

Для того чтобы перейти к рассмотрению более сложных
заданий, необходимо ввести новые понятия: независимые события и несовместные
события.

События являются несовместными, если появление
одного события исключает появление другого. Предположим, вы подошли к остановке,
от которой только что отъехал автобус, номер которого вы не заметили. Если это
отъехал автобус №1, то это никак не мог быть автобус №2 одновременно. В
применении к прототипам ЕГЭ: если Вы вытянули билет, в котором только 1 вопрос,
касающийся бактерий, то этот же вопрос никак не может коснуться грибов,
например. То есть, события «вытянуть билет с вопросом о грибах» и «вытянуть
билет с вопросом о бактериях» являются несовместными, ибо появление одного из
этих событий исключает появление другого. 

Вот с этими самыми несовместными событиями дело как
раз обстоит очень просто. Если нам надо найти вероятность наступления ИЛИ
одного, ИЛИ другого несовместного события, то мы просто складываем вероятности
данных событий:

р=р1+р2

Несовместные события образуют полную группу событий,
суммарная вероятность которой равна 1.

ВАЖНО! Вероятность НЕ наступления события. Раз
уж мы научились складывать вероятности, необходимо понять, что сумма
вероятностей группы несовместных событий равна 1. Что это значит? Это значит, к
примеру, что если вероятность купить бракованное стекло в примере 1 была 0,03,
то вероятность купить НЕ бракованное стекло равна р=1-0,03=0,97.

Этот случай был достаточно простым. А если в таблицу
придется внести больше данных? Рассмотрим в примере ниже.

Задания для закрепления

35.            
На экзамене по
геометрии школьнику достаѐтся один вопрос из списка экзаменационных вопросов.
Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2.
Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15.
Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих
двух тем.

36.            
Вероятность того, что в случайный момент времени температура
тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите
вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека
температура окажется 36,8 °С или выше.

37.            
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит
больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет,
равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но
больше года.

38.            
Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно
решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше
10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11
задач.

39.            
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус.
Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров,
равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56.
Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

40.            
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность
того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм,
равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь
диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Независимые события и закон умножения

А что же тогда независимые события? Логично, что если
появление одного события не исключает появление другого, но и не повышает
вероятность появления, то эти события независимы. Например, событие А «Катя
дошла до школы» и событие В «Катя купила тетрадь» вполне себе могут иметь
место  в один и тот же день, пусть и в разное время. От того, дошла ли до школы
Катя, не зависит, купит ли она тетрадь. Ну, или нам недостаточно условий, чтобы
эту зависимость провести. Будем считать эти события независимыми. В
применение к прототипам ЕГЭ независимыми событиями можно считать получение
высоких баллов по разным предметам ЕГЭ. Пусть без математики физику, например,
хорошо не напишешь, но в рамках теории вероятности будем считать получение
оценок по разным предметам событиями независимыми.

Здесь можно было бы ввести и формулу для независимых
событий, но, как показала практика, ученики начинают путаться в этих формулах.
Поэтому к обсуждению вероятности наступления одного из двух независимых событий
мы вернемся в главе 6.

Закон умножения (закон и) (для независимых событий)

А что же делать, если нам необходимо найти вероятность
наступления И одного события, И другого? Правильно! Логично их перемножить, раз
уж функцию сложения мы использовали в прошлом разделе.

Следовательно, вероятность наступления И первого, И
второго, И третьего независимых события находится по формуле:

р=р1*р2*р3

Пример 25:
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы
определить, какая из команд начнѐт игру с мячом. Команда «Ротор» по очереди
играет с командами «Протор», «Стартер» и «Монтѐр». Найдите вероятность того,
что «Ротор» будет начинать только первую и вторую игры.

Задания для закрепления

41.            
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у
гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает
у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во
второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба
раза.

42.            
По
отзывам покупателей Иван Иванович оценил надѐжность двух интернет-магазинов.
Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8.
Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван
Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины
работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один
магазин не доставит товар.

43.            
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06.
Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких
батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

44.            
В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с
вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все
три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг
от друга).

45.            
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность
попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что
биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся.
Результат округлите до сотых.

46.            
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут
честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнѐт игру с мячом. Команда
«Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите
вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

47.            
На рисунке изображѐн лабиринт. Паук заползает в лабиринт в
точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом
разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещѐ не полз. Считая, что
выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук
придѐт к выходу .

Ни один, хотя бы один, ровно 1

О чем пойдет речь в
данном разделе. В теории вероятности части встречаются задачи, касающиеся
событий с определенной вероятностью. И в условиях задачи просят найти: «ровно
1», «ровно 2», «хотя бы 1», «хотя бы 2»,

«ни разу» и т.д. Как же понять, что
нам нужно сделать со всем этим добром?

Рассмотрим на примере
биатлониста, стреляющего по мишеням. Пусть этот спортсмен будет достаточно
опытным, и вероятность попадания в мишень при каждом выстреле составит 0,8. И
пусть выстрелов будет 5.

А теперь рассмотрим все случаи:

Случай 1. Спортсмен попадет 5
раз. 

Решение: Мы уже знаем,
что для того, чтобы найти вероятность наступления И одного, И другого события,
их вероятности необходимо перемножить.

р=0,8*0,8*0,8*0,8*0,8=0,32768

Случай 2. Спортсмен попадет
ровно 4 раза. 

Решение: В данном случае тоже все просто, 4 раза он
попадет и один раз НЕ попадет.

р=0,8*0,8*0,8*0,8*0,2=0,08192

Случай 3. Спортсмен попадет не
менее 3х раз.

Решение: а вот тут
начинается самое интересное. Условию, чтобы спортсмен попал не менее трех раз,
удовлетворяют исходы: «попал 3 раза», «попал 4 раза», «попал 5 раз».
Вероятности последних исходов мы нашли, теперь найдем вероятность попадания
ровно 3 раза:

р=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2=0,02048

И что же нам со всем
этим делать? Можно заметить, что если спортсмен попал ровно 3 раза из 5, он
никак вместе с этим не может попасть 5 раз из 5, а значит, события у нас
несовместные. Спортсмен может попасть ИЛИ 3 раза, ИЛИ 4, ИЛИ 5, а значит,
итоговая вероятность равна: р=0,02048+0,08192+0,32768=0,43008. Случай 4:
Биатлонист не попадет ни разу

Решение: Вероятность НЕ попадания равна р=1-0,8=0,2. А
значит, он должен НЕ попасть и первый, и второй, и третий, и четвертый, и пятый
раз.

р=0,2*0,2*0,2*0,2*0,2=0,00032

Случай 5. Спортсмен попадет в
мишень хотя бы один раз.

Решение: вот оно, наше
«хотя бы»! Хотя бы один раз – это все случаи, кроме «не попадет ни разу», а
значит, вероятность равна р=1-0,00032=0,99968

Подведем итоги: р(Хотя бы 1)=1 – р(ни один). 

Примеры на этот раздел будут чуть
ниже, после следующей темы.

Сочетания законов «и» и законов «или»

В новых прототипах
появилось достаточно много подобных заданий, в которых необходимо применить
понимание и одного, и другого закона. Рассмотрим пример в общем виде, чтобы
потом уже закрепить на конкретных прототипах:

Задания для закрепления

48.            
В магазине
стоят два платѐжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с
вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что
хотя бы один автомат исправен.

49.            
Помещение освещается фонарѐм с двумя лампами. Вероятность
перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в
течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

50.            
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных
фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает
3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно
купленное в магазине стекло окажется бракованным.

51.            
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если
стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного
револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10
револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху,
наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите
вероятность того, что Джон промахнѐтся.

52.            
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность
того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая
батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует
неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке
забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что
случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

53.            
Всем
пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет
гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных
гепатитом пациентов анализ даѐт положительный результат с вероятностью 0,9.
Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный
результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с
подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того,
что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на
гепатит, будет положительным.

54.            
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах.
40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства —
20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите
вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого
хозяйства.

Подсказка:
в этой задаче необходимо в таблице сделать дополнительный столбец – общее.
Обозначим за х искомую вероятность купить яйцо из первого хозяйства. Тогда
вероятность купить яйцо из второго равна 1-х. Составим уравнение. 

0,4*х + 0,2*(1-х) =
1*0,35

Когда количество участников уменьшается (условная
вероятность)

Как показала практика,
больше всего затруднений вызывают задания, в которых необходимо учесть, что
количество исходов уменьшилось после какого-либо события. Когда выбирают
дежурных в классе по двое, не можем же мы одного и того же человека учесть
дважды! Как решать подобные задания, показано в примерах:

Пример 29: В классе 9 учащихся, среди них два друга — Михаил и Андрей. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Михаил и Андрей окажутся в одной группе. Решение: Для начала рассмотрим, на сколько групп разбили класс. 9:3=3, то есть, на 3 равные группы. Возьмем, к примеру, первую группу и найдем вероятность попадания друзей именно в нее. Вероятность, что Михаил окажется в первой группе, равна    . Вероятность же, что и Андрей окажется в ней же, будет несколько иная. Во-первых, мест в этой группе уже

осталось не 3, а 2, а во-вторых, и учеников-то в классе теперь не 9, а 8. Значит, вероятность Андрея оказаться в данной группе равна         . А вероятность того, что И Михаил, И Андрей окажутся в первой группе равна произведению вероятностей:                 Р=            .   Так, вероятность появления этих товарищей в первой группе мы нашли. Но ведь групп-то 3! И они все одинаковые. Значит, вероятность попадания друзей ИЛИ в первую, ИЛИ во вторую, ИЛИ в третью группу равна: р=          ВАЖНО! Эту задачу можно решить проще! Пусть Миша уже попал в некую группу. Тогда вероятность того, что Андрей окажется в этой же группе рассчитывается следующим образом: сколько осталось мест в группе? 2. Сколько детей осталось в классе, если Мишу уже распределили? 8. Значит, вероятность равна  р Ответ:0,25

Задания для закрепления

55.            
Перед началом
первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары
случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26
бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан
Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с
каким-либо бадминтонистом из России?

56.            
В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и
Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой.
Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

57.            
В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег.
Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того,
что Вадим и Олег окажутся в одной группе.

58.            
В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и
Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти
вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Задачи повышенной сложности

Разбор заданий

Пример 30: Чтобы
поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать
на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трѐх предметов — математика, русский
язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно
набрать не менее 70 баллов по каждому из трѐх предметов — математика, русский
язык и обществознание.

Вероятность того, что
абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому
языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя
бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение: Для того, чтобы
поступить хотя бы на одну из этих двух специальностей, абитуриент должен
набрать баллы И по математике, И по русскому языку, И (ИЛИ по иностранному
языку, ИЛИ по обществознанию). Чтобы не путать вас вычислениями, найдем по
шагам. 

Как
рассчитать вероятность получить нужные баллы по иностранному или
обществознанию? Давайте рассуждать. Что такое получить баллы ХОТЯ БЫ по одному
из этих двух предметов? Мы это уже научились делать.

Напомню:  р(Хотя бы 1)=1 – р(ни
один).

Применим этот принцип и
для нашей задачи:

Вероятность того, что
З. не сдаст иностранный язык равна р1=1-

0,7=0,3. Вероятность
того, что З. не сдаст обществознание р2=1-0,5=0,5. 

Тогда искомая вероятность р3 того, что
З. сдаст хотя бы один из этих двух экзаменов равна: р3=1-р1*р2= 1 – 0,3*0,5 =
1-0,15= 0,85

Значит,
итоговая вероятность равна: р = р(мат)*р(р.язык)*р3=0,6*0,8*0,85=0,408

Ответ: 0,408

Пример 31: На фабрике керамической посуды 10%
произведѐнных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется
80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите
вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов.
Результат округлите до сотых.

Решение:
В чем коварность этого задания? Обычно неправильно находят Nобщ.
Решим эту задачку не в общем виде, предположим, что фабрика выпустила именно
100 тарелок. Теперь давайте внимательно читать условия по строчкам.  «10%
произведенных тарелок имеют дефект». Значит, в нашем случае, 10 тарелок
оказались бракованными. Но какие именно, этого мы еще не знаем. На контроле
выявятся 80% брака из этих 10 тарелок, соответственно, выяснится, что 8
тарелок – бракованные. Их, конечно, в продажу не пустят. Но 2 тарелки
просочатся в магазины. И тогда, получается, всего в продажу из нашей партии
поступят 100-8=92 тарелки, и из них не будут иметь дефектов

90.
Рассчитаем вероятность по формуле: бл

Ответ: 0,98

Пример 32. В
торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к
концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе
закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу
дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:
Это задание решается непросто. Действительно, если бы эти события были
независимыми, то вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах была
бы результатом перемножения вероятности того, что кофе закончится в одном из. Но
мы видим, что это не так  (0,3*0,3 ≠ 0,12).  Значит, все то, что мы узнали
выше, нам здесь не поможет, нужен какой-то другой метод. Не буду вас томить
сложными объяснениями и объяснять, почему решается именно так, расскажу просто
механизм решения конкретно этого задания.

Сначала
мы находим вероятность наступления двух совместных событий (это понятие мы не
вводили) «Кофе закончится в обоих автоматах». Эта вероятность равна сумме
вероятностей наступления этих событий без вероятности их совместного наступления:
р1=0,3+0,3-0,12=0,48

А
потом находим искомую вероятность р (кофе останется в обоих автоматах) как
противоположное событие: р=1-р1=1-0,48=0,52

Ответ: 0,52

Пример 33: В Волшебной стране бывает два типа
погоды: хорошая и отличная, причѐм погода, установившись утром, держится
неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет
такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая.
Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение: Составим схему
всех возможных событий и укажем вероятность наступления данного события.
Вероятность того, что произойдет И первое, И второе, И третье – результат
умножения вероятность отдельных событий. Вероятность того, что нас устроит один
из вариантов, равна сумме получившихся вероятностей. 

          3
июля               4 июля               5 июля               6 июля                      

                                                                       
Отл                                    р1=0,8*0,8*0,2

                                                           Хор 
                                                            

                                                                        
Хор                                                

                                       Хор 
                                                                                     +

                                                                                   
Отл                                                р2=0,8*0,2*0,8

                     
                                                Отл                                                   

              Хор                                                               Хор
                                   

                     
                                                                                                       +

                                                                                   
Отл                                                р3=0,2*0,2*0,2

                                                             
Хор                                                                           

                                                                                               Отл 
 Хор                                            +

                                                                                                                               Отл
                      р4=0,2*0,8*0,8

Отл  

 Хор

р=р1+р2+р3+р4=0,392

Ответ: 0, 392

Пример 34: Чтобы пройти в следующий круг
соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх.
Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если
проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в
следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и
проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение: Команда может
получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти
события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое
из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий —
результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:

Ответ: 0,32.

Пример 35: При артиллерийской стрельбе
автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то
система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не
будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле
равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для
того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение: В решении этой
задачи пойдем очевидным путем – «стрелять» будем до тех пор, пока вероятность
попадания не станет удовлетворять условию. 

Вероятность попадания
при первом выстреле равна: р1=0,4 < 0,98

Конечно, нам необходимо делать второй
выстрел. А при каком условии мы стреляем повторно? Если первый раз НЕ попали.
Вероятность НЕ попасть первый раз равна 1-0,4=0,6. Получается, что второй
выстрел попадет в цель, если первый выстрел закончится промахом И второй –
попаданием. р2=0,6*0,6=0,36. Соответственно, вероятность того, что попадание
состоится ИЛИ при первом ИЛИ при втором выстреле равна: р3 = р1+р2 = 0,4+0,36=0,76
< 0,98. Заданная точность не достигнута. Стреляем третий раз. Опять же,
понимаем, что выстрел производится потому, что первые 2 раза был промах. р4 =
0,6*0,4*0,6=0,144. р5=0,4+0,36+0,144=0,904 < 0,98.

Делаем четвертый
выстрел: р6=0,6*0,4*0,4*0,6=0,0576, р7=0,904+0,0576=0,9616 < 0,98. Опять
мало! Стреляем пятый раз! р8=0,6*0,4*0,4*0,4*0,6=0,02304,
р9=0,9616+0,02304=0,98464. Ура! При пятом выстреле достигли нужной точности!
Нам потребовалось 5 выстрелов.

Ответ: 5

Закрепляем материал:

59.            
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика»,
абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 69 баллов по каждому из трѐх
предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на
специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 69 баллов по каждому из трѐх
предметов — математика, русский язык и обществознание.

60.            
Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее 69
баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,6, по иностранному языку
— 0,6 и по обществознанию — 0,9.

Найдите вероятность того, что А. сможет поступить на
одну из двух упомянутых специальностей.

61.            
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе.
Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35.
Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите
вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

62.            
Чтобы
пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы
7 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 6 очков, в случае
ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что
команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой
игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

Теория вероятностней ЕГЭ по математике

07.01.2020

Полная подборка теории и заданий для подготовки к заданиями ЕГЭ, связанным с теорией вероятности. Конечно же, этот тип заданий встречается именно в профильной математике.

Этот тип заданий встречается в ЕГЭ по математике за всего года и времена Поэтому материал актуален (задание может лишь менять порядковый номер, но суть одна).

• Сборник заданий с ответами по теории вероятностей

Документы

• Сборник теории от А до Я про задания ЕГЭ по теории вероятности PDF
• Супер-мега ШПАРГАЛКА по теории вероятности именно для ЕГЭ (Школа Пифагора, картинка)

Все основы теории вероятностей видеоурок

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.

Теория вероятности   (подготовка к ЕГЭ)

(в данном пособии представлены задания, которые вызывают у учащихся больше всего затруднений)

Решение:

1-ый способ

Пусть в первом хозяйстве агрофирма закупает x яиц, в том числе, 0,4x  яиц высшей категории, а во втором хозяйстве — y  яиц, в том числе 0,2y яиц высшей категории. Тем самым, всего агроформа закупает (x+y) яиц, в том числе (0,4x+0,2y) яиц высшей категории. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, тогда:

 

Следовательно, у первого хозяйства закупают в три раза больше яиц, чем у второго. Поэтому вероятность того, что купленное яйцо окажется из первого хозяйства равна:

Ответ: 0,75

2-ой способ

Пусть х — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда (1-х) — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:

Ответ: 0,75

Решение:

1-ый способ

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,35 · 0,03 = 0,0105.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,65 · 0,05 = 0,0325.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0105 + 0,0325 = 0,043.

Ответ: 0,043

2-ой способ

Если обозначить всё количество стёкол для автомобильных фар за х, то первая фабрика выпускает 0,35х стёкол, а вторая – 0,65х. Количество выпуска бракованных стёкол первой фабрикой равно 0,03∙0,35х, второй – 0,05∙0,65х. Следовательно, количество всех бракованных стёкол равно 0,03∙0,35х + 0,05∙0,65х = 0,043х. По определению, вероятность .

Решение:

1-ый способ

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате, равна Р(А)=1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате, равна Р(В)=1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна P(А+В)=1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятность х = 0,52.

Ответ: 0,52

2-ой способ

Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52

Решение:

В классе 21 учащийся. 3 равные группы — это группы по 7 человек. Пусть Вадим находится в одной из трех групп. Тогда для Олега в группе Вадима остается 6 мест из 20 возможных. Вероятность того, что Вадим Олег окажутся в одной группе, найдем по схеме вычисления классической вероятности, то есть как отношение числа «благоприятных» вариантов (их шесть) к общему числу вариантов (их количество равно двадцати). Таким образом, вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе:

 6:20 = 0,3.

Ответ: 0,3

Решение:

Вероятность того, что Джон  схватит пристрелянный револьвер .

Вероятность того, что Джон  схватит непристрелянный револьвер .

Вероятность того, что Джон  промахнется схватив пристрелянный револьвер 1-0,8=0,2.

Вероятность того, что Джон  промахнется схватив непристрелянный револьвер 1-0,2=0,8.

Вероятность того, что Джон  промахнется   

Ответ: 0,68.

Решение:

Найдем общее количество исходов:

1-й бросок	2-й бросок	3-й бросок		1-й бросок	2-й бросок	3-й бросок		1-й бросок	2-й бросок	3-й бросок
1	1	1		1	2	1		1	6	1
1	1	2		1	2	2		1	6	2
1	1	3		1	2	3		1	6	3
1	1	4		1	2	4		1	6	4
1	1	5		1	2	5		1	6	5
1	1	6		1	2	6	…	1	6	6

Итого с единицей 6*6=36 вариантов. Так ка на кости 6 чисел и с каждой 36 вариантов, то всего 6*36=216 исходов.

Количество исходов, при которых в результате сумма выпавших очков равняется 9, равно 25:

1-й бросок	2-й бросок	3-й бросок		1-й бросок	2-й бросок	3-й бросок		1-й бросок	2-й бросок	3-й бросок
1	2	6		2	1	6		3	1	5
1	3	5		2	2	5		3	2	4
1	4	4		2	3	4		3	3	3
1	5	3		2	4	3		3	4	2
1	6	2		2	5	2		3	5	1
				2	6	1

1-й бросок	2-й бросок	3-й бросок		1-й бросок	2-й бросок	3-й бросок		1-й бросок	2-й бросок	3-й бросок
4	1	4		5	1	3		6	1	2
4	2	3		5	2	2		6	2	1
4	3	2		5	3	1
4	4	1

Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

Ответ: 0,116

Решение:

Вероятность того, что батарейка неисправна, равна 0,05.
Вероятность того, что батарейка исправна, равна 1–0,05=0,95.
Вероятность того, что забракована неисправная батарейка, равна 0,96.
Вероятность того, что забракована исправная батарейка, равна 0,04.
Возможны 2 варианта:
1. батарейка будет исправна и она будет забракована : P1 = 0,95·0,04 = 0,038.
2. батарейка будет неисправной и она будет забракована P2 = 0,05·0,96 = 0,048
Так как может произойти только одно событие, находим сумма вероятностей:
Общая вероятность P = P1+P2 = 0,038+0,048 = 0,086

Ответ: 0,086

Решение:

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,5 · 0,3 = 0,15.

Ответ: 0,15

Решение:

На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5)4 = 0,0625. 

Решение:

Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года».

         События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:

P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем

0,93 = P(A) + 0,87.

Тем самым, для искомой вероятности имеем:

P(A) = 0,93 − 0,87 = 0,06.

Ответ: 0,06