Логарифмы
Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2x = 8. Там всё было ясно: x = 3.
А теперь рассмотрим уравнение 2x = 7.
По графику функции y = 2x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.
Ясно, что этот корень — не целое число (так как 22 = 4, 23 = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.
Этот корень обозначается log27 (читается: «логарифм семи по основанию два»). Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log27 = 2,807354922057604107…
Итак, наше число log27 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.
Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).
Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
Иными словами,
Например:
так как ;
, так как ;
так как ;
, так как .
Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.
Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.
Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log2(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.
Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 < a < 1 или a > 1.
Основные формулы
По определению, logab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:
Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:
logaax=x.
Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.
Логарифм произведения — это сумма логарифмов:
loga(bc) = logab + logac. | (2) |
Логарифм частного — это разность логарифмов:
. | (3) |
Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:
(4) |
Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:
(5) |
Формулы (4) и (5) вместе дают:
. | (6) |
В частности, если m = n, мы получаем формулу:
. | (7) |
Например, .
Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:
. | (8) |
В частности, если c = b, то logbb = 1, и тогда:
. | (9) |
Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).
2. (применили основное логарифмическое тождество(1)).
3. (применили формулу (4)).
4. (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).
5. (применили формулу (3) разности логарифмов).
Немного истории
Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?
Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.
Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?
Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.
В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.
Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.
Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).
А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.
Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.
Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Логарифмы» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Что такое логарифм?
Нагляднее всего понять это с помощью графического решения уравнений. Начертим график
и с его помощью решим уравнения:
Отлично! А теперь решим уравнение
.
И в этом случае невозможно назвать точное значение, то есть мы понимаем, что корень больше одного и меньше двух, но более точных данных нет.
Вот такой корень и задается с помощью логарифма, а именно
(читается как «логарифм пяти по основанию три» или «логарифм по основанию три от пяти»).
Мы определили смысл — теперь перейдем к общему определению логарифма.
Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени с основанием a, равной b. То есть, попросту говоря, логарифм — это степень, в которую нужно возвести a для получения b. Однако у логарифма есть условия или ограничения, что основание а больше нуля и не равно единице, а также показатель b больше нуля.
Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Как решать примеры с логарифмами?
Рассмотрим пример, как решить логарифм:
Задаем вопрос: в какую степень нужно возвести 7, чтобы получить 49?
Ответ: во вторую степень. Значит,
.
Какие бывают виды логарифмов?
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается как
. Пример десятичного логарифма:
.
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается как
. Пример натурального логарифма:
.
Свойства и формулы логарифмов
-
Эта формула называется основным логарифмическим тождеством.
Пример:
.
-
Пример:
.
-
Пример:
.
-
Логарифм степени находится по формуле:
.
Видно, что показатель степени выносим перед логарифмом.
Пример:
.
-
Показатель степени основания также выносим перед логарифмом, но в виде обратного числа, то есть, например, вместо 5 будет
.
Пример:
.
-
Если нужно перейти к другому основанию, то можно сделать это по формуле:
. Свойство называется формулой перехода к новому основанию.
-
А частным случаем предыдущей формулы является формула, которая позволяет менять местами основание и аргумент логарифма:
.
Конечно, это не все свойства логарифмов, а только самые главные. Комбинируя свойства выше, можно получать все новые и новые формулы для логарифмов. Например, соединив 4-ю и 5-ю формулы, получим
. Но запоминать ее нет смысла, важно знать лишь базовые свойства логарифмов.
Применение логарифмических свойств в примерах
Пример 1
Найдите значение выражения
, если
.
Если видите частное в показателе логарифма, то распишите по 3-й формуле:
.
Решение
У каждого логарифма в показателе стоит степень, значит, поможет 4-я формула:
.
Первый логарифм можно вычислить по определению. И обратите внимание на второй логарифм: у него в основании стоит а, а в условии задачи дан логарифм с основанием b, значит, нужно а как-то заменить на b. Возможно ли это? Конечно, 7-я формула в помощь!
.
Подставьте числовое значение из условия, и все готово:
.
Отличный пример! Мы использовали практически все свойства логарифмов. А теперь попрактикуйтесь еще, но помните, что задача с подвохом!
Пример 2
Вычислите:
.
Получился ответ 27? Если да, то поздравляю: вы попались на удочку самых популярных ошибок! Какое бы задание вам ни встретилось, действия с логарифмами нужно производить только по определениям и правилам. В примере вы видите деление двух логарифмов. А есть ли какая-то формула, в которой записано деление двух логарифмов?
Конечно, это формула перехода к новому основанию, которую мы привели в пункте 6 выше. Применим ее к этому случаю и вычислим логарифм по определению, задав вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получился показатель?
.
И получается ответ 4, а не 27.
Практическое применение логарифмов
Помните, выше мы говорили, что логарифм объединяет задания на ЕГЭ, галактики и рога горных козлов? И если с баллами на ЕГЭ все понятно, то про галактики и рога — интереснее.
Все дело в том, что существует логарифмическая спираль, которая задается по формуле:
. По этой логарифмической спирали растут рога горных козлов, закручены многие галактики (и даже та, в которой мы живем), а также раковины некоторых морских животных, усики растений, ураганы, смерчи и многое другое.
Как видите, логарифмы имеют большое значение для нашей жизни — не только баллы на ЕГЭ!
Вопросы для самопроверки
Чтобы информация точно усвоилась, вспомните:
-
Что такое логарифм?
-
Какие ограничения есть у логарифма?
-
Какие логарифмические свойства вы знаете?
-
Какие бывают способы преобразования выражений с логарифмом?
-
В чем практическое применение логарифмов?
На курсах по математике в онлайн-школе Skysmart мы всегда показываем, зачем нужны математические правила и формулы в реальной жизни — ведь так учиться гораздо интереснее! И подтянуть знания перед ЕГЭ тоже поможем: приходите на бесплатный вводный урок и все увидите сами.
Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.
Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.
Логарифм от числа 32 по основанию 2 ((log_{2}(32))) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:
$$ log_{2}(32)=5;$$
Аналогично, глядя в таблицу получим, что:
$$log_{2}(4)=2;$$
$$log_{2}(8)=3;$$
$$log_{2}(16)=4;$$
$$log_{2}(64)=6;$$
$$log_{2}(128)=7.$$
Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.
Теперь дадим определение логарифма в общем виде:
Логарифмом положительного числа (b) по основанию положительно числа (a) называется степень (c), в которую нужно возвести число (a), чтобы получить (b)
$$log_{a}(b)=c;$$
$$a^{c}=b.$$
Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм — это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.
Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:
$$log_{2}(5)=???$$
Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:
$$log_{2}(5)=2,32192809…$$
Или логарифм шести по основанию 4:
$$log_{4}(6)= 1.2924812…$$
На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!
Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм (log_{4}(6)). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6-ке:
$$ log_{4}(4) lt log_{4}(6) lt log_{4}(16);$$
$$ 1 lt log_{4}(6) lt 2. $$
Значит (log_{4}(6)) принадлежите промежутку от 1 до 2:
$$ log_{4}(6) in (1;2). $$
Как посчитать логарифм
Перед тем, как научиться считать логарифмы, нужно ввести несколько ограничений. Дело в том, что функция логарифма (log_{a}(b)) существует только при положительных значениях основания (a) и аргумента (b). И кроме этого на основание накладывается условие, что оно не должно быть равно (1).
$$ log_{a}(b) quad существует,;при quad a gt 0; ;b gt 0 ;a neq 1.$$
Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть (0). А основание не равно (1), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь (1) в любой степени это будет (1).
При этих ограничениях логарифм существует.
В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.
Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.
$$log_{3}(frac{1}{3})=-1;$$
Так как (вспоминайте определение отрицательной степени)
$$3^{-1}=frac{1}{3};$$
Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:
- Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
- Разобраться в какую степень (x) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
- (x) и будет искомым значением логарифма.
Давайте разберем на примерах.
Пример 1. Посчитать логарифм (9) по основанию (3): (log_{3}(9))
- Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки:
$$ 3=3^1, qquad 9=3^2;$$ - Теперь надо разобраться в какую степень (x) нужно возвести (3^1), чтобы получить (3^2)
$$ (3^1)^x=3^2, $$
$$ 3^{1*x}=3^2, $$
$$ 1*x=2,$$
$$ x=2.$$ - Вот мы и решили:
$$log_{3}(9)=2.$$
Пример 2. Вычислить логарифм (frac{1}{125}) по основанию (5): (log_{5}(frac{1}{125}))
- Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1, qquad frac{1}{125}=frac{1}{5^3}=5^{-3};$$ - В какую степень (x) надо возвести (5^1), чтобы получить (5^{-3}):
$$ (5^1)^x=5^{-3}, $$
$$ 5^{1*x}=5^{-3},$$
$$1*x=-3,$$
$$x=-3.$$ - Получили ответ:
$$ log_{5}(frac{1}{125})=-3.$$
Пример 3. Вычислить логарифм (4) по основанию (64): (log_{64}(4))
- Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 64=2^6, qquad 4=2^2;$$ - В какую степень (x) надо возвести (2^6), чтобы получить (2^{2}):
$$ (2^6)^x=2^{2}, $$
$$ 2^{6*x}=2^{2},$$
$$6*x=2,$$
$$x=frac{2}{6}=frac{1}{3}.$$ - Получили ответ:
$$ log_{64}(4)=frac{1}{3}.$$
Пример 4. Вычислить логарифм (1) по основанию (8): (log_{8}(1))
- Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 8=2^3 qquad 1=2^0;$$ - В какую степень (x) надо возвести (2^3), чтобы получить (2^{0}):
$$ (2^3)^x=2^{0}, $$
$$ 2^{3*x}=2^{0},$$
$$3*x=0,$$
$$x=frac{0}{3}=0.$$ - Получили ответ:
$$ log_{8}(1)=0.$$
Пример 5. Вычислить логарифм (15) по основанию (5): (log_{5}(15))
- Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1 qquad 15= ???;$$
(15) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть:
$$ log_{5}(15).$$
Внимание!
Как понять, что некоторое число (a) не будет являться степенью другого числа (b). Это довольно просто – нужно разложить (a) на простые множители.
$$16=2*2*2*2=2^4,$$
(16) разложили, как произведение четырех двоек, значит (16) будет степенью двойки.
$$ 48=6*8=3*2*2*2*2,$$
Разложив (48) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя (2) и (3), значит (48) не будет степенью.
Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.
Десятичный логарифм
На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается — (lg(a)).
Пример 6
$$ log_{10}(100)= lg(100)=2;$$
$$log_{10}(1000)=lg(1000)=3;$$
$$log_{10}(10)=lg(10)=1.$$
Натуральный логарифм
Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию (e). Обозначение — (ln(x)). Что такое (e)? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, (2,718281828459…). Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием (e) часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.
Пример 7
$$ log_{e}(e^2)=ln(e^2)=2;$$
$$ log_{e}(e)=ln(e)=1;$$
$$ log_{e}(e^5)=ln(e^5)=5.$$
Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.
У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.
Свойства логарифмов
$$1. ; log_{a}(1)=0;$$
$$2. ; log_{a}(a)=1;$$
$$3. ; log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$4. ; log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$5. ; log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$6. ; log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$
$$ 7. ; log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0; ; c gt 0; ; c neq 1; $$
$$ 8. ; log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$ 9. ; a^{ log_{a}(b)}=b.$$
Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.
Пример 8. Воспользоваться формулой (3). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.
$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$ log_{3}(12)=log_{3}(3*4)=log_{3}(3)+log_{3}(4)=1+log_{3}(4);$$
$$ log_{3}(2.7)+log_{3}(10)=log_{3}(2.7*10)=log_{3}(27)=3;$$
Пример 9. Воспользоваться формулой (4). Логарифм от частного – это разность логарифмов.
$$ log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$ log_{7}(98)-log_{7}(2)=log_{7}(frac{98}{2})=log_{7}(49)=2;$$
Пример 10. Формула (5,6). Свойства степени.
$$log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$
Логично, что будет выполняться и такое соотношение:
$$log_{a^m}(b^n)=frac{n}{m}* log_{a}(b);$$
И если (m=n), то:
$$log_{a^m}(b^m)=frac{m}{m}* log_{a}(b);=log_{a}(b)$$
$$log_{4}(9)=log_{2^2}(3^2)=log_{2}(3);$$
Пример 11. Формулы (7,8). Переход к другому основанию.
$$ log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0;c gt 0;c neq 1; $$
$$ log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$log_{4}(5)=frac{1}{log_{5}(4)};$$
$$log_{4}(5)=frac{log_{7}(5)}{log_{7}(4)};$$
Логарифмические уравнения
Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $а$, где $a>0, a ≠ 1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.
$log_<2>8 = 3$, т.к. $2^3 = 8;$
Особенно можно выделить три формулы:
Основное логарифмическое тождество:
Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠ 1$
Некоторые свойства логарифмов
Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.
1. Для любого действительного числа $m$ справедливы равенства:
2. Для решения задач иногда полезно следующее свойство: Если числа $а$ и $b$ на числовой оси расположены по одну сторону от единицы, то $log_b>0$, а если по разные, то $log_b 0$
Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию 2
Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.
Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые
Проверим найденные корни по условиям: $<table x^2-3x-5>0; 7-2x>0;$
При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень
4. Уравнения вида $a^x=b$. Решаются логарифмированием обеих частей по основанию $а$.
Решить уравнение $log_5log_2(x+1)=1$
Сделаем в обеих частях уравнения логарифмы по основанию $5$
Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения
Далее представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$
ОДЗ данного уравнения $x+1>0$
Подставим вместо х в неравенство $31$ и проверим, получиться ли верное условие $32>0$, следовательно, $31$ корень уравнения.
Логарифмические уравнения
Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.
Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
При этом 0,;a> 0,;aneq 1′ alt=’b> 0,;a> 0,;aneq 1′ />.
Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:
Основное логарифмическое тождество:
Основные формулы для логарифмов:
(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)
(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)
Формула перехода к новому основанию:
Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.
Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.
Простейшие логарифмические уравнения
Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.
Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,;a> 0,;aneq 1′ alt=’b> 0,;a> 0,;aneq 1′ />.
Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.
2. Решите уравнение:
В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.
3. Решите уравнение:
Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.
4. Решите уравнение:
Область допустимых значений: 0.’ alt=’4+x> 0.’ /> Значит, -4.’ alt=’x> -4.’ />
Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.
Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4′ alt=’x> -4′ />.
5. Решите уравнение:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:
0\ x^<2>-4> 0\ x^<2>+x=x^<2>-4 endright.Leftrightarrow left <beginx^<2>+x> 0\ x^<2>-4> 0\ x=-4 endright.Leftrightarrow x=-4′ alt=’log _<8>left ( x^<2>+x right )=log _<8>left ( x^<2>-4 right )Leftrightarrow left <beginx^<2>+x> 0\ x^<2>-4> 0\ x^<2>+x=x^<2>-4 endright.Leftrightarrow left <beginx^<2>+x> 0\ x^<2>-4> 0\ x=-4 endright.Leftrightarrow x=-4′ />
Ответ: –4.
Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.
Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
0 endright.Leftrightarrow left <beginleft (2^<log _<2>left ( 4x+5 right )> right )^<frac<1><2>>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginleft ( 4x+5 right )^<frac<1><2>>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginsqrt<4x+5>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <begin4x+5=81\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginx=19\ x> -1frac<1> <4>endright.’ alt=’2^<log _<4>left ( 4x+5 right )>=9Leftrightarrow left <begin2^frac<<log _<2>left ( 4x+5 right )>><2>=9\ 4x+5> 0 endright.Leftrightarrow left <beginleft (2^<log _<2>left ( 4x+5 right )> right )^<frac<1><2>>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginleft ( 4x+5 right )^<frac<1><2>>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginsqrt<4x+5>=9\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <begin4x+5=81\ x> -1frac<1> <4>endright.Leftrightarrow left <beginx=19\ x> -1frac<1> <4>endright.’ />
Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.
ОДЗ:
0\ x> 0\ xneq 1 endright.’ alt=’left <begin12-x> 0\ x> 0\ xneq 1 endright.’ />
Теперь можно «убрать» логарифмы.
— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />.
8. Решите уравнение .
ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ />
Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.
Вернемся к переменной х:
Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.
Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.
Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену
Вернемся к переменной х. Получим:
. Мы нашли все корни исходного уравнения.
Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.
Поверните устройство
- Классы
- ЕГЭ (профиль)
- 01. Простейшие уравнения
- Теория: 07. Элементарные логарифмические уравнения
Найдите корень уравнения:
Решим уравнение (displaystyle log_7(13-3x)=2<small .>)
Если (displaystyle a>0,, b>0 ) и (displaystyle acancel<=>1), то по определению логарифма
(displaystyle log_a b=c) равносильно (displaystyle b=a^c <small .>)
(displaystyle log_7(13-3x)=2) равносильно (displaystyle 13-3x=7^2 <small .>)
Решим линейное уравнение (displaystyle 13-3x=7^2 <small :>)
Так как (displaystyle 13-3x=7^2 <small ,>) то ограничение (displaystyle 13-3x>0 ) будет верным для решения линейного уравнения.
источники:
http://ege-study.ru/logarifmicheskie-uravneniya/
http://m.01math.com/maths/theory?subcategory_id=1457
Определение и свойства логарифмов ЕГЭ по математике
- 08.11.2013
Материал для подготовки к ЕГЭ по математике на тему: «Определение и свойства логарифмов».
Содержание темы:
12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
12.1. Свойства логарифмов
Тест для проверки теоретических знаний
Примеры
Задачи для самостоятельного решения
Контрольный тест
Рекомендуем использовать этот материал при тщательной подготовке к сдаче ЕГЭ на высокий балл.
В теме содержатся теория и практические задания различного уровня сложности.
Смотреть в PDF:
Или прямо сейчас: Скачайте в pdf файле.
Логарифм и его свойства
Логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание степени, чтобы получилось некоторое число.
Ничего не понятно! Будем разбираться на простых примерах.
Пусть дано уравнение: 2х = 4 (2 — основание степени, х — неизвестный показатель степени, 4 — некоторое число).
Это показательное уравнение. Интуитивно понятно, что неизвестная переменная х равна 2, т.к. 22 = 4.
Модернизируем уравнение: 2х = 5.
Хм… И как?
х = 2 — мало, а х = 3 много, т.е. х — это какое-то дробное число, скорее всего, даже иррациональное. В любом случае, точно подобрать не получится, разве что на калькуляторе и с округлением.
И поэтому для таких вот случаев ленивые математики придумали определение логарифма. В общем, корнем этого уравнения будет являться х = log25 (читается: логарифм числа 5 по основанию 2).
Естественно, что у логарифма есть ограничения, числа a и b должны быть положительными и а не должно быть равно 1 (Если пораскинуть мозгами, станет понятно почему).
Пришло время красиво записать полное определение логарифма на математическом языке, с помощью которого ты сможешь решать простейшие показательные уравнения (наподобие тех, что были выше).
Мы рассмотрели самый приятный вид логарифма. Есть еще два вида, десятичный и натуральный.
В десятичном логарифме основание равно 10, а в натуральном — е (е ≈ 2,718…).
Такие логарифмы пишутся немного по-другому:
log10b = lgb;
logeb = lnb.
Основные свойства логарифмов.
Свойства работают в обе стороны, при этом a, b, c — положительные и основания логарифмов не равны 1.
Прототипы заданий из ЕГЭ по математике (ФИПИ). Базовый и профильный уровни.
Задание 1.
Найдите корень уравнения
___________
Для решения этого уравнения используем определение логарифма. Продублирую его еще раз:
Наша задача основание логарифма 3 возвести в третью степень и приравнять выражению в скобках. Уравнение примет вид:
2х — 7 = 33.
При этом важно не забыть, что (2х — 7) должно быть больше нуля. Это важно.
Решаем обычное линейное уравнение:
2х — 7 = 27;
2х = 34;
х = 17.
Надо убедится, что корень подходит области определения логарифма: 2 · 17 — 7 > 0. Неравенство верно.
Ответ: 17.
Задание 2.
Найдите корень уравнения
___________
Основания у логарифмов одинаковые, значит можно приравнять (5х — 23) и 17.
Снова получаем обычное линейное уравнение:
5х — 23 = 17;
5х = 40;
х = 8.
Удовлетворяет ли корень области определения логарифма? Да (5 · 8 — 23 > 0).
Ответ: 8.
Задание 3.
Найдите значение выражения
___________
Воспользуемся 8-м свойством: изменим основание первого логарифма на удобное нам. А еще представим 4 как 2 в квадрате.
Теперь преобразуем второй логарифм, используя свойство 4.
Одинаковые логарифмы сокращаются…
Ответ: 2.
Задание 4.
Найдите значение выражения
___________
Представим основание нижнего логарифма как 82 и по свойству 5 вынесем показатель степени вперед.
Логарифмы сокращаются, остается разделить 1 на ½.
Ответ: 2.
Задание 5.
Найдите значение выражения
___________
У логарифмов одинаковые основания, значит сработает свойство 2.
В какую степени надо возвести число 7, чтобы получилось 49? Правильно, 2.
Ответ: 2.
Задание 6.
Найдите значение выражения
___________
Для дроби используем свойство 7, только наоборот, а затем — свойство 2.
Ответ: 1.
Задание 7.
Найдите значение выражения
___________
Представим десятичные дроби в виде обыкновенных и сократим их.
Поменяем основание у первого логарифма, используя свойство 8.
Представим дробь 5/4 как 4/5 в минус первой степени.
По свойству 4 выносим -1 вперед.
Логарифмы равны и сокращаются.
Ответ: -4.
Факт 1.
(bullet) Логарифм по основанию (a) от (b) – это число (t), которое показывает, в какую степень нужно возвести (a), чтобы получить (b).
Ограничения: числа (a) и (b) такие, что (a>0, ane 1, b>0).
[Large{{color{blue}{log_a{b}=tquadLeftrightarrowquad
a^t=b }}}]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то (tin
mathbb{R}).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество [{Large{a^{log_ab}=b}}]
(bullet) Справедливы следующие формулы: [{large{begin{array}{|ll|l|}
hline qquad qquad qquad qquad {small{text{Формулы}}}
&& qquad qquad{small{text{Ограничения}}}\
&&\
hline textbf{(1)} log_a1=0&&a>0, ane 1\
&&\
textbf{(2)} log_aa=1 &&a>0, ane 1\
&&\
textbf{(3)} log_{a}{b^m}=mlog_a|b|&(m —
{small{text{четн.}}})&a>0, ane 1, bne 0\
&&\
textbf{(4)}log_{a}{b^m}=mlog_ab& (m —
{small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(5)} log_{a^n}{b}=frac 1nlog_{|a|}b&(n —
{small{text{четн.}}})&ane 0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(6)}log_{a^n}b=frac1nlog_ab&(n —
{small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(7)} log_a{bc}=log_a|b|+log_a|c|&&a>0, ane 1, bcne 0\
&&\
textbf{(8)}
log_a{dfrac bc}=log_a|b|-log_a|c|&&a>0, ane 1,bcne 0 \
&&\
textbf{(9)}
a^{log_ab}=b &&a>0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(10)}c^{log_ab}=b^{log_ac}&&a>0, ane 1, b>0, c>0\
&&\
textbf{(11)} log_abcdot log_bc=log_ac && a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\
&&\
textbf{(11′}) log_bc=dfrac{log_ac}{log_ab}&&a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\
&&\
&&\
{small{text{ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:}}}&& \
textbf{(12)} log_abcdot log_ba=1 && a>0, ane 1, b>0, bne 1\
&&\
textbf{(12′}) log_ab=dfrac1{log_ba}&&a>0, ane 1, b>0, bne 1\
&&\ hline
end{array}}}]
Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!