Теория случайных процессов экзамен

1. Определение
   случайного процесса. Классификация
   случайных процессов.

2. Законы
   распределения и основные характеристики
   случайного процесса.

3. Определение
   цепи Маркова с конечным множеством
   состояний. Матрица переходных
   вероятностей, ее свойства. Вектор
   вероятности начальных состояний.

4. Способы
   задания цепи Маркова.

5. Эргодическая
   теорема для цепей Маркова.

6. Стационарные
   распределения цепи Маркова. Связь между
   эргодичностью и стационарностью.

7. Уравнения
   Колмогорова для цепей Маркова.

8. Представление
   для вероятностей переходов цепи Маркова
   за n шагов. Матрица
   переходных вероятностей за n
   шагов.

9. Задание
   меры на траекториях случайного процесса.
   Определение цилиндрического множества.

10. Теорема
    Колмогорова.

11. Стохастическая
    эквивалентность случайных процессов.
    Теоремы Колмогорова и Колмогорова-Ченцова
    (без доказательств).

12. Основные
    характеристики случайных процессов.

13. Ветвящиеся
    процессы: основные определения и
    свойства.

14. Вероятность
    вырождения ветвящегося процесса.

15. Теорема
    о производящей функции для численности
    n-го поколения ветвящегося
    процесса.

16. Определение
    стационарного (в широком смысле)
    случайного процесса. Эргодическое
    свойство.

3. Задачи

1. Сделано
   3 выстрела. Записать события, состоящие
   в том, что: а) имеется хотя бы одно
   попадание; б) имеется не менее двух
   попаданий; в) имеется не более двух
   попаданий.

2. Упорядоченный
   выбор с возвращением. Число исходов.
   Интерпретация в терминах схемы случайных
   размещений.

3. Упорядоченный
   выбор без возвращения. Число исходов.
   Интерпретация в терминах схемы случайных
   размещений.

4. Неупорядоченный
   выбор с возвращением. Число исходов.
   Интерпретация в терминах схемы случайных
   размещений.

5. Неупорядоченный
   выбор без возвращения. Число исходов.
   Интерпретация в терминах схемы случайных
   размещений.

6. Сколькими
   способами k пассажиров можно рассадить
   по n вагонам? Сколькими способами группа
   из 20 чел. может сдать экзамен?. 5.
   Сколькими способами можно раздать
   колоду карт двум игрокам?.

7. Парадокс дней рождений.

8. Монета
   бросается три раза. Событие А_i
   состоит в выпадении «герба» в i-ом
   бросании. Записать через А_i,
   i=1,2,3 события, состоящие в том,
   что: a) все три раза выпадала одна и та
   же сторона монеты; b) одна и та же сторона
   монеты выпадала два раза подряд; c)
   «герб» выпадал чаще, чем «решетка».
   Сколько элементарных исходов включает
   каждое из событий?

9. Человек
   забыл три последние цифры телефонного
   номера и набрал телефон наудачу. Найти
   вероятность того, что телефон будет
   набран верно, если: a) он помнит, что
   среди этих трех цифр не было одинаковых;
   b) он помнит, что среди этих трех цифр
   не было одинаковых, а две цифры были
   нечетными.

10. N пассажиров
    случайным образом рассаживаются по N
    вагонам поезда. Найти вероятность того,
    что хотя бы в один вагон не войдет ни
    один пассажир.

11. Из партии,
    содержащей 20 деталей, среди которых 8
    бракованных , наудачу отобрано 6 деталей.
    Найти вероятность того, что среди них
    окажется: a) ровно 4 бракованных деталей;
    b) не менее двух хороших деталей; c) хотя
    бы одна бракованная деталь.

12. Найти
    вероятность того, что при раздаче колоды
    карт четырем игрокам каждому достанется
    по тузу.

13. Десять
    различимых частиц размещаются по десяти
    ячейкам. Найти вероятность того, что
    ровно две ячейки окажутся пустыми.

14. В урне
    было а белых и b черных шаров. Один шар,
    цвет которого неизвестен, потерялся.
    Найти вероятность того, что наудачу
    взятый из урны шар окажется белым.

15. Три орудия
    производят стрельбу по трем целям.
    Каждое орудие выбирает цель случайно
    и независимо от остальных. Вероятность
    попадания в цель для каждого орудия
    равна p. Найти вероятность того, что из
    трех целей будет поражено ровно две.

16. Три прибора
    работают независимо друг от друга.
    Вероятности отказов приборов равны
    соответственно 0,1; 0,2 и 0,15. Известно, что
    два прибора вышли из строя. Что
    вероятнее-третий прибор исправен или
    нет?

17. Испытания
    Бернулли проводятся до первого (r-ого)
    успеха. Найти вер. того, что будет
    проведено ровно k испытаний.

18. .
    Испытания Бернулли с вер-стью “У” в
    одном испытании, равной p, проводятся
    до k-ого “У” включительно. Найти м.о. и
    дисп. числа “Н”, предшествующих k-ому
    “У”.

19. По N ячейкам
    независимо друг от друга размещается
    n частиц. Каждая из них с вер-стью p_j
    может попасть в ячеку с номером j,
    j=1,…,N. Найти м.о. и диспер.числа частиц,
    оказавшихся в j-ой ячеке.

20. Частицы
    независимо друг от друга размещается
    по N ячейкам до тех пор, пока в первой
    ячейке не наберется k частиц.Найти м.о.
    и диспер.числа брошенных частиц.

21. Пусть
    ₁,₂,…,_{n
    —} независимые случайные величины,
    такие, что (_j) = П(_j),
    j=1,2,…,n. Найти закон распределения с.в.
    S_n= ₁+₂
    +…+_n.

22. Найти
    условное распределение
    ,
    если ₁,₂,…,_N
    — независимые случайные величины, такие,
    что (_j)=П(_j),
    j=1,2,…,n.

23. Пусть
    матрица переходных вероятностей
    однородной марковской цепи с состояниями
    0 и 1 имеет вид
    .
    Доказать, что при
    
    верно представление
    .

24. Для
    однородной цепи Маркова из задачи 23
    найти
    .

25. Найти
    математическое ожидание, дисперсию,
    среднеквадратическое отклонение,
    корреляционную функцию и нормированную
    корреляционную функцию для случайного
    процесса
    ,
    где
    
    фиксировано.

26. Найти
    математическое ожидание, дисперсию,
    среднеквадратическое отклонение,
    корреляционную функцию и нормированную
    корреляционную функцию для случайного
    процесса
    ,
    где
    
    — независимы.

27. Найти
    математическое ожидание, дисперсию,
    среднеквадратическое отклонение,
    корреляционную функцию и нормированную
    корреляционную функцию для случайного
    процесса
    ,
    где
    
    — независимы,
    .фиксировано.

28. Найти
    плотность распределения, математическое
    ожидание, дисперсию, среднеквадратическое
    отклонение, корреляционную функцию и
    нормированную корреляционную функцию
    для случайного процесса
    ,
    где
    
    имеет нормальное распределение с
    параметрами
    —
    независимы,
    .фиксировано.

29. Найти
    плотность распределения случайного
    процесса
    ,
    где
    
    имеет нормальное распределение с
    параметрами
    ,
    независимы,
    .фиксировано.

30. Найти
    математическое ожидание, дисперсию,
    среднеквадратическое отклонение,
    корреляционную функцию и нормированную
    корреляционную функцию для случайного
    процесса
    ,
    где
    
    имеет нормальное распределение с
    параметрами
    .

31. Найти
    математическое ожидание, дисперсию,
    среднеквадратическое отклонение,
    корреляционную функцию и нормированную
    корреляционную функцию для случайного
    процесса
    ,
    где
    
    — абсолютно непрерывная случайная
    величина с плотностью распределения
    .

32. Найти
    математическое ожидание, дисперсию,
    среднеквадратическое отклонение,
    корреляционную функцию и нормированную
    корреляционную функцию для случайного
    процесса
    ,
    где
    
    имеет нормальное распределение с
    параметрами
    .

33. Найти
    математическое ожидание, дисперсию,
    среднеквадратическое отклонение,
    корреляционную функцию и нормированную
    корреляционную функцию для случайного
    процесса
    ,
    .

Подборка по базе: вкр илья теория.docx, Пр 3 Теория и методика музыкального воспитания с практикумом (ПН, Психологическая теория.docx, Экономическая теория 1 семестр.docx, Теория информационных процессов и систем копия.docx, Теория информационных процессов и систем копия.pdf, Теория информационных процессов и систем копия.docx, Теория информационных процессов и систем.pdf, Экономическая теория 1 семестр.docx, Экономическая теория 1 семестр.docx

Теория случайных процессов
Экзамен летней сессии состоит из двух частей: тест и задачи. Каждая часть оценивается из 10 баллов.
Вопросы теста
1. Дать определение случайной функции.
2. Дать определение математического ожидания случайного процесса.
3. Свойства ковариационной функции.
4. Привести пример гауссовского процесса.
5. Дать определение белого шума.
6. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости.
————————————————————————————————-
1. Дать определение случайного процесса.
2. Дать определение ковариационной матрицы.
3. Дать определение марковского процесса.
4. Привести пример процесса с независимыми приращениями.
5. Дать определение предела процесса.
6. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.
————————————————————————————————-
1. Дать определение сечения случайного процесса.
2. Спектральная плотность и ее свойства.
3. Дать определение процесса с независимыми приращениями.
4. Свойства белого шума.
5. Дать определение взаимной ковариационной функции двух процессов
6. Достаточное условие эргодичности.
————————————————————————————————-
1. Дать определение траектории (реализации) случайного процесса.
2. Эргодичность по отношению к математическому ожиданию.
3. Дать определение процесса с ортогональными приращениями.
4. Теорема о покоординатной сходимости для процесса.
5. Дать определение непрерывного процесса.
6. Дать определение производной от случайного процесса.
————————————————————————————————-
1. Дать определение конечномерного закона распределения случайного процесса.
2. Дать определение дисперсии случайного процесса.
3. Дать определение стационарного в широком смысле процесса.
4. Дать определение винеровского процесса
5. Теорема о покоординатной сходимости для последовательности процессов.
6. Действие линейного оператора на случайный процесс.
————————————————————————————————-
1. Дать определение ковариационной функции.
2. Дать определение гауссовского (нормального) процесса.
3. Дать определение стационарного в узком смысле процесса.
4. Эргодичность по отношению к математическому ожиданию
5. Необходимые и достаточные условия непрерывности.
6. Постановка задачи о реакции линейного динамического звена.
————————————————————————————————-
1. δ-функция Дирака и ее свойства.
2. Дать определение пуассоновского процесса.
3. Необходимые и достаточные условия эргодичности.
4. Привести пример стационарного в широком смысле процесса.
5. Дать определение предела последовательности процессов.
6. Дать определение интеграла от случайного процесса.

Задачи
1.
Пусть
{ ( )
,
0},
X
X t
t
c t
ξ
=
=
+
≥
где случайная величина
)
1
,
0
(

N
ξ
, c=const. Найти конечномерные распределения процесса
X
2.
Известно, что ξ(t, ω) — гауссовский процесс с математическим ожиданием t
2
и K
ξ
(t, s) =
4ts, η(t, ω) =
ξ
(t, ω). Найти P(η(2, ω) > 2).
3.
Найти ковариационную функцию пуассоновского процесса с параметром
λ
4.
Пусть
{ ( )
2 ,
0},
X
X t
V
t t
=
= +
≥
где V имеет распределение Коши. Вычислить
( ( ) 0
P X t
=
хотя бы для одного
(0,1/ 2]).
t
∈
5.
Найдите математическое ожидание и ковариационную функцию случайного процесса
0
( , )
( , ) ,
,
t
t
t
dt t
T
η ω
ξ
ω
′
′
=
∈
∫
если m
ξ
(t) = mt, K
ξ
(t, s) = Dts.
6.
Показать, что процесс { (
)
( ),
0},
X
W t
a
W a t
=
+ −
≥
где W – винеровский процесс и константа
0
a
> , является винеровским.
7.
Привести примеры марковского и немарковского процессов.
8.
Доказать, что процесс
( )
{
,
0},
W ct
X
t
c
=
≥
где W – винеровский процесс и константа
0
c
> , также является винеровским.
9.
Найти ковариационную функцию броуновского моста, т.е. процесса
0 0
{ ( )
( )
(1),
[0,1]},
W
W t
W t
tW
t
=
=
−
∈
где W – винеровский процесс.
10.
Привести примеры стационарного и нестационарного процессов.
11.
Как выглядят траектории процесса { ( )
,
[0, 2 ]},
t
X
X t
e
t
ξ
π
=
=
∈
если величина
ξ
принимает значения 1 и
1
−
с равными вероятностями? Найти одномерные и двумерные распределения процесса.
12.
Найдите плотность одномерного распределения гауссовского процесса ξ(t, ω) = X+t, где X имеет р-е N(t,σ).
13.
Случайный процесс ξ(t, ω) = Xt, где X имеет р-е R[0,1] Описать множество сечений и траекторий процесса ξ(t, ω).
14.
Найти ковариационную функцию винеровского процесса.
15.
Будет ли стационарен процесс η(t, ω),
16.
0
( , )
( , ) ,
,
t
t
t
dt t
T
η ω
ξ
ω
′
′
=
∈
∫
если m
ξ
(t) = 0, K
ξ
(t, s) = (1+(t-s)
2
)
-1
?
17.
Найдите спектральную плотность стационарного скалярного случайного процесса
ξ(t, ω), t T = [0, ∞], если известна его ковариационная функция K
ξ
(τ) = ae
-b|τ|
18.
Найдите математическое ожидание и ковариационную функцию скалярного случайного процесса η(t, ω) =
ξ
(t, ω), t Т, если известно, что ξ(t, ω) = α(ω)t + β (ω)sin t, и дана совместная функция плотности вероятностей случайных величин α(ω) и β(ω):
( , )
, | | 1, | | 1.
f
x y
c
x
y
αβ
=
≤
≤
19.
Пусть ξ(t, ω) = α(ω) cos t + β(ω) sin t, где α(ω), β(ω) — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и Dα(ω) = 1, Dβ(ω) = 1. Будет ли скалярный процесс ξ(t, ω) эргодическим относительно математического ожидания?
20.
Будет ли стационарен процесс η(t, ω),
0
( , )
( , ) ,
,
t
t
t
dt t
T
η ω
ξ
ω
′
′
=
∈
∫
если m
ξ
(t) = 0, K
ξ
(t, s) = (1+(t-s)
2
)
-1
?
∈
∈