Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.
Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…
Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.
Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?
Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.
Орел и решка — два возможных исхода испытания.
Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 
.
Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.
Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.
Вероятность выпадения тройки равна 
(один благоприятный исход из шести возможных).
Вероятность четверки — тоже .
А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.
Вот другой пример. В пакете 
яблок, из них 
— красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна 
, а зеленое — 
.
Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна 
.
БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ
Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.
Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.
В фирме такси в данный момент свободно 
машин: 
красных, 
желтых и 
зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
Всего имеется машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 
, то есть 
.
В сборнике билетов по биологии всего билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 
, то есть 
.
Родительский комитет закупил 
пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 
с картинами известных художников и 
с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.
Задача решается аналогично.
Ответ: .
В чемпионате по гимнастике участвуют 
спортсменок: — из России, 
— из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.
Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 
(поскольку из Китая — 
спортсменок). Ответ: 
.
Ученика попросили назвать число от 
до 
. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?
Каждое пятое число из данного множества делится на . Значит, вероятность равна 
.
Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.
— нечетные числа; 
— четные. Вероятность нечетного числа очков равна .
Ответ: 
.
Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?
Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.
Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?
Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка.
Две монеты — уже четыре исхода:
| орел | орел |
| орел | решка |
| решка | орел |
| решка | решка |
Три монеты? Правильно, 
исходов, так как 
.
Вот они:
| орел | орел | орел |
| орел | орел | решка |
| орел | решка | орел |
| решка | орел | орел |
| орел | решка | решка |
| решка | орел | решка |
| решка | решка | орел |
| решка | решка | решка |
Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.
Ответ: 
.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет очков. Результат округлите до сотых.
Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.
Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего 
возможных исходов, так как 
.
А теперь — благоприятные исходы:
Вероятность выпадения восьми очков равна 
.
Стрелок попадает в цель с вероятностью 
. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре выстрела подряд.
Если вероятность попадания равна — следовательно, вероятность промаха 
. Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна 
. А вероятность четырех попаданий подряд равна 
.
Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей
ПОДРОБНЕЕ
Вероятность: логика перебора.
В кармане у Пети было монеты по рублей и монеты по 
рублей. Петя не глядя переложил какие-то монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?
Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами , а десятирублевые цифрами — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора 
.
Однако есть более простое решение:
Кодируем монеты числами: , (это пятирублёвые), 
(это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:
Есть шесть фишек с номерами от до . Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами и не оказались вместе?
Давайте запишем, что у нас в первом кармане.
Для этого составим все возможные комбинации из набора 
. Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 
и 
— это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:
…
А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — 
, а затем:
.
Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на . Продолжаем:
.
Всего возможных исходов.
У нас есть условие — фишки с номерами и не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 
нам не подходит — она означает, что фишки и обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только , либо только . Вот они:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего благоприятных исходов.
Тогда искомая вероятность равна 
.
Ответ: .
Сумма событий, произведение событий и их комбинации
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть 
– вероятность того, что чайник прослужил больше года.
– вероятность того, что он сломается на второй год, 
– вероятность того, что он прослужит больше двух лет.
Очевидно, 
Тогда 
Ответ: 0,06.
События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.
Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.
В нашей задаче события «чайник сломался на второй год работы» и «чайник работает больше двух лет» — несовместные. Чайник или сломался, или остается в рабочем состоянии.
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук выйдет через выход А.
Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.
Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна 
Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью 
На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна 
а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна 
то есть 0,03125.
События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.
В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.
Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.
(А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй — два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 — для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?
Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку 
Для второго 
Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью 
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.
Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.
Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна 
. Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна 
.
Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% — не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.
Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% — не высшей.
Пусть случайно выбранное в магазине яйцо — из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей: 
Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна 
Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.
Мы получили уравнение:
Решаем это уравнение и находим, что 
– вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).
Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:
Если он болен гепатитом, анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. То есть анализ покажет: «есть гепатит».
Заметим, что анализ не во всех случаях выявляет гепатит у того, кто действительно им болен. С вероятностью 0,1 анализ не распознает гепатит у больного.
Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.
Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Благоприятные для этой ситуации исходы: человек болен, и анализ положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна 
), или человек здоров, и анализ ложный положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна 
). Так как события «человек болен» и «человек не болен» несовместны, то вероятность того, что результат анализа будет положительным, равна 
Ответ: 0,0545.
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознание или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна 
Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна
В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна 
Это ответ.
Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.
Еще задачи ЕГЭ по теме «Теория вероятностей».
Смотрите также: парадокс Монти Холла.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов
$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.
Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$
В фирме такси в наличии $50$ легковых автомобилей. $35$ из них чёрные, остальные — жёлтые.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета.
Решение:
Найдем количество желтых автомобилей:
$50-35=15$
Всего имеется $50$ автомобилей, то есть на вызов приедет одна из пятидесяти. Желтых автомобилей $15$,
следовательно, вероятность приезда именно желтого автомобиля равна ${15}/{50}={3}/{10}=0,3$
Ответ:$0,3$
Противоположные события
Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}↖{-}$.
$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$
Независимые события
Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.
Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих
вероятностей:
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый
лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович
участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того,
что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.
Решения:
Вероятность $Р(А)$ — выиграет первый билет.
Вероятность $Р(В)$ — выиграет второй билет.
События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба
события, нужно найти произведение вероятностей
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
$Р=0,15·0,12=0,018$
Ответ: $0,018$
Несовместные события
Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)
Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
$Р = 0,3+0,18=0,48$
Ответ: $0,48$
Совместные события
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.
Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий минус
вероятность их произведения:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)$
В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится
кофе, равна $0,6$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того,
что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.
Решение:
Обозначим события, пусть:
$А$ = кофе закончится в первом автомате,
$В$ = кофе закончится во втором автомате.
Тогда,
$A·B =$ кофе закончится в обоих автоматах,
$A + B =$ кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32$.
События $A$ и $B$ совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий,
уменьшенной на вероятность их произведения:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
Ответ: $0,88$
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
2
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
3
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу 
4
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.
5
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
Пройти тестирование по этим заданиям
Все прототипы заданий темы «Вероятности сложных событий», которые могут выпасть на ЕГЭ по математике (профильный уровень). Источники заданий: fipi.ru, mathege.ru.
Условия прототипов взяты у Евгения Пифагора из его видеокурса: «1–11 задания ЕГЭ профиль (первая часть с нуля)».
Содержание видеокурса:
~ 10 часов теоретических видео (про все правила и формулы);
~ 70 часа разборов задач прототипов и ДЗ.
По отзывам покупателей Василий Васильевич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,93. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,94. Василий Васильевич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Продолжить чтение Решение №2841 По отзывам покупателей Василий Васильевич оценил надёжность двух интернет-магазинов.
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.
Продолжить чтение Решение №2840 Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней.
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,98. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,83. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.
Продолжить чтение Решение №2810 При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки.
Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Продолжить чтение Решение №2555 Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,1. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Продолжить чтение Решение №2453 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе.
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стекол, вторая – 75%. Первая фабрика выпускает 5% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Продолжить чтение Решение №2338 Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стекол, вторая – 75%.
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Продолжить чтение Решение №2296 На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов.
Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечетные числа встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность, что бросали второй кубик?
Продолжить чтение Решение №2167 Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечетные числа встречаются по два раза.
4 задание ЕГЭ по математике профильного уровня посвящено теории вероятности. Здесь понадобится не только основная формула P = m / n, но и умение работать с деревом вариантов (вероятностей).
4 задание ЕГЭ по математике профиль 2023 года: разбор теории вероятности
В задаче 1 есть две фабрики. Первая выпускает 45% стекол для автомобильных фар, а вторая — 55%. У первой — 3% бракованных деталей, у второй — 1%. Нужно найти вероятность того, что купленное в магазине стекло будет бракованным. Учитель, старший эксперт по математике и член проверочной комиссии Михаил Попов расскажет как находить решение 4 задания ЕГЭ по математике.
Как вы поняли, при знании основ теории вероятности и внимательности, четвертая задача не представляет особой трудности. Главное — концентрация и аккуратность при расчетах. Удачи в подготовке!
Рассылка с лучшими статьями. Раз в неделю для самых занятных
Для тех, кто ценит свое время. Выбирайте интересную вам тему и подписывайтесь, чтобы ничего не пропустить. Это бесплатно!
| 3511 | Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,03. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными Решение |
Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 5 Задание 4 | |
| 3499 | Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Биолог» выиграет жребий ровно два разаРешение |
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 3 Задание 4 | |
| 3486 | При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,93. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 гРешение |
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 1 Задание 4 | |
| 3450 | Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что извлечённый наугад кубик будет иметь хотя бы одну окрашенную граньРешение |
Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера ! Тренировочный вариант 397 от Ларина Задание 4 | |
| 3315 | Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45 % этих стёкол, вторая — 55 %. Среди стекол, произведенных на первой фабрике, 3 % имеют дефекты. Вторая фабрика выпускает 1 % дефектных стекол. Все стекла поступают в продажу в магазины запчастей. Найдите вероятность того, что случайно выбранное стекло окажется с дефектомРешение |
Среди стекол, произведенных на первой фабрике, 3 % имеют дефекты ! Тренировочная работа №3 по Математике 11 класс 16.02.2022 Вариант МА2110311 Задание 10 | |
| 3303 | За круглый стол на 6 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 3 девочки. Найдите вероятность того, что рядом с любым мальчиком будут сидеть две девочкиРешение |
За круглый стол на 6 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 3 девочки ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 31 Задание 10 | |
| 3302 | В кафе на одной полке в случайном порядке стоят 50 чайных чашек: 30 зелёных, 10 красных и 10 синих. На другой полке в случайном порядке стоят 50 блюдец: 30 зелёных, 10 красных и 10 синих. Найдите вероятность того, что случайно выбранные чашка и блюдце будут одинакового цветаРешение |
Найдите вероятность того, что случайно выбранные чашка и блюдце будут одинакового цвета ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 30 Задание 10 | |
| 3293 | Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии играют фигурами другого цвета. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба разаРешение |
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5 ! Тренировочная работа №1 по МАТЕМАТИКЕ 10-11 класс 27.01.2022 Вариант МА2100109 Задание 10 | |
| 3284 | В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,7 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременноРешение |
В магазине три продавца ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 27 Задание 10 | |
| 3278 | Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов. Известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно четыре мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно три мишени»?Решение |
Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно четыре мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно три мишени» ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 26 Задание 10 | |
Показать ещё…
Показана страница 1 из 14
Укажите регион, чтобы мы точнее рассчитали условия доставки
Начните вводить название города, страны, индекс, а мы подскажем
Например:
Москва,
Санкт-Петербург,
Новосибирск,
Екатеринбург,
Нижний Новгород,
Краснодар,
Челябинск,
Кемерово,
Тюмень,
Красноярск,
Казань,
Пермь,
Ростов-на-Дону,
Самара,
Омск