Теория вероятности 11 класс егэ профильный уровень презентация

Слайд 1

Обучение учащихся элементам теории вероятностей при подготовке к сдаче ГИА и ЕГЭ

Слайд 2

Классическое определение вероятности Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Слайд 3

Задачи на прямое использование классического определения вероятности На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней. Решение: m =4 – число пирожков с вишней (число благоприятных исходов) n= 16 – число всех пирожков (общее число равновозможных исходов)

Слайд 4

Задачи на прямое использование классического определения вероятности В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение: m =20-8-7=5 – число гимнасток из Китая (число благоприятных исходов) n=20 – число гимнасток, которые принимают участие в чемпионате (общее число равновозможных исходов)

Слайд 5

Задачи на прямое использование классического определения вероятности Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Решение: m =10-1=9 – число участников из России за исключением Руслана Орлова (число благоприятных исходов) n=2 6-1=25 – число бадминтонистов, участвующих в чемпионате за исключением Руслана Орлова (общее число равновозможных исходов)

Слайд 6

Задачи на прямое использование классического определения вероятности В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе . Решение: Пусть Аня оказалась в некоторой группе, тогда m =21:7-1=2 – число вакантных мест в этой же группе (число благоприятных исходов) n=2 1-1=20 – число учащихся класса за исключением Ани (общее число равновозможных исходов)

Слайд 7

Задачи на прямое использование классического определения вероятности В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе. 2 способ Вероятность того, что одна из подруг окажется в одной из групп равна Вероятность того, что вторая подруга окажется в этой же группе равна Поскольку все 7 групп равноправны, то вероятность попасть в одну группу равна

Слайд 8

Задачи на прямое использование классического определения вероятности В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе. 3 способ Используем формулы комбинаторики:

Слайд 9

Задачи на прямое использование классического определения вероятности В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в разных группах . Решение: События А – « подруги окажутся в одной группе » и В- « подруги окажутся в разных группах » являются противоположными. В этом случае P(A)=1-P(B) .

Слайд 10

Задачи на прямое использование классического определения вероятности В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Комбинации в выпадении очков на кубиках: 1 – 1 2 – 1 3 – 1 4 – 1 5 – 1 6 — 1 1 – 2 2 – 2 3 – 2 4 – 2 5 – 2 6 — 2 1 – 3 2 – 3 3 – 3 4 – 3 5 – 3 6 — 3 1 – 4 2 – 4 3 – 4 4 – 4 5 – 4 6 — 4 1 – 5 2 – 5 3 – 5 4 – 5 5 – 5 6 — 5 1 – 6 2 – 6 3 – 6 4 – 6 5 – 6 6 — 6 Жирным шрифтом выделены комбинации, в которых сумма очков равна 8.

Слайд 11

Задачи на прямое использование классического определения вероятности Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза . Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда Возможные комбинации жребия: 000 001 010 011 100 101 110 111 Жирным шрифтом выделены благоприятные комбинации.

Слайд 12

Задачи на прямое использование классического определения вероятности В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет все три раза. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно три раза.

Слайд 13

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз Возможные исходы: О – О О – Р Р – Р Р – О Жирным шрифтом выделены благоприятные исходы

Слайд 14

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет все три раза. Общее число исходов найдем по формуле Число благоприятных исходов

Слайд 15

В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно три раза. Общее число исходов найдем по формуле Число благоприятных исходов: О-О-О-Р О-О-Р-О О-Р-О-О Р-О-О-О

Слайд 16

Задачи на прямое использование классического определения вероятности Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. m=100 n=100+8=108 m=100 0 -5=9 9 5 n=100 0

Слайд 17

Основные понятия События А и В называются совместными , если они могут произойти оба в результате одного опыта. События А и В называются несовместными , если в результате испытания они никогда не могут наступить вместе

Слайд 18

Примеры совместных и несовместных событий Совместные события Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени: событие А – попадание первого стрелка, событие В – попадание второго стрелка. Несовместные события Подбрасываем игральный кубик: событие А – выпадение 1, событие В – выпадение 5.

Слайд 19

Сумма событий Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Если из орудия произведены два выстрела: событие А — попадание при первом выстреле, событие В — попадание при втором выстреле, то событие А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

Слайд 20

Теорема о сумме несовместных событий Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Слайд 21

Использование теоремы о сумме несовместных событий На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Ответ: 0,35 Решение: Пусть событие А – достанется вопрос по теме «Вписанная окружность», событие В – достанется вопрос по теме «Параллелограмм», событие А+В – достанется вопрос по одной из этих тем. События А и В – несовместные, следовательно P(A + B) =P(A) + P(B). P(A + B) = 0 ,2+0,15=0, 35

Слайд 22

Теорема о сумме совместных событий Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB) .

Слайд 23

Пример использования теоремы о сумме совместных событий В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение: Пусть А – кофе закончится в 1 автомате, В – кофе закончится во 2 автомате, А*В – кофе закончится в обоих автоматах, событие А+В – кофе закончится хотя бы в одном автомате, событие A+B – кофе останется в обоих автоматах. Тогда P(A)=P(B)=0, 25 , P(A*B)=0,1 5 События А и В – совместные, следовательно P(A+B)=0, 25 +0, 25 -0,1 5 =0, 35. Таким образом P(A + B) = 1-0, 35 =0, 6 5

Слайд 24

Произведение событий Произведением двух событий А и В называют событие А*В, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А — деталь годная, В — деталь окрашенная, то А * В — деталь годна и окрашена. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С — появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то А * В * С — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Слайд 25

Основные понятия Два события называют независимыми , если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми . На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

Слайд 26

Теорема о произведении независимых событий Теорема. В случае независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий Р (А*В) = Р (А) * Р (В)

Слайд 27

Использование теоремы о произведении независимых событий Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Решение: Пусть событие А – выигрыш А. белыми фигурами , событие В – выигрыш А. черными фигурами, событие А*В – выигрыш А. разными фигурами. События А и В – независимые, следовательно P(A*B) =P(A)*P(B). P(A*B) = 0,52*0,3=0, 156

Слайд 28

Формула полной вероятности Пусть событие может произойти вместе с одним из независимых событий Обозначим через событие — «событие произошло вместе с . Тогда справедлива формула

Слайд 29

Пример решения задач с использованием теорем о вероятностях событий Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. P ( A+B)=P(A)+P(B)= =0,03*0,45+0,01*0,55= =0,019

Слайд 30

Пример решения задач с использованием теорем о вероятностях событий Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Слайд 31

Пример решения задач с использованием теорем о вероятностях событий A – пациент болен и анализ правильный, B – пациент здоров и анализ не правильный P(A)=0,05*0,9=0,045 P(B)=0,95*0,01=0,0095 События А и В – несовместные P(A+B)=0,045+0,0095= =0,0545 Пациент Болен гепатитом 5% Не болен гепатитом 100-5=95% Положительный результат 0,9 Ложный положительный результат 0,01

Слайд 32

Пример решения задач с использованием теорем о вероятностях событий Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0, 82 . Вероятность того, что окажется меньше 1 0 пассажиров, равна 0,5 1 . Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 1 0 до 1 7 . События A и B – несовместные, следовательно 0,82=0,51+x . Значит x=0,31

Слайд 33

Пример решения задач с использованием теорем о вероятностях событий В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах. Ответ: 0,6 Пусть А – событие «пятирублевые монеты в разных карманах» Наступление события А возможно лишь в трех случаях (три результата перекладывания монет): 5,10,10; 10,5,10 или 10,10,5. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

Слайд 34

Пример решения задач с использованием теорем о вероятностях событий В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение: Пусть А – неисправен 1 автомат, В – неисправен 2 автомат, А*В – неисправны оба автомата, событие А*В – исправен хотя бы один автомат. Тогда P(A)=P(B)=0, 05 , События А и В – независимы P(A*B)=0, 05*0,05=0,0025 Таким образом P(A * B) = 1-0, 0025 =0, 997 5

Слайд 35

Статистическая вероятность Относительной частотой W(A) события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М , в которых событие А произошло, к числу N всех проведенных испытаний . При этом число М называют частотой события А Статистической вероятностью называют число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний

Слайд 36

Пример решения задачи Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается относительная частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе? Решение. A — событие «гарантийный ремонт» Частота события A равна М =51, число испытаний N =1000. Тогда относительная частота события «гарантийный ремонт» равна . Тогда

Слайд 37

Примеры решения задач с костями Задача. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 9. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых. Пусть А – событие «за два броска выпало более 9 очков» Наступление события А возможно лишь в трех случаях : выпало 10;11;12 очков. Пусть — выпало в сумме 10 очков. Это возможно только в трех случаях 4+6, 6+4, 5+5. Значит , Пусть — выпало в сумме 11 очков. Это возможно только в двух случаях 5+6, 6+5. Следовательно, Пусть — выпало в сумме 12 очков. Это возможно только в случае 6+6. Поэтому, Поскольку и события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий :

Слайд 38

Испытание — бросание кубика. Выпадение восьми очков при двукратном бросании кубика возможно только при следующих результатах испытаний: 2+6, 6+2, 3+5, 5+3, 4+4. Тогда событию А — «выпало восемь очков и хотя бы раз 4» благоприятствует один исход ( m=1 ) , всего исходов пять ( n=5 ) . По определению вероятности получаем, что При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 8 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 4 очка?

Слайд 39

Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 4». Испытание — двукратное бросание кубика. Возможные исходы испытания занесем в таблицу: (1 ;1) ( 3;1) ( 4;1) ( 5;1) ( 6;1) (1 ;3) ( 3;3) ( 4;3) ( 5;3) ( 6;3) (1 ;4) ( 3;4) ( 4;4) ( 5;4) ( 6;4) (1 ;5) ( 3;5) ( 4;5) ( 5;5) ( 5;6) (1 ;6) ( 3;6) ( 4;6) ( 5;6) ( 6;6) Здесь m=2, n=25, следовательно, по определению получаем

Слайд 40

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечетные числа 1,3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик? Для удобства будем различать обозначения «троек» и «пятерок» на каждом из кубиков. Пусть на первом кубике это будут 3 и 5, а на втором — 3 , 3 , 5 , 5 . Тогда возможные наборы в двух испытаниях будут: ( 3 ,5) (5,3) ( 3 , 5 ) ( 5 , 3 ) ( 3 , 5 ) ( 5 , 3 ) ( 3 , 5 ) ( 5 , 3 ) ( 3 , 5 ) ( 5 , 3 ) Для события А — «бросали первый кубик» благоприятствуют только пары черного цвета ( m=2 ) , всего же видим десять пар ( n=10 ) Таким образом,

Слайд 41

Схема решения задач по теории вероятности Выяснить, в чем состоит рассматриваемое в задаче испытание. Обозначьте буквами события, рассматриваемые в условии задачи. С помощью введенных обозначений выразите событие, вероятность наступления которого необходимо найти. * Если требуется найти вероятность суммы событий , выясните, совместны или несовместны рассматриваемые события. * Если же требуется найти вероятность произведения событий , выясните, зависимы или независимы рассматриваемые события. Выберите соответствующую условию задачи формулу и вы­полните необходимые вычисления.

Слайд 42

Полезно почитать по теме https://self-edu.ru/books/dwn.php?filename=balak_scool https://www.mathedu.ru/text/lyutikas_fakultativnyy_kurs_po_teorii_veroyatnostey_1990/_tp.pdf

1. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Обозначим через А событие «команда России во второй группе». Тогда количество благоприятных событий m = 4 (четыре карточки с номером 2), а общее число равновозможных событий n = 16 (16 карточек).

Ответ: 0,25.

2. В чемпионате мира участвуют 15 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по три команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Италии окажется в третьей группе?

Решение: Обозначим через А событие «команда Италии в третьей группе». Тогда количество благоприятных событий m = 3 (три карточки с номером 3), а общее число равновозможных событий n = 15 (15 карточек).

Ответ: 0,2.

3. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 80 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Ответ: 0,25.

4. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов – первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Ответ: 0,16.

5. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Ответ: 0,225.

6. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 5 прыгунов из Испании и 3 прыгуна из Бразилии. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что сорок вторым будет выступать прыгун из Испании.

Ответ: 0,1.

7. В классе 21 шестиклассник, среди них два друга – Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в одной и той же группе.

Решение: В каждой группе 7 человек. Будем считать, что Митя уже занял место в одной группе. Обозначим через А событие «Петя оказался в той же группе». Для Пети останется n = 20 свободных мест, из них m = 6 мест.

Ответ: 0,3.

8. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

Решение: Общее число случаев (число участников, исключая самого Руслана Орлова) n = 26 – 1 = 25.

Число благоприятных случаев (число участников из России, исключая самого Руслана Орлова)

m = 10 – 1 = 9.

Ответ: 0,36.

9. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (одним из выстрелов).

Ответ: 0,84.

10. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стёкол, вторая – 75%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стёкол, а вторая – 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Ответ: 0,025.

11. Два завода выпускают одинаковые автомобильные предохранители. Первый завод выпускает 40% предохранителей, второй – 60%. Первый завод выпускает 4% предохранителей, а второй – 3%. Найдите вероятность того, что случайно выбранный в магазине предохранитель окажется бракованным.

Ответ: 0,034.

12. На соревнования по метанию ядра приехали 5 спортсменов из Сербии, 7 из Хорватии и 3 из Норвегии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым будет выступать спортсмен из Норвегии

Решение: Общее число случаев (число всех спортсменов) n = 15. Число благоприятных случаев (число спортсменов из Норвегии) m = 3.

Ответ: 0,2.

13. Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадёт в точку G.

A

C

G

H

F

B

D

E

К

Ответ: 0,125.

14. Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Решение: Обозначим через A событие «начинает игру Петя». Тогда количество благоприятствующих исходов m = 1, а общее число равновозможных исходов n (начинает игру Петя, начинает игру Вася, начинает игру Коля, начинает игру Лёша).

Ответ: 0,125.

15. Катя дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.

Общее число случаев n = 5 ((1,5); (5,1); (2,4); (4,2); (3,3)). Число благоприятных случаев (комбинации (1,5); (5,1)) m = 2.

Ответ: 0,4.

Решение:

16. Люда дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 5 очков.

Решение: Общее число случаев n = 4 ((3,6); (4,5); (5,4); (6,3)). Число благоприятных случаев m = 1 (комбинация (5,4)).

Ответ: 0,25.

17. Таня и Нина играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что Таня выиграла.

Решение: Общее число случаев n = 5 ((1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1)). Число благоприятных случаев m = 2 (комбинации (1,5); (2,4) или (4,2); (5,1)).

Ответ: 0,4.

18. Найдите вероятность того, что при бросании двух кубиков на каждом выпадет менее 4 очков.

Ответ: 0,25.

19. При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало меньше 3 очков.

Решение: Общее число случаев n = 5 (комбинации (1,5); (5,1); (2,4); (4,2); (3,3)). Число благоприятных случаев (комбинации (1,5); (2,4)) m = 2.

Ответ: 0,4.

20. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Меркурий» по очереди играет с командами «Марс», «Юпитер» и «Уран». Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда «Меркурий».

Ответ: 0,125.

Ответ: 0,125.

2 способ решения:

21. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Хуторянка» по очереди играет с командами «Радуга», «Дружба», «Заря» и «Воля». Найдите вероятность того, что команда «Хуторянка» будет первой владеть мячом только в первых двух играх.

Ответ: 0,0625.

22. Перед началом матча по водному поло судья устанавливает мяч в центр бассейна, и от каждой команды к мячу плывёт игрок, чтобы первым завладеть мячом. Вероятность выиграть мяч у игроков равны. Команда «Русалочка» по очереди играет с командами «Наяда», «Ундина» и «Ариэль». Найдите вероятность того, что во втором матче команда «Русалочка» выиграет мяч в начале игры, а в двух других проиграет

Ответ: 0,125.

23. В некоторой местности утро в июле может быть либо ясным, либо пасмурным. Наблюдения показали:

1) Если июльское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.

2) Если июльское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,5.

3) Вероятность того, что утро в июле будет пасмурным, равна 0,2.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июльский день дождя не будет.

Ответ: 0,82.

24. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение: Первый способ. Обозначим через А событие «кофе закончится в первом автомате», через В событие «кофе закончится во втором автомате». Событие С «кофе закончится хотя бы в одном автомате» является их суммой С = А + В.

Ответ: 0,52.

Решение: Второй способ решения задачи 16.

25. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос о производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не встретится вопрос о производной.

Решение: Общее число случаев (всего билетов)

n = 20. Число благоприятных случаев (количество билетов, в которых не встречается вопрос о производной) m = 20 – 7 = 13.

Ответ: 0,65.

26. В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября, которые должны приготовить класс к занятиям. Найдите вероятность того, что будут дежурить два мальчика.

Ответ: 0,1.

27. Валя выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

Ответ: 0,1.

Формула классической вероятности

Вероятность – есть число, характеризующее возможность наступления события.

Сумма вероятностей всех элементарных событий случайного эксперимента равна 1.

Несовместные события. Формула сложения вероятностей

Определение. События называют несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытанию

Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы – три несовместных события.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B (появление хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий: P (A+B)=P(A) +P(B).

Теорема обобщается на любое число попарно несовместных событий

Совместные события. Формула сложения вероятностей (формула для вероятности суммы двух событий в общем случае (не обязательно несовместных))

Определение. События называют совместными, если они могут происходить одновременно. Например, при бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает появление решки на другой монете.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий A и B (появление хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, то есть P (A+B)=P(A) +P(B) – P(AB).

Независимые события. Формула умножения вероятностей

Определение. Два случайных события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события называют зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(AB) = P(A) · P(B).

Использованная литература:

• ЕГЭ-2014: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авт.-сост. И.В.Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко.- Москва: АСТ: Астрель, 2014.
• А.Г.Корянов , Н.В.Надежкина. Задача В10. ЕГЭ. Математика, 2014. Элементы теории вероятностей (интернет-ресурс http://alexlarin.net/ege/2014/b102014.html‎)
• ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В/А.Л.Семёнов, И.В.Ященко и др.; под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2014.
• Источник шаблона презентации : http://pedsovet.su/load/321-1-0-32889

1.

11 класс
УМК: любой
Разработано учителем математики
МОУ «СОШ» п. Аджером
Корткеросского района Республики Коми
Мишариной Альбиной Геннадьевной

2. Содержание

• Теория
• Тип 1. Самая простая задача
• Тип 2. Задачи с бросанием
монет
• Тип 3. Задачи с игральным
кубиком
• Тип 4. Задачи на
перекладывание монет
• Тип 5. Задачи с
экзаменационными билетами
• Тип 6. Задачи с кофейным
аппаратом
• Тип 7. Задачи о стрельбе по
мишеням
• Тип 8. О выступлениях с
докладами
• Тип 9. С процентами
• Тип10. Разделение на группы
• Разные задачи
• Самостоятельная работа

3. Вспомним Теоремы сложения и умножения для двух событий

1) P(A + B) = P(A) + P(B)
(для независимых событий)
2) P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB)
(для зависимых событий)
3) P(AB) = P(A)∙P(B)

4. Вспомним

Формула классической вероятности случайных
событий:
P = N(A) : N, где
N – число всех возможных вариантов
N(A) – число благоприятных вариантов

5. Запомним

Если идёт объединение (U), т.е. союз
или, то надо вероятности «+»
Если идёт пересечение (∩), т.е. союз
и, то надо вероятности «·»

6. Тип 1. Самая простая задача

В чемпионате по гимнастике
участвуют 64 спортсменки: 20
из Японии, 28 из Китая,
остальные — из Кореи.
Порядок, в котором
выступают гимнастки,
определяется жребием.
Найдите вероятность того, что
спортсменка, выступающая
первой, окажется из Кореи.
Решение.
1) Из Кореи выступают
64 – (20 + 28) = 16
спортсменок.
2) По формуле классической
вероятности получим: P =
= 16:64 = 1:4 = 0, 25.
Ответ: 0,25

7. Задание (решаем в паре)

На чемпионате по прыжкам в воду
Решение.
выступают 40 спортсменов, среди них
6 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна
Ответ:
0,05
из Аргентины. Порядок выступлений
определяется жеребьевкой. Найдите
вероятность того, что четырнадцатым
будет выступать прыгун из Аргентины.

8. Тип 2. Задача с бросанием монет

В случайном
эксперименте
симметричную монету
бросают дважды.
Найдите вероятность
того, что орел не
выпадет ни разу.
Решение.
Способ I. Метод перебора комбинаций.
Способ II. Специальная формула
вероятности, адаптированная для
решения задач с монетами.
P = Сn по k : 2ⁿ , где 2ⁿ – число всех
возможных исходов, Сnпоk — число
сочетаний из n элементов по k, которое
вычисляется по формуле
Сnk = n! / k!(n- k)!
Т.к. n=2; k=1, то ответ: 0,25

9. Задание

В случайном
эксперименте
симметричную монету
бросают трижды.
Найдите вероятность
того, что орел не
выпадет ни разу.
Решение (Способ II):
С3 0 = 3!/0!(3-0)! = 1
P = С3 0 : 2³ = 1:8 = 0,125
Ответ: 0,125
по
по

10. Тип 3. Задача с игральным кубиком

Игральный кубик
бросили один раз.
Какова вероятность
того, что выпадет
не менее 4 очков?
Решение.
Бросаем игральный кубик один раз => 6 исходов.
Значит, у данного действия (бросание одного
игрального кубика 1 раз) всего имеется n = 6
возможных исходов.
Выписываем все благоприятные исходы: 4; 5; 6
Значит, k = 3 – число благоприятных исходов. По
формуле классической вероятности имеем:
P = 3 : 6 = 0,5.
Ответ: 0,5

11. Задание

В случайном
эксперименте бросают
две игральные кости.
Найдите вероятность
того, что в сумме
выпадет 5 очков.
Результат округлите до
сотых.
Кубик бросаем 2 раза, значит всего
имеется N = 6² = 36 возможных исходов.
Выписываем все благоприятные исходы в
виде пар чисел: (1;4), (2;3), (3;2), (4;1).
Значит, N(A) = 4 – число благоприятных
исходов.
По формуле классической вероятности
имеем: P = 4:36 = 1/9 ≈ 0,11111….
Ответ: 0,11

12. Задание

В случайном
эксперименте бросают
три игральные кости.
Найдите вероятность
того, что в сумме
выпадет 15 очков.
Результат округлите до
сотых.
Решение.
У данного действия (бросание трех
игральных костей) всего имеется
N = 6³ = 216 возможных исходов.
Выписываем все благоприятные исходы
в виде троек чисел: (6;6;3), (6;3;6), (3;6;6),
(5;5;5), (6;5;4), (5;4;6), (4;6;5).
Значит, N(A) = 7 – число благоприятных
исходов.
По формуле классической вероятности
имеем: P =7: 216 ≈ 0,032….
Ответ: 0,03

13. Задание (решаем в паре)

В случайном эксперименте
бросают три игральные
кости. Найдите
вероятность того, что в
сумме выпадет 7 очков.
Результат округлите до
сотых.
Решение.
Ответ: 0,07

14. Тип 4. Задача с перекладыванием монет

Тип 4. Задача с перекладыванием
Решение.
монет
В кармане у Андрея
было 4 монеты по 2
рубля и 2 монеты по 5
рублей. Он, не глядя,
переложил 3 монеты в
другой карман. Найти
вероятность того, что
обе монеты по 5
рублей лежат в одном
кармане.
Всего у Андрея было: 4 + 2 = 6 монет.
3 (переложенные) монеты можно
выбрать из 6 (имеющихся) монет:
С6 3 =6!/3!∙(6-3)!=20 (способами).
Т.е. N = 20.
2 монеты по 5 рублей выбираем
из двух пятирублевых монет:
2! = 2 (способами).

15.

3 монеты из 4-х монет по 2рубля
выбираем:
С4по3 =4!/3!(4-3)! = 4(способами).
По формуле классической
вероятности и правилу
произведения получим:
P = 2·4 / 20 = 0,4.
Ответ: 0,4

16. Задание (решаем в паре)

В кармане у Ольги было 6 монет
по 1 рублю и 2 монеты по 5
рублей. Она, не глядя,
переложила 4 монеты в другой
карман. Найти вероятность
того, что обе монеты по 5
рублей лежат в одном
кармане. Ответ округлите до
сотых.
Решение.
Ответ: 0,43

17. Тип 5. Задача с экзаменационными билетами

Тип 5. Задача с экзаменационными
Решение.
билетами
На экзамене по геометрии школьнику
достаётся один вопрос из списка
экзаменационных вопросов.
Вероятность того, что это вопрос на
тему «Вписанная окружность», равна
0,1. Вероятность того, что это вопрос на
тему «Тригонометрия», равна 0,35.
Вопросов, которые одновременно
относятся к этим двум темам, нет.
Найдите вероятность того, что на
экзамене школьнику достанется вопрос
по одной из этих двух тем.
Если А — вопрос на тему
«Вписанная
окружность»,
В — вопрос на тему
«Тригонометрия»,
и события А и В –
несовместны. Тогда
Р(А+В)= Р(А)+Р(В) =
= 0,1 + 0,35 = 0,45

18. Задание

Решение.
30!
30!
N C
Программа экзамена содержит
2! (30 2)! 2 28!
30 вопросов. Студент знает 20
28! 29 30
из них. Каждому студенту
29 15 435
предлагают 2 вопроса,
2
28
!
которые выбираются
случайным образом.
Отличная оценка ставится,
если студент правильно
ответил на оба вопроса.
Какова вероятность
получения «5»?
Ответ округлить до сотых.
2
30
20!
20!
N ( A) C
2! (20 2)! 2 18!
18! 19 20
19 10 190
2 18!
2
20
190 38
P( A)
0,436… 0,44
435 87

19. Задание (решаем в паре)

На экзамене по геометрии школьнику достаётся
Решение.
один вопрос из списка экзаменационных
вопросов. Вероятность того, что это вопрос
на тему «Вписанная окружность», равна 0,1.
Ответ: 0,35
Вероятность того, что это вопрос на тему
«Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов,
которые одновременно относятся к этим
двум темам, нет. Найдите вероятность того,
что на экзамене школьнику достанется
вопрос по одной из этих двух тем.

20. Тип 6. Задача с кофейными автоматами

Решение.
В торговом центре два
одинаковых автомата
продают кофе. Вероятность
того, что к концу дня в
автомате закончится кофе,
равна 0,2. Вероятность того,
что кофе закончится в обоих
автоматах, равна 0,16.
Найдите вероятность того, что
к концу дня кофе останется в
обоих автоматах.
А = {кофе закончится в первом автомате}
В = {кофе закончится во втором автомате}
С = A U B = {кофе закончится хотя бы в одном
автомате}
По условию: Р(А) = Р(В) = 0,2, Р(А ∩ В) = 0,16
По смыслу задачи события А и В являются
совместными. По формуле сложения
вероятностей совместных событий имеем:
Р(С) = Р(A U B) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В) =
= 0,2 + 0,2 – 0,16 = 0,24.
Р( A U B) = 1 – 0,24 = 0,76.
Ответ: 0,76

21. Задание (решаем в паре)

В торговом центре два одинаковых
автомата продают кофе. Вероятность
того, что к концу дня в автомате
закончится кофе, равна 0,35.
Вероятность того, что кофе закончится в
обоих автоматах, равна 0,2. Найдите
вероятность того, что к концу дня кофе
останется в обоих автоматах.
Решение.
Ответ: 0,5

22. Тип 7. Задача о стрельбе по мишеням

Биатлонист 4 раза стреляет Решение.
по мишеням. Вероятность Вероятность попадания = 0,85.
попадания в мишень при Вероятность промаха = 1 – 0,85 = 0,15.
одном выстреле равна
А = {попадание, попадание, промах,
промах}
0,85. Найдите вероятность
того, что биатлонист
События независимые. По формуле
умножения вероятностей:
первые 2 раза попал в
мишени, а последние два Р(А) = 0,85∙0,85∙0,15∙0,15 =
=0,7225∙0,0225 = 0,01625625 ≈ 0,02.
промахнулся. Результат
Ответ: 0,02
округлите до сотых.

23. Задание (решаем в паре)

Биатлонист 8 раза стреляет по
мишеням. Вероятность попадания
в мишень при одном выстреле
равна 0,8. Найдите вероятность
того, что биатлонист первые 5 раз
попал в мишень, а последние три
промахнулся. Результат округлите
до сотых.
Решение.
Ответ:

24. Тип 8. Задача о выступлениях

Конкурс исполнителей проводится 5 дней.
Всего заявлено 50 выступлений – по
одному из каждой страны. В первый
день 26 выступлений, остальные
распределены поровну между
оставшимися днями, Порядок
выступлений определяет жеребьевка.
Какова вероятность, что выступление
представителя из России состоится в
третий день конкурса.
Решение.
N = 50
N(A)=(50-26) : 4 = 6
=> Р(А)= 6 : 50=3/25
Ответ: 3/25=0,12

25. Задание (решаем в паре)

Конкурс исполнителей проводится 5 дней.
Всего заявлено 80 выступлений — по одному
от каждой страны. Исполнитель из России
тоже участвует в конкурсе. В первый день
запланировано 8 выступлений, остальные
распределены поровну между оставшимися
днями. Порядок выступлений определяется
жеребьёвкой. Какова вероятность, что
исполнитель из России будет выступать в
третий день конкурса?
Решение.
Ответ: 0,225

26. Тип 9. С процентами

Решение.
Две фабрики выпускают
1
2
одинаковые стёкла. Первая
фабрика выпускает 30% этих
70%= 0,7
30%= 0,3
стёкол, а вторая-70%. Первая
фабрика выпускает 3%
Качес. Брак
Качес.
Брак
бракованных стёкол, а вторая
4%= 0,04
0,97
0,96
3%= 0,03
-4%. Найдите вероятность
того, что случайно купленное
=>
События независимые
в магазине стекло окажется
качественным.
Р(А)=Р1+Р2= 0,3·0,97+0,7·0,96 =
= 0,291 + 0,672 = 0,963

27. Задание

В магазине три продавца.
Каждый из них занят с
клиентом с вероятностью 30%.
Найдите вероятность того, что в
случайный момент все три
продавца заняты
одновременно (считайте, что
клиенты заходят независимо
друг от друга)
Решение.
—
+
30%=0,3
=>
70%=0,7
Независимые события
Р = Р(А+В+С)=
= Р(А)+Р(В)+Р(С)=
= 0,3+0,3+0,3=0,9
=>

28. Задание

Агрофирма закупает куриные
яйца в двух домашних
хозяйствах. 60% яиц из
первого хозяйства – яйца
высшей категории, а во
втором хозяйстве – 30% яиц
высшей категории. Всего
высшей категории получается
54% яиц. Найдите вероятность
того, что яйцо, купленное у
этой агрофирмы, окажется из
второго хозяйства.
агрофирма
2
1
(1-х)
В
<=
н/в
Р=(х)
В
н/в
30%=0,3
60%=0,6
54%=0,54
Составим уравнение:
0,6·(1-х) + 0,3·х = 0,54
Ответ: 0,2

29. Задание (решаем в паре)

Агрофирма закупает куриные яйца в двух
домашних хозяйствах. 40% яиц из
первого хозяйства – яйца высшей
категории, а во втором хозяйстве – 20%
яиц высшей категории. Всего высшей
категории получается 35% яиц. Найдите
вероятность того, что яйцо, купленное у
этой агрофирмы, окажется из первого
хозяйства
Решение.
Ответ: 0,75

30. Тип 10. Деление на группы

В классе 21 человек. Среди
них два друга Андрей и
Дима. Класс случайным
образов делится на 7
групп, по 3 человека в
каждой группе. Какова
вероятность того, что
Андрей и Дима окажутся
в одной группе.
Решение.
Если взять А., то N=21-1=20.
Т.к. группа из 3-х человек, то
для Д. остаётся только 2
места, т.е. N(А)=2.
Р = N(А):N =2:20=1/10 = 0,1

31. Задание

В чемпионате по бадминтону
участвуют 26 спортсменов, среди
которых 10 – из России и в том
числе Руслан Орлов. Перед
началом первого тура чемпионата
участников разбивают на игровые
пары с помощью жребия. Какова
вероятность того, что в первом
туре Руслан Орлов будет играть с
кем-нибудь из России.
Решение.
N = 26 -1=25
N(A)(т.е. из России)= 10-1=9
Р(А)= 9 : 25 =9/25=0,36
Ответ: 0,36

32. Задание

В студенческой группе (12
девушек и 8 юношей)
разыгрываются 5
зарубежных путевок.
Какова вероятность того,
что путевки получат 3
девушки и 2 юноши?
Ответ округлить до сотых .
Решение. Всего 20 человек
20!
20!
N С
5!(20 5)! 5! 15!
16 17 18 19 20
15504
1 2 3 4 5
5
20
12!
8!
N (a) С С
3!(12 3)! 2!(8 2)!
10 11 12 7 8
6160
6
2
3
12
2
8
6160 1540
P( A)
0,397… 0,40
15504 3876

33. Задание (решаем в паре)

В классе 33 ученика, среди них две
подруги – Галя и Таня. Класс
случайным образом разбивают на 3
равные группы. Какова вероятность
того, что подруги окажутся в одной
группе.
Решение.

34. Разные задачи (о сейфе)

Преступник знает, что шифр
сейфа составлен из цифр
1,3,7,9, но не знает в
каком порядке их
набирать.
Какова вероятность того,
что преступник откроет
сейф с первой попытки?
Решение.
N=P4=4!=24
N(A)= 1
P(A)= 1 : 24 = 0,041…=0,04
Ответ: 0,04

35. Разные задачи

Из 8 учеников,
жеребьёвкой
выбирают группу,
состоящую из 2
человек
(разыгрывают 2
билета). Сколько
всего существует
различных вариантов
состава такой группы
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
8!
6! 7 8
C
2!(8 2)! 2 6!
7 4
28
1
2
8

36. Разные задачи (о точках на окружности)

На окружности
выбрано 12
точек. Сколько
существует хорд
с концами в
этих точках
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
12!
10! 11 12
С
2!(12 2)!
2 10!
11 6
66
1
2
12

37. Разные задачи (о точках на окружности)

На окружности
выбрано 9
точек.
Сколько
существует
треугольников
с вершинами в
этих точках.
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
9!
6! 7 8 9
С
3!(9 3)!
2 3 6!
7 4 3
84
1
3
9

38. Разные задачи (о расписании)

Сколькими способами
можно составить
расписание на вторник,
если изучаются 10
предметов и должно
быть 6 уроков (порядок
уроков неважен).
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
10!
10!
С
6!(10 6)! 6! 4!
6! 7 8 9 10 7 2 3 5
210
6! 2 3 4
1
6
10

39. Разные задачи (о числах)

Два ученика
одновременно
называют по одному
целому числу от 1 до
5 включительно.
Какова вероятность
того, что сумма
названных чисел
будет делится на 3.
Решение. N = 5² = 25
N(A)-?: найдем перебором
(11); (12); (13); (14); (15)
(21); (22); (23); (24); (25);
(31); (32); (33); (34); (35);
(41); (42); (43); (44); (45);
Значит N(A)=9
Р(А) = 9 : 25 = 36:100 = 0,36
(51); (52); (53); (54); (55).

40. Самостоятельная работа

Задача 1. На чемпионате по прыжкам в воду
выступают 40 спортсменов, среди них 9
прыгунов из Великобритании и 10
прыгунов из Венесуэлы. Порядок
выступлений определяется жеребьевкой.
Найдите вероятность того, что
двенадцатым будет выступать прыгун из
Венесуэлы.

41. Самостоятельная работа

Задача 2. В случайном эксперименте
бросают три игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет
9 очков. Результат округлите до сотых.

42. Самостоятельная работа

Задача 3. На экзамене по геометрии школьнику
достаётся один вопрос из списка
экзаменационных вопросов. Вероятность того,
что это вопрос на тему «Внешние углы», равна
0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Вписанная окружность», равна 0,3.
Вопросов, которые одновременно относятся к
этим двум темам, нет. Найдите вероятность
того, что на экзамене школьнику достанется
вопрос по одной из этих двух тем.

43. Самостоятельная работа

Задача 4. В торговом центре два одинаковых
автомата продают жвачку. Вероятность
того, что к концу дня в автомате закончится
жвачка, равна 0,4. Вероятность того, что
жвачка закончится в обоих автоматах,
равна 0,2. Найдите вероятность того, что к
концу дня жвачка останется в обоих
автоматах.

44. Самостоятельная работа

Задача 5. В кармане у Маргариты было 6
монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей.
Она, не глядя, переложила 4 монеты в
другой карман. Найти вероятность того, что
обе монеты по 5 рублей лежат в одном
кармане. Ответ округлите до сотых.

45. Проверим ответы

1) 0,25
2) 0,12
3) 0,5
4) 0,4
5) 0,43
Критерии оценивания:
«5» — за 5 верных задач
«4» — за 4 верные задачи
«3» — за 3 верные задачи
«2» — если верно выполнено
менее 3-х задач

46. Интернет ресурсы

• Шаблон подготовила учитель русского языка и литературы Тихонова
Надежда Андреевна
• Задачи открытого бака заданий ЕГЭ по математике
http://cs5736.vkontakte.ru/u18303177/-14/x_bd1f87ce.jpg
http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/10/109/678/109678317_f3088__post103063013341921289892.png

Урок-лекция по теме «теория вероятности»

Задание №4 из ЕГЭ 2016.

Профильный уровень.

1 Группа: задания на использование классической формулы вероятности.

• Первый уровень сложности.

• Задание 1. В фирме такси в наличии 60 легковых автомобилей; 27 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

• Задание 2. Миша, Олег, Настя и Галя бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет не Галя.

• Задание 3. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

• Задание 4. В сборнике билетов по химии всего 15 билетов, в 6 из них встречается вопрос по теме «Кислоты». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Кислоты».

• Задание 5. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 45 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Испании и 9 прыгунов из США. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать четвёртым будет выступать прыгун из США.

• Задание 6. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов — в первый день 8 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

• Второй уровень сложности.

• Задание 1. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 теннисистов, среди которых 9 участников из России, в том числе Тимофей Трубников. Найдите вероятность того, что в первом туре Тимофей Трубников будет играть с каким-либо теннисистом из России.

• Задание 2. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 бадминтонистов, среди которых 22 спортсмена из России, в том числе Виктор Поляков. Найдите вероятность того, что в первом туре Виктор Поляков будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

• Задание 3. В классе 16 учащихся, среди них два друга — Олег и Михаил. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Олег и Михаил окажутся в одной группе.

• Задание 4. В классе 33 учащихся, среди них два друга — Андрей и Михаил. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Михаил окажутся в одной группе.

• Третий уровень сложности.

• Задание 1: На фабрике керамической посуды 20% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

• Задание 2. На фабрике керамической посуды 30% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 60% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка имеет дефект. Ответ округлите до сотых.

• Задание 3: Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая – 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

2 Группа: нахождение вероятности противоположного события.

• Задание 1. Вероятность попасть в центр мишени с расстояния 20 м у профессионального стрелка равна 0,85. Найдите вероятность не попасть в центр мишени.

• Задание 2. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

3 Группа: Нахождение вероятности наступления хотя бы одного из несовместных событий. Формула сложения вероятностей.

• Задание 1. Найти вероятность того, что при бросании кубика выпадет 5 или 6 очков.

• Задание 2. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность вытянуть цветной шар.

• Задание 3. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35.Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

• Задание 4. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,95. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,6. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 17.

• Задание 5. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

• Задание 6. Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,61. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

4 Группа: Вероятность одновременного наступления независимых событий. Формула умножения вероятностей.

• Задание 1. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

• Задание 2. Помещение освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

• Задание 3. В магазине два продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени оба продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

• Задание 4. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

• Задание 5: По отзывам покупателей, Михаил Михайлович оценил надежность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,81. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина В, равна 0,93. Михаил Михайлович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

• Задача 6: Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

5 Группа: Задачи на применение обеих формул.

• Задание 1: Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 66% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

• Задание 2. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Задание 3:

В некоторой местности наблюдения показали:

1. Если июньское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1. 2. Если июньское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,4. 3. Вероятность того, что утро в июне будет пасмурным, равна 0,3.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет.

Задание 4. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем – 0,9. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,96?

Классическое определение вероятности

Определение вероятности

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместимых событий, которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения:

m

Р =

n

Пусть k – количество бросков монеты, тогда количество всевозможных исходов: n = 2 k .

Пусть k – количество бросков кубика, тогда количество всевозможных исходов: n = 6 k .

Свойства вероятности

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице: Р(А) = 1 .

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(А) = 0 .

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: 0 ≤ Р(А) ≤ 1 .

В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

285926

Решение:

Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике, равна 11/55 =1/5 = 0,2.

Ответ: 0,2.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

282854

Решение.

Всего 4 варианта:   о; о    о; р    р; р    р; о .    

Благоприятных 2:   о; р  и р; о .  

Вероятность равна 2/4 = 1/2 = 0,5 .

Ответ: 0,5.

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

320179

Решение:

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Р = = 0,3

3

10

Ответ: 0,3.

Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

320169

Решение:

Вероятность того, что игру должен будет начинать любой из мальчиков равна

1/4 = 0,25.

В том числе и для Пети.

Ответ: 0,25.

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные − из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

282855

Решение.

Всего участвует 20 спортсменок,

из которых 20 – 8 – 7 = 5 спортсменок из Китая.

Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна 5/20 = 1/4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

282856

Решение:

1000 – 5 = 995 – насосов не подтекают.

Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна

995/1000 = 0,995.

Ответ: 0,995.

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

282857

Решение:

100 + 8 = 108 – сумок всего (качественных и со скрытыми дефектами).

Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 100/108 = 0,(925) ≈ 0,93.

Ответ: 0,93.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 − из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

282858

Решение:

Всего участвует 4 + 7 + 9 + 5 = 25 спортсменов. Вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции, равна

9/25 = 36/100 = 0,36.

Ответ: 0,36.

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов − первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

285922

Решение:

В последний день конференции запланировано

(75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов.

Вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12/75 = 4/25 = 0,16.

Ответ: 0,16.

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений − по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

285923

Решение:

В третий день конкурса запланировано

(80 – : 4 = 18 выступлений.

Вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, равна

18/80 = 9/40 = 225/1000 = 0,225.

Ответ: 0,225.

На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

285924

Решение:

Всего участвует 3 + 3 + 4 = 10 ученых.

Вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России, равна 3/10 = 0,3.

Ответ: 0,3.

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

285925

Решение:

Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из России.

Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.

Ответ: 0,36.

В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

285927

Решение:

25 – 10 = 15 – билетов не содержат вопрос по неравенствам.

Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна

15/25 = 3/5 = 0,6.

Ответ: 0,6.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.

285928

Решение:

Всего участвует 25 спортсменов.

Вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.

Ответ: 0,36.

Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 2 очка.

Решение.

В сумме на двух кубиках должно выпасть 8 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации:

2 и 6

6 и 2

3 и 5

5 и 3

4 и 4

Всего 5 вариантов. Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых при первом броске выпало 2 очка.

Такой вариант 1.

Найдем вероятность:   1/5 = 0,2.

Ответ: 0,2.

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

320178

Решение:

Количество четных цифр на клавиатуре равно 5:

0, 2, 4, 6, 8

всего же цифр на клавиатуре 10, тогда вероятность что случайно нажатая цифра будет чётной равна

5/10 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

320183

Решение:

Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер равна:

0,4 · (1 − 0,9) = 0,04

Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит непристрелянный револьвер равна:

0,6 · (1 − 0,2) = 0,48

Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

0,04 + 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй – решка).

320185

Решение.

Всего 4 варианта:   о; о    о; р    р; р    р; о .    

Благоприятных 1:   о; р .  

Вероятность равна 1/4 = 0,25 .

Ответ: 0,25.

На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

320191

Решение:

Всего в запасную аудиторию направили

250 − 120 − 120 = 10 человек.

Поэтому вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна

P = 10 : 250 = 0,04.

Ответ: 0,04.

В классе 26 человек, среди них два близнеца – Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

320192

Решение:

Пусть один из близнецов находится в некоторой группе.

Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников.

Вероятность того, что второй близнец окажется среди этих 12 человек, равна

P = 12 : 25 = 0,48.

Ответ: 0,48.

В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные – жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

320193

Решение:

Машин желтого цвета с черными надписями 23, всего машин 50. Поэтому вероятность того, что на случайный вызов приедет машина желтого цвета с черными надписями, равна:

P = 23 : 50 = 0,46.

Ответ: 0,46.

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.

320209

Решение:

На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений.

Поэтому искомая вероятность равна:

Ответ: 0,25.

Используемые материалы

• ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко.− М.: МЦНМО, 2012. − 48 с.

• ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 543 с.

• http://mathege.ru/or/ege/Main.html − Материалы открытого банка заданий по математике 2013 года

• http://reshuege.ru/ − Сайт Дмитрия Гущина

Электронное обучение (сокращение от англ.Electronic Leaming) – система электронного обучения, обучение при помощи информационных, электронных технологий.

Определение специалистов ЮНЕСКО: «E- Leaming — обучение с помощью интернета и мультимедиа». Учитель, который знаком с миром ИКТ – ключевая фигура обновляющейся школы.

Ситуация существенно изменилась с принятием и введением в действие федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС), содержащим требования к: результатам освоения основной образовательной программы; условиям реализации основной образовательной программы;структуре основной образовательной программы.

ФГОС фактически обязывают педагогов использовать в образовательном процессе ИКТ и научить их разумному и эффективному использованию учащихся. Очевидно, что ожидать от информатизации повышения эффективности и качества образования можно лишь при условии, что новые учебные продукты будут обладать некоторыми инновационными качествами. К основным инновационным качествам ЭОР относятся:

1. Обеспечение всех компонентов образовательного процесса: получение информации, практические занятия, аттестация (контроль учебных достижений);

2. Интерактивность, которая обеспечивает резкое расширение возможностей самостоятельной учебной работы за счет использования активно-деятельностных форм обучения;

3. Возможность более полноценного обучения вне аудитории.

В настоящее время современный учитель является автором-разработчиком собственных ЦОР и активным пользователем уже готовых.

Полное название комплекта ЭОР: Презентация по теме «Теория вероятностей подготовка к ЕГЭ»

Предметная область (области): математика

Тема школьного курса: «Элементы теории вероятностей»

Класс: 9-11 классы

Назначение ресурса, цель создания ресурса: материал презентации «Теория вероятностей, подготовка к ЕГЭ» является поддержкой для учителя при изучении темы «Элементы теории вероятностей», в 9-11 классах, позволяет помочь учащимся самостоятельно изучить или повторить учебный материал по теме в период подготовки к ЕГЭ.

Презентация предназначена для формирования устойчивых навыков в решении задач по теории вероятностей. Представленный материал охватывает все темы заданий по теории вероятностей из открытого банка ЕГЭ, разделен на 3 модуля в соответствии со степенью трудности предлагаемых задач. Каждый модуль содержит теоретический материал, задачи с разобранными решениями, варианты для самостоятельной работы — «Проверь себя» с ответами. Презентацию можно использовать при дистанционном обучении.

Какие УУД возможно формировать (развивать), используя данный ресурс:

Регулятивные УУД:

• планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации;
• осуществлять контроль своей самостоятельной деятельности;
• адекватно оценивать собственные успехи при изучении темы;
• планировать шаги по устранению пробелов;

Познавательные УУД:

• анализировать условие задачи (выделять числовые данные и цель — что известно, что требуется найти);
• осуществлять поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий;
• выделять необходимую информацию из теоретического материала презентации;

Коммуникативные УУД:

• организовывать самопроверку выполненной работы;
• высказывать свое мнение при обсуждении заданий;
• адекватно использовать речевые средства для решения различных коммуникативных задач;

Способы организации учебной деятельности учащихся при работе с данным ЭОР на различных этапах урока, критерии оценки:

Этап формирования новых знаний

• Включение слайдов презентации при объяснении нового материала;
• Самостоятельное изучение данной темы при дистанционном обучении;

 Критерии оценки

• ученик знает типы задач по ТВ, умеет приводить примеры задач;
• знает определение классической вероятности и умеет применять при решении задач модуля 1;
• умеет определять виды случайных событий;
• умеет применять основные теоремы ТВ;

Этап применения знаний

• знакомство с решениями ключевых задач;
• самостоятельное решение задач по модулям «Проверь себя» с последующей самопроверкой;

 Домашняя работа, дистанционное изучение темы 

• ученик использует презентацию для повторения теоретического материала, может регулировать процесс изучения   самостоятельно, а также возвращаться на предыдущие модули; 
• выполнение практических заданий.
• использовать презентацию в период подготовки к ЕГЭ;

 Критерии оценки

• Знает определения и основные теоремы ТВ;
• Умеет решать задачи из модуля 1 и модуля 2 «Проверь себя»;

Список использованных источников информации

1. Источники текстовых материалов

2. Источники мультимедийных материалов.

3. Алгебра и начала математического анализа.11 класс / Ю.М. Колягин, М.В. Шабунин – М.: Просвещение, 2011

4. ЕГЭ-2017: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авт.-сост. И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко — Москва: АСТ: Астрель, 2014.

5. http://alexlarin.net/ege/2014/b102014.html

6. http://math.reshuege.ru/test?a=catlistwstat

7. Математика, подготовка к ЕГЭ-2015, теория вероятностей, учебно-методическое пособие, Легион, Ростов- на-Дону, 2015 г.