Теория вероятности на егэ профильный уровень теория к каждому заданию егэ

Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов

$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.

Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$

В фирме такси в наличии $50$ легковых автомобилей. $35$ из них чёрные, остальные — жёлтые.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета.

Решение:

Найдем количество желтых автомобилей:

$50-35=15$

Всего имеется $50$ автомобилей, то есть на вызов приедет одна из пятидесяти. Желтых автомобилей $15$,
следовательно, вероятность приезда именно желтого автомобиля равна ${15}/{50}={3}/{10}=0,3$

Ответ:$0,3$

Противоположные события

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}↖{-}$.

$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$

Независимые события

Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих
вероятностей:

$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$

Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый
лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович
участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того,
что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.

Решения:

Вероятность $Р(А)$ — выиграет первый билет.

Вероятность $Р(В)$ — выиграет второй билет.

События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба
события, нужно найти произведение вероятностей

$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$

$Р=0,15·0,12=0,018$

Ответ: $0,018$

Несовместные события

Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)

Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

$Р = 0,3+0,18=0,48$

Ответ: $0,48$

Совместные события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.

Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий минус
вероятность их произведения:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)$

В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится
кофе, равна $0,6$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того,
что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.

Решение:

Обозначим события, пусть:

$А$ = кофе закончится в первом автомате,

$В$ = кофе закончится во втором автомате.

Тогда,

$A·B =$ кофе закончится в обоих автоматах,

$A + B =$ кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32$.

События $A$ и $B$ совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий,
уменьшенной на вероятность их произведения:

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$

Ответ: $0,88$

Источник

Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.

Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?

Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.

Орел и решка — два возможных исхода испытания.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1/2.

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.

Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных).

Вероятность четверки — тоже 1/6.

А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

Вот другой пример. В пакете 25 яблок, из них 8 — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна 8/25, а зеленое — 17/25.

Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна 8/25+17/25=1.
 

БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ

Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.

1. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Всего имеется 15 машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15, то есть 0,6.

2. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 23/25, то есть 0,92.

3. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинами известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.

Задача решается аналогично.

Ответ: 0,6.

4. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 — из России, 7 — из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.

Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 5/20 (поскольку из Китая — 5 спортсменок). Ответ: 0,25.

5. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 dotsc 100.

Каждое пятое число из данного множества делится на 5. Значит, вероятность равна 1/5.

6. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

1, 3, 5 — нечетные числа; 2,4,6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна 1/2.

Ответ: 0,5.

7. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?

Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка.

Две монеты — уже четыре исхода:

орел орел
орел решка
решка орел
решка решка

Три монеты? Правильно, 8. исходов, так как 2 cdot 2 cdot 2 = 2^3=8.

Вот они:

орел орел орел
орел орел решка
орел решка орел
решка орел орел
орел решка решка
решка орел решка
решка решка орел
решка решка решка

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.

Ответ: 3/8.

8. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.

Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего 36 возможных исходов, так как 6^2=36.

А теперь — благоприятные исходы:

2 6

3 5

4 4

5 3

6 2

Вероятность выпадения восьми очков равна 5/36 approx 0,14.

9. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре выстрела подряд.

Если вероятность попадания равна 0,9 — следовательно, вероятность промаха 0,1. Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна 0,9 cdot 0,9=0,81. А вероятность четырех попаданий подряд равна 0,9 cdot 0,9 cdot 0,9 cdot 0,9 = 0,6561.

Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей

ПОДРОБНЕЕ

Вероятность: логика перебора.

10. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя не глядя переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами 1, а десятирублевые цифрами 2 — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора 1 1 2 2 2 2.

Однако есть более простое решение:

Кодируем монеты числами: 1, 2 (это пятирублёвые), 3, 4, 5, 6 (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами 1 и 2 не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане.

Для этого составим все возможные комбинации из набора 1 2 3 4 5 6. Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 1 2 3 и 2 3 1 — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

123, 124, 125, 126…

А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — 134, а затем:

135, 136, 145, 146, 156.

Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на 1. Продолжаем:

234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Всего 20 возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами 1 и 2 не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 356 нам не подходит — она означает, что фишки 1 и 2 обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только 1, либо только 2. Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего 12 благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна 12/20.

Ответ: 0,6.

Сумма событий, произведение событий и их комбинации

11. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть p – вероятность того, что чайник прослужил больше года.

p_1 – вероятность того, что он сломается на второй год, p_2 – вероятность того, что он прослужит больше двух лет.

Очевидно, p= p_1+p_2.

Тогда p_1=p-p_2=0,93-0,87=0,06.

Ответ: 0,06.

События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.

Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

В нашей задаче события «чайник сломался на второй год работы» и «чайник работает больше двух лет» — несовместные. Чайник или сломался, или остается в рабочем состоянии.

12. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук выйдет через выход А.

Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.

Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна frac{1}{2}. Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью frac{1}{2}cdot frac{1}{2}=frac{1}{4}). На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна frac{1}{2}, а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна frac{1}{32}, то есть 0,03125.

События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.

В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.

Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.

13. (А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй — два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 — для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?

Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку 1 - 0,2 = 0,8. Для второго 1 - 0,25 = 0,75. Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью 0,8cdot0,75cdot0,8cdot0,75cdot 0,8 =0,36cdot0,8=0,288.

14. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.

Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.

Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна x. Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна 1-x.

Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% — не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.

Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% — не высшей.

Пусть случайно выбранное в магазине яйцо — из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей: 0,4 x.

Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна 0,2 (1-x).

Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.

Мы получили уравнение:

0,4 x + 0,2 (1-x) = 0,35.

Решаем это уравнение и находим, что x = 0,75 – вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.

15. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).

Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:

Если он болен гепатитом, анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. То есть анализ покажет: «есть гепатит».
Заметим, что анализ не во всех случаях выявляет гепатит у того, кто действительно им болен. С вероятностью 0,1 анализ не распознает гепатит у больного.

Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.

Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Благоприятные для этой ситуации исходы: человек болен, и анализ положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна 0,05cdot0,9 ), или человек здоров, и анализ ложный положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна 0,95cdot0,01 ). Так как события «человек болен» и «человек не болен» несовместны, то вероятность того, что результат анализа будет положительным, равна 0,05cdot0,9+0,95cdot0,01=0,0545.

Ответ: 0,0545.

16. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознание или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна 0,6 cdot 0,8.

Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна
1 - 0,5 cdot 0,3.
В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна 0,6 cdot 0,8 cdot (1 - 0,5 cdot 0,3) = 0,408. Это ответ.

Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.

Еще задачи ЕГЭ по теме «Теория вероятностей».

Смотрите также: парадокс Монти Холла.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Теория вероятности   (подготовка к ЕГЭ)

(в данном пособии представлены задания, которые вызывают у учащихся больше всего затруднений)

1. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:

1-ый способ

Пусть в первом хозяйстве агрофирма закупает x яиц, в том числе, 0,4x  яиц высшей категории, а во втором хозяйстве — y  яиц, в том числе 0,2y яиц высшей категории. Тем самым, всего агроформа закупает (x+y) яиц, в том числе (0,4x+0,2y) яиц высшей категории. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, тогда:

 

Следовательно, у первого хозяйства закупают в три раза больше яиц, чем у второго. Поэтому вероятность того, что купленное яйцо окажется из первого хозяйства равна:

Ответ: 0,75

2-ой способ

Пусть х — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда (1-х) — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:

Ответ: 0,75

2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35% этих стекол, вторая – 65%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

1-ый способ

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,35 · 0,03 = 0,0105.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,65 · 0,05 = 0,0325.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0105 + 0,0325 = 0,043.

Ответ: 0,043

2-ой способ

Если обозначить всё количество стёкол для автомобильных фар за х, то первая фабрика выпускает 0,35х стёкол, а вторая – 0,65х. Количество выпуска бракованных стёкол первой фабрикой равно 0,03∙0,35х, второй – 0,05∙0,65х. Следовательно, количество всех бракованных стёкол равно 0,03∙0,35х + 0,05∙0,65х = 0,043х. По определению, вероятность .

3. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

1-ый способ

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате, равна Р(А)=1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате, равна Р(В)=1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна P(А+В)=1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятность х = 0,52.

Ответ: 0,52

2-ой способ

Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52

4. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.

Решение:

В классе 21 учащийся. 3 равные группы — это группы по 7 человек. Пусть Вадим находится в одной из трех групп. Тогда для Олега в группе Вадима остается 6 мест из 20 возможных. Вероятность того, что Вадим Олег окажутся в одной группе, найдем по схеме вычисления классической вероятности, то есть как отношение числа «благоприятных» вариантов (их шесть) к общему числу вариантов (их количество равно двадцати). Таким образом, вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе:

 6:20 = 0,3.

Ответ: 0,3

5. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:

Вероятность того, что Джон  схватит пристрелянный револьвер .

Вероятность того, что Джон  схватит непристрелянный револьвер .

Вероятность того, что Джон  промахнется схватив пристрелянный револьвер 1-0,8=0,2.

Вероятность того, что Джон  промахнется схватив непристрелянный револьвер 1-0,2=0,8.

Вероятность того, что Джон  промахнется   

Ответ: 0,68.

6. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 9. Результат округлите до тысячных.

Решение:

Найдем общее количество исходов:

1-й бросок

2-й

бросок

3-й бросок

1-й бросок

2-й

бросок

3-й бросок

1-й бросок

2-й

бросок

3-й бросок

1

1

1

1

2

1

1

6

1

1

1

2

1

2

2

1

6

2

1

1

3

1

2

3

1

6

3

1

1

4

1

2

4

1

6

4

1

1

5

1

2

5

1

6

5

1

1

6

1

2

6

…

1

6

6

Итого с единицей 6*6=36 вариантов. Так ка на кости 6 чисел и с каждой 36 вариантов, то всего 6*36=216 исходов.

Количество исходов, при которых в результате сумма выпавших очков равняется 9, равно 25:

1-й бросок

2-й

бросок

3-й бросок

1-й бросок

2-й

бросок

3-й бросок

1-й бросок

2-й

бросок

3-й бросок

1

2

6

2

1

6

3

1

5

1

3

5

2

2

5

3

2

4

1

4

4

2

3

4

3

3

3

1

5

3

2

4

3

3

4

2

1

6

2

2

5

2

3

5

1

2

6

1

1-й бросок

2-й

бросок

3-й бросок

1-й бросок

2-й

бросок

3-й бросок

1-й бросок

2-й

бросок

3-й бросок

4

1

4

5

1

3

6

1

2

4

2

3

5

2

2

6

2

1

4

3

2

5

3

1

4

4

1

Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

Ответ: 0,116

7. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение:

Вероятность того, что батарейка неисправна, равна 0,05.
Вероятность того, что батарейка исправна, равна 1–0,05=0,95.
Вероятность того, что забракована неисправная батарейка, равна 0,96.
Вероятность того, что забракована исправная батарейка, равна 0,04.
Возможны 2 варианта:
1. батарейка будет исправна и она будет забракована : P1 = 0,95·0,04 = 0,038.
2. батарейка будет неисправной и она будет забракована P2 = 0,05·0,96 = 0,048
Так как может произойти только одно событие, находим сумма вероятностей:
Общая вероятность P = P1+P2 = 0,038+0,048 = 0,086

Ответ: 0,086

8. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/3b/3b2112c18b562b0b6ae46743f03b0731.svgРешение:

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,5 · 0,3 = 0,15.

Ответ: 0,15

9. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу 

Решение:

На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5)4 = 0,0625. 

10. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение:

Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года».

         События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:

P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем

0,93 = P(A) + 0,87.

Тем самым, для искомой вероятности имеем:

P(A) = 0,93 − 0,87 = 0,06.

Ответ: 0,06

Источник

Теория вероятностней ЕГЭ по математике

07.01.2020

Полная подборка теории и заданий для подготовки к заданиями ЕГЭ, связанным с теорией вероятности. Конечно же, этот тип заданий встречается именно в профильной математике.

Этот тип заданий встречается в ЕГЭ по математике за всего года и времена :) Поэтому материал актуален (задание может лишь менять порядковый номер, но суть одна).

  • Сборник заданий с ответами по теории вероятностей

Документы

  • Сборник теории от А до Я про задания ЕГЭ по теории вероятности PDF
  • Супер-мега ШПАРГАЛКА по теории вероятности именно для ЕГЭ (Школа Пифагора, картинка)

Все основы теории вероятностей видеоурок

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.

Источник

Задание 677

На эк­за­мен вы­не­се­но 60 во­про­сов, Ан­дрей не вы­учил 3 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный во­прос.

Ответ: 0,95

Скрыть

Андрей выучил: $$60-3=57$$ вопросов. В таком случае вероятность того, что ему попадется выученный: $$P=frac{57}{60}=0,95$$

Задание 678

В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но 20 машин: 10 чер­ных, 2 жел­тых и 8 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­це. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ней при­е­дет зе­ле­ное такси.

Ответ: 0,4

Скрыть

Для этого необходимо количество зеленых машин поделить на общее количество машин: $$P=frac{8}{20}=0,4$$

Задание 679

На та­рел­ке 16 пи­рож­ков: 7 с рыбой, 5 с ва­ре­ньем и 4 с виш­ней. Юля на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с виш­ней.

Ответ: 0,25

Скрыть

Для этого необходимо количество пирожков с вишней поделить на общее количество пирожков всех: $$P=frac{4}{16}=0,25$$

Задание 680

В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те бро­са­ют две иг­раль­ные кости. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­дет 8 очков. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Ответ: 0,14

Скрыть

Если бросается две кости одновременно, то общее количество исходов вычисляется как: $$N=6^{2}=36$$ (количество сторон предмета возводится в степень количества бросков). Исходы, при которых может получится 8 очков следующие (первое число — первый кубик, второе число — второй кубик): 2+6 ; 3+5 ; 4+4 ; 5+3 ; 6+2 — то есть $$n=5$$
$$P=frac{5}{36}approx 0,14$$

Задание 681

В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что орел вы­па­дет ровно один раз.

Ответ: 0,5

Скрыть

Всего количество исходов $$N=2^{2}=4$$(количество сторон монеты в степени равной количеству бросков), исходов, когда орел ровно один раз всего 2 (ОР и РО). Тогда вероятность составляет $$P=frac{n}{N}=0,5$$

Задание 682

В чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 20 спортс­ме­нок: 8 из Рос­сии, 7 из США, осталь­ные — из Китая. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Китая.

Ответ: 0,25

Скрыть

Количество спортсменок из Китая составляет: $$n=20-8-7=5$$
Вероятность равна отношению количество спортсменок из Китая к общему количеству спортсменок: $$P=frac{n}{N}=frac{5}{20}=0,25$$

Задание 683

При про­из­вод­стве в сред­нем на каж­дые 2982 ис­прав­ных на­со­са при­хо­дит­ся 18 не­ис­прав­ных. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный насос ока­жет­ся не­ис­прав­ным.

Ответ: 0,006

Скрыть

Общее количество насосов в таком случае составляет : $$N=2982+18=3000$$
В таком случае вероятность равна отношению количества подтекающих, к общему количеству насосов:$$P=frac{18}{3000}=0,006$$

Задание 684

Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем 8 сумок из 100 имеют скры­тые де­фек­ты. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся без де­фек­тов.

Ответ: 0,92

Скрыть

Количество сумок без дефектов: $$n=100-8=92$$
Вероятность, что будет без дефекта вычисляется как отношение количества без дефектов, к общему количеству:$$P=frac{92}{100}=0,92$$

Задание 685

В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют 4 спортс­ме­на из Фин­лян­дии, 7 спортс­ме­нов из Дании, 9 спортс­ме­нов из Шве­ции и 5 — из Нор­ве­гии. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, ко­то­рый вы­сту­па­ет по­след­ним, ока­жет­ся из Шве­ции.

Ответ: 0,36

Скрыть

Всего спортсменов: $$N=4+7+9+5=25$$. 

В таком случае вероятность того, что последний будет из Швеции вычисляется как отношение количества спортсменов из Швеции к общему количеству: $$P=frac{9}{25}=0,36$$

Задание 686

На­уч­ная кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 75 до­кла­дов — пер­вые три дня по 17 до­кла­дов, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между чет­вер­тым и пятым днями. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции?

Ответ: 0,16

Скрыть

На четвертый день запланировано: $$n=frac{75-17*3}{2}=12$$. Вероятность того, что выступление будет в последний день вычисляется как отношение количества докладов, запланированных в последний день, к общему количеству докладов: $$P=frac{12}{75}=0,16$$

Задание 687

Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­яв­ле­но 80 вы­ступ­ле­ний — по од­но­му от каж­дой стра­ны, участ­ву­ю­щей в кон­кур­се. Ис­пол­ни­тель из Рос­сии участ­ву­ет в кон­кур­се. В пер­вый день за­пла­ни­ро­ва­но 8 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние ис­пол­ни­те­ля из Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

Ответ: 0,225

Скрыть

На оставшиеся 4 дня приходится: 80-8=72 выступления. Следовательно, каждый из оставшихся дней будет проходить : $$frac{72}{4}=18$$ выступлений ( в том числе и в третий ). Тогда, вероятность выступления исполнителя из России в третий день ( как и в любой и 4 оставшихся ) составляет: $$frac{18}{80}=0,225$$

Задание 688

На кон­фе­рен­цию при­е­ха­ли 3 уче­ных из Нор­ве­гии, 3 из Рос­сии и 4 из Ис­па­нии. Каж­дый из них де­ла­ет на кон­фе­рен­ции один до­клад. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вось­мым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Рос­сии.

Ответ: 0,3

Скрыть

Общее количество исполнителей: 3+3+4=10. Исполнителей из России 3, следовательно, вероятность выступления восьмым ( как и любым другим по счету ) исполнителя из России составит: $$frac{3}{10}=0,3$$

Задание 689

Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 10 спортс­ме­нов из Рос­сии, в том числе Рус­лан Орлов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии.

Ответ: 0,36

Скрыть

Кроме Руслана Орлова из России 10-1=9 бад­мин­тонистом, а всего 26-1=25 бад­мин­тонистом. Тогда, вероятность играть с кем-либо из России у него составит: $$frac{9}{25}=0,36$$

Задание 690

В сбор­ни­ке би­ле­тов по био­ло­гии всего 55 би­ле­тов, в 11 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме «Бо­та­ни­ка». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по теме «Бо­та­ни­ка».

Ответ: 0,2

Скрыть

Для этого необходимо найти отношения количества вопросов по теме «Ботаника» к общему количеству вопросов: $$frac{11}{55}=0,2$$

Задание 691

В сбор­ни­ке би­ле­тов по ма­те­ма­ти­ке всего 25 би­ле­тов, в 10 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме «Не­ра­вен­ства». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по теме «Не­ра­вен­ства».

Ответ: 0,6

Скрыть

Найдем вероятность того, что вопрос будет по теме «Неравенства»: $$frac{10}{25}=0,4$$. Тогда вероятность противоположного события, что вопрос будет не по теме «Неравенства» составляет : $$1-0,4=0,6$$

Источник

Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ профильного уровня содержит 403 задачи на 41 странице. В статье выделены несколько типов задач по различным темам курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач скопированы с сайта ФИПИ.

1. Задачи на применение классической формулы вероятности события

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: .

Задача 1.1. В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Решение. Число благоприятных исходов – это и есть число канадских спортсменок. Их 70-(25+17) =28. Общее число исходов – 70, это количество спортсменок, участвующих в чемпионате. Итак, искомая вероятность равна 28/70 = 0,4.

Ответ: 0,4.

Замечание: решительно всё равно, какой по счёту, первой, как в условии задачи, или второй, третьей, …, семидесятой будет выступать канадская спортсменка. Искомая вероятность зависит только от количества канадских гимнасток и общего количества участниц.

Задача 1.2. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России.

Решение. Для выбранного уже по условию задачи россиянина Анатолия Москвина благоприятных исходов (его партнёр — российский теннисист) остаётся всего 6. Уменьшается на единицу и общее число всех равновозможных исходов – число спортсменов, готовых сражаться с Москвиным, их – 75. Значит, искомая вероятность равна 6/75 = 0,008.

Ответ: 0,08.

Задача 1.3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:

N исходов

Первое бросание

Второе бросание
  1.  

Решка

Решка
  1.  

Орёл

Орёл
  1.  

Орёл

Решка
  1.  

Решка

Орёл

Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно одному появлению решки) благоприятствуют исходы с номерами 3 и 4. Их два, а возможных исходов в нашем случае – 4. Стало быть, искомая вероятность равна 2/4 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет оба раза.

Решение. Благоприятному событию (А) — орёл выпадет оба раза благоприятствует один исход – номер 2 (см. задачу 1.3). Таким образом, Р(А) = 1/4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Задача 1.5. На олимпиаде по русскому языку 350 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение. Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 350-(140+140) =70. Значит, искомая вероятность равна 70/350 =0,2

Ответ: 0,2.

Задача 1.6. В группе туристов 300 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 15 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение. Способ 1. Интересующее нас событие – «турист В. полетит первым рейсом вертолёта» означает, что он попадает в число15 человек, вылетающих первым рейсом, поэтому искомая вероятность есть 15/300 = 0,05.

Способ 2. Всего рейсов 300/15 = 20. Туристу В, согласно условию задачи, подходит только один из них, значит, вероятность определяется отношением 1/20 = 0,05.

Ответ: 0,05.

Задача 1.7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится 3 сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение. Качественных сумок 100, а общее число сумок 100+3=103. Значит, вероятность вычисляется как отношение 100/103 ≈ 0,971 ≈ 0,97.

Ответ: 0,97.

Задача 1.8. В школе 51 пятиклассник, среди них — Саша и Настя. Всех пятиклассников случайным образом делят на три группы, по 17 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе.

Решение. Предполагаем, что Саша уже попал в одну из трёх групп, безразлично, какую. Для Насти, таким образом, число мест в Сашиной группе сократилось до 16, т.к. место занято Сашей. Заметим, что на единицу уменьшилось и общее число участников распределения по группам, т.к. из их числа уже исключён Саша. Таким образом, вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе, равна 16/50 = 0,32.

Ответ: 0,32.

Задача 1.9. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. При бросании двух игральных костей возможны 36 исходов испытания, т.к. любой исход испытания при бросании первой кости (1, 2, 3, 4, 5, 6) может сочетаться с любым из шести исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6) при бросании второй кости. Интересующему нас событию — в сумме выпадет 7 очков благоприятны исходы: 1 и 6, 6 и 1, 5 и 2, 2 и 5, 4 и 3, 3 и 4. Их всего – 6. Значит, искомая вероятность 6/36 = 0,1(6) ≈ 0,17.

Ответ: 0,17.

Задача 1.10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Как и в предыдущей задаче, общее число всех равновозможных исходов – 36. Благоприятными исходами будут: 6 и 3, 3 и 6, 4 и 5, 5 и 4. Их всего четыре. Вычисляем вероятность: 4/36 = 0,(1) ≈0,11.

Ответ: 0,11.

Задача 1.11. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 11 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Всех равновозможных исходов – 36. Благоприятные: 5 и 6, 6 и 5. Их два, и поэтому вероятность равна 2/36 = 1/18 ≈ 0,06.

Ответ: 0,06.

Задача 1.12. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза.

Решение. Составим таблицу, в которой символ «+» обозначит тот факт, что команда Сапфир начинает игру, а символ будет означать, что игру начинает другая команда (соперник Сапфира):

№ исходов

I команда

II команда

III команда

1 

+

+

+

2 

+

+

—

3

+

—

+

4

—

+

+

5

—

—

+

6

—

+

—

7

+

—

—

8

—

—

—

Очевидно, что интересующему нас событию А — в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза, благоприятствуют исходы с номерами 5, 6, 7, 8. Всего исходов – 8, значит, вероятность равна 4/8 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 1.13. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза.

Решение. Таблица исходов приведена в предыдущей задаче. Событию А — в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза,  благоприятствует исход с номером 1 (он – единственный). Таким образом, искомая вероятность  вычисляется как отношение 1/8 = 0,125.

Ответ: 0,125.

Задача 1.14. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.

Решение. При рассмотрении подобных задач на геометрическую вероятность полезно иметь ввиду, что один час на двенадцатичасовом циферблате занимает сектор 360o/12 = 30o. От 7 до 1 проходит 6 часов, часовая стрелка преодолевает 30o × 6 = 180o, таким образом, искомая вероятность вычисляется как 180/360 = 0,5.

С другой стороны, посмотрев на 12-часовой циферблат, можем видеть, что промежуток от 7 часов до 1 часа занимает ровно половину циферблата, значит, вероятность равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 1.15. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет все три раза.

Решение. Все возможные исходы (их 8) при трёх бросаниях представлены в таблице:

№ исхода

1-е бросание

2-е бросание

3-e бросание

1

Орёл

Орёл

Орёл

2

Орёл

Решка

Решка

3

Решка

Орёл

Решка

4

Решка

Решка

Орёл

5

Орёл

Орёл

Решка

6

Решка

Орёл

Орёл

7

Орёл

Решка

Орёл

8

Решка

Решка

Решка

Благоприятный исход один – последний: Решка-Решка-Решка. Вероятность, согласно классической формуле, равна 1/8 = 0,125.

Ответ: 0,125.

Задача 1.16. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

 
Решение. Можно составить таблицу и для четырёх бросаний симметричной монеты:

№ исхода

1-е бросание

2-е бросание

3-e бросание

4-e бросание

1

Решка

Решка

Решка

Решка

2

Решка

Решка

Решка

Орёл

3

Орёл

Решка

Решка

Решка

4

Решка

Орёл

Решка

Решка

5

Решка

Решка

Орёл

Решка

6

Решка

Решка

Орёл

Орёл

7

Орёл

Орёл

Решка

Решка

8

Орёл

Решка

Решка

Орёл

9

Решка

Орёл

Орёл

Решка

10

Решка

Орёл

Решка

Орёл

11

Орёл

Решка

Орёл

Решка

12

Решка

Орёл

Орёл

Орёл

13

Орёл

Решка

Орёл

Орёл

14

Орёл

Орёл

Решка

Орёл

15

Орёл

Орёл

Орёл

Решка

16

Орёл

Орёл

Орёл

Орёл

Число исходов равно 16. Благоприятные исходы в таблице имеют номера: 6,7,8,9,10,11. Их всего 6. Значит, вероятность равна 6/16 = 3/8 = 0.375.

Если взять на себя труд и выучить теорему Я.Бернулли, то составления таблицы можно избежать.

Теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Pn(k) того, что в серии n однородных независимых испытаний событие А наступит ровно k раз, равна:

(1).

Здесь  – число сочетаний из n элементов по k в каждом, q – вероятность события, противоположного событию А.

В условиях нашей задачи p = 1/2, q = 1 — 1/2 = 1/2,

Подставляем в формулу (1) и получаем :

Ответ: 0,375.

2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события

3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных событий

4. Задачи на применение теоремы умножения вероятностей независимых событий

Источник


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

2

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

3

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

4

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.

5

При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Like this post? Please share to your friends:
  • Теоретический экзамен пдд приложение
  • Теория вероятности на егэ видеоурок
  • Теоретический экзамен пдд беларусь
  • Теория вероятности на егэ видео
  • Теоретический экзамен пдд 2022