Теория вероятности в егэ по математике решение профильный уровень презентация - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Презентация по математике для подготовке к

Презентация по математике для подготовке к ЕГЭ (профиль)

Задачи по теории вероятностей

Презентацию подготовила учитель математики высшей категории
Сазонова Т.Ф.
г. Москва

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста

1. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение.
Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,5 · 0,3 = 0,15. Ответ: 0,15.

Вероятность того, что происходит несколько независимых событий, равна произведению вероятностей.

На рисунке изображён лабиринт.

2. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу

На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5)4 = 0,0625. Ответ: 0,0625.

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06

3. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение.
Вероятность того, что батарейка исправна, равна
1 – 0,06 = 0,94.
Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий:
0,94·0,94 = 0,8836.
Ответ: 0,8836.

Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

4. Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

Решение.
Вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется чётное число равна 0,5. Следовательно, вероятность того, что на двух местах одновременно окажутся два чётных числа равна 0,5 · 0,5=0,25. Ответ: 0,25.

События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий

События A, В и С несовместные, вероятность их суммы
равна сумме вероятностей этих событий.

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93

5. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.
Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года».
Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:
P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B),
откуда, используя данные из условия, получаем
0,93 = P(A) + 0,87.
Тем самым, для искомой вероятности имеем:
P(A) = 0,93 − 0,87 = 0,06. Ответ: 0,06.

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус

6. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 17

Решение.
Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 10 пассажиров» и В = «в автобусе от 10 до 17 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 18 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).
Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,82 = 0,51 + P(В), откуда
P(В) = 0,82 − 0,51 = 0,31. Ответ: 0,31.

В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3

7. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение.
Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна 0,33.Ответ: 0,027.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе

8. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение. Рассмотрим события А = кофе закончится в первом автомате,

Решение.
Рассмотрим события
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится во втором автомате.
Тогда
A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35 = 0,65. Ответ: 0,65.

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81

9. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.

Решение.
Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19. Ответ: 0,19.

При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965

10. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035. Ответ: 0,035.

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням

11. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение.
Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна
0,8∙0,8∙0,8∙0,2∙0,2 = 0,02048 ≈ 0,02. Ответ: 0,02.

Помещение освещается фонарём с двумя лампами

12. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение.
Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09.
Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91. Ответ: 0,91.

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели

13. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение.
Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:
Р(1) = 0,6. Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24. Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.
Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384; Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.
Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени. Ответ: 5.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов

14. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35. Ответ: 0,35.

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх

15 Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение.
Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:
Вероятность ничьей равна 1 − 0,4 − 0,4 = 0,2.

Ответ: 0,32.

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день

16. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.
Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:
P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;
P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008 P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.
Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392. Ответ: 0,392.

В магазине стоят два платёжных автомата

17. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение.
Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025.
Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975. Ответ: 0,9975.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе

18. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение. Рассмотрим события А = кофе закончится в первом автомате,

Решение.
Рассмотрим события
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится во втором автомате.
Тогда
A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52.

Приведем другое решение. Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7

Приведем другое решение.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятость х = 0,52.
Примечание.
Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, однако, по условию, эта вероятность равна 0,12.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар

19. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение.
Вероятность того, что стекло сделано на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019. Ответ: 0,019.

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера

20. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение.
Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристреляный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52.
Ответ: 0,52.

Приведем другое решение. Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристреляный револьвер и попадает из него

Приведем другое решение.
Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристреляный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах

21. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение.
Это решение можно записать коротко. Пусть х — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда 1-х — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:

Ответ: 0,75.

Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на

22. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение. В силу независимости событий, вероятность успешно сдать экзамены на лингвистику: 0,6 · 0,8 · 0,7 = 0,336, вероятность успешно сдать экзамены на коммерцию: 0,6 · 0,8 · 0,5 = 0,24, вероятность успешно сдать экзамены и на «Лингвистику», и на «Коммерцию»: 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5 = 0,168. Успешная сдача экзаменов на «Лингвистику» и на «Коммерцию» — события совместные, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Тем самым, поступить хотя бы на одну из этих специальностей абитуриент может с вероятностью 0,336 + 0,24 − 0,168 = 0,408. Ответ: 0,408.

На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект

23. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся

24. Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение.
Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Ответ: 0,07.

По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов

25. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение.
Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02. Ответ: 0,02.

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом

26. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Решение.
Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Ответ: 0,125.

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови

27. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение.
Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:

Ответ: 0,0545.

Автоматическая линия изготавливает батарейки

28. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение.
Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В = батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий.

Ответ: 0,0296.

В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей

29. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение.
Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

Ответ: 0,6.

Стрелок стреляет по мишени один раз

30 Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение.
Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Вероятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, а, стреляя второй раз, попал. Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91. Ответ: 0,91.

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти

31. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 4 часа.

Решение.
На циферблате между десятью и четырьмя часами шесть часовых делений. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна: 6:12=0,5 Ответ: 0,5.

В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,6

32. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение.
Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна 0,6 · 0,6 · 0,6 = 0,216. Ответ: 0,216.

При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968

33. При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм.

Решение.
По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 67,99 до 68,01 мм с вероятностью 0,968. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,968 = 0,032. Ответ: 0,032.

Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия

34. Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 спортсменов из России, в том числе Егор Косов. Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России.

Решение.
В первом туре Егор Косов может сыграть с 26-1=25 шахматистами, из которых 14-1=13 из России. Значит вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна
13:25=0,52. Ответ: 0,52.

За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки

35. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Решение.
Всего мест для посадки 9. Назовем девочек А и В. Посадим А на любое место. Тогда для В будет 8 вариантов для посадки, а из них только 2 благоприятных — справа от А и слева от А. Р = 2/8=1/4 Ответ: 0,25.

Источник

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок Решение задач по теории вероятностей. Модель «игральная кость»

Материал данного урока содержит задачи типа В10 ЕГЭ 2012 года и может быть использоваться учителем как на уроках математики в 9-11 классах, так и на факультативных занятиях….

Урок Решение задач по теории вероятностей. Модель «игральная кость»

Материал данного урока содержит задачи В10 ЕГЭ 2012 и безусловно может использоваться учителем как на уроках математики в 9-11 классах, так и на факультативных занятиях….

Решение задач по теории вероятностей. Подготовка к ГИА.

В данной презентации содержится подборка задач по теории вероятностей для подготовки к ГИА и ЕГЭ. Материал взят из открытого банка заданий ГИА и ЕГЭ….

Презентация к уроку «Решение задач по теории вероятностей»

Этот материал поможет в подготовке к итоговой аттестации за курс основной школы, а также будет полезным при подготовке к ЕГЭ по математике….

Подготовка к ГИА «Решение задач по теории вероятностей»

В презентация «Решение задач по теории вероятностей» представлены различные типы задач, встречающихся в вариантах ГИА, а также задачи в двух вариантах для самостоятельного решения с ответа…

Подготовка к ЕГЭ и ГИА. Решение задач по теории вероятности

Рассматривается решение 12 задач по теории вероятности….

Решение задач по теории вероятности из сборников для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ

Задачи по теории вероятности встречаются как в заданиях ОГЭ, так и в заданиях ЕГЭ, поэтому в работе рассмотрены задачи от простого до более сложного уровней.В работе Вы найдёте задачи на классич…

Источник

1. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Обозначим через А событие «команда России во второй группе». Тогда количество благоприятных событий m = 4 (четыре карточки с номером 2), а общее число равновозможных событий n = 16 (16 карточек).

Ответ: 0,25.

2. В чемпионате мира участвуют 15 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по три команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Италии окажется в третьей группе?

Решение: Обозначим через А событие «команда Италии в третьей группе». Тогда количество благоприятных событий m = 3 (три карточки с номером 3), а общее число равновозможных событий n = 15 (15 карточек).

Ответ: 0,2.

3. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 80 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Ответ: 0,25.

4. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов – первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Ответ: 0,16.

5. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Ответ: 0,225.

6. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 5 прыгунов из Испании и 3 прыгуна из Бразилии. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что сорок вторым будет выступать прыгун из Испании.

Ответ: 0,1.

7. В классе 21 шестиклассник, среди них два друга – Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в одной и той же группе.

Решение: В каждой группе 7 человек. Будем считать, что Митя уже занял место в одной группе. Обозначим через А событие «Петя оказался в той же группе». Для Пети останется n = 20 свободных мест, из них m = 6 мест.

Ответ: 0,3.

8. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

Решение: Общее число случаев (число участников, исключая самого Руслана Орлова) n = 26 – 1 = 25.

Число благоприятных случаев (число участников из России, исключая самого Руслана Орлова)

m = 10 – 1 = 9.

Ответ: 0,36.

9. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (одним из выстрелов).

Ответ: 0,84.

10. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стёкол, вторая – 75%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стёкол, а вторая – 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Ответ: 0,025.

11. Два завода выпускают одинаковые автомобильные предохранители. Первый завод выпускает 40% предохранителей, второй – 60%. Первый завод выпускает 4% предохранителей, а второй – 3%. Найдите вероятность того, что случайно выбранный в магазине предохранитель окажется бракованным.

Ответ: 0,034.

12. На соревнования по метанию ядра приехали 5 спортсменов из Сербии, 7 из Хорватии и 3 из Норвегии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым будет выступать спортсмен из Норвегии

Решение: Общее число случаев (число всех спортсменов) n = 15. Число благоприятных случаев (число спортсменов из Норвегии) m = 3.

Ответ: 0,2.

13. Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадёт в точку G.

Ответ: 0,125.

14. Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Решение: Обозначим через A событие «начинает игру Петя». Тогда количество благоприятствующих исходов m = 1, а общее число равновозможных исходов n (начинает игру Петя, начинает игру Вася, начинает игру Коля, начинает игру Лёша).

Ответ: 0,125.

15. Катя дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.

Общее число случаев n = 5 ((1,5); (5,1); (2,4); (4,2); (3,3)). Число благоприятных случаев (комбинации (1,5); (5,1)) m = 2.

Ответ: 0,4.

Решение:

16. Люда дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 5 очков.

Решение: Общее число случаев n = 4 ((3,6); (4,5); (5,4); (6,3)). Число благоприятных случаев m = 1 (комбинация (5,4)).

Ответ: 0,25.

17. Таня и Нина играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что Таня выиграла.

Решение: Общее число случаев n = 5 ((1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1)). Число благоприятных случаев m = 2 (комбинации (1,5); (2,4) или (4,2); (5,1)).

Ответ: 0,4.

18. Найдите вероятность того, что при бросании двух кубиков на каждом выпадет менее 4 очков.

Ответ: 0,25.

19. При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало меньше 3 очков.

Решение: Общее число случаев n = 5 (комбинации (1,5); (5,1); (2,4); (4,2); (3,3)). Число благоприятных случаев (комбинации (1,5); (2,4)) m = 2.

Ответ: 0,4.

20. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Меркурий» по очереди играет с командами «Марс», «Юпитер» и «Уран». Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда «Меркурий».

Ответ: 0,125.

2 способ решения:

21. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Хуторянка» по очереди играет с командами «Радуга», «Дружба», «Заря» и «Воля». Найдите вероятность того, что команда «Хуторянка» будет первой владеть мячом только в первых двух играх.

Ответ: 0,0625.

22. Перед началом матча по водному поло судья устанавливает мяч в центр бассейна, и от каждой команды к мячу плывёт игрок, чтобы первым завладеть мячом. Вероятность выиграть мяч у игроков равны. Команда «Русалочка» по очереди играет с командами «Наяда», «Ундина» и «Ариэль». Найдите вероятность того, что во втором матче команда «Русалочка» выиграет мяч в начале игры, а в двух других проиграет

Ответ: 0,125.

23. В некоторой местности утро в июле может быть либо ясным, либо пасмурным. Наблюдения показали:

1) Если июльское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.

2) Если июльское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,5.

3) Вероятность того, что утро в июле будет пасмурным, равна 0,2.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июльский день дождя не будет.

Ответ: 0,82.

24. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение: Первый способ. Обозначим через А событие «кофе закончится в первом автомате», через В событие «кофе закончится во втором автомате». Событие С «кофе закончится хотя бы в одном автомате» является их суммой С = А + В.

Ответ: 0,52.

Решение: Второй способ решения задачи 16.

25. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос о производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не встретится вопрос о производной.

Решение: Общее число случаев (всего билетов)

n = 20. Число благоприятных случаев (количество билетов, в которых не встречается вопрос о производной) m = 20 – 7 = 13.

Ответ: 0,65.

26. В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября, которые должны приготовить класс к занятиям. Найдите вероятность того, что будут дежурить два мальчика.

Ответ: 0,1.

27. Валя выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

Ответ: 0,1.

Формула классической вероятности

Вероятность – есть число, характеризующее возможность наступления события.

Сумма вероятностей всех элементарных событий случайного эксперимента равна 1.

Несовместные события. Формула сложения вероятностей

Определение. События называют несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытанию

Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы – три несовместных события.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B (появление хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий: P (A+B)=P(A) +P(B).

Теорема обобщается на любое число попарно несовместных событий

Совместные события. Формула сложения вероятностей (формула для вероятности суммы двух событий в общем случае (не обязательно несовместных))

Определение. События называют совместными, если они могут происходить одновременно. Например, при бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает появление решки на другой монете.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий A и B (появление хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, то есть P (A+B)=P(A) +P(B) – P(AB).

Независимые события. Формула умножения вероятностей

Определение. Два случайных события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события называют зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(AB) = P(A) · P(B).

Использованная литература:

ЕГЭ-2014: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авт.-сост. И.В.Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко.- Москва: АСТ: Астрель, 2014.
А.Г.Корянов , Н.В.Надежкина. Задача В10. ЕГЭ. Математика, 2014. Элементы теории вероятностей (интернет-ресурс http://alexlarin.net/ege/2014/b102014.html‎)
ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В/А.Л.Семёнов, И.В.Ященко и др.; под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2014.
Источник шаблона презентации : http://pedsovet.su/load/321-1-0-32889

Источник

1.

11 класс
УМК: любой
Разработано учителем математики
МОУ «СОШ» п. Аджером
Корткеросского района Республики Коми
Мишариной Альбиной Геннадьевной

2. Содержание

• Теория
• Тип 1. Самая простая задача
• Тип 2. Задачи с бросанием
монет
• Тип 3. Задачи с игральным
кубиком
• Тип 4. Задачи на
перекладывание монет
• Тип 5. Задачи с
экзаменационными билетами
• Тип 6. Задачи с кофейным
аппаратом
• Тип 7. Задачи о стрельбе по
мишеням
• Тип 8. О выступлениях с
докладами
• Тип 9. С процентами
• Тип10. Разделение на группы
• Разные задачи
• Самостоятельная работа

3. Вспомним Теоремы сложения и умножения для двух событий

1) P(A + B) = P(A) + P(B)
(для независимых событий)
2) P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB)
(для зависимых событий)
3) P(AB) = P(A)∙P(B)

4. Вспомним

Формула классической вероятности случайных
событий:
P = N(A) : N, где
N – число всех возможных вариантов
N(A) – число благоприятных вариантов

5. Запомним

Если идёт объединение (U), т.е. союз
или, то надо вероятности «+»
Если идёт пересечение (∩), т.е. союз
и, то надо вероятности «·»

6. Тип 1. Самая простая задача

В чемпионате по гимнастике
участвуют 64 спортсменки: 20
из Японии, 28 из Китая,
остальные — из Кореи.
Порядок, в котором
выступают гимнастки,
определяется жребием.
Найдите вероятность того, что
спортсменка, выступающая
первой, окажется из Кореи.
Решение.
1) Из Кореи выступают
64 – (20 + 28) = 16
спортсменок.
2) По формуле классической
вероятности получим: P =
= 16:64 = 1:4 = 0, 25.
Ответ: 0,25

7. Задание (решаем в паре)

На чемпионате по прыжкам в воду
Решение.
выступают 40 спортсменов, среди них
6 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна
Ответ:
0,05
из Аргентины. Порядок выступлений
определяется жеребьевкой. Найдите
вероятность того, что четырнадцатым
будет выступать прыгун из Аргентины.

8. Тип 2. Задача с бросанием монет

В случайном
эксперименте
симметричную монету
бросают дважды.
Найдите вероятность
того, что орел не
выпадет ни разу.
Решение.
Способ I. Метод перебора комбинаций.
Способ II. Специальная формула
вероятности, адаптированная для
решения задач с монетами.
P = Сn по k : 2ⁿ , где 2ⁿ – число всех
возможных исходов, Сnпоk — число
сочетаний из n элементов по k, которое
вычисляется по формуле
Сnk = n! / k!(n- k)!
Т.к. n=2; k=1, то ответ: 0,25

9. Задание

В случайном
эксперименте
симметричную монету
бросают трижды.
Найдите вероятность
того, что орел не
выпадет ни разу.
Решение (Способ II):
С3 0 = 3!/0!(3-0)! = 1
P = С3 0 : 2³ = 1:8 = 0,125
Ответ: 0,125
по
по

10. Тип 3. Задача с игральным кубиком

Игральный кубик
бросили один раз.
Какова вероятность
того, что выпадет
не менее 4 очков?
Решение.
Бросаем игральный кубик один раз => 6 исходов.
Значит, у данного действия (бросание одного
игрального кубика 1 раз) всего имеется n = 6
возможных исходов.
Выписываем все благоприятные исходы: 4; 5; 6
Значит, k = 3 – число благоприятных исходов. По
формуле классической вероятности имеем:
P = 3 : 6 = 0,5.
Ответ: 0,5

11. Задание

В случайном
эксперименте бросают
две игральные кости.
Найдите вероятность
того, что в сумме
выпадет 5 очков.
Результат округлите до
сотых.
Кубик бросаем 2 раза, значит всего
имеется N = 6² = 36 возможных исходов.
Выписываем все благоприятные исходы в
виде пар чисел: (1;4), (2;3), (3;2), (4;1).
Значит, N(A) = 4 – число благоприятных
исходов.
По формуле классической вероятности
имеем: P = 4:36 = 1/9 ≈ 0,11111….
Ответ: 0,11

12. Задание

В случайном
эксперименте бросают
три игральные кости.
Найдите вероятность
того, что в сумме
выпадет 15 очков.
Результат округлите до
сотых.
Решение.
У данного действия (бросание трех
игральных костей) всего имеется
N = 6³ = 216 возможных исходов.
Выписываем все благоприятные исходы
в виде троек чисел: (6;6;3), (6;3;6), (3;6;6),
(5;5;5), (6;5;4), (5;4;6), (4;6;5).
Значит, N(A) = 7 – число благоприятных
исходов.
По формуле классической вероятности
имеем: P =7: 216 ≈ 0,032….
Ответ: 0,03

13. Задание (решаем в паре)

В случайном эксперименте
бросают три игральные
кости. Найдите
вероятность того, что в
сумме выпадет 7 очков.
Результат округлите до
сотых.
Решение.
Ответ: 0,07

14. Тип 4. Задача с перекладыванием монет

Тип 4. Задача с перекладыванием
Решение.
монет
В кармане у Андрея
было 4 монеты по 2
рубля и 2 монеты по 5
рублей. Он, не глядя,
переложил 3 монеты в
другой карман. Найти
вероятность того, что
обе монеты по 5
рублей лежат в одном
кармане.
Всего у Андрея было: 4 + 2 = 6 монет.
3 (переложенные) монеты можно
выбрать из 6 (имеющихся) монет:
С6 3 =6!/3!∙(6-3)!=20 (способами).
Т.е. N = 20.
2 монеты по 5 рублей выбираем
из двух пятирублевых монет:
2! = 2 (способами).

15.

3 монеты из 4-х монет по 2рубля
выбираем:
С4по3 =4!/3!(4-3)! = 4(способами).
По формуле классической
вероятности и правилу
произведения получим:
P = 2·4 / 20 = 0,4.
Ответ: 0,4

16. Задание (решаем в паре)

В кармане у Ольги было 6 монет
по 1 рублю и 2 монеты по 5
рублей. Она, не глядя,
переложила 4 монеты в другой
карман. Найти вероятность
того, что обе монеты по 5
рублей лежат в одном
кармане. Ответ округлите до
сотых.
Решение.
Ответ: 0,43

17. Тип 5. Задача с экзаменационными билетами

Тип 5. Задача с экзаменационными
Решение.
билетами
На экзамене по геометрии школьнику
достаётся один вопрос из списка
экзаменационных вопросов.
Вероятность того, что это вопрос на
тему «Вписанная окружность», равна
0,1. Вероятность того, что это вопрос на
тему «Тригонометрия», равна 0,35.
Вопросов, которые одновременно
относятся к этим двум темам, нет.
Найдите вероятность того, что на
экзамене школьнику достанется вопрос
по одной из этих двух тем.
Если А — вопрос на тему
«Вписанная
окружность»,
В — вопрос на тему
«Тригонометрия»,
и события А и В –
несовместны. Тогда
Р(А+В)= Р(А)+Р(В) =
= 0,1 + 0,35 = 0,45

18. Задание

Решение.
30!
30!
N C
Программа экзамена содержит
2! (30 2)! 2 28!
30 вопросов. Студент знает 20
28! 29 30
из них. Каждому студенту
29 15 435
предлагают 2 вопроса,
2
28
!
которые выбираются
случайным образом.
Отличная оценка ставится,
если студент правильно
ответил на оба вопроса.
Какова вероятность
получения «5»?
Ответ округлить до сотых.
2
30
20!
20!
N ( A) C
2! (20 2)! 2 18!
18! 19 20
19 10 190
2 18!
2
20
190 38
P( A)
0,436… 0,44
435 87

19. Задание (решаем в паре)

На экзамене по геометрии школьнику достаётся
Решение.
один вопрос из списка экзаменационных
вопросов. Вероятность того, что это вопрос
на тему «Вписанная окружность», равна 0,1.
Ответ: 0,35
Вероятность того, что это вопрос на тему
«Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов,
которые одновременно относятся к этим
двум темам, нет. Найдите вероятность того,
что на экзамене школьнику достанется
вопрос по одной из этих двух тем.

20. Тип 6. Задача с кофейными автоматами

Решение.
В торговом центре два
одинаковых автомата
продают кофе. Вероятность
того, что к концу дня в
автомате закончится кофе,
равна 0,2. Вероятность того,
что кофе закончится в обоих
автоматах, равна 0,16.
Найдите вероятность того, что
к концу дня кофе останется в
обоих автоматах.
А = {кофе закончится в первом автомате}
В = {кофе закончится во втором автомате}
С = A U B = {кофе закончится хотя бы в одном
автомате}
По условию: Р(А) = Р(В) = 0,2, Р(А ∩ В) = 0,16
По смыслу задачи события А и В являются
совместными. По формуле сложения
вероятностей совместных событий имеем:
Р(С) = Р(A U B) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В) =
= 0,2 + 0,2 – 0,16 = 0,24.
Р( A U B) = 1 – 0,24 = 0,76.
Ответ: 0,76

21. Задание (решаем в паре)

В торговом центре два одинаковых
автомата продают кофе. Вероятность
того, что к концу дня в автомате
закончится кофе, равна 0,35.
Вероятность того, что кофе закончится в
обоих автоматах, равна 0,2. Найдите
вероятность того, что к концу дня кофе
останется в обоих автоматах.
Решение.
Ответ: 0,5

22. Тип 7. Задача о стрельбе по мишеням

Биатлонист 4 раза стреляет Решение.
по мишеням. Вероятность Вероятность попадания = 0,85.
попадания в мишень при Вероятность промаха = 1 – 0,85 = 0,15.
одном выстреле равна
А = {попадание, попадание, промах,
промах}
0,85. Найдите вероятность
того, что биатлонист
События независимые. По формуле
умножения вероятностей:
первые 2 раза попал в
мишени, а последние два Р(А) = 0,85∙0,85∙0,15∙0,15 =
=0,7225∙0,0225 = 0,01625625 ≈ 0,02.
промахнулся. Результат
Ответ: 0,02
округлите до сотых.

23. Задание (решаем в паре)

Биатлонист 8 раза стреляет по
мишеням. Вероятность попадания
в мишень при одном выстреле
равна 0,8. Найдите вероятность
того, что биатлонист первые 5 раз
попал в мишень, а последние три
промахнулся. Результат округлите
до сотых.
Решение.
Ответ:

24. Тип 8. Задача о выступлениях

Конкурс исполнителей проводится 5 дней.
Всего заявлено 50 выступлений – по
одному из каждой страны. В первый
день 26 выступлений, остальные
распределены поровну между
оставшимися днями, Порядок
выступлений определяет жеребьевка.
Какова вероятность, что выступление
представителя из России состоится в
третий день конкурса.
Решение.
N = 50
N(A)=(50-26) : 4 = 6
=> Р(А)= 6 : 50=3/25
Ответ: 3/25=0,12

25. Задание (решаем в паре)

Конкурс исполнителей проводится 5 дней.
Всего заявлено 80 выступлений — по одному
от каждой страны. Исполнитель из России
тоже участвует в конкурсе. В первый день
запланировано 8 выступлений, остальные
распределены поровну между оставшимися
днями. Порядок выступлений определяется
жеребьёвкой. Какова вероятность, что
исполнитель из России будет выступать в
третий день конкурса?
Решение.
Ответ: 0,225

26. Тип 9. С процентами

Решение.
Две фабрики выпускают
1
2
одинаковые стёкла. Первая
фабрика выпускает 30% этих
70%= 0,7
30%= 0,3
стёкол, а вторая-70%. Первая
фабрика выпускает 3%
Качес. Брак
Качес.
Брак
бракованных стёкол, а вторая
4%= 0,04
0,97
0,96
3%= 0,03
-4%. Найдите вероятность
того, что случайно купленное
=>
События независимые
в магазине стекло окажется
качественным.
Р(А)=Р1+Р2= 0,3·0,97+0,7·0,96 =
= 0,291 + 0,672 = 0,963

27. Задание

В магазине три продавца.
Каждый из них занят с
клиентом с вероятностью 30%.
Найдите вероятность того, что в
случайный момент все три
продавца заняты
одновременно (считайте, что
клиенты заходят независимо
друг от друга)
Решение.
—
+
30%=0,3
=>
70%=0,7
Независимые события
Р = Р(А+В+С)=
= Р(А)+Р(В)+Р(С)=
= 0,3+0,3+0,3=0,9
=>

28. Задание

Агрофирма закупает куриные
яйца в двух домашних
хозяйствах. 60% яиц из
первого хозяйства – яйца
высшей категории, а во
втором хозяйстве – 30% яиц
высшей категории. Всего
высшей категории получается
54% яиц. Найдите вероятность
того, что яйцо, купленное у
этой агрофирмы, окажется из
второго хозяйства.
агрофирма
2
1
(1-х)
В
<=
н/в
Р=(х)
В
н/в
30%=0,3
60%=0,6
54%=0,54
Составим уравнение:
0,6·(1-х) + 0,3·х = 0,54
Ответ: 0,2

29. Задание (решаем в паре)

Агрофирма закупает куриные яйца в двух
домашних хозяйствах. 40% яиц из
первого хозяйства – яйца высшей
категории, а во втором хозяйстве – 20%
яиц высшей категории. Всего высшей
категории получается 35% яиц. Найдите
вероятность того, что яйцо, купленное у
этой агрофирмы, окажется из первого
хозяйства
Решение.
Ответ: 0,75

30. Тип 10. Деление на группы

В классе 21 человек. Среди
них два друга Андрей и
Дима. Класс случайным
образов делится на 7
групп, по 3 человека в
каждой группе. Какова
вероятность того, что
Андрей и Дима окажутся
в одной группе.
Решение.
Если взять А., то N=21-1=20.
Т.к. группа из 3-х человек, то
для Д. остаётся только 2
места, т.е. N(А)=2.
Р = N(А):N =2:20=1/10 = 0,1

31. Задание

В чемпионате по бадминтону
участвуют 26 спортсменов, среди
которых 10 – из России и в том
числе Руслан Орлов. Перед
началом первого тура чемпионата
участников разбивают на игровые
пары с помощью жребия. Какова
вероятность того, что в первом
туре Руслан Орлов будет играть с
кем-нибудь из России.
Решение.
N = 26 -1=25
N(A)(т.е. из России)= 10-1=9
Р(А)= 9 : 25 =9/25=0,36
Ответ: 0,36

32. Задание

В студенческой группе (12
девушек и 8 юношей)
разыгрываются 5
зарубежных путевок.
Какова вероятность того,
что путевки получат 3
девушки и 2 юноши?
Ответ округлить до сотых .
Решение. Всего 20 человек
20!
20!
N С
5!(20 5)! 5! 15!
16 17 18 19 20
15504
1 2 3 4 5
5
20
12!
8!
N (a) С С
3!(12 3)! 2!(8 2)!
10 11 12 7 8
6160
6
2
3
12
2
8
6160 1540
P( A)
0,397… 0,40
15504 3876

33. Задание (решаем в паре)

В классе 33 ученика, среди них две
подруги – Галя и Таня. Класс
случайным образом разбивают на 3
равные группы. Какова вероятность
того, что подруги окажутся в одной
группе.
Решение.

34. Разные задачи (о сейфе)

Преступник знает, что шифр
сейфа составлен из цифр
1,3,7,9, но не знает в
каком порядке их
набирать.
Какова вероятность того,
что преступник откроет
сейф с первой попытки?
Решение.
N=P4=4!=24
N(A)= 1
P(A)= 1 : 24 = 0,041…=0,04
Ответ: 0,04

35. Разные задачи

Из 8 учеников,
жеребьёвкой
выбирают группу,
состоящую из 2
человек
(разыгрывают 2
билета). Сколько
всего существует
различных вариантов
состава такой группы
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
8!
6! 7 8
C
2!(8 2)! 2 6!
7 4
28
1
2
8

36. Разные задачи (о точках на окружности)

На окружности
выбрано 12
точек. Сколько
существует хорд
с концами в
этих точках
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
12!
10! 11 12
С
2!(12 2)!
2 10!
11 6
66
1
2
12

37. Разные задачи (о точках на окружности)

На окружности
выбрано 9
точек.
Сколько
существует
треугольников
с вершинами в
этих точках.
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
9!
6! 7 8 9
С
3!(9 3)!
2 3 6!
7 4 3
84
1
3
9

38. Разные задачи (о расписании)

Сколькими способами
можно составить
расписание на вторник,
если изучаются 10
предметов и должно
быть 6 уроков (порядок
уроков неважен).
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
10!
10!
С
6!(10 6)! 6! 4!
6! 7 8 9 10 7 2 3 5
210
6! 2 3 4
1
6
10

39. Разные задачи (о числах)

Два ученика
одновременно
называют по одному
целому числу от 1 до
5 включительно.
Какова вероятность
того, что сумма
названных чисел
будет делится на 3.
Решение. N = 5² = 25
N(A)-?: найдем перебором
(11); (12); (13); (14); (15)
(21); (22); (23); (24); (25);
(31); (32); (33); (34); (35);
(41); (42); (43); (44); (45);
Значит N(A)=9
Р(А) = 9 : 25 = 36:100 = 0,36
(51); (52); (53); (54); (55).

40. Самостоятельная работа

Задача 1. На чемпионате по прыжкам в воду
выступают 40 спортсменов, среди них 9
прыгунов из Великобритании и 10
прыгунов из Венесуэлы. Порядок
выступлений определяется жеребьевкой.
Найдите вероятность того, что
двенадцатым будет выступать прыгун из
Венесуэлы.

41. Самостоятельная работа

Задача 2. В случайном эксперименте
бросают три игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет
9 очков. Результат округлите до сотых.

42. Самостоятельная работа

Задача 3. На экзамене по геометрии школьнику
достаётся один вопрос из списка
экзаменационных вопросов. Вероятность того,
что это вопрос на тему «Внешние углы», равна
0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Вписанная окружность», равна 0,3.
Вопросов, которые одновременно относятся к
этим двум темам, нет. Найдите вероятность
того, что на экзамене школьнику достанется
вопрос по одной из этих двух тем.

43. Самостоятельная работа

Задача 4. В торговом центре два одинаковых
автомата продают жвачку. Вероятность
того, что к концу дня в автомате закончится
жвачка, равна 0,4. Вероятность того, что
жвачка закончится в обоих автоматах,
равна 0,2. Найдите вероятность того, что к
концу дня жвачка останется в обоих
автоматах.

44. Самостоятельная работа

Задача 5. В кармане у Маргариты было 6
монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей.
Она, не глядя, переложила 4 монеты в
другой карман. Найти вероятность того, что
обе монеты по 5 рублей лежат в одном
кармане. Ответ округлите до сотых.

45. Проверим ответы

1) 0,25
2) 0,12
3) 0,5
4) 0,4
5) 0,43
Критерии оценивания:
«5» — за 5 верных задач
«4» — за 4 верные задачи
«3» — за 3 верные задачи
«2» — если верно выполнено
менее 3-х задач

46. Интернет ресурсы

• Шаблон подготовила учитель русского языка и литературы Тихонова
Надежда Андреевна
• Задачи открытого бака заданий ЕГЭ по математике
http://cs5736.vkontakte.ru/u18303177/-14/x_bd1f87ce.jpg
http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/10/109/678/109678317_f3088__post103063013341921289892.png

Источник

Слайд 1Презентация по математике для подготовке к ЕГЭ (профиль)
Задачи по теории вероятностей
Презентацию

подготовила учитель математики высшей категории
Сазонова Т.Ф.
г. Москва

Слайд 21. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у

шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение.
Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,5 · 0,3 = 0,15. Ответ: 0,15.

Вероятность того, что происходит несколько независимых событий, равна произведению вероятностей.

Слайд 32. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке

«Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Слайд 4На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может

выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5)4 = 0,0625. Ответ: 0,0625.

Слайд 53. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине

выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение.
Вероятность того, что батарейка исправна, равна
1 – 0,06 = 0,94.
Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий:
0,94·0,94 = 0,8836.
Ответ: 0,8836.

Слайд 64. Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя

чётными цифрами?

Решение.
Вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется чётное число равна 0,5. Следовательно, вероятность того, что на двух местах одновременно окажутся два чётных числа равна 0,5 · 0,5=0,25. Ответ: 0,25.

Слайд 7События A, В и С несовместные, вероятность их суммы
равна сумме

вероятностей этих событий.

Слайд 85. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна

0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.
Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года».
Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:
P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B),
откуда, используя данные из условия, получаем
0,93 = P(A) + 0,87.
Тем самым, для искомой вероятности имеем:
P(A) = 0,93 − 0,87 = 0,06. Ответ: 0,06.

Слайд 96. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того,

что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 17

Решение.
Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 10 пассажиров» и В = «в автобусе от 10 до 17 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 18 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).
Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,82 = 0,51 + P(В), откуда
P(В) = 0,82 − 0,51 = 0,31. Ответ: 0,31.

Слайд 107. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом

с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение.
Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна 0,33.Ответ: 0,027.

Слайд 118. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов

происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.

Слайд 12Решение.
Рассмотрим события
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится

во втором автомате.
Тогда
A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35 = 0,65. Ответ: 0,65.

Слайд 139. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового

человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.

Решение.
Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19. Ответ: 0,19.

Слайд 1410. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр

будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035. Ответ: 0,035.

Слайд 1511. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень

при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение.
Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна
0,8∙0,8∙0,8∙0,2∙0,2 = 0,02048 ≈ 0,02. Ответ: 0,02.

Слайд 1612. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в

течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение.
Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09.
Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91. Ответ: 0,91.

Слайд 1713. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если

цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение.
Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:
Р(1) = 0,6. Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24. Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.
Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384; Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.
Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени. Ответ: 5.

Слайд 1814. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из

списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35. Ответ: 0,35.

Слайд 1915 Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать

хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение.
Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:
Вероятность ничьей равна 1 − 0,4 − 0,4 = 0,2.

Ответ: 0,32.

Слайд 2016. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная,

причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.
Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:
P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;
P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008 P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.
Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392. Ответ: 0,392.

Слайд 2117. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может

быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение.
Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025.
Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975. Ответ: 0,9975.

Слайд 22 18. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того,

что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Слайд 23Решение.
Рассмотрим события
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится

во втором автомате.
Тогда
A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52.

Слайд 24 Приведем другое решение.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна

1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятость х = 0,52.
Примечание.
Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, однако, по условию, эта вероятность равна 0,12.

Слайд 2519. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика

выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение.
Вероятность того, что стекло сделано на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019. Ответ: 0,019.

Слайд 2620. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9,

если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение.
Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристреляный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52.
Ответ: 0,52.

Слайд 27Приведем другое решение.
Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и

попадет из него, или если схватит непристреляный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.

Слайд 2821. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц

из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение.
Это решение можно записать коротко. Пусть х — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда 1-х — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:

Ответ: 0,75.

Слайд 2922. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать

на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение. В силу независимости событий, вероятность успешно сдать экзамены на лингвистику: 0,6 · 0,8 · 0,7 = 0,336, вероятность успешно сдать экзамены на коммерцию: 0,6 · 0,8 · 0,5 = 0,24, вероятность успешно сдать экзамены и на «Лингвистику», и на «Коммерцию»: 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5 = 0,168. Успешная сдача экзаменов на «Лингвистику» и на «Коммерцию» — события совместные, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Тем самым, поступить хотя бы на одну из этих специальностей абитуриент может с вероятностью 0,336 + 0,24 − 0,168 = 0,408. Ответ: 0,408.

Слайд 3023. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При

контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

Слайд 3124. Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся О. верно

решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение.
Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Ответ: 0,07.

Слайд 3225. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность

того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение.
Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02. Ответ: 0,02.

Слайд 3326. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы

определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Решение.
Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Ответ: 0,125.

Слайд 3427. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если

анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение.
Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:

Ответ: 0,0545.

Слайд 3528. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна,

равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение.
Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В = батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий.

Ответ: 0,0296.

Слайд 3629. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей

и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение.
Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

Ответ: 0,6.

Слайд 3730 Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок

делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение.
Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Вероятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, а, стреляя второй раз, попал. Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91. Ответ: 0,91.

Слайд 38 31. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и

перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 4 часа.

Решение.
На циферблате между десятью и четырьмя часами шесть часовых делений. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна: 6:12=0,5 Ответ: 0,5.

Слайд 3932. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом

с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение.
Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна 0,6 · 0,6 · 0,6 = 0,216. Ответ: 0,216.

Слайд 4033. При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероятность того, что диаметр

будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм.

Решение.
По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 67,99 до 68,01 мм с вероятностью 0,968. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,968 = 0,032. Ответ: 0,032.

Слайд 4134. Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на

игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 спортсменов из России, в том числе Егор Косов. Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России.

Решение.
В первом туре Егор Косов может сыграть с 26-1=25 шахматистами, из которых 14-1=13 из России. Значит вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна
13:25=0,52. Ответ: 0,52.

Слайд 4235. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются

7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Решение.
Всего мест для посадки 9. Назовем девочек А и В. Посадим А на любое место. Тогда для В будет 8 вариантов для посадки, а из них только 2 благоприятных — справа от А и слева от А. Р = 2/8=1/4 Ответ: 0,25.

Источник

Слайд 1
Автор: Захарова Т.Н.,
учитель математики
МБОУ СШ №16 г.Павлово

Нижегородской области

Решение задач на вероятность
(задание 4 профильный уровень)

Слайд 2
Схема решения задач:
Найти общее число элементарных событий ( n)
Определить,

какие элементарные события благоприятствуют событию А, и найти их число m
Найти вероятность события А по формуле

Слайд 3На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран.

Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Германии будет выступать после группы из США и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.

Задача 1

Слайд 4Для указанных стран есть 6 способов (n = 6) взаимного расположения

среди выступающих (Г – Германия, С – США, К – Китай):
Г − С − К
Г − К − С
С − Г − К
С – К – Г
К – С – Г
К – Г – С
Из них благоприятных – 2 способа (m = 2)

Ответ: 0,33

Решение задачи 1

Слайд 5В чемпионате мира участвуют 12 команд. С помощью жребия их нужно

разделить на четыре группы по три команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Канады окажется в третьей группе?

Задача 2

Слайд 6Всего элементарных событий: n = 12 Благоприятных событий (карточки с

номером 3): m = 3

Ответ: 0,25

Решение задачи 2

Слайд 7Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из

команд начнёт игру с мячом. Команда «Геолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Геолог» проиграет жребий ровно один раз.

Задача 3

Слайд 8о

р
о р о р
о р о р о р о р

О – проиграл жребий
Р – выиграл жребий

Ответ: 0,375

Решение задачи 3

Слайд 9Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при

одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до десятых.

Задача 4

Слайд 10Вероятность попадания: 0,7
Вероятность промаха: 1 — 0,7 = 0,3
Р(А)= 0,7 ∙

0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,3
Р(А)= 0,343 ∙ 0,3 = 0,1029 ≈ 0,1

Ответ: 0,1

Решение задачи 4

Слайд 11Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в

течение года равна 0,13. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Задача 5

Слайд 120,13 ∙ 0,13 = 0,0169 – вероятность того, что обе лампы

перегорят в течение года

1 — 0,0169 = 0,9831 – вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит

Ответ: 0,9831

Решение задачи 5

Слайд 13На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка

экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Задача 6

Слайд 14
0,25 + 0,15 = 0,4

Ответ: 0,4

Решение задачи 6

Слайд 15Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если

стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Задача 7

Слайд 16пистолеты

пристрелянные (р=0,2)

непристелянные (р=0,8)

попадет промахнется попадет промахнется
р=0,9 р=0,1 р=0,4 р=0,6

Р = 0,1 ∙0,2 + 0,6 ∙0,8 = 0,02 + 0,48 = 0,5
Ответ: 0,5

Решение задачи 7

Слайд 17Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна

0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Задача 8

Слайд 18батарейки

исправна(р=0,96)

неисправна (р=0,04)

не забраковали забраковали не забраковали забраковали
р=0,95 р=0,05 р=0,01 р=0,99

Р =0,05 ∙0,96 + 0,99 ∙0,04=0,048 + 0,0396= 0,0876
Ответ: 0,0876

Решение задачи 8

Слайд 19Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя

бы 8 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 5 очков, в случае ничьей — 3 очка, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Задача 9

Слайд 20В – выигрыш; Р(В) = 0,4
П – проигрыш; Р(П) = 0,4
Н

– ничья; Р(Н) = 1-(0,4 + 0,4) = 0,2
Команда выйдет в следующий круг соревнований, если две игры закончатся следующими исходами:
1) Обе игры – В, тогда Р(ВВ) = 0,4 ∙0,4 = 0,16
2) Первая игра – В, вторая – Н, тогда Р(ВН)=0,4∙0,2=0,08
3) Первая игра – Н, вторая – В, тогда Р(НВ)=0,2∙0,4=0,08
Р = 0,16 + 0,08 + 0,08 = 0,32

Ответ: 0,32

Решение задачи 9

Слайд 21Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает

55% этих стёкол, вторая — 45%. Первая фабрика выпускает 5% бракованных стёкол, а вторая — 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
бракованным.

Задача 10

Слайд 22стекло

1 фабрика

(р=0,55) 2 фабрика (р=0,45)

не бракованное бракованное не бракованное бракованное
р=0,95 р=0,05 р=0,97 р=0,03

Р =0,05 ∙0,55 + 0,03 ∙0,45= 0,0275 + 0,0135= 0,041
Ответ: 0,041

Решение задачи 10

Слайд 23В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что

к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Задача 11

Слайд 24Обозначим:
А-кофе закончится в первом автомате
B-кофе закончится во втором автомате
А∩В-кофе закончится в

обоих автоматах
Р(А)=Р(В)=0,4;

Решение задачи 11

А∩В

Противоположным событием будет — «кофе останется в обоих автоматах». Его вероятность равна
Ответ: 0,42

Слайд 25Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 75% яиц из

первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 50% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 55% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Задача 12

Слайд 26 яйца

1 хозяйство

(р=х) 2 хозяйство (р=1-х)

не высшая высшая не высшая высшая
р=0,25 р=0,75 р=0,5 р=0,5

0,75 ∙ х + 0,5 ∙ (1 – х) = 0,55
0,75х – 0,5х = 0,55 – 0,5
0,25х = 0,05
х = 0,2 Ответ: 0,2

Решение задачи 12

Слайд 27На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле

качества продукции выявляется 60% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Задача 13

Слайд 28Пусть завод произвел 100 тарелок. Качественных тарелок 80 штук (80% от

общего числа), они поступят в продажу. Дефектных тарелок 20 штук, из них в продажу поступает 40%, то есть 0,4 ∙ 20 = 8 штук.
Всего в продажу поступило
80 качественных + 8 дефектных = 88 тарелок. Вероятность купить качественную тарелку равна:

Ответ: 0,91

Решение задачи 13

Слайд 29Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на

ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию – 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Задача 14

Слайд 30Вероятность успешно сдать экзамены на лингвистику равна P1=0,6 ∙ 0,8 ∙

0,7=0,336.
Вероятность успешно сдать экзамены на коммерцию равна
P2=0,6 ∙ 0,8 ∙ 0,5=0,24.
Вероятность успешно сдать экзамены на обе специальности равна
P3=0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,8 ∙ 0,5=0,168.
Вероятность успешной сдачи хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей равна
P=P1 + P2 − P3=0,408.

Ответ: 0,408

Решение задачи 14

Слайд 31В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём

погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 14 августа погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 17 августа в Волшебной стране будет отличная погода.

Задача 15

Слайд 32Обозначение: х – хорошая погода; о – отличная погода
14.08 – х

15.08 – х (0,7) 15.08 – о (0,3)

16.08 – х (0,7) 16.08 – о (0,3) 16.08 – х (0,3) 16.08 – о (0,7)

17.08–х 17.08–о 17.08–х 17.08–о 17.08–х 17.08–о 17.08–х 17.08-о
(0,7) (0,3) (0,3) (0,7) (0,7) (0,3) (0,3) (0,7)

Р=0,7 – вероятность того, что погода сегодня будет такой же как вчера
Р=0,3 — вероятность того, что погода сегодня будет не такой же как вчера
Р=0,3 ∙0,7 ∙0,7 +0,7 ∙0,3 ∙0,7+0, 3∙0,3 ∙0,3+0,7 ∙0,7 ∙0,3=0,147+0,147+0,027+0,147=0,468
Ответ: 0,468

Решение задачи 15

Слайд 33При изготовлении подшипников диаметром 70 мм вероятность того, что диаметр будет

отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 69,99 мм, или больше, чем 70,01 мм.

Задача 16

Решение

1 – 0,968 = 0,032

Ответ: 0,032

Слайд 34Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека

окажется ниже чем 36,8 С, равна 0,75. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 С или выше.

Задача 17

Решение

1 – 0,75 = 0,25

Ответ: 0,25

Слайд 35Вероятность того, что новый тостер прослужит больше года, равна 0,91. Вероятность

того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Задача 18

Решение

0,91 – 0,89 = 0,02

Ответ: 0,02

Слайд 36Вероятность того, что на тестировании по физике учащийся Т. верно решит

больше 6 задач, равна 0,78. Вероятность того, что Т. верно решит больше 5 задач, равна 0,87. Найдите вероятность того, что Т. верно решит ровно 6 задач.

Задача 19

Решение

0,87 – 0,78 = 0,09

Ответ: 0,09

Слайд 37Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что

в понедельник в автобусе окажется меньше 22 пассажиров, равна 0,97. Вероятность того, что окажется меньше 13 пассажиров, равна 0,55. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 13 до 21.

Задача 20

Решение

0,97 – 0,55 = 0,42

Ответ: 0,42

Слайд 38Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ

выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,8. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 73% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Задача 21

Слайд 39 пациент

болен (р=0,73) не болен (р=0,27)

отрицат. положит. отрицат. положит.
р=0,2 р=0,8 р=0,98 р=0,02

Р = 0,8 ∙ 0,73 + 0,02 ∙ 0,27 = 0,584 + 0,0054 = 0,5894

Ответ: 0,5894

Решение задачи 21

Источник

Урок-лекция по теме «теория вероятности»

Задание №4 из ЕГЭ 2016.

Профильный уровень.

1 Группа: задания на использование классической формулы вероятности.

Первый уровень сложности.

Задание 1. В фирме такси в наличии 60 легковых автомобилей; 27 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Задание 2. Миша, Олег, Настя и Галя бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет не Галя.

Задание 3. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Задание 4. В сборнике билетов по химии всего 15 билетов, в 6 из них встречается вопрос по теме «Кислоты». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Кислоты».

Задание 5. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 45 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Испании и 9 прыгунов из США. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать четвёртым будет выступать прыгун из США.

Задание 6. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов — в первый день 8 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Второй уровень сложности.

Задание 1. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 теннисистов, среди которых 9 участников из России, в том числе Тимофей Трубников. Найдите вероятность того, что в первом туре Тимофей Трубников будет играть с каким-либо теннисистом из России.

Задание 2. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 бадминтонистов, среди которых 22 спортсмена из России, в том числе Виктор Поляков. Найдите вероятность того, что в первом туре Виктор Поляков будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

Задание 3. В классе 16 учащихся, среди них два друга — Олег и Михаил. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Олег и Михаил окажутся в одной группе.

Задание 4. В классе 33 учащихся, среди них два друга — Андрей и Михаил. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Михаил окажутся в одной группе.

Третий уровень сложности.

Задание 1: На фабрике керамической посуды 20% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Задание 2. На фабрике керамической посуды 30% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 60% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка имеет дефект. Ответ округлите до сотых.

Задание 3: Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая – 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

2 Группа: нахождение вероятности противоположного события.

Задание 1. Вероятность попасть в центр мишени с расстояния 20 м у профессионального стрелка равна 0,85. Найдите вероятность не попасть в центр мишени.

Задание 2. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

3 Группа: Нахождение вероятности наступления хотя бы одного из несовместных событий. Формула сложения вероятностей.

Задание 1. Найти вероятность того, что при бросании кубика выпадет 5 или 6 очков.

Задание 2. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность вытянуть цветной шар.

Задание 3. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35.Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Задание 4. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,95. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,6. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 17.

Задание 5. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Задание 6. Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,61. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

4 Группа: Вероятность одновременного наступления независимых событий. Формула умножения вероятностей.

Задание 1. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Задание 2. Помещение освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Задание 3. В магазине два продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени оба продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Задание 4. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Задание 5: По отзывам покупателей, Михаил Михайлович оценил надежность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,81. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина В, равна 0,93. Михаил Михайлович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Задача 6: Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

5 Группа: Задачи на применение обеих формул.

Задание 1: Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 66% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Задание 2. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Задание 3:

В некоторой местности наблюдения показали:

1. Если июньское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1. 2. Если июньское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,4. 3. Вероятность того, что утро в июне будет пасмурным, равна 0,3.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет.

Задание 4. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем – 0,9. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,96?

Источник

Презентация по математике для подготовке к

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста

На рисунке изображён лабиринт.

На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06

Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус

В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе

Решение. Рассмотрим события А = кофе закончится в первом автомате,

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81

При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням

Помещение освещается фонарём с двумя лампами

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день

В магазине стоят два платёжных автомата

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе

Решение. Рассмотрим события А = кофе закончится в первом автомате,

Приведем другое решение. Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах

Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на

На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект

Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся

По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови

Автоматическая линия изготавливает батарейки

В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей

Стрелок стреляет по мишени один раз

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти

В ма­га­зи­не три продавца. Каж­дый из них занят с кли­ен­том с ве­ро­ят­но­стью 0,6

При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968

Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия

За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок Решение задач по теории вероятностей. Модель «игральная кость»

Урок Решение задач по теории вероятностей. Модель «игральная кость»

Решение задач по теории вероятностей. Подготовка к ГИА.

Презентация к уроку «Решение задач по теории вероятностей»

Подготовка к ГИА «Решение задач по теории вероятностей»

Подготовка к ЕГЭ и ГИА. Решение задач по теории вероятности

Решение задач по теории вероятности из сборников для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ

1.

2. Содержание

3. Вспомним Теоремы сложения и умножения для двух событий

4. Вспомним

5. Запомним

6. Тип 1. Самая простая задача

7. Задание (решаем в паре)

8. Тип 2. Задача с бросанием монет

9. Задание

10. Тип 3. Задача с игральным кубиком

11. Задание

12. Задание

13. Задание (решаем в паре)

14. Тип 4. Задача с перекладыванием монет

15.

16. Задание (решаем в паре)

17. Тип 5. Задача с экзаменационными билетами

18. Задание

19. Задание (решаем в паре)

20. Тип 6. Задача с кофейными автоматами

21. Задание (решаем в паре)

22. Тип 7. Задача о стрельбе по мишеням

23. Задание (решаем в паре)

24. Тип 8. Задача о выступлениях

25. Задание (решаем в паре)

26. Тип 9. С процентами

27. Задание

28. Задание

29. Задание (решаем в паре)

30. Тип 10. Деление на группы

31. Задание

В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,6

Слайд 1Презентация по математике для подготовке к ЕГЭ (профиль)
Задачи по теории вероятностей
Презентацию

Слайд 7События A, В и С несовместные, вероятность их суммы
равна сумме

Слайд 12Решение.
Рассмотрим события
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится

Слайд 23Решение.
Рассмотрим события
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится

Слайд 24 Приведем другое решение.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна

Слайд 27Приведем другое решение.
Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и

Слайд 3932. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом

Слайд 1
Автор: Захарова Т.Н.,
учитель математики
МБОУ СШ №16 г.Павлово

Слайд 2
Схема решения задач:
Найти общее число элементарных событий ( n)
Определить,

Слайд 10Вероятность попадания: 0,7
Вероятность промаха: 1 — 0,7 = 0,3
Р(А)= 0,7 ∙