Теормех экзамен мфти

Расписание экзаменов

Билеты к экзамену по теоретической механике ФЭФМ

Осенний семестр

1. Кинематика точки. Закон движения, траектория, скорость и ускорение точки. Скорость и ускорение при движении точки по окружности. Скорость и ускорение точки в полярных координатах.

2. Движение точки по кривой. Сопровождающий трехгранник. Проекции скорости и ускорения на оси сопровождающего трёхгранника. Выражение кривизны траектории точки  через ее скорость и ускорение.

3. Криволинейные координаты. Разложение скорости и ускорения в локальном базисе криволинейной системы координат.

4. Матрица направляющих косинусов. Угловая скорость и угловое ускорение  подвижного базиса. Формулы Пуассона.

5. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела. Распределение скоростей в твердом теле (формула Эйлера). Распределение ускорений в твердом теле (формула Ривальса). Вращательное и осестремительное ускорения.

6. Распределение скоростей и ускорений при поступательном движении твердого тела и при вращении вокруг неподвижной оси. Плоскопараллельное движение тела. Мгновенный центр скоростей.

7. Мгновенная ось винта при общем движении твердого тела. Мгновенная ось вращения твёрдого тела с неподвижной точкой.

8. Кинематика сложного движения материальной точки. Формулы сложения скоростей и ускорений.

9. Кинематика сложного движения твердого тела. Формулы сложения угловых скоростей и угловых ускорений.

10. Задание ориентации твердого тела углами Эйлера. Кинематические формулы Эйлера.

11. Алгебра кватернионов. Основные операции и их свойства.

12. Задание ориентации твердого тела нормированным кватернионом. Присоединенное преобразование и его свойства. 

13. Геометрический смысл присоединенного преобразования над трёхмерным векторным пространством. Теорема Эйлера о конечном повороте. Параметры Родрига-Гамильтона. Формулы сложения поворотов в кватернионной форме. 

14. Угловая скорость твердого тела и кинематические уравнения вращательного движения тела в кватернионной форме (уравнения Пуассона). Интегрирование уравнений Пуассона при вращении вокруг неподвижной оси и в случае прецессионного движения.

15. Потенциальные силы. Силовая функция и потенциальная энергия. Критерий потенциальности силового поля. Консервативные силы и критерий консервативности.

16. Импульс, кинетический момент и  кинетическая энергия системы материальных точек. Формулы Кёнига.

17. Теоремы об изменении импульса, кинетического момента и кинетической энергии системы материальных точек в инерциальной системе отсчета. Законы сохранения.
18. Движение материальной точки в центральном поле сил. Первые интегралы: энергии и площадей. Интегрирование уравнений движения и уравнение траектории (в квадратурах).

19. Движение материальной точки в центральном поле сил. Формулы Бине.

20. Движение материальной точки в центральном гравитационном поле. Классификация траекторий. Законы Кеплера. 

21. Геометрия масс твёрдого тела. Момент инерции тела относительно оси, теорема Гюйгенса-Штейнера. Тензор инерции и его преобразование  при  замене координат.  Неравенство треугольника. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. 

22. Вычисление кинетической энергии и кинетического момента твёрдого тела с неподвижной точкой и при произвольном движении.

23. Динамические уравнения Эйлера твёрдого тела с неподвижной точкой. Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера). Первые интегралы. Интегрирование уравнений движения (в квадратурах). 

24. Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера). Геометрические интерпретации Пуансо и Мак-Куллага. Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера.

25. Случай Лагранжа. Первые интегралы. Интегрирование уравнений движения (в квадратурах). След оси динамической симметрии на сфере.

26. Вынужденная регулярная прецессия динамически симметричного тела с неподвижной точкой, точная формула гироскопии.

27. Механические связи и их классификация. Геометрические связи, конфигурационное пространство, число степеней свободы системы, обобщенные координаты.

28. Голономные и неголономные связи. Неголономность конька Чаплыгина.  Достаточные условия интегрируемости линейной по скоростям дифференциальной связи. 

29. Виртуальные перемещения. Идеальные связи. Принцип Даламбера-Лагранжа.

30. Обобщенные силы. Уравнения Лагранжа. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно старших производных.

31. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил, лагранжиан. Первые интегралы уравнений Лагранжа: циклический интеграл и обобщенный интеграл энергии (интеграл Пенлеве-Якоби).

Весенний семестр

1. Положения равновесия. Принцип  виртуальных перемещений. Условия равновесия голономной системы в терминах обобщенных сил. Случай потенциальных сил.

2. Основные понятия теории устойчивости. Прямой метод Ляпунова. Теорема  Ляпунова об  устойчивости  равновесия  автономной  системы.

3. Теорема  Барбашина–Красовского об  асимптотической устойчивости  равновесия  автономной  системы. Теорема  Красовского о неустойчивости  равновесия.

4. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению (без доказательства). Критерий  Рауса–Гурвица (без доказательства). Критический случай нулевого корня характеристического уравнения, точки бифуркаций, бифуркационные диаграммы. 

5. Положения равновесия натуральных лагранжевых систем. Теорема Лагранжа–Дирихле. Условия неустойчивости равновесия натуральной системы.

6. Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость положения равновесия.

7. Линеаризация уравнений Лагранжа в окрестности положения равновесия. Главные (нормальные) координаты.

8. Уравнения малых колебаний в окрестности устойчивого положения равновесия. Вековое уравнение. Общее решение уравнения малых колебаний.

9. Влияние периодических внешних воздействий на колебания консервативных систем. Случаи резонанса в вынужденных колебаниях.

10. Вынужденные колебания линейных стационарных систем под действием гармонической вынуждающей силы.  Частотные характеристики.

11. Преобразование Лежандра и его свойства.

12. Канонические переменные и гамильтониан механической системы. Уравнения Гамильтона. Гамильтониан натуральной системы.

13. Циклические переменные и циклический интеграл. Понижение порядка канонических уравнений при наличии циклического интеграла.

14. Обобщенно консервативные системы и интеграл Якоби. Понижение порядка канонических уравнений при наличии интеграла Якоби.

15. Скобки Пуассона и их свойства. Теорема Якоби–Пуассона.

16. Действие по Гамильтону. Вариационный принцип Гамильтона.

17. Преобразование лагранжиана при замене координат и времени. Теорема Эмми Нётер. 

18. Интегральные  инварианты Пуанкаре и Пуанкаре–Картана гамильтоновых систем.

19. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Сохранение фазового объема гамильтоновой системы.

20. Обратные  теоремы  теории  интегральных  инвариантов. Теорема Ли Хуа-чжуна об  интегральных инвариантах гамильтоновых систем.

21. Канонические преобразования. Локальный критерий каноничности. 

22. Производящая функция и валентность канонического преобразования. Критерий каноничности в терминах производящих функций. Правило преобразования гамильтониана. 

23. Свободные канонические преобразования, их производящие функции. Критерии каноничности и правило преобразования гамильтониана.

24. Уравнение Гамильтона–Якоби и его полный интеграл. Метод Якоби интегрирования уравнений движения гамильтоновых систем. 

25. Полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби. Теоремы об отделении координаты и времени. Метод разделения переменных. 

Материал из ВикиФизтех

Перейти к навигации
Перейти к поиску

В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики.

В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.

Для бесплатного просмотра доступны только видеолекции и тренировочные задания. Тесты на проверку откроются после оплаты сертификации. Стоимость сертификации составляет 2800 рублей.

Студентам МФТИ для получения бесплатного доступа к тестовым заданиям и экзамену необходимо написать на openedu@mipt.ru письмо с указанием названия курса, логина на openedu, и скриншотом личного кабинета, на котором виден статус обучения.

Экзамус.

Уважаемые слушатели, Вы можете сдать экзамен с прокторингом, который будет проходить на курсе раз в 2-3 месяца. Рассылка о предстоящих экзаменах будет приходить Вам на почту заранее.

Ближайшие даты экзамена с 16 по 23 марта 2023 года.

1. Кинематика точки
1.1. Задачи кинематики. Декартова система координат. Разложение вектора по ортонормированному базису. Радиус-вектор и координаты точки. Скорость и ускорение точки. Траектория движения.
1.2. Естественный трёхгранник. Разложение скорости и ускорения в осях естественного трехгранника (теорема Гюйгенса).
1.3. Криволинейные координаты точки, примеры: полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Составляющие скорости и проекции ускорения на оси криволинейной системы координат.

2. Способы задания ориентации твердого тела
2.1. Твердое тело. Неподвижная и связанная с телом системы координат.
2.2. Ортогональные матрицы поворота и их свойства. Теорема Эйлера о конечном повороте.
2.3. Активная и пассивная точки зрения на ортогональное преобразование. Сложение поворотов.
2.4. Углы конечного вращения: углы Эйлера и «самолетные» углы. Выражение ортогональной матрицы через углы конечного вращения.

3. Пространственное движение твердого тела
3.1. Поступательное и вращательное движения твердого тела. Угловая скорость и угловое ускорение.
3.2. Распределение скоростей (формула Эйлера) и ускорений (формула Ривальса) точек твердого тела.
3.3. Кинематические инварианты. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось.

4. Плоскопараллельное движение
4.1. Понятие плоскопараллельного движения тела. Угловая скорость и угловое ускорение в случае плоскопараллельного движения. Мгновенный центр скоростей.

5. Сложное движение точки и твердого тела
5.1. Неподвижная и движущаяся системы координат. Абсолютное, относительное и переносное движения точки.
5.2. Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки, относительная и переносная скорости точки. Теорема Кориолиса о сложении ускорений при сложном движении точки, относительное, переносное и кориолисово ускорения точки.
5.3. Абсолютные, относительные и переносные угловая скорость и угловое ускорение тела.

6. Движение твердого тела с неподвижной точкой (кватернионное изложение)
6.1. Понятие о комплексных и гиперкомплексных числах. Алгебра кватернионов. Кватернионное произведение. Сопряженный и обратный кватернион, норма и модуль.
6.2. Тригонометрическое представление единичного кватерниона. Кватернионный способ задания поворота тела. Теорема Эйлера о конечном повороте.
6.3. Связь между компонентами кватерниона в разных базисах. Сложение поворотов. Параметры Родрига-Гамильтона.

7. Экзаменационная работа

8. Основные понятия динамики.
8.1 Импульс, момент импульса (кинетический момент), кинетическая энергия.
8.2 Мощность сил, работа сил, потенциальная и полная энергия.
8.3 Центр масс (центр инерции) системы. Момент инерции системы относительно оси.
8.4 Моменты инерции относительно параллельных осей; теорема Гюйгенса–Штейнера.
8.5 Тензор и эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Свойства осевых моментов инерции.
8.6 Вычисление момента импульса и кинетической энергии тела с помощью тензора инерции.

9. Основные теоремы динамики в инерциальных и неинерциальных системах отсчёта.
9.1 Теорема об изменении импульса системы в инерциальной системе отсчета. Теорема о движении центра масс.
9.2 Теорема об изменении момента импульса системы в инерциальной системе отсчета.
9.3 Теорема об изменении кинетической энергии системы в инерциальной системе отсчета.
9.4 Потенциальные, гироскопические и диссипативные силы.
9.5 Основные теоремы динамики в неинерциальных системах отсчета .

10. Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции.
10.1 Динамические уравнения Эйлера.
10.2 Случай Эйлера, первые интегралы динамических уравнений; перманентные вращения.
10.3 Интерпретации Пуансо и Маккулага.
10.4 Регулярная прецессия в случае динамической симметрии тела.

11. Движение тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой.
11.1 Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг.
неподвижной точки. Динамические уравнения Эйлера и их первые интегралы.
11.2 Качественный анализ движения твердого тела в случае Лагранжа.
11.3 Вынужденная регулярная прецессия динамически симметричного твердого тела.
11.4 Основная формула гироскопии.
11.5 Понятие об элементарной теории гироскопов.

12. Динамика точки в центральном поле.
12.1 Уравнение Бине.
12.2 Уравнение орбиты. Законы Кеплера.
12.3 Задача рассеяния.
12.4 Задача двух тел. Уравнения движения. Интеграл площадей, интеграл энергии, интеграл Лапласа.

13. Динамика систем переменного состава.
13.1 Основные понятия и теоремы об изменении основных динамических величин в системах переменного состава.
13.2 Движение материальной точки переменной массы.
13.3 Уравнения движения тела переменного состава.

14. Теория импульсивных движений.
14.1 Основные понятия и аксиомы теории импульсивных движений.
14.2 Теоремы об изменении основных динамических величин при импульсивном движении.
14.3 Импульсивное движение твёрдого тела.
14.4 Соударение двух твёрдых тел.
14.5 Теоремы Карно.

15. Контрольная работа

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

• Знать:
  • основные понятия и теоремы механики и вытекающие из них методы изучения движения механических систем;
• Уметь:
  • корректно формулировать задачи в терминах теоретической механики;
  • разрабатывать механико-математические модели, адекватно отражающие основные свойства рассматриваемых явлений;
  • применять полученные знания для решения соответствующих конкретных задач;
• Владеть:
  • навыками решения классических задач теоретической механики и математики;
  • навыками исследования задач механики и построения механико-математических моделей, адекватно описывающих разнообразные механические явления;
  • навыками практического использования методов и принципов теоретической механики при решении задач: силового расчета, определения кинематических характеристик тел при различных способах задания движения, определения закона движения материальных тел и механических систем под действием сил;
  • навыками самостоятельно овладевать новой информацией в процессе производственной и научной деятельности, используя современные образовательные и информационные технологии;