Типичные ошибки егэ математика профиль

10 основных ошибок, допускаемых в ЕГЭ по математике

Совет учиться на ошибках других бесполезен; научиться чему-либо можно только на собственных ошибках.

Б. Шоу

1. Обзор основных ошибок

Обзор составлен на основе материалов ФИПИ за 2016, 2017 гг.

https://drive.google.com/file/d/0B8MkXVdvfYcrZUdvcmk0TEpia1k/view

http://www.fipi.ru/sites/default/files/document/1476454097/matematika.pdf

Профильный уровень

Задание	Процент выполнения	Типичные ошибки
1	90%	Неумение читать условие и непонимание процентов
2	95%	Невнимательное чтение условия и непонимание единиц измерения
3	88%	Невнимательное чтение условия
4	89%	Невнимательное чтение условия
5	91%	Ошибки в свойствах степеней
6	65%	Непонимание математической записи угла и неверное чтение чертежа
7	54%	Невнимательное чтение условия
8	57%	Отсутствие базовых пространственных представлений и знаний соотношений
9	47%	Ошибки в определении знака тригонометрической функции
10	65%	Невнимательное чтение условия или непонимание текста
11	36%	Невнимательное чтение условия
12	38%	Непонимание алгоритма исследования функции с помощью производной
13	36%	Неумение и небрежность отбора корней тригонометрического уравнения с помощью единичной окружности
14	6%	Неумение доказывать, непонимание взаимосвязи элементов геометрической конструкции, ошибки в теоретических фактах
15	15%	Невнимательное чтение математической записи неравенства, непонимание алгоритма решения совокупностей и систем логарифмических неравенств, забыт знаменатель при решении дробно-рационального неравенства, небрежность при изображении множества решений на координатной прямой
16	3%	Неверное понимание логики построения доказательства, ошибки в построении чертежа
17	11%	Неверное составление модели задачи (непонимание взаимосвязи величин) и вычислительные ошибки
18	3,5%	Недостаточная сформированность графического метода решения – отсутствие объяснений и обоснований, отсутствие ответа на поставленный вопрос
19	3,5%	Непонимание того, что на вопрос «Может ли…?» нужно давать аргументированное решение, а не ответ «да» или «нет»

Базовый уровень

Основные факторы, вызывающие ошибки:

• недостаточный уровень понимания условия при чтении задания,

• вычислительные ошибки,

• недостаточная развитость наглядных геометрических представлений.

1. Анализ 10 типичных ошибок на примерах заданий ЕГЭ

Задачи на проценты – непонимание механизма начисления процентов.

В большинстве случаев причина ошибок – непонимание сущности процента. Например, если в условии сказано, что цена товара сначала была повышена на 25%, а затем понижена на 25%, то эти проценты не будут одной и той же суммой денег, т.к. база начисления этих процентов разная.

Пример:

При решении этого задания 6% участников экзамена посчитали, что если цена была повышена на 25%, то для нахождения старой цены нужно новую цену понизить на 25%. В действительности же новая цена составляет 125% от старой цены, а узнать нужно, сколько рублей соответствуют 100%.

В более сложной экономической задаче требуется понимание механизма начисления простых и сложных процентов, обоснованное применение формул, выбор правильного способа решения. Типичные ошибки здесь связаны с неверным составлением модели задачи, непониманием взаимосвязи величин, непониманием того, что важен не только ответ, но и способ решения задачи.

Невнимательное чтение условия.

К сожалению, это самая распространенная ошибка согласно анализу типичных ошибок ЕГЭ, проведенному ФИПИ.

Конечно, многое здесь можно списать на волнение и психологическое напряжение. Даже самые подготовленные ученики на экзамене могут растеряться, переволноваться или поспешить в решении более простых заданий. Однако факт остается фактом, и при подготовке к экзаменам на него нужно обратить внимание.

Примеры:

Почти 24% участников экзамена указали количество точек, в которых значение функции (а не ее производной) положительно, а еще около 2% участников пытались перечислить номера точек, в которых производная принимает положительное значение.

Около 2,5% участников экзамена нашли вероятность выбора подтекающего насоса, не обратив внимания на частицу «не» в условии.

Практико-ориентированные задания базового и повышенного уровня – непонимание текста задачи.

Кроме ошибок, связанных с невнимательным чтением условия, на первое место здесь выходит непонимание текста задачи, незнание единиц измерения величин, неумение работать с формулами. Многие выпускники даже не приступают к технически не сложным практико-ориентированным задачам повышенного уровня.

Пример:

Выполнение задания – около 57%. Отмечается, что 8% участников не дали никакого ответа; 6% решили, что чем ближе, тем лучше; 4% решили, что лампочку нужно поместить в середину разрешенного интервала, а еще 4,5% решили, что самый главный параметр – это фокус.

Вычислительные ошибки.

Привычка вычислять все с помощью калькулятора, вплоть до таблицы умножения и действий с круглыми числами доставляет учащимся немало проблем на экзамене. Отсутствие навыков быстрого счета в уме или на бумаге часто приводит к тому, что участники экзамена допускают грубые ошибки в элементарных примерах. «Слабые» места многих старшеклассников – это дроби, отрицательные числа, элементарные преобразования выражений, т.е. проблемы, накопившиеся с 5 класса.

Ошибки в теоретических фактах.

Незнание необходимых для решения задач теоретических фактов, как по алгебре, так и по геометрии, существенно снижает процент выполнения большинства заданий как базового, так и повышенного уровня сложности.

Примеры:

Около 8% выпускников не дали никакого ответа; 38% ошиблись в формуле боковой поверхности конуса, а еще 12% в формуле его объема. Отмечается, что процент выполнения этого задания существенно ниже, чем, например, формально гораздо более сложного задания с полным решением на решение уравнения и осуществление отбора корней. Это означает, что низкий процент выполнения заданий по стереометрии вызван именно существенными проблемами в ее преподавании.

В задании 5 проверялось умение решать показательные и логарифмические уравнения. Из семи процентов выпускников, не справившихся с заданием, 2% ошиблись в свойствах степеней.

Незнание алгоритмов и методов решения.

Знание алгоритмов и методов решения проверялось во многих заданиях экзаменационной работы. Например, в задании 12 требовалось продемонстрировать понимание алгоритма исследования функции с помощью производной, а в заданиях 5,13,15 знание общих и частных методов решения уравнений и неравенств.

Пример:

Ненулевые баллы получило около 15% участников экзамена. Типичные ошибки связаны с невнимательным чтением математической записи неравенства, непониманием алгоритма решения совокупностей и систем логарифмических неравенств. Очень много ошибок при решении дробно-рационального неравенства (забыт знаменатель).

Неверное чтение чертежей, непонимание взаимосвязи элементов геометрической конструкции, отсутствие базовых пространственных представлений, ошибки в построении чертежа.

В преподавании геометрии очень важным является не только умение решать вычислительные задачи с геометрическим содержанием (по формулам), но и формировать геометрические представления о фигурах (телах). При отсутствии базовых пространственных представлений сложно ожидать высокого процента выполнения стереометрического задания с полным решением.

Пример:

Отмечается, что около 10% участников экзамена при решении этой задачи неверно определили углы по их записи (перепутали буквы или не понимают, какая из букв в записи угла соответствует его вершине). Около 5% участников «увидели» прямоугольный треугольник ACD, а еще 3% — равносторонний треугольник ABD.

Процент выполнения экзаменующимися геометрических заданий традиционно ниже, чем процент выполнения заданий алгебраических. В целом при решении геометрических задач более половины выпускников продемонстрировали отсутствие знания взаимосвязей элементов геометрической конструкции и соотношений между величинами пространственных фигур.

Неумение доказывать, обосновывать.

К заданиям повышенного уровня относились задания второй части 14 (стереометрия) и 16 (планиметрия) с развернутым ответом. Оба задания содержали два пункта. В первом пункте задание доказать, а во втором пункте вычислить. Основной проблемой оказалось выполнение первого пункта. Участники экзамена продемонстрировали неумение доказывать. При этом много встречается различного рода логических ошибок. Наибольшие затруднения участники испытывали при оформлении доказательства.

Пример:

Типичные ошибки связаны с непониманием логики построения доказательства. Например, доказательство начинается так: «Пусть точка О является серединой отрезка СК…». Т.е. в начале доказательства уже допускается факт, который и требуется доказать.

Задания 18 и 19 высокого уровня сложности предназначены для конкурсного отбора в ВУЗы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Это задания на комбинацию различных методов. Для успешного их выполнения, кроме прочих математических знаний, необходим высокий уровень математической культуры, который предполагает, в частности, умение обосновывать выбранные методы и способы решения.

Примеры:

Ненулевые баллы при решении этого задания получило около 17% участников экзамена. Многие выпускники попробовали исследовать несколько примеров, а потом обобщить полученный результат. Типичным заблуждением для многих оказалось, что на вопрос «Может ли?» нужно давать аргументированное решение, а не качественный ответ «да» или «нет».

Ненулевые баллы при решении этого задания получило около 3% участников экзамена. Основной проблемой оказалось применение графического метода, который, как показали работы участников экзамена, не достаточно сформирован. Без объяснений и обоснований на координатной плоскости отмечаются графики, и считывается множество значений параметра. Во многих случаях на координатной плоскости обозначено много верных объектов, а ответа на поставленный вопрос так и не последовало.

Задания по тригонометрии требуют тщательности решения.

Представленные в экзаменационной работе задания по тригонометрии не относятся к числу самых сложных, однако их выполнение требует тщательности решения, аккуратности, внимания, знания большого количества теоретических фактов и умения их применять на практике.

Примеры:

Выполнение задания – около 34%. Типичные ошибки связаны в первую очередь с определением знака тригонометрической функции – почти 12% участников экзамена потеряли знак «минус». Еще 22% решили, что ответ ожидается «хорошим» — 1 или 2.

Задание 13 проверяло умение решать тригонометрические уравнения и производить отбор корней. Основной проблемой первого пункта оказалось неумение вводить новую переменную (ошибки в свойствах степеней), незнание формул решения простейшего тригонометрического уравнения. При выполнении второго пункта участники продемонстрировали неумение или небрежность отбора корней.

Отсутствие навыков математического моделирования.

Способность к построению и исследованию простейших математических моделей проверяется в заданиях 11 (текстовая задача) и 17 (текстовая задача с экономическим содержанием). Текстовые задачи, как правило, являются стандартными задачами на составление уравнений курса алгебры 8 класса. В экономической задаче требуется верно построить математическую модель и исследовать ее. Важную роль при этом играет сюжетная, практико-ориентированная часть условия. При составлении математических моделей основные ошибки являются следствием непонимания взаимосвязи величин. Так, например, в задачах на движение около 10% участников экзамена продемонстрировали непонимание движения по реке – собственную скорость умножили на время движения.

1. Задачи с ошибками как форма работы на уроке.

Одной из форм работы на уроках является поиск и исправление ошибок. «Задачи с ошибками» являются заданиями творческого типа, они приучают обращать внимание на особо тонкие места в логических рассуждениях, помогают различать во многом сходные понятия, приучают к точности суждений и математической строгости и т. д.

Мой опыт преподавания показывает, что такие задания нравятся учащимся и являются достаточно эффективным способом совершенствования навыков решения задач.

Методика работы с задачами с ошибками может быть следующей:

1 этап: Индивидуальная, парная или групповая работа, в зависимости от уровня подготовленности учащихся, по поиску и исправлению ошибок. Задачи с ошибками могут быть представлены в раздаточном материале (карточки) или на слайдах презентации.

2 этап: Совместное обсуждение ошибок.

3 этап: Снова индивидуальная или парная работа – составление памятки «Советы ученику, решающему задачу».

4 этап: Проверка результатов и подведение итогов учителем.

Примеры заданий с ошибками по многим темам можно составить самим или найти в литературных и интернет-источниках.

Мои рекомендации:

1. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика для поступающих в ВУЗы.

У меня старое издание 1996 года, но есть и более поздние издания этой книги.

Раздел 7 этого пособия так и называется: «Учимся на чужих ошибках».

1. http://math4school.ru/rabota_nad_oshibkami.html

Раздел сайта «Мath4school» называется «Работа над ошибками», содержит большое количество примеров с решениями и подробным анализом ошибок.

Это статья написана в первую очередь для выпускников, которые совсем скоро пойдут на важный и ответственный бой, называемый единым государственным экзаменом. От исхода этого поединка зависит дальнейший вектор развития. Но прошу Вас, не думайте, что от результатов зависит вся ваша жизнь. Экзамен – это лишь рубеж, испытание, которое нужно пройти с высоко поднятой головой.

Я достаточно давно и интенсивно занимаюсь подготовкой абитуриентов к единому государственному экзамену по математике и физике. После экзамена ребята активно делятся впечатлениями, когда приходят результаты – отправляют сканы работ, которые я внимательно изучаю. И я вижу, что из года в год ребята теряют баллы на вполне конкретных заданиях.  И чтобы Ваши потери на экзамене на фоне волнения были минимальными, давайте разберем типичные ошибки ученика на ЕГЭ.

1) Уравнения с квадратным корнем

Не забывайте про ограничения!!! Вообще говоря можно наложить ограничения и на подкоренное  выражение и на правую часть:

… но если решаете возведением обеих частей в квадрат, то первое неравенство избыточно.
Как альтернатива, выполните проверку, подставив полученные корни в уравнение. Составители очень часто ловят на этом задании, провоцируют указать именно тот корень, который не удовлетворяет ограничениям.
Ограничения актуальны и для обычных дробных уравнений такого вида:

Ну и конечно, куда без ограничений при решении логарифмических уравнений:

Напоминаю, что аргумент логарифма должен быть СТРОГО БОЛЬШЕ НУЛЯ:

Ну а если Вы имеете дело с логарифмом с переменным основанием

то не забудьте, что основание должно быть положительным и не равняться единице.

2) Планиметрия
Что касается планиметрии, советую повторить:
1. Формулы для расчета площадей все фигур. Не забудьте повторить, как находится длина дугового сектора и площадь сектора, на всякий случай. Хотя встречаются на ЕГЭ они не так часто.
2. Помните, что медиана в прямоугольном треугольнике не только делит гипотенузу пополам, но и равна половине гипотенузы.

3. Повторите свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике. Высота, проведенная из вершины прямого угла делит прямоугольный треугольник на два подобных. Расписав отношения сторон всех подобных треугольников Вы придете к формулам:

4. Повторите теоремы синусов и косинусов. Теорема синусов бывает весьма полезна для нахождения радиуса описанной окружности

Теорема синусов:

Теорема косинусов:

5. Из года в год найдется ученик, который забудет формулу для расчета радиуса вписанной окружности. А она ведь такая простая!

И работает не только для треугольников, но и для четырехугольников, пятиугольников и так далее. Не забудьте, что в формуле берется ПОЛУПЕРИМЕТР, а S – это площадь фигуры, а не круга!

3) Немного поговорим про преобразование выражений. Чаще всего ребята ошибаются именно в тригонометрии при использовании формул приведения.

Напоминаю алгоритм:

1. Определяем номер четверти, в которой лежит угол.

2. Определяем знак функции. Напоминаю, что знак смотрится по исходной функции.

3. Не забываем, что в точках и функция меняется на ко-функцию, то есть синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и т.д.

Для лучшего понимания приведу пример

Упростить , где

Шаг 1: Определяем четверть
четв.

Шаг 2: Определяем знак исходной функции в данной четверти. Знак в IV четв. будет отрицательным.
Шаг 3: Так как в выражении есть то заменим на . В итоге получим

4) Переходим к стереометрии. Тут советы будут аналогичны советам по планиметрии. Повторите все формулы объемов фигур и площадей поверхностей, особенно шара. Легче всего эта формула запоминается, если вы запомните, что площадь поверхности шара – это производная от его объема.

Если Вы имеете дело с комбинацией тел, то внимательно несколько раз прочитайте условие задачи. Цилиндр вписан в призму или описан около призмы, параллелепипед вписан в цилиндр или описан около цилиндра и так далее. Советую держать в голове картинки:
Это – пример призмы, описанной около цилиндра

А это – пример призмы, вписанной в цилиндр

Ну а теперь поговорим о самых распространенных ошибках в стереометрии первой части:
1. Угол между двумя прямыми всегда не более 90 градусов.
Пример:

В правильной шестиугольной призме , все рёбра которой равны 8, найдите угол между прямыми FA и . Ответ дайте в градусах.

Большая часть ребят проводит прямую , параллельную FA и берут угол , тем самым получая ответ в 120 градусов. Но это не правильно. Брать нужно смежный угол, который будет равен 60 градусов.

2. Ошибки в применении коэффициента подобия

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем этой призмы, если объём отсеченной призмы равен 20.

Классический пример – призма и плоскость проведенная через среднюю линию треугольника, лежащего в основании. Ребята полагают, что отношение объемов малой призмы к большой призме равно кубу коэффициента подобия, который в нашем случае равен ½. Но это не так. Отличаются эти призмы только основанием, а вот высоты одинаковы. Следовательно, отношение объемов будет равно отношению площадей оснований. А это квадрат коэффициента подобия.

3. Ошибки в расчете площадей поверхностей составных многогранников.
Классическая проблема в данном случае заключается в том, что ребята достраивают фигуру до куба или параллелепипеда. В этом случае возникает опасность либо посчитать лишнюю поверхность, либо потерять нужную.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Возможно это немного дольше, но я советую посчитать площадь каждого прямоугольника по отдельности и сложить все значения.

5) График функции и её производной. Наше счастье и наша боль. Мне кажется, эта задача напоминает квест на внимательность. Прежде чем записывать ответ в бланк, советую внимательно несколько раз прочитать задание и для себя ответить на вопрос: я имею дело с графиком функции или ее производной.
1. Если Вы имеете дело с графиком самой функции, то помните, что точки экстремума – это точки, где функция переходит с возрастания на убывание или с убывания на возрастание. Точки пересечения графика с осью х ничего не означают.
Для примера предлагаю рассмотреть следующую функцию:

Там, где функция возрастает (зелёные стрелки), производная функции положительна, а там, где функция убывает (красные стрелки), производная функции отрицательная. Производная равна нулю в точках экстремума .

2. Если на экзамене Вам попалась производная функции, то помните: там, где график лежит выше оси х, функция возрастает, там, где график лежит ниже оси х – функция убывает, а точки пересечения графика с осью х-это точки экстремума.

– т. экстремума, – т. max, – т. min

3. Внимательно посмотрите на касательную к графику функции. Если она возрастает, значит значение производной положительно, если убывает-отрицательно.

НЕ ТЕРЯЙТЕ МИНУС В ОТВЕТЕ!

6) Текстовые задачи тоже довольно часто становятся камнем преткновения у выпускников. Советую повторить формулы для суммы арифметической прогрессии, связь концентрации и массы раствора, производительности и работы.
Любимая ошибка выпускников находить среднюю скорость как среднее арифметическое. Не делайте так! Средняя скорость – это общий путь, деленный на общее время.

  (Работа = Производительность Время)

(Путь = Скорость Время)

M_{кислоты}=n∙M_{раствора}

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Достаточно тяжело идут у ребят задачи на проценты такого вида:

В 2000 году диван подешевел на 7 процентов, в 2001 подорожал на 8 процентов. Конечная цена 25000 рублей. Найти начальную стоимость.

Советую начальную стоимость обозначить за х, тогда в 2000 году стоимость дивана станет (х-0.07х) =0.93 х рублей, а в 2001 году стоимость будет равна 0.93х*1.08 рублей, которая будет равна 25000 рублей. Можно, конечно, идти с конца, но тогда у ребят возникают сложности, что какую величину обозначить за 100 процентов, что за 107 процентов или может быть за 93 процента.

7) Графики функций. Для правильного выполнения данного номера я советую Вам повторить , какие коэффициенты в функции отвечают за смещение графика вправо или влево, какие вверх или вниз, повторить формулу для расчета вершины параболы .
Если у Вас функция вида , то коэффициент b отвечает за смещение графика функции вверх или вниз.

А здесь – график с положительным коэффициентом b, равным 2:

Если же Ваш график имеет вид , то вы должны понимать, что при положительном значении b ваш график смещается влево, а при отрицательном значении b вправо.

Абсолютно аналогично и с графиками показательной функции.
Если вы имеете дело с графиком вида , то при положительном b график смещается вверх, при отрицательном b вниз.
На первом графике пример отрицательного коэффициента b, на втором графике пример положительного b.

Ну и не забывайте о графиках показательной функции вида . Здесь коэффициент b отвечает за смещение графика функции вправо или влево.

Если вдруг у Вас на экзамене все эти смещения туда-сюда вылетели их головы, то берите одну-две-три точки (по ситуации), подставляйте в уравнение функции и находите нужные Вам коэффициенты.

И хотелось бы напомнить , что основание логарифма и основание показательной функции МОГУТ БЫТЬ ТОЛЬКО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ.

Ну и нельзя оставить без внимания задания на нахождение точек максимума и минимума и на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Тут советов будет несколько:

1) Повторите таблицу производных функций и вспомните формулы для производной частного и произведения.

2) Если Вам нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции, содержащей логарифм, например , то в большинстве случаев это значение достигается при таком х, когда логарифм обращается в нуль, а число под логарифмом рано единице. В данном случае точка экстремума равна -4. Именно в этой точке достигается наименьшее значение функции.

3) Если Вы имеете дело с иррациональной функцией, например , то точка экстремума может быть найдена с помощью формулы для расчета вершины параболы. Одним словом, координата вершины параболы это и есть точка экстремума.

4) Теперь поговорим о показательных и логарифмических функциях. Если график возрастающий, то есть основание больше единицы, например , то  экстремум (в данном случае минимум) достигается в вершине квадратичной функции . Ну а подставив точку минимума в саму функцию, Вы имеете все шансы быстро и легко найти наименьшее значение.

С логарифмической функцией дела обстоят аналогичным образом. Давайте рассмотрим функцию вида . Основание больше единицы и равно 5. Значит функция возрастающая. Смотрим внимательно на аргумент под логарифмом. Он представляет собой квадратичную функцию, графиком является парабола с ветвями вниз. Найдя вершину параболы по формуле x_верш=-b/(2a), вы найдете точку экстремума, в данном случае максимума, ну а подставив ее в саму функцию, вы найдите ее наибольшее значение. И для полноты картины, предлагаю рассмотреть убывающую логарифмическую функцию с основанием меньше единицы и равным 1/3. Подлогарифмическое выражение также представляет собой параболу с ветвями вверх. Найдя вершину параболы, вы найдите точку минимума, а подставив ее в саму функцию, вы получите наибольшее значение функции.

PS: Наверное, многие задумались, почему, подставляя точки минимума, мы получаем наибольшее значение. Ответ прост – если Ваша функция убывающая, то чем больше аргумент, тем меньше значение самой функции.

9) В своей статье я совсем не затронула задачи на вероятность. Думаю, со вторым номером из кимов справляются практически все. А вот 10 номер такой непредсказуемый, столько интересных и новых задач. И каждая задача не похожа на предыдущую… Здесь сложно дать какой-либо совет. Проработайте задачи из открытого банка ФИПИ, с сайта Решу ЕГЭ, посмотрите свежие сборники 2022 года, варианты Статграда.

Я постаралась очень кратко пробежаться по основным ошибкам выпускников. Если Вам эта статья будет хоть на 0,01 процента будет полезна, то значит, писалась она не зря.

PS: Хотелось бы выразить благодарность Филину Арсению Андреевичу за ценные замечания и помощь в публикации. Он опытный преподаватель, выпускник Физфака МГУ, в прошлом призер олимпиад Физтех и Ломоносов.
Ну а если Вы хотите повторить все темы перед экзаменом, обобщить знания, проработать свои ошибки и узнать еще больше подводных камней, смело могу порекомендовать финальный курс по математике, который будет проводить сам Арсений. Старт 17 мая.

Профильная математика по праву считается одним из самых сложных экзаменов, по которому трудно набрать 90+ баллов. Однако это возможно, если избавиться от проблем с основными темами. Для этого стоит изучить некоторые опасные номера экзамена.

Типичные ошибки в Задании 2

Большинство проблем с №2 варианта возникают из-за непонимания сущности модуля. Модуль — это всегда положительное число, то есть все числа больше нуля остаются неизменными, а числа меньше нуля лишаются минуса. Из-за разницы между этими понятиями сравнение чисел в принципе и их модулей будет различаться. Ошибки ЕГЭ по профильной математике во втором задании возникают именно из-за путаницы в сравнении графиков по модулю (все «горки» ниже нуля должны перевернуться, так как отрицательные числа становятся положительными).

Основные ошибки в Задании 6

Основные проблемы с шестым заданием возникают из-за чертежа. Одна из самых распространенных проблем — неумение строить рисунок в соответствии с заданием, в корне которого лежит незнание основных аксиом, теорем и принципов.

Другая же опасность задания №6 состоит в буквальном понимании чертежа, из-за чего измерения проводятся не в соответствии с теорией, а практически с помощью специальных инструментов.

Ошибки в Задании 7

Задания на производные выпускники по большей части решают наугад. Корень ошибки ЕГЭ по профильной математике в №7 кроется в непонимании сущности производной. Для подготовки к этому заданию необходимо изучить таблицу основных производных и их графики, а также их свойства.

Ошибки в Задании 8

Проблемы в последнем номере первой части так же, как и с №6, возникают из-за неумения работать с чертежом и недостаточном знании теории. Большинство выпускников пытается найти заданную величину с помощью инструментов или на глаз, часть из них не знает терминологии и находит не ту величину. Чтобы не допустить этого, стоит научиться работать с объемными фигурами: находить площадь их поверхности (всей или боковой), объемы и их части.

Распространенные ошибки в Задании 9

В задании №9 возникают самые распространенные ошибки ЕГЭ по профильной математике — вычислительные. При достаточной знании теории выпускники допускают досадные оплошности: упускают минус, забывают исключить решения, не входящие в ОДЗ, ошибаются в вычислении.

Также сложности могут возникнуть из-за незнания свойств логарифмов и степеней, без которых невозможно произвести вычисления. Отдельно стоит обратить внимание на тригонометрические тождества и функции с их свойствами.

Ошибки в Задании 12

Точки экстремума (максимума и минимума) функций — сложная тема, для решения заданий на которую необходимо ориентироваться в производных и их графиках. Помимо советов, которые были предложены к №7, здесь стоит попрактиковаться в нахождении нулей производных. Они помогут определить все точки экстремума, из которых можно будет найти наибольшее и наименьшее значения функций.

Таким образом, многие ошибки ЕГЭ по профильной математике касаются простых тем и заданий, терять баллы на которых непозволительно. Если заранее проработать эти моменты и довести решение этих номеров до автоматизма, то при подготовке получится уделить больше внимания более сложным заданиям второй части и набрать 90+ баллов на ЕГЭ!

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Типичные ошибки в ЕГЭ по математике
  Советы по подготовке

• 

  2 слайд

  1 часть:
  8 заданий с кратким ответом базового уровня
  2 часть:
  4 задания с кратким ответом повышенного уровня сложности
  7 заданий с развернутым ответом повышенного и высокого уровня сложности
  Полученные баллы суммируются
  Структура работы

• 

  3 слайд

  Выполняем внимательно
  Не пишем в бланке ответов после числа единицы измерений
  Не пишем карандашом (после сканирования записи исчезнут)
  Исключаем возможность арифметической ошибки (делаем обязательную проверку)
  Для экономии времени пропускаем задание, которое не удается решить сразу, а переходим к следующему
  К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если останется время
  Основное количество баллов можно и нужно получить за 12 первых заданий

• 

  4 слайд

  Минимум записей, но достаточный для того, чтобы контролировать решение, выполняя обратное действие, найти ошибку.
  Устный счет создает лишь видимость экономии времени, при этом возникает риск допустить неустранимую ошибку. Даже если возникает подозрение в неправильности полученного ответа, как обнаружить ошибку в незаписанных выкладках? Все вычисления следует проводить на бумаге аккуратно и неторопливо, четко оформляя решение и ответ задачи.
  Если вы будете решать устно, то каждый раз будете безуспешно ловить ускользающие от вас мысли «за хвост».
  Вред от пристрастия к устному счету

• 

  5 слайд

  Знание приемов решения разных задач
  Знание алгоритмов решения различных уравнений:
  Линейные уравнения
  Квадратные уравнения
  Рациональные уравнения
  Дробно-рациональные уравнения
  Показательные уравнения
  Логарифмические уравнения
  Иррациональные уравнения
  Тригонометрические уравнения

  Знание общих методов решения уравнений
  Замена уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x)
  Метод разложения на множители
  Метод введения новой переменной
  Функционально- графический метод
  Знание общих методов решения неравенств
  Знание специальных методов решения уравнений и неравенств.

• 

  6 слайд

  О потере корней
  -деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение
  -сужение ОДЗ в процессе решения уравнения
  Замена уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x) в случае . если у=h(x) –немонотонная функция

  Рекомендуется следить за равносильностью уравнений и неравенств, полученных в результате преобразований
  Правильное определение области допустимых значений – необходимое условие получения верного решения
  ОДЗ, как правило, громоздка, ее вовсе не обязательно решать, лучше проверить решение подстановкой в ОДЗ

• 

  7 слайд

  Уметь задать себе вопрос «Что не нравится?»,
  – думать на шаг вперед
  Помечтать:
  А что бы было, если…
  На что похоже?
  Примеры:
  Вычислить 108 cos 2 23π /12 — 27
  Знать формулы

• 

  8 слайд

  8−7𝑥 =𝑥
  Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший
  Ответ: 1
  log 2 (−х) = log 2 ( х 2 −12)
  Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший
  Ответ: -4
  log х (4х) = 3
  Если корней несколько, то в ответ запишите их произведение
  Ответ: -4

  Задачи-ловушки

• 

  9 слайд

  Правило за 100% брать ту величину, с которой мы сравниваем
  Пример. Шесть одинаковых рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов девять таких рубашек дороже куртки?
  Стоимость куртки возьмем за 100%
  1) 100 – 2 = 98 (%) — 3 рубашки
  2) 98 : 6 х 9 = 147 (%) — 9 рубашек
  3) 147 – 100 = 47 (%)
  Ответ: 47
  Много ошибок при решении задач на проценты

• 

  10 слайд

  Быстрее по формуле:
  А = А 0 1+ р 100 увеличение на р%
  А = А 0 ( 1− р 100 ) уменьшение на р%
  Пример решения задачи:
  Телевизор стоил 11400 руб. На распродаже скидка на телевизор составила р% (р — целое число). Оказалось, что для покупки телевизора достаточно было 10000 руб. Найти наименьшее значение р.
  А= А 0 1− р 100 ; А= 11400 1− р 100 ; А≤10000;
  11400 1− р 100 ≤ 10000 ; р = 13
  Формулы для решения задач на проценты

• 

  11 слайд

  Решаем 1 часть максимально быстро.
  На чем можно сэкономить?
  При решении задачи на движение
  720 х − 720 х+10 =1
  Х=10z
  720 10𝑧 − 720 10𝑧+10 =1
  72 𝑧 − 72 𝑧+1 =1
  Ответ подбираем z=8
  При решении задачи на смеси 0,3х+0.6у+5=0,41(х+у+10);
  0,3х+0,6у=0,36(х+у+10)

  30х+60у+500=41(х+у+10);
  30х+60у=36(х+у+10)

• 

  12 слайд

  Задание №13
  ОТНОСИТЕЛЬНО НЕТРУДНОЕ УРАВНЕНИЕ
  Может содержать тригонометрические функции, логарифмы, степени, корни, показательную функцию
  Как правило, требует замены переменной, позволяющей свести уравнение к квадратному, и отбора корней на заданном отрезке, обусловленного ограниченностью новой переменной, наличием выражений с переменной в знаменателях дробей, а также под знаками корней четной степени и логарифмов

• 

  13 слайд

  Типичные ошибки в задании №13
  Использование формулы корней для простейшего тригонометрического уравнения относительно синуса – к уравнению относительно косинуса и, наоборот, неверная периодичность корней, описки и другие ошибки в записи корня

• 

  14 слайд

  Типичные ошибки в задании № 13
  По-прежнему, как и в прошлых годах, учащиеся теряют баллы в пункте б) решения задачи 13 по причине отсутствия обоснования отбора корней из промежутка
  1 балл за решение пункта б) выставляется при условии присутствия «следов» отбора корней
  Много ошибок связано с незнанием множества значений тригонометрических функций синус и косинус. В работах учащихся довольно часто в формуле корней тригонометрического уравнения встречались несуществующие значения обратных тригонометрических функций:

• 

  15 слайд

  Различные способы отбора корней
  1. Арифметический способ:
  а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения;
  б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
  2. Алгебраический способ:
  а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней;
  б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.
  3. Геометрический способ:
  а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений;
  б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений.
  4. Функционально-графический способ:
  выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции.

• 

  16 слайд

  Задания №14 и №16
  Проверяют умения выполнять действия с геометрическими фигурами
  В первом пункте – доказать
  Во втором пункте – вычислить
  Затруднения в оформлении доказательства
  Неверное применение теоретического материала
  Большое количество вычислительных ошибок

• 

  17 слайд

  Задание №15
  Неравенство, содержащее степени, дроби, корни, логарифмы (в том числе, с переменным основанием).
  Традиционно выполняемые задания
  Основные проблемы:
  Неумение решать логарифмические неравенства
  Арифметические ошибки
  Незнание свойств логарифмов
  Неумение использовать замену переменных

• 

  18 слайд

  Задание №17
  Задача с экономическим содержанием
  Проблемы
  Неумение работать с процентами
  Неумение правильно считывать условие
  Неумение составлять математическую модель по условию задачи
  Вычислительные ошибки

• 

  19 слайд

  Задание №18
  Задача с параметром
  Нужно постараться решить эту задачу или хотя бы продвинуться в ее решении как можно дальше
  Для успешного решения важно умение анализировать условие и находить возможные пути решения
  Владеть функционально-графическими способами решения
  Наибольшие проблемы:
  Понимание логики задачи и анализ условия
  Неумение искать ключевые факты и делать необходимые обоснования

• 

  20 слайд

  Задание №19
  Задание олимпиадного типа
  Для ее решения не требуется никаких специальных знаний, выходящих за рамки стандарта математического образования. Однако нужно проявить определенный уровень математической культуры, логического мышления.
  Наибольшие проблемы:
  Непонимание логики задачи
  Неверный анализ условия
  Неумение делать необходимые обоснования и выводы

• 

  21 слайд

  ЕГЭ 2017 (досрочный)
  19. На доске написано несколько различных чисел, произведение любых двух из которых
  больше 40 и меньше 100.
  А) Может ли на доске быть 5 чисел?
  Б) Может ли на доске быть 6 чисел?
  В)Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

  А) Да
  Например, 6;7;8;9; 10
  Б) нет
  В) 35

• 

  22 слайд

  О проверке работ и об апелляции
  Каждая работа проверяется
  2 независимыми экспертами
  При расхождении оценки двух экспертов по конкретному заданию на 1 балл выпускнику этот балл засчитывается
  Если расхождение в оценке более 1 балла, то работу проверяет третий эксперт
  При подаче апелляции вся ваша работа будет перепроверяться (а не только тот номер, с оценкой которого вы не согласны)

• 

  23 слайд

  Успешнее сдают ЕГЭ
  — кто оказывается более внимательным и собранным;
  — меньше делает ошибок в первой части;
  — внимательно читает задания;
  — не теряется увидев незнакомый или не типичный текст, а пытается соотнести его со своими знаниями;

  — использует рациональные приемы решений, счёта.
  Умеет четко планировать своё время, расставлять приоритеты;

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 156 821 материал в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Подростковый возраст — важнейшая фаза становления личности»

• Курс повышения квалификации «Правовое обеспечение деятельности коммерческой организации и индивидуальных предпринимателей»

• Курс повышения квалификации «Основы туризма и гостеприимства»

• Курс повышения квалификации «Методика написания учебной и научно-исследовательской работы в школе (доклад, реферат, эссе, статья) в процессе реализации метапредметных задач ФГОС ОО»

• Курс повышения квалификации «Управление финансами: как уйти от банкротства»

• Курс повышения квалификации «Источники финансов»

• Курс профессиональной переподготовки «Риск-менеджмент организации: организация эффективной работы системы управления рисками»

• Курс профессиональной переподготовки «Политология: взаимодействие с органами государственной власти и управления, негосударственными и международными организациями»

• Курс профессиональной переподготовки «Уголовно-правовые дисциплины: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Методика организации, руководства и координации музейной деятельности»

• Курс профессиональной переподготовки «Техническая диагностика и контроль технического состояния автотранспортных средств»

• Курс профессиональной переподготовки «Управление качеством»

Самые частые ошибки в ЕГЭ по математике связаны с дробями и отрицательными числами — такие результаты из года в год отмечают специалисты из федеральной группы разработчиков ЕГЭ по математике. То есть «слабым местом» оказались темы, которые ученики проходят в 5-7 классах. В «топ» также входит: невнимательная работа с вероятностью, неправильное чтение графиков, незнание основных планиметрических утверждений, неумение работать с формулами стереометрии.

Экзаменаторы отмечают, что ученики не понимают условие задания, допускают простейшие арифметические ошибки и не умеют себя проверить — все это, естественно, очень негативно влияет на результат. Выяснилось также, что геометрию школьники знают хуже алгебры. По наблюдениям экзаменаторов, больше половины учеников не умеют доказывать, — а ведь даже правильно решенный пример без доказательства не засчитываДля того чтобы успешно сдать экзамен по математике, важно пройти всю программу целиком, а не только «то, что пригодится на экзамене», повысить свою культуру вычислений, то есть минимизировать использование калькуляторов, развивать умение читать графики, правильно использовать терминологию и учить формулы.

Чем ученики больше знают — тем меньше стресс и больше уверенность в себе и своих силах. Очень важна аксиома: Больше знаешь – меньше боишься, меньше боишься — больше веришь в победу, веришь в победу — значит победишь. Задача педагогов и родителей заставить поверить в это учеников.

1) Практико-ориентированные задания базового уровня

Для заданий базового уровня первой части (1, 2, 4), проверяющих умения исполь-

зовать приобретенные знания и умения в практической деятельности

и повседневной жизни, строить и исследовать простейшие математические моде-

ли, уровень усвоения достигнут (свыше 50%). Практико-ориентированные задачи

не являются для участников неожиданными, задания такого типа они решали при

сдаче основного государственного экзамена в модуле «Реальная математика».

Умение решать задания этого модуля являлось обязательным (не менее 2) для

прохождения аттестационного рубежа в большинстве регионов Российской Фе-

дерации, поэтому такие задания учащиеся решали на уроках математики основ-

ной школы. Задания такого типа также включались в учебный материал при изу-

чении математики в старшей школе

2) Рассмотрим основные подходы к решению нового типа задач ЕГЭ по математике – задач с «экономическим содержанием».

Решение задач по формуле.

Мы знаем, что если число А увеличить на р %, станет А(1+).Если число А уменьшить на р %, станет А(1-.)

Цена товара А руб. была повышена на 25%.  На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара.

Решение: Цена товара после повышения стала А(1+). Допустим надо снизить на р %, тогда цена товара после снижения станет А(1+)(1-) и получим первоначальную цену товара: А(1+)(1-) = А. Откуда получим ответ: 20%

2.Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накопленая сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение: Положим в банк А рублей под р% годовых. Через год сумма на счету станет равной А(1+)рублей. Сняв четверть данной суммы, получим  А(1+). Теперь на эту сумму начисляют новый процент  А(1+)(1+), который стал 1,44А. Решив данное уравнение, получим ответ р=20%, тогда новый процент равен 60%.

3.Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение: Допустим фермер получил А рублей под р% годовых. Через год долг будет А(1+)руб. Т.к. фермер вернул долга, то осталось  А(1+). После 2-го года долг вырос на р% и стал А(1+)А(1+)= А(1+)2.Теперь, чтобы погасить долг, фермер внес сумму на 21% большую, т.е. А(1+) и погасил кредит, т.е  А(1+)2 — А(1+)=0. Решив данное уравнение, получим р=120%.

II. Некоторые задачи лучше решать в общем виде, не подставляя первоначальные данные, так как можно запутаться в вычислениях.

4. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентоввкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%.  Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение: пусть первоначальный вклад составил А рублей и вкладчик ежегодно добавлял х рублей. К началу 2-года величина вклада составила А (1+)= 1,5А рублей;

К началу 3-года величина вклада составила (1,5А +х)1,5+х рублей;
К началу 4-года величина вклада составила ((1,5А +х)1,5+х)1,5+х  рублей;
К началу 5-года величина вклада составила (((1,5А +х)1,5+х)1,5+х)1,5+х    рублей;
К концу 5-года величина вклада составила((((1,5А +х)1,5+х)1,5+х)1,5+х)1,5 рублей. По условию задачиразмер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725% , т.е стал А(1+).

Раскрыв скобки, получим следующее выражение:

()5А+()4х+()3х+()2х+()х=А=А

х=А

Отсюда, подставив вместо А=3900 тысяч, получим х=210000.

3. Применение свойства степеней

5.За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере , затем , потом и, наконец,  в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад 
находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения  первоначальная сумма вклада увеличилась на . Определите срок хранения вклада.

Решение: Пусть первоначальная сумма вклада будет А рублей то через месяц эта сумма станет А(1+ )руб. Если ставку не менять, то сумма увеличится опять на 5% и станет А(1+ )2 и т.д. Пусть первая ставка продержалась k, вторая — m, третья — n, последняя — t месяцев.

Тогда сумма увеличилась в А(1+ )к(1+ )m(1+ )n(1+ )t раз. И по истечении срока хранения  первоначальная сумма стала А (1+)

А(1+ )к(1+ )m(1+ )n(1+ )t=Применяя свойства степеней, получим 2 -3.3-1.50.72

приравнять показатели при одинаковых основаниях и решить систему:

Откуда k=m=1. n=3, t=2. Тогда срок хранения вклада 1+1+3+2=7 месяцев.

4. Решение задач с помощью математического анализа

6. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года — y % годовых, причем известно, что x+y=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Решение:Пусть в январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке на сумму А руб. Тогда через год при х % годовых на счету окажется сумма А (1 +) руб.

Далее вкладчик снимает со счета пятую часть первоначальной суммы. То есть на счету оказывается  сумма . В банке меняется процентная ставка и составляет теперь  у %, т.е (30-х)%. Тогда еще через год у вкладчика на счету окажется  Нас интересует значение х, при котором значение  f(x) = будет максимальным. Исследуем данную функцию методами математического анализа. 

f/(x)=0 при 

или Максимальное значение функция f(x) примет в точке х0  (вершина параболы), то есть в точке  =25.

Ответ: 25%.

5. Задачи на сравнение.

7. В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена баррели сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?

Решение:

Тогда сумма увеличится в  =1,96 , т.е. на 96%

Ответ: на 96%.

Задачи с экономическим содержанием являются практическими задачами. А их решение, бесспорно, способствует более качественному усвоению содержания курса математики средней школы, позволяет осуществлять перенос полученных знаний и умений в экономику, что в свою очередь, активизирует интерес к задачам прикладного характера и изучению математики в целом. Такие задачи позволяют наиболее полно реализовывать прикладную направленность в обучении и способствуют более качественному усвоению самого учебного материала и формированию умения решать задачи данного типа.

3) В профильном ЕГЭ 2017 года модель задачи 15 (ранее – задача С1) не претерпела никаких изменений по сравнению с прошлым годом. Уже традиционно это была задача, состоящая из двух пунктов: решить тригонометрическое уравнение и отобрать корни уравнения из указанного промежутка.

Задача 15 ЕГЭ (профильный уровень) в 2015 году предполагала умение учащихся решать уравнения [4, 5, 6]. А именно:

– знание основных тригонометрических формул (основное тригонометрическое тождество);

– владение методом замены переменной при решении уравнения;

– умение решать квадратные уравнения;

– вычислительные навыки работы с числовыми иррациональными выражениями;

– умение решать простейшие тригонометрические уравнения по общим и частным формулам;

– знание области значений тригонометрических функций;

– владение хотя бы одним из способов отбора корней тригонометрического уравнения из указанного промежутка: с помощью единичной окружности, решением двойного неравенства, перебором, с помощью графика функции.

Приведем один из примеров задачи 15:

а) Решите уравнение: .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Задача оценивалась экспертами ЕГЭ:

– 2 баллами при обоснованном решении обоих пунктов;

– 1 баллом при обоснованном решении одного из пунктов задачи или если получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов;

– 0 баллов во всех остальных случаях [1].

На рисунке наглядно представлены результаты выполнения задания 15 экзаменационной работы ЕГЭ (профильный уровень) учащимися Алтайского края в 2015 года в первичных баллах.

Результаты выполнения задания 15 в первичных баллах

Можно выделить ряд типичных ошибок участников экзамена при выполнении данного задания.

1. Одной из самых распространенных ошибок при решении задачи 15 в 2015 году были неточности и заблуждения в формулах корней простейших тригонометрических уравнений: использование формулы корней для простейшего тригонометрического уравнения относительно синуса – к уравнению относительно косинуса и, наоборот, неверная периодичность корней, описки и другие ошибки в записи корня. Эти ошибки приводили к тому, что решения уравнения указывались неверно, и как следствие – первый пункт задачи не был выполнен.

Например, при решении простейшего тригонометрического уравнения относительно синуса  учащиеся приводили:

а) неверное решение , , ошибочно используя формулу для корней простейшего тригонометрического уравнения относительно косинуса;

б) неверное решение ,  вместо верного решения , .

2. Не менее редкой ошибкой при решении задачи 15 в 2015 году было неверное вычисление значения обратной тригонометрической функции: либо неверные значения аркфункций, либо неверное преобразование аркфункций отрицательного аргумента. Эти ошибки также приводили к тому, что корни уравнения указывались неверно, и как следствие – первый пункт задачи не был выполнен.

Например, при решении простейшего тригонометрического уравнения , учащиеся допускали типичную ошибку: считали равным , а не .

Кроме того, часто учащиеся считали, что  вместо верного . Возможно перенося свойство четности функции  на функцию .

3. Достаточно много ошибок было связано с незнанием множества значений тригонометрических функций синус и косинус. Учащиеся записывали формулу корней тригонометрических уравнений  или  не принимая во внимание условие , при котором эти уравнения вообще имеют решения.

Например, в работах учащихся довольно часто в формуле корней тригонометрического уравнения встречались несуществующие значения обратных тригонометрических функций:  (не замечая, что ) и др.

4. К типичным ошибкам при решении задачи 15 можно отнести потерю корней при переходе от решения простейшего тригонометрического уравнения в общем виде к частному виду.

Например, записав верное решение  уравнения , упрощая выражение в правой части равенства, учащиеся допускали ошибку: например, записывая . Последняя формула задает совсем не те значения, которые задает первая формула. В итоге – в ответе пункта а) записано неверное решение.

5. Нарушение логики умозаключений, отсутствие логических связок, рассмотрение одного частного случая верного равенства вместо решения задачи

Например, от уравнения вида «сумма равна нулю» учащиеся довольно часто переходили к системе уравнений, в которой приравнивали к нулю каждое слагаемое. При этом, делая ошибочное заключение «сумма равно нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю». Среди работ 2015 года ошибка такого рода приобрела популярность. Учащиеся сводили глобальное решение уравнения к исследованию одного частного случая. Причем, размышления чаще всего проводились без логических связок «и» или «или».

6. Неточности и описки при решении тригонометрического уравнения или отборе корней уравнения из указанного промежутка

7. Нехарактерная в прошлых годах для задачи такого типа ошибка – неумение работать с иррациональными числовыми выражениями. В связи с этим для многих учащихся решение квадратного уравнения с иррациональными коэффициентами представляло трудность (чаще всего решение не доводилось до конца).

Например, получив (после замены тригонометрической функции на t) квадратное уравнение , многие учащиеся испытывали затруднения даже при вычислении дискриминанта (по причине иррациональности коэффициентов). Некоторые учащиеся, все-таки вычислив дискриминант и получив , не провели преобразование . Это сделало корни уравнения громоздкими  и в основном приводило решение в тупик.

8. По-прежнему, как и в прошлых годах, учащиеся теряют баллы в пункте б) решения задачи 15 по причине отсутствия обоснования отбора корней из промежутка. 1 балл за решение пункта б) выставляется при условии присутствия «следов» отбора корней, что зачастую не имело места в работах участников экзамена 2015 года.

Следует отметить, что по сравнению с 2014 годом при решении задачи 15 улучшилась ситуация с обоснованным отбором корней их промежутка. Учащиеся активно использовали различные способы отбора корней:

1. Арифметический способ:

а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения;

б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

2. Алгебраический способ:

а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней;

б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.

3. Геометрический способ:

а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений;

б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений.

4. Функционально-графический способ:

выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции.

В основном учащиеся успешно проводили отбор корней, принадлежащих промежутку.

Таким образом, на основе анализа типичных ошибок в решениях задачи 15 участников ЕГЭ по математике в 2015 году среди причин их появления можно выделить: незнание основных формул корней простейших тригонометрических уравнений, табличных значений тригонометрических функций; невладение понятием множества значений тригонометрической функции, недостаточно развитые вычислительные навыки и навыки тождественных преобразований.

Для предупреждения этих ошибок, в узком смысле, необходимо при изучении раздела «Тригонометрия» в основной и старшей школе добиваться от учащихся абсолютного знания всех основных теоретических сведений этого раздела, так как это служит основой успешного преобразования тригонометрического выражения, решения тригонометрического уравнения и неравенства, присутствующих в КИМах профильного ЕГЭ по математике.

В широком смысле, необходимо обеспечить тенденцию повышения качества результатов ЕГЭ с применением комплекса мер, в первую очередь организационно-методического и методического характера, по выявлению потенциальных погрешностей в решении задач 15 профильного уровня будущими участниками экзамена 2016 г. и осуществлению соответствующих корректирующих мероприятий.

Для учащихся с разным уровнем подготовки должны быть выстроены принципиально разные стратегии подготовки к профильному экзамену, необходима дифференциация обучения, разработка стратегии обучения и подготовки к выпускному экзамену с учетом уже имеющегося у выпускника уровня образовательной подготовки. Прежде всего, учителю необходимо познакомиться со структурой и содержанием КИМов, сравнить их с содержанием программного материала и того учебника, по которому учатся школьники. Целесообразно организовать еще и индивидуальное повторение, учитывающее пробелы в знаниях и умениях конкретного ученика, и с помощью диагностических работ систематически фиксировать продвижение старшеклассника по пути достижения уровня запланированных требований.

При новой форме диагностики качества образования учителю необходимо непрерывно повышать свой профессиональный академический уровень [2]. Если раньше (до ЕГЭ) учитель считал, что подготовка выпускников к поступлению в вуз не является его задачей и задачей школы, что учитель не несет ответственности за поступление или не поступление в вуз, то сейчас каждый учитель (как основной, так и старшей школы) заинтересован в получении высоких результатов ЕГЭ, так как по ним могут судить о его профессионально-академическом уровне. В этом смысле задача 15 (повышенного уровня сложности) профильного ЕГЭ по математике является перспективной в силу своей доступности учащимся со средним и хорошим уровнем подготовки по предмету.

4)Задачи с физическим содержанием

   Задачи  больше по физике, чем по математике, но необходимые формулы и величины даны в условии. Большинство задач сводится к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства.

Поэтому необходимо уметь решать такие  уравнения и неравенства, и определять ответ (имеются задачи, в которых нужно выбрать одно из двух решений, имеются и другие нюансы, мы их рассмотрим).  

Есть задачи которые сводятся к решению показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств.  Ответ в любом случае, должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

На что необходимо обратить внимание:

1. Если в вопросе прозвучало «определить наибольшее значение», «определить наименьшее значение», то задача в большинстве случаев решается через составление неравенства.

2. Правильно определяйте знак при составлении неравенства. Например: b не менее 21 записывается как  b≥21.

3. Если в вопросе задачи прозвучало «сколько», то составляется уравнение.

4. Не забывайте про единицы измерения, если это необходимо (переводим метры с сантиметры, наоборот и пр.)

5. Не упускайте из виду, в каких единицах измерения требуется записать ответ (например, решив задачу, вы получили 0,5 часа, в условии сказано записать ответ в минутах, получается 30 минут; если запишите  0,5 – это ошибка и потерянный бал, хотя задача решена, верно).

5) Задачи на %

Задачи с процентами традиционно являются наиболее сложными для выпускников. Поэтому приведем решение нескольких задач с процентами.

1. Число по­се­ти­те­лей сайта уве­ли­чи­лось за месяц вчет­ве­ро. На сколь­ко про­цен­тов уве­ли­чи­лось число по­се­ти­те­лей сайта за этот месяц?

Решение. Пусть число посетителей было х. По условию задачи их стало 4х.

Таким образом произошло увеличение на 3х. Количество процентов может быть вычислено так:

3х/х*100%=300%

Ответ: 300%

2. Среди 40 000 жителей города 60% не интересуются футболом. Среди фут­боль­ных бо­лель­щи­ков 80% смот­ре­ло по те­ле­ви­зо­ру финал Лиги чем­пи­о­нов. Сколь­ко жи­те­лей го­ро­да смот­ре­ло этот матч по те­ле­ви­зо­ру?

 Решение. Не ин­те­ре­су­ют­ся фут­бо­лом 40000*0,6 = 24 000 че­ло­век, а ин­те­ре­су­ют­ся — 40000 − 24000 = 16000. Таким образом, смот­ре­ли 16000 * 0,8 = 12800 че­ло­век.

Ответ: 12800

6)Вычислительные

То, что многие ребята плохо считают без калькулятора — не секрет. Но и те, которые считают хорошо, тоже допускают вычислительные ошибки. Причина видится не только в банальной невнимательности, но и в том, что порой учащимся не хватает умения и/или желания заниматься проверками полученные результатов. Ошибки некоторых заданий всплывают на поверхность сами, проявляя явные числовые или житейские коллизии. Например, получив в задаче об оплате за свет в текущем месяце сумму в 300 тысяч рублей, ученик не задумываясь, переносит ее в бланк. Но разве она может равняться полугодовой зарплате среднестатистического работника? Ответ можно всегда проверить подстановкой полученного ответа в исходное уравнение и т.д.

7)Как избежать ошибок в задачах на нахождение площадей

 Методы нахождения площади плоских фигур.

Рассмотрим несколько способов нахождения площади плоских фигур:

формула Пика,

метод обводки.

1. Формула Пика.

Формула, при помощи которой можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

N – количество узлов внутри  треугольника

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём площадь треугольника: Отметим узлы:

 

1 клетка = 1 см

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

Пример 1. Найдём площадь параллелограмма: Отметим узлы:

M = 18 (обозначены красным)

N = 20 (обозначены синим)

Пример 2. Найдём площадь трапеции: Отметим узлы:

 

M = 24 (обозначены красным)

N = 25 (обозначены синим)

Пример 3. Найдём площадь многоугольника: Отметим узлы:

 

M = 14 (обозначены красным)

N = 43 (обозначены синим)

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно  это делать и таким образом.  А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.

Теперь взгляните на следующие фигуры:

Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, найдём площадь фигуры:

 

M = 11 (обозначены красным)

N = 5 (обозначены синим)

Ответ: 9,5

1.2 Метод обводки.

Достроить искомую фигуру до прямоугольника.

Найти площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника.

Из площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.

Бывает, что не так-то просто рассчитать, сколько клеток в нужном отрезке. Вот смотри, треугольник:

Вроде бы даже прямоугольный и S=12⋅abS=​2​​1​​⋅ab, но чему тут равно aa, и чему равно bb? Как узнать? Применим для полной ясности оба способа

I способ.

Найдем  по теореме Пифагора из ΔADC а  по теореме Пифагора из ΔBCE. На листе в клетку легко посчитать длину катетов.

Итак:

Значит, 

Теперь 

 Значит, 

Подставляем в формулу:

Значит, 

II способ 

Нужно окружить нашу фигуру прямоугольником. Вот так:

Получился один (нужный) треугольник внутри и три ненужных треугольника снаружи. Но площади этих ненужных треугольников легко считаются на листе в клетку. Посчитаем их, а потом просто вычтем из целого прямоугольника.

Итак, 

Почему же этот способ лучше? Потому что он работает и для любых фигур. К примеру, нужно посчитать площадь такой фигуры:

Окружаем ее прямоугольником и снова получаем одну нужную, но сложную площадь и много ненужных, но простых.

А теперь чтобы найти площадь  просто находим площадь прямоугольника и вычитаем из него оставшуюся площадь фигур на клетчатой бумаге.

 

Значит, 

Вот и ответ: 

Задачи с решением.

Отрежем у данной фигуры все полукруглые части (выпуклости), которые выходят за рамки квадрата 4·4, и аккуратно упакуем их на свободные в квадрате места.
Площадь данной причудливой фигуры просто равна площади квадрата 4·4 = 16.
Ответ: 16

 

 

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см * 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

Решение:

Опишем около неё прямоугольник.

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:

Ответ: 4,5

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 93. Найдите площадь заштрихованного сектора.

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Найдите (в см2) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. В ответе запишите S/π.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задачи для закрепления.

1. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

 

2. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

4. Найдите площадь ромба ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

 

8. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

9. Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

 

11. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1, 1), (4,4), (5, 1).

 

12. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1, 0), (0, 2), (4, 4), (5, 2).

13. Найдите площадь S круга, изображенного на рисунке. В ответе укажите. Размер каждой клетки 1 см ×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

14. Найдите площадь S круга, описанного около прямоугольника ABCD. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см. В ответе укажите  (в кв. см).

15. В ромб ABCD, площадь которого равна , вписан круг. Найдите площадь круга, если размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см.

16.Найдите площадь S круга, описанного около прямоугольника ABCD. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см. В ответе укажите  (в кв. см).

17. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольного треугольникаАВС. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см. В ответе укажите ( в кв. см).

18. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольного треугольникаАВС. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см*1см. В ответе укажите (в кв. см).

19. Найдите площадь S круга, описанного около четырехугольника, изображенного на рисунке. В ответе укажите  . Размер каждой клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в сантиметрах.

20. Найдите площадь S круга, описанного около четырехугольника, изображенного на рисунке. В ответе укажите . Размер каждой клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в сантиметрах.

21. Найдите площадь S круга, изображенного на рисунке. В ответе укажите. Размер каждой клетки 1 см ×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

22. Найдите площадь S сектора. В ответе укажите . Размер каждой клетки 1 см ×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

23. Найдите площадь S заштрихованной части кругового сектора АОВ. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см. В ответе укажите  (в кв. см).

24.Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника АВСD. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см 1см. В ответе укажите  (в кв. см).

25. Два одинаковых круга касаются друг друга и сторон прямоугольника ABCD. Найдите площадь одного круга, если площадь прямоугольника равна.

26. Две одинаковых окружности касаются друг друга и сторон прямоугольника ABCD. Найдите периметр прямоугольника, если длина каждой окружности равна 3,6

27. Диаметр полукруга совпадает со стороной прямоугольника ABCD, а 3 другие стороны прямоугольника касаются полукруга. Найдите длину полуокружности, если периметр прямоугольника равен .

Задачи для самостоятельных и зачетных работ.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Найдите площадь квадрата, вершины которого имеют координаты (4;3), (10;3), (10;9), (4;9).

Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 1 больше, чем расстояние от нее до большей стороны. Периметр прямоугольника равен 28. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображен параллелограмм (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите периметр четырехугольника , если стороны квадратных клеток равны .

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6).

Найдите высоту трапеции , опущенную из вершины , если стороны квадратных клеток равны .

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (8;0), (10;8), (2;10), (0;2).

  Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах

 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите радиус описаной около него окружности.

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 11. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9).

 Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.

Точки O(0; 0), A(10; 0), B(8; 6), C(2; 6) являются вершинами трапеции. Найдите длину ее средней линии DE.

Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). В ответе запишите .

 Найдите площадь сектора круга радиуса , центральный угол которого равен 90°

.  Найдите центральный угол сектора круга радиуса , площадь которого равна . Ответ дайте в градусах.

На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Зачет

№1

Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см *1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

№2

Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см *1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

№3

В детском саду дети делали аппликации родителям в подарок. Найдите площадь аппликации (окрашенной фигуры), изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см*1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1.

2.

3.

4.

5.

№4 В детском саду дети делали фото- рамки родителям в подарок. Найдите площадь фото-рамки (окрашенной фигуры), изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см *1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

6.

7.

8.

9.

10

Нахождение площади поверхности  В составе  ЕГЭ по математике имеется целый ряд задач на определение площади поверхности и объема составных многогранников. Это, наверное, одни из самых простых задач по стереометрии. НО! Имеется нюанс. Не смотря на то, что сами вычисления  проты, ошибку при решении такой задачи допустить очень легко.

В чём же дело? Далеко не все обладают хорошим пространственным мышлением, чтобы сразу увидеть все грани и параллелепипеды из которых «состоят» многогранники. Даже если вы умеете делать это очень хорошо, можете мысленно сделать такую разбивку,  всё-таки следует не торопиться и воспользоваться рекомендациями из этой статьи.

Кстати, пока работал над данным материалом, нашёл ошибку в одной из задач на сайте. Нужна внимательность и ещё раз внимательность, вот так.

Итак, если стоит вопрос о площади поверхности, то на листе в клетку постройте все грани многогранника, обозначте размеры. Далее внимательно вычисляйте сумму площадей всех полученных граней. Если будете предельно внимательны при построении и вычислении, то ошибка будет исключена.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Используем оговоренный способ. Он  нагляден. На листе в клетку строим все элементы  (грани) в масштабе. Если длины рёбер будут большими, то просто подпишите их.

Ответ: 72

Предлагается таблица с основными темами ,проверяемыми на ЕГЭ и меры по предотвращению ошибок.

Это самые важные и основные темы при подготовке к единому государственному экзамену по математике. Необходимо обратить внимание на эти моменты.

Литература

1)https://www.ucheba.ru/article/3480

2)https://infourok.ru/problemi-podgotovki-k-ege-po-matematike-1063687.html

3) http://www.fipi.ru/sites/default/files/document/1476454097/matematika.pdf

4) https://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/obuchieniie-rieshieniiu-ekonomichieskikh-zadach-na-iege-2015

5) https://science-education.ru/ru/article/view?id=22100

6)http://mathi.ru/2016/06/podborka-vychislitelnyx-zadach-ege-po-matematike-bazovyj-uroven/

7) https://infourok.ru/metodicheskoe-posobie-nahozhdenie-ploschadey-figur-v-zadachah-ege-616960.html

http://fdp.tsu.tula.ru/useful/TrainingMathematicEGE

9 августа 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Основные ошибки при решении уравнений и неравенств.

Для того, чтобы получить 2 полных балла за этот номер, вам необходимо:

а) верно решить уравнение
б) верно сделать отбор полученных корней под заданный отрезок.

top_oshibok_12.pdf

Источник: vk.com/ksvremyaege