Типы задач по теории вероятности в егэ по

                
Муниципальное бюджетного общеобразовательное
                           учреждение городского округа Королёв
                             Московской области «Гимназия №17»

Проект
на тему:

«Теория
вероятностей»

Руководитель
проекта:

Селюханова
Алёна Игоревна

Выполнили
ученики 11 класса «В»:

 Писаренко
Дмитрий Павлович

Бугулов
Александр Асланбекович

г.
о. Королёв, 2020

Содержание

Вступление:
задачи и цели…………………………………………………..       2-4

Базовые
задачи: первый вид…………………………………………………           5

Базовые
задачи: второй вид………………………………………………….           6

Введение
о задачах ЕГЭ……………………………………………………….   
        7

I
пункт ЕГЭ: Классическое определение вероятности……………     8-11

II
пункт ЕГЭ: Теоремы о вероятностях событий………………  11-15

Деталь
проекта……………………………………………………        16

Заключение……………………………………………………….
        17

Источники………………………………………………………… 
      18

Вступление

   Теория вероятностей
—
самый интересный раздел математики. Вся

наша жизнь — это результат череды
вероятностей, следующих одна

за другой. Мы никогда не можем знать, что
нас ждет в будущем.

   Именно эта непредсказуемость является
тем, за что мы так и любим

жизнь, но, порой, лучше предугадать будущие
ошибки, нежели

допустить их.

   Тем более, задачи на теорию
вероятностей будут и в нашем

будущем экзамене. И сейчас мы научим вас
всему тому, что мы

сами узнали и вынесли для себя после столь
долгой и кропотливой

работы.

Основы
теории вероятностей

Теория вероятностей
—
раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства
и операции над ними.

Наша цель
–
научиться решать задачи на теорию вероятностей для подготовки к ЕГЭ.

Наши задачи:

1) Разбить задания №4 ЕГЭ на типы для
того, чтобы создать справочные

материалы с разобранными типами задач для
сдающих экзамен в 11 классах.

2) Найти в справочных материалах формулы и
скомпоновать их для каждой

группы задач.     

3) Объяснить доступным языком формулы для
решения задач на теорию

вероятностей.

4) Разобрать каждый тип задач на теорию
вероятностей на отдельном

примере.

Формула
вероятности

P(A)=m/n
Эта формула называется классической формулой
вероятности или классическим определение вероятности, где:

P(A)
– вероятность события А
m
– число благоприятных исходов
n
– число всех исходов

ГЛАВНОЕ ПРАВИЛО:
Вероятность всегда равна от 0 до 1. То есть 0≤P≤1.

События

Случайное событие
– это
явление, которое произойдет или не произойдет.

Пример 1: Вы подбросили монету, выпадение орла – случайное
событие, выпадение решки – случайное событие.

Пример 2: Студент
сдает экзамен, выпадение одного из билетов – случайное событие.

Исходы

Испытание
– любое действие, которое может привести к одному или нескольким результатам.

Исход –
конечный результат испытания. Испытание может иметь один или несколько исходов.

Вероятности
суммы и произведения событий
(Рисунок 1)

Рисунок
1

Базовые
задачи

Первый
вид

Для введения мы хотим рассмотреть базовые
задачи с монетами и костями:

I.
Монету подбросили 1 раз. Какова вероятность, что выпадет орёл?

Общее кол-во исходов – 2 (О или Р)
Благоприятных – 1 (О)

Следовательно, P(A)=1/2=0,5

Ответ: 0,5

II.
Бросили одну игральную кость. Какова вероятность, что выпадет более 3 очков?

Общее кол-во исходов – 6 (1, 2, 3, 4, 5,
6)
Благоприятных – 3 (4, 5, 6)

Следовательно, P(A)=3/6=0,5

Ответ: 0,5

III.
Монету подбросили 1 раз. Какова вероятность, что выпадет решка?

Общее кол-во исходов – 2 (О или Р)
Благоприятных – 1 (Р)

Следовательно, P(A)=1/2=0,5

Ответ: 0,5

IV.
Бросили одну игральную кость. Какова вероятность, что выпадет менее 4 очков?

Общее кол-во исходов – 6 (1, 2, 3, 4, 5,
6)
Благоприятных – 1 (1, 2, 3)

Следовательно, P(A)=3/6=0,5

Ответ: 0,5

Второй
вид

I.
Монету подбросили 2 раза. Какова вероятность, что выпадет решка ровно два раза?

Чтобы найти общее количество исходов –
нужно возвести возможное количество исходов для 1 броска в степень, где степень
будет равна количеству бросков.
То есть:
Общее кол-во исходов – 2²=4
Благоприятных – 1 (РР)

Следовательно, P(A)=1/4=0,25

Ответ: 0,25

II.
Бросили две игральные кости. Какова вероятность, что выпадет ровно 4 очка?

Здесь та же самая ситуация, что и в
прошлой задаче, но теперь при 1 броске будет не два исхода, а шесть. В квадрат
нужно будет возвести 6.
Общее кол-во исходов – 6²=36
Благоприятных – 3 (1-3, 2-2, 3-1)

Следовательно, P(A)=3/36=1/12

Ответ: 1/12

III.
Монету подбросили 2 раза. Какова вероятность, что выпадет решка хотя бы один
раз?
Общее кол-во исходов – 2²=4
Благоприятных – 3 (ОР, РО, РР)

Следовательно, P(A)=3/4=0,75

Ответ: 0,75

Решение
задач из ЕГЭ

На сайте «Решу ЕГЭ» приведено 2 пункта
номера 4 (рисунок 2), каждый из которых будет разобран подробно дальше.

I.
Классическое определение вероятности
В данном пункте 52 задачи, которые мы разбили на 4 подпункта.

II.
Теоремы о вероятностях событий
В данном пункте 33 задачи, которые мы разбили на 4 подпункта.

Рисунок
2

I.
Классическое определение вероятности

1. Задачи на классическую формулу P(A)=m/n

Это задачи:
1 (320208), 2 (1001), 3 (283579), 4 (282857), 5 (282856), 6 (283639), 7
(320186),
8 (320189), 9 (320190), 10 (320191), 11 (320192), 12 (320193), 13 (320194),
14 (320195), 15 (320209), 22 (500037), 23 (500250), 24 (501210), 25 (504230),
26 (509081), 27 (509110), 31 (510381), 32 (510419), 33 (1011), 34 (1024),
36 (282855), 37 (282858), 38 (285922), 39 (285923), 40 (285924), 41 (285925),
42 (285926), 43 (285927), 44 (285928), 45 (320169), 46 (320170), 47 (320178), 48
(320179), 49 (320181).

Это самая классическая базовая задача. В
ней на поверхности лежат все исходы и благоприятные. Чтобы решить ее,
необходимо всего лишь найти количество благоприятных исходов и поделить их на
количество всех исходов.

Пример 1:
В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей: 27 из них чёрного цвета,
остальные — жёлтого цвета. Найдите вероятность того, что на случайный вызов
приедет машина жёлтого цвета.

Машин желтого 50-27=23, всего машин 50.
P(A)=23/50=0,46
Ответ: 0,46

Пример 2:
На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность
того, что Андрею попадется невыученный вопрос.

Андрей не выучил 3 вопроса, всего вопросов
60.
P(A)=3/60=0,05
Ответ: 0,05
        

2. Задачи с монетами

Это задачи:
28 (282854), 29 (283467), 30 (510333), 50 (320183), 52 (320185).

Для решения таких задач мы рекомендуем
запомнить отрицательные степени двойки до -4 в десятичной записи: 0,5; 0,25;
0,125 и 0,0625. Это существенно поможет в задачах, где монету бросают 2 и более
раз. Если вы вдруг забыли эти степени, можно просто выписать все комбинации и
найти нужные нам, таких обычно не более 16.

Пример 1:
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Возможные комбинации: ОО, ОР, РО, РР
Нам подходят комбинации ОР и РО, следовательно,
P(A)=2/4=0,5
Ответ: 0,5

Пример 2:
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите
вероятность того, что решка выпадет ровно два раза.

Возможные комбинации: ООО, РРР, ООР, РРО, ОРО,
РОР, РОО, ОРР
Нам подходят комбинации РРО и ОРР, следовательно,
P(A)=2/8=0,25
Ответ: 0,25

Пример 3:
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите
вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

Возможные комбинации: ООО, РРР, ООР, РРО, ОРО,
РОР, РОО, ОРР
Нам подходит комбинация ООО, следовательно,
P(A)=1/8=0,125
Ответ: 0,125

3. Задачи с костями

Это задачи:
35 (282853), 51 (320184).

Всегда дают задачу, где игральный кубик
бросали единожды или дважды, и получили какую-то конкретную сумму очков или сумму
очков больше/меньше X, где X
– число от 2 до 12. Нужно просто перебрать все варианты, когда сумма очков
равна той, что нам нужно найти и поделить количество комбинаций на 6 (если 1
кубик) или на 36 (если 2 кубика).

Пример 1:
Игральный кубик бросают дважды. Какова вероятность, что сумма очков будет равна
5? Результат округлить до сотых.

Сумма очков может быть равна 5 в четырех
случаях: «3+2», «2+3», «1+4»,
«4+1».
P(A)=4/36=0,111…
Округляем до сотых и получаем 0,11.
Ответ: 0,11

Пример 2:
Бросили игральный кубик. Какова вероятность, что сумма очков будет равна 6?
Результат округлить до сотых.

Сумма очков может быть равна 6, только
когда выпадет «6».
P(A)=1/6=0,166…
Округляем до сотых и получаем 0,17.
Ответ: 0,17

Пример 3:
Игральный кубик бросают дважды. Какова вероятность, что сумма очков будет больше
10? Результат округлить до сотых.

Сумма очков будет больше 10 в трех
случаях: «5+6», «6+5» и «6+6».
P(A)=3/36=0,083…
Округляем до сотых и получаем 0,08.
Ответ: 0,08

4. Задачи со стульями

Это задачи:
16 (325904), 17 (325905), 18 (325907), 19 (325909), 20 (325913), 21 (325917).

Для решения задач про стулья необходимо
сделать два действия:
1) Из количества всех стульев вычесть 1 (там, где должен сидеть человек №1)
2) Поделить 2 на количество оставшихся мест (так как человек №2 может сидеть
слева или справа)

Пример 1:
За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2
девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.

1) Занимаем место первой девочкой,
остается 5-1=4 свободных стула
2) Благоприятный исход будет, если вторая девочка сядет слева или справа от
первой, следовательно, благоприятных исходов 2, а стула 4.
P(A)=2/4=0,5
Ответ: 0,5

Пример 2:
За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и
2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом.

1) Занимаем место первой девочкой,
остается 5-1=4 свободных стула
В этой задаче лучше всего будет найти неблагоприятные исходы, а затем из
всех исходов вычесть неблагоприятные, чтобы получить благоприятные.
2) Неблагоприятный исход будет, если вторая девочка сядет слева или справа от
первой, следовательно, неблагоприятных исходов 2.
3) Всего исходов 4, неблагоприятных 2, значит благоприятных 4-2=2
P(A)=2/4=0,5
Ответ: 0,5

II.
Теоремы о вероятностях событий

1. Вероятность независимых событий

Это задачи:
1 (319355), 2 (320212), 3 (320210), 4 (509011), 7 (320201), 12 (320173),
13 (320175), 16 (320188), 17 (320206), 18 (320174), 20 (319353), 27 (320202),
28 (320205), 33 (526004).

Два случайных события называются независимыми,
если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.

Вероятность произведения независимых
событий равна произведению их вероятностей: P(A+B)=P(A)*P(B)

Пример 1:
Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Покупатель в магазине
выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность,
что обе батарейки окажутся исправными.

P(A+B)=P(A)*P(B)
P(A+B)=0,94*0,94=0,8836
Ответ: 0,8836

Пример 2:
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается
двумя чётными цифрами?

Всего цифр 10, из них четных 5 (0, 2, 4, 6,
8), следовательно,
P(A)=P(B)=5/10=0,5

P(A+B)=P(A)*P(B)
P(A+B)=0,5*0,5=0,25
Ответ: 0,25

2. Вероятность несовместных событий

Это задачи:
5 (509569), 6 (509916), 10 (320176), 15 (320171), 16 (320188), 17 (320206),
20 (319353), 24 (320203), 26 (320198), 29 (320207), 30 (320211), 31 (500998),
32 (501061).

События называются несовместными,
если появление одного из них исключает появление других. То есть, может
произойти только одно определённое событие, либо другое.

Вероятность суммы несовместных событий
равна сумме вероятности событий:
P(A+B)=P(A)+P(B)

Пример 1:
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна
0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность
того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Пусть A
= «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит
больше двух лет», тогда A + B
= «чайник прослужит больше года».

P(A+B)=P(A)+P(B)
0,93=P(A)+0,87
P(A)=0,93-0,87=0,06
Ответ: 0,06

Пример 2:
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в
понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность
того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того,
что число пассажиров будет от 10 до 17.

Пусть A
= «в автобусе меньше 10 пассажиров», В = «в автобусе от 10 до 17 пассажиров»,
тогда A
+ B
= «в автобусе меньше 18 пассажиров».

P(A+B)=P(A)+P(B)
0,82=P(B)+0,51
P(B)=0,82-0,51=0,31
Ответ: 0,31

3. Вероятность противоположных
событий

Это задачи:
8 (510117), 11 (320196), 12 (320173), 18 (320174), 27 (320202).

Два события называются противоположными,
если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит.

Сумма вероятности противоположных событий
всегда равна 1:
P(A)=1-P(¬A)

Пример 1:
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового
человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в
случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или
выше.

P(A)=1-P(¬A)
P(A)=1-0,81=0,19
Ответ: 0,19

Пример 2:
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр
будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите
вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99
мм или больше чем 67,01 мм.

P(A)=1-P(¬A)
P(A)=1-0,965=0,035
Ответ: 0,035

Пример 3:
Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина, равна 0,8. Иван
Иванович заказал из него товар. Найдите вероятность того, этот магазин не
доставит товар.

P(A)=1-P(¬A)
P(A)=1-0,8=0,2
Ответ: 0,2

4. Вероятность совместных событий

Это задачи:
8 (510117), 18 (320174), 19 (320172), 23 (320199)

События называют совместными,
если они могут происходить одновременно. Например, при бросании двух монет
выпадение решки на одной не исключает появления решки на другой монете.

Сумма двух совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)

Пример 1:
Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй
выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна
0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо
вторым выстрелом).

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)
P(A+B)=0,7+0,7-0,7*0,7=0,91
Ответ: 0,91

Пример 2:
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с
вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что
хотя бы один автомат исправен.

Автомат неисправен с вероятностью 0,05, следовательно,
автомат исправен с вероятностью P(A)=P(B)=1-0,05=0,95

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)
P(A+B)=0,95+0,95-0,95*0,95=0,9975
Ответ: 0,9975

Деталь
проекта

Заключение

   После всей проделанной нами работы мы достигли
поставленных целей и задач, а именно:

I.
Мы научились решать задачи на теорию вероятностей.

II.
Мы разбили задания из ЕГЭ на группы, подобрав к каждой

формулы, объяснили, как их применять.

III.
Мы разобрали каждый тип задач на отдельном примере.

   Закончить мы хотим словами о
проделанной нами работе. За это время мы научились анализировать задачи по
теории вероятностей и искать различные пути решения.
   Мы нашли множество разных формул и научились их применять, научились решать
задачи на теорию вероятностей из ЕГЭ.
   И самое главное, мы сделали небольшую «шпаргалку», как итог проекта, что
несомненно поможет нам и всем остальным выпускникам 11 классов, сдающих
профильный экзамен по математике.

Источники

1.    Решу
ЕГЭ

https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=166

https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=185

2.    PARTA
MATH

https://vk.com/partamath?w=wall-170347806_18525

3.    EN-PPT-ONLINE

https://en.ppt-online.org/603820

4.    INFOUROK

https://infourok.ru/prezentaciya-po-teme-slozhenie-i-umnozhenie-veroyatnostey-1977395.html

5.    EGEMAXIMUM

https://egemaximum.ru/teoriya-veroyatnosti-chast-2/

6.    REPETITOR
MATHEMATICS

https://repetitor—mathematics.ru/teoriya—veroyatnosti—formulyi—i—primeryi—resheniya—zadach/

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Сборник задач по теории вероятностей

(с решениями)

Разработка предназначена для   учащихся  9–11  классов для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.

УМК любой

Цель: показать решение типовых задач по данной теме, закрепить умение учащихся решать данные задачи, подготовить учеников к сдаче ОГЭ и ЕГЭ

Методические рекомендации по использованию ресурса:                    Работу можно применить:

• при проведении урока по систематизации и закреплении знаний учащихся
• при проведении консультаций.

Источники информации:                                                       Открытый банк ЕГЭ ФИПИ  http://fipi.ru/                                                       

Теория вероятностей

Классическое определение вероятности
Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных исходов: Р (А) =  
где n — общее число равновозможных исходов, m — число исходов, благоприятствующих событию A.
Противоположные события
Событие, противоположное событию A, обозначают Ā. При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий и  
   Объединение несовместных событий
Два события A и B называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию A, так и событию B.
Если события A и B несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий  A и B:               P(A U B) =P(A) + P(B)                          

Пересечение независимых событий
Два события A и B называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.
Событие C называют пересечением событий A и B                     (пишут C = A∩B), если событие C означает, что произошли оба события A и B.
Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей  событий A и B:
 P(A∩B) = P(A) • P(B)

Формула сложения вероятностей совместных событий:

                           P(A U B) =P(A) + P(B)  – P(A∩B)

1. Из 1000 собранных на заводе телевизоров 5 штук бракованных. Эксперт проверяет один наугад выбранный телевизор из этой 1000. Найдите вероятность того, что проверяемый телевизор окажется бракованным.
 Решение.  При выборе телевизора наугад возможны 1000 исходов, событию A «выбранный телевизор — бракованный» благоприятны 5 исходов. По определению вероятности                       P(A) = 5÷1000 = 0,005. Ответ: 0,005.

2. В урне 9 красных, 6 жёлтых и 5 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым?                                                                       Решение. Общее число исходов равно числу шаров: 9 + 6 + 5 = 20. Число исходов, благоприятствующих данному событию, равно 6. Искомая вероятность равна 6÷20 = 0,3.  Ответ: 0,3.

 3. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, Полина бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

Решение. Вероятность события равна отношению количества благоприятных случаев к количеству всех случаев. Благоприятными случаями являются 3 случая, когда игру начинает Петя, Игорь или Антон, а количество всех случаев 6. Поэтому искомое отношение равно 3:6=0,5. Ответ: 0,5.

4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Обозначим через А событие «команда России во второй группе». Тогда количество благоприятных событий m  = 4 (четыре карточки с номером 2), а общее число равновозможных событий n = 16 (16 карточек) по определению вероятности         Р= 4: 16 = 0,25. Ответ:0,25

5.  В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

Решение. Всего спортсменов 11 + 6 + 3 = 20 человек. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России равна 9:20 = 0,45. Ответ: 0,45.

 6. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку? 

Решение. На каждые 1000 лампочек приходится 5 бракованных, всего их 1005. Вероятность купить исправную лампочку будет равна доле исправных лампочек на каждые 1005 лампочек, то есть  1000:1005=0,995.Ответ: 0,995.

7. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт  в магазин? 6 : 8=0,75.

8. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что команда России не попадает в группу A?

Решение. Каждая команда попадет в группу с вероятностью 0,25. Таким образом, вероятность того, что команда не   попадает в группу равна 1-0,25=0,75. Ответ:0,75

9. На турнир по шахматам прибыло 26 участников в том числе Коля и Толя. Для проведения жеребьевки первого тура участников случайным образом разбили на две группы по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и Толя попадут в разные группы.                                                                                               Решение. Всего 26 мест. Пусть Коля займет случайное место в любой группе. Останется 25 мест, из них в другой группе 13. Исходом считаем выбор места для Толи. Благоприятных исходов 13. Р=13/25 = 0,52. Ответ:0,52                                                                     

10. В классе 16 учащихся, среди них два друга —Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.                                                                    Решение. Если Сергею первому досталось некоторое место, то Олегу остаётся 15 мест. Из них 3 — в той же группе, где Сергей. Искомая вероятность равна 3/15. Ответ:0,2                                                                                                     

11. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.                                                                                                        Решение. Пусть один из друзей  находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся учащихся. Вероятность того, что друг  окажется среди этих 6 человек, равна 6 : 20 = 0,3.          Ответ: 0,3

12. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 спортсменов, среди которых 7 участников из России, в том числе Платон Карпов. Найдите вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо спортсменом из России? 6:15=0,4. Ответ:0,4.                                                                       

13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России?   2: 25=0,08. Ответ: 0,08.

14. В классе 26 учащихся, среди них два друга —   Сергей и Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и Андрей окажутся в одной группе. Ответ  12 : 25 = 0,48.

15. В классе 21 ученик, среди них 2 друга – Тоша и Гоша. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Тоша и Гоша попали в одну группу. Ответ 6 : 20 = 0,3.

16. В классе 21 учащийся, среди них две подруги — Аня и Нина. Класс случайным образом делят на семь групп, по 3 человека в каждой. Найдите вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.             Ответ: 2: 20 = 0,1.                                                     

17. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.                                                      Ответ. 6 : 12= 0,5 ( 6 делений между 12 и 7, всего 12 делений)

18. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов. 3:12 = 0,25

 При решении задач с монетами число всех возможных исходов можно посчитать по формуле  п=2ª, где α –количество бросков

19.   В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.

Решение. Всего возможны четыре исхода: решка-решка, решка-орёл, орёл-решка, орёл-орёл. Орёл выпадает ровно один раз в двух случаях, поэтому вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз равна  2:4=0,5.  Ответ: 0,5.

20. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу. Ответ: 1:4=0,25

21. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.  Решение. 1:8=0,125  Ответ. 0,125                                                                                    

22. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.                                                                           Решение. Составим список возможных вариантов. Бросают 2 раза может выпасть О — Орел, Р — Решка:
ОО, ОР, РО, РР. Всего 4 исхода из них только один случай удовлетворяет условию.   Вероятность (P) = 1 / 4 = 0.25.   Ответ: 0.25

23. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.                                                                            Решение. Всего исходов   = 16, благоприятных  1 ( ОООО).  1:16 = 0,0625. Ответ: 0,0625                                                                                     

При решении задач с кубиками число всех возможных исходов можно посчитать по формуле  п=6ª, где α –количество бросков 

24. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет нечетное число очков.                                                                                                          Решение. При бросании кубика равновозможных  шесть различных исходов. Событию «выпадет нечётное число очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 3 или 5 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет нечётное число очков равна 3:6=0,5. Ответ: 0,5.

25.  Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, не большее 3.

Решение. При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет не больше трёх очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше трёх очков равна  3:6=0,5 Ответ: 0,5.                                                                  

26. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.

Решение. При бросании кубика 6²= 36 различных исходов. Событию «выпадет больше трёх очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 4, 5, или 6 очков , благоприятных исходов 9 (4,4; 4,5; 4,6; 5,4; 5,5; 5,6;  6,4; 6,5; 6,6.)                       Ответ: 9: 36 = 0,25.

27. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.                                      Решение. При бросании кубика 6³= 216  различных исходов, благоприятных  14.  14 : 216 = 0,07.  Ответ: 0,07.     

28.   Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.

Решение. Всего трехзначных чисел 900. На пять делится каждое пятое их них, то есть таких чисел 900:5=180. Вероятность того, что Коля выбрал трехзначное число, делящееся на 5, определяется отношением количества трехзначных чисел, делящихся на 5, ко всему количеству трехзначных чисел: 180:900=0,2.  Ответ: 0,2.

29.Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер?

Решение. Всего было подготовлено 50 билетов. Среди них 9 были однозначными. Таким образом, вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер равна 9:50=0,18. Ответ: 0,18.

30. В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число?

Решение. Всего в мешке жетонов — 50. Среди них 45 имеют двузначный номер. Таким образом, вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число равна  45 : 50 = 0,9.  Ответ: 0.9. 

31. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на 3?                                           3 : 10 = 0,3.  Ответ: 0,3.

Противоположные события.

32.  Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение. Вероятность того, что ручка пишет хорошо, равна 1 − 0,19 = 0,81.  Ответ: 0,81.

  33. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C     равна 0,87. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8°C или выше.  Ответ. 1-0,87=0,13                                    

34. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035. Ответ: 0,035.

Несовместные и независимые события.                                                 35. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Параллелограмм», равна 0,6. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.                                          Решение. Суммарная вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P=0,6+ 0,1 = 0,7.  Ответ: 0,7.

36. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение. Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:  P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Ответ: 0,07.

                                                                                                                       37. Вероятность того, что на тесте по химии учащийся П. верно решит больше 8 задач, равна 0,48. Вероятность того, что П. верно решит больше 7 задач, равна 0,54. Найдите вероятность того, что П. верно решит ровно 8 задач. Решение. Вероятность решить несколько задач складывается из суммы вероятностей решить каждую из этих задач. Больше 8:  решить 9-ю, 10-ю … Больше 7:  решить 8-ю, 9-ю, 10-ю …Вероятность решить 8-ю = 0,54-0,48=0,06.  Ответ:0.06

38. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4?    Ответ: 4 : 10 = 0,4.

 39. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение. Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна 0,8•0,8•0,8•0,2•0,2=0,02048.  Ответ:0.02048.

40. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение. Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09. Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.   Ответ: 0,91.

41. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение. Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836.   Ответ: 0,8836.

42.   Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.   Ответ: 0,156.

43.   В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна                       (0,3)³ = 0,027.    Ответ: 0,027.

   44. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение. Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и  В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и  В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).

 Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.Ответ: 0,38.

45. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

 46.Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение. Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года». События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:  P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B)

 откуда, используя данные из условия, получаем     0,97 = P(A) + 0,89.Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.   Ответ: 0,08.

 47. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение. Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;  P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

 P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.   Ответ: 0,392.

48. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. 

Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975. Ответ: 0,9975.

 49. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение. Рассмотрим событиеА = кофе закончится в первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате.

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятность х = 0,52. Ответ: 0,9975.

50. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение. Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135. Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.  Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.                       Ответ: 0,019.

51. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение. Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ. 0,52

 52. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение. В силу независимости событий, вероятность успешно сдать экзамены на лингвистику: 0,6·0,8·0,7 = 0,336, вероятность успешно сдать экзамены на коммерцию: 0,6·0,8·0,5 = 0,24, вероятность успешно сдать экзамены и на «Лингвистику», и на «Коммерцию»: 0,6·0,8·0,7·0,5 = 0,168. Успешная сдача экзаменов на «Лингвистику» и на «Коммерцию» — события совместные, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Тем самым, поступить на одну из этих специальностей абитуриент может с вероятностью 0,336 + 0,24 − 0,168 = 0,408.  Ответ: 0,408.

53. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет- магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.                                                                                          Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.  Ответ: 0,02.

54.Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры. Решение. Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.   Ответ: 0,125.

55. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение.  Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем: Р(А)=0,9•0.05=0,045;                                         Р(В)= 0,01•0,95=0,0095  ,Р(А+В)=Р(А)(В)=0,045+0,0095=0,0545.

 Ответ:0,0545.

  56. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В = батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,02•0,99+0,98•0,01=0,0198+0,0098=0,0296 Ответ: 0,0296.

 57. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение. Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Вероятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, а, стреляя второй раз, попал. Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:  P (A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.   Ответ: 0,91.

58.Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча — с командой В и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих матчах первой мячом будет владеть команда А.

Решение. Рассмотрим все возможные исходы жеребьёвки.

 · КомандаА в матче в обоих матчах первой владеет мячом.

 · КомандаА в матче в обоих матчах не владеет мячом первой.

 · КомандаА в матче с командой В владеет мячом первой, а в матче с командой С — второй.

 · КомандаА в матче с командой С владеет мячом первой, а в матче с командой В — второй.

Из четырех исходов один является благоприятным, вероятность его наступления равна 1:4=0,25. Ответ: 0,25.

59. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

Решение. Вероятность промаха равна 1 − 0,5 = 0,5. Вероятность того, что стрелок первые три раза попал в мишени равна 0,53 = 0,125. Откуда, вероятность события, при котором стрелок сначала три раза попадает в мишени, а четвёртый раз промахивается равна 0,125 · 0,5 = 0,0625.     Ответ: 0,0625.

60. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда «Байкал» играет по очереди с командами

«Амур», «Енисей», «Иртыш». Найти вероятность того, что команда «Байкал» будет первой  владеть мячом только в игре с «Амуром».

Решение. Монету бросают 3 раза.

Для команды «Байкал» возможные исходы в трех бросках {О О О},{Р О О}, {О Р О}, {О О Р},                  {Р Р О},{Р О Р}, {О Р Р},{Р Р Р}. Всего исходов 8, благоприятныx1(выпадение орла в первой игре)  {О Р Р, 1:8=0,125.Ответ 0,125.

61.У Пети в кармане лежат  шесть монет: четыре монеты по рублю и две монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность  того, что теперь две двухрублевые монеты лежат в одном кармане.

 Решение. Пронумеруем монеты: рублевые – 1, 2, 3, 4;  двухрублевые – 5, 6. {123} {124} {125} {126} {134} {135} {136} {145} {146} {156} {234} {235} {236} {245} {246} {256} {345} {346} {356} {456} 

 n = 20     – число всех исходов .Взять три монеты можно так: (числа в порядке возрастания,чтобы не пропустить комбинацию)  m = 8  – число благоприятных  исходов

(комбинации, в которых монеты 5 и 6 (двухрублевые) не взяты или взяты обе. 8:20=0,4

Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ базового уровня содержит 392 задачи на сорока страницах. В статье выделены несколько типов задач по различным темам курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач скопированы с сайта ФИПИ.

1. Задачи на применение классической формулы определения вероятности события

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: .

Задача 1.1. На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.

Решение. Число благоприятных исходов –это и есть число участников семинара из России. Их пятеро. Общее число исходов 6+5+9=20, -это количество учёных, участвующих в семинаре. Итак, искомая вероятность равна .

Замечание: решительно всё равно, каким по счёту, восьмым, как в условии задачи, или первым, вторым, третьим, …, двадцатым будет выступать российский докладчик. Искомая вероятность зависит только от количества российских учёных и общего количества участников.

Ответ: 0,25.

Задача 1.2. В кармане у Дани было пять конфет — «Ласточка», «Взлётная», «Василёк», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлётная».

Решение. Конфета «Взлётная» — одна, всего конфет – 5. Вероятность того, что выпала именно она, равна

Ответ: 0,2.

Задача 1.3. На борту самолёта 26 мест рядом с запасными выходами и 10 мест
за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение: Удобных для пассажира Д. мест 26+10=36. Общее число мест для пассажиров -300. Значит, искомая вероятность равна

Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:

Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно двум появлениям орла) благоприятствует исход с номером 2. Он единственный, а возможных исходов в нашем случае – 4. Стало быть, искомая вероятность равна

Ответ: 0,25.

Задача 1.5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Решение: Ровно один раз орёл выпадает в исходах под номерами 2 и 3 (см. таблицу к задаче 1.4). Отношение числа благоприятных исходов (2) к общему числу всех равновозможных исходов (4) определяет вероятность интересующего нас события:

Ответ: 0,5.

Задача 1.6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Событие «орёл выпадет хотя бы один раз» означает, что орёл появится либо один раз (первым или вторым), либо оба раза, что возможно при реализации исходов 2,3,4. Благоприятных исходов, таким образом, три, при общем количестве возможных – четырёх. Вероятность, согласно классической формуле, равна

Ответ: 0,75.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Задача 1.7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение: Орёл выпадает оба раза – один исход при двух бросаниях математической монеты из четырёх возможных. Значит, вероятность равна .

Ответ: 0,25.

Задача 1.8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.

Решение: Формулировка «во второй раз выпадет то же, что и в первый» означает, что могут выпасть подряд два орла, либо выпадают две решки подряд, что соответствует исходам 1 и 2 в таблице к задаче 1.4. При общем количестве (их 4) равновозможных исходов  вычисляем вероятность .

Ответ: 0,5.

Задача 1.9. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 25.

Решение: Найдем количество трёхзначных чисел. Первое из них -100. Последнее -999. Значит, их всего 999-100+1=900. Определяем количество чисел, кратных 25. Первое из них – 100. Последнее – 975. Таких чисел  По классической формуле вычисляем вероятность .

Ответ: 0,04.

Задача 1.10. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 33.

Решение: Как и в задаче 1.10, общее число всех равновозможных исходов 900. Первое трёхзначное число, кратное 33, это — 132. Последнее из них – 990. Таким образом, благоприятных исходов, т.е. трёхзначных чисел, кратных 33, всего

Ответ: 0,03.

Задача 1.11. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4 раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный
из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.

Решение: Примем количество пакетиков с зелёным чаем за х, тогда количество пакетиков с чёрным чаем будет равно 4х, и общее количество пакетиков с чаем определится как х+4х=5х (пакетиков). Вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем, согласно классической формуле, определяется отношением

Ответ: 0,2.

Задача 1.12. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение: Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 400-(130+130) =140. Значит, искомая вероятность равна .

Ответ: 0,35.

Задача 1.13. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Решение: Для туриста Д., входящего в состав группы, для похода  в магазин есть 6 благоприятных исходов. Общее число всех равновозможных исходов – количество туристов в группе (их 8 по условию задачи). Итак Р(А)= 

Ответ: 0,75.

Задача 1.14. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов:
в первый день — 18 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: Последний день конференции – третий. Количество докладов, запланированных во второй, а также и в третий день конференции:  Это и есть число благоприятных для профессора М. исходов. Вычисляем вероятность выступления докладчика в третий день: .

Ответ: 0,32.

Задача 1.15. На экзамене будет 50 билетов, Оскар не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение: Невелик у Оскара шанс получить выученный билет: .

Ответ: 0,14.

Задача 1.16. В фирме такси в наличии 12 легковых автомобилей: 3 из них чёрного цвета
с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Решение: Жёлтых с чёрными надписями машин -9. Разделив их на общее число машин фирмы (12), получаем:

Ответ: 0,75.

2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события

Определение. Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу.

Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно в результате однократного опыта. События образуют полную группу, если в результате опыта одно из событий обязательно произойдёт. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. . Здесь — вероятность события, противоположного событию А.

Задача 2.1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет, равна 0,21. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку
из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение. Событие А – новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет. Событие  — ручка пишет хорошо. Эти события – противоположные. Р(А)=0,21. Р(

Ответ: 0,79.

Задача 2.2. В среднем из 140 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: Событие А — насос подтекает, событие – насос не подтекает.

Ответ: 0,95.

Задача 2.3. Из 600 луковиц тюльпанов в среднем 48 не прорастают. Какова вероятность того, что случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт?

Решение. Событие – «случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт» противоположно событию «что случайно выбранная и посаженная луковица не прорастёт». Поэтому .

Ответ: 0,92.

3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных событий

Суммой (А+В) двух событий А и В  называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В.

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность суммы случайных событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность того, что произойдёт одно из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: .

Задача 3.1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос
по теме «Внешние углы», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение: событие А – достанется вопрос по теме «Вписанная окружность», событие В – достанется вопрос по теме «Внешние углы», тогда событие А+В — на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Учитывая, что «Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет», применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,35+0,25 = 0,6.

Ответ: 0,6.

Задача 3.2. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение: Как и при решении задачи 3.1, применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,3+0,25 = 0,55.

Ответ: 0,55.