Уравнение касательной к графику функции егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Поиск

Всего: 117 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Прямая является касательной к графику функции Найдите a.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  6 или совпадает с ней.

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  18.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  12 или совпадает с ней.

Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 1.

На рисунке изображен график функции f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 19.03.2019. Вариант 2

Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_₀.

На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax² + 2x + 3. Найдите a.

Всего: 117 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Тема 30. Уравнение касательной к графику функций.

Касательная к графику функции в точке где существует тогда и только тогда, когда при существует производная

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке имеет вид

С точки зрения геометрии, производная есть тангенс угла наклона к оси касательной к графику , проведенной в точке с абсциссой

То есть есть угловой коэффициент касательной.

Отметим различные случаи расположения касательной относительно других прямых.

а) касательная если

б) касательная прямой если

в) касательная прямой если т.е.

Пример 1. Найти ординату точки пересечения с осью касательной к графику функции проведенной в точке с абсциссой и уравнение этой касательной.

Решение. Вычисляем Производная при равна Подставляя найденные числа в уравнение касательной, получим то есть Т.к. касательная пересекает ось , то

Ответ: ;

Пример 2. Касательные к графику функции образуют с осью угол в точках, сумма абсцисс которых равна

1) -1; 2) 0; 3) 4; 4) 2; 5) 3.

Решение. Воспользуемся геометрическим смыслом производной: угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке равен значению производной в точке . То есть Так как угловой коэффициент любой прямой — это тангенс угла наклона этой прямой к оси , то Или Тогда

Ответ: 3.

Пример 3. Если касательные к графику функции параллельны прямой то сумма абсцисс точек касания равна

Решение. Так как касательная параллельна прямой то ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту прямой, то есть равен Это означает, что значение производной от заданной функции равно т.е. это уравнение имеет два различных корня — абсциссы точек касания. По формулам Виета их сумма равна

Ответ: 4.

Источник

Муниципальное
бюджетное образовательное учреждение «Красногвардейская школа №1»

Материал для подготовки к ЕГЭ

по теме:

«Применение производной.

Различные способы составления
уравнения касательной к графику функции»

Составили
учителя математики

Коваленко
И.Н., Строган Л.А.

2015г.

Пояснительная
записка

Задания
на составление уравнения касательной к графику встречаются на вступительных экзаменах, на
централизованном тестировании, в вариантах ЕГЭ. Данный материал содержит теорию
и практические задания, поможет учащимся самостоятельно подготовиться по теме:
«Применение производной».

Способы составления уравнения
касательной

к графику функции

Вспомним геометрический смысл
производной: если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент
наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным
направлением оси ) равен
производной функции в точке .

$k=tg{alpha}=f^{prime}(x_0)$

Возьмем на касательной
произвольную точку с координатами:

И рассмотрим прямоугольный
треугольник :

В этом треугольнике $tg{alpha}={BC}/{AB}={y-f(x_0)}/{x-x_0}=f{prime}(x_0)$

Отсюда ${y-f(x_0)}= f{prime}(x_0)(x-x_0)$

Или

$y=f(x_0)+ f{prime}(x_0)(x-x_0)$

Это и есть уравнение
касательной, проведенной к графику функции в точке .

Чтобы написать уравнение
касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой
проведена касательная. Тогда мы сможем найти f(x_0) и $f{prime}(x_0)$ .

Есть три основных типа задач на
составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания

2. Дан коэффициент наклона
касательной, то есть значение производной функции в точке .

3. Даны координаты точки, через
которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим
каждый тип задач.

1. Написать уравнение касательной
к графику функции в точке .

а) Найдем значение функции в
точке .

б) Найдем значение производной в
точке . Сначала найдем
производную функции

$f{prime}(x)=3x^2-4x$

$f{prime}(1)=3*1^2-4*1=-1$

Подставим найденные значения в
уравнение касательной:

Раскроем скобки в правой части
уравнения. Получим:

Ответ: .

2. Найти абсциссы точек, в
которых касательные к графику функции $y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2$ параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси
абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен
нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит,
значение производной функции $y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2$ в
точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции $y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2$ .

$y{prime}=x^3-8x^2+15x$

б) Приравняем производную к нулю
и найдем значения , в которых
касательная параллельна оси :

Приравняем каждый множитель к
нулю, получим:

Ответ: 0;3;5

3. Написать уравнения
касательных к графику функции , параллельных прямой .

Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой
равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно,
коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона
касательной, а, тем самым, значение
производной в точке касания.

Это второй тип задач на
нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция и значение производной в точке
касания.

а) Найдем точки, в которых
производная функции равна -1.

Сначала найдем уравнение
производной.

Нам
нужно найти производную дроби.

$({u/v})^{prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}$

$y{prime}={(3x-4){prime}(2x-3)-(2x-3){prime}(3x-4)}/{(2x-3)^2}={3(2x-3)-2(3x-4)}/{(2x-3)^2}={-1}/{(2x-3)^2}$

Приравняем производную к числу
-1.

${-1}/{(2x-3)^2}=-1$

или

б) Найдем уравнение касательной
к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

(по условию)

Подставим эти значения в
уравнение касательной:

б) Найдем уравнение касательной
к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

(по условию).

Подставим эти значения в
уравнение касательной:

Ответ:

4. Написать уравнение
касательной к кривой $y=sqrt{8-x^2}$ , проходящей
через точку

Сначала проверим, не является ли
точка точкой касания. Если точка является
точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны
удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точки в уравнение
функции.

$1<>sqrt{8-3^2}$ . Мы получили под корнем
отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на
нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки
касания.

Найдем значение .

Пусть — точка касания. Точка принадлежит касательной
к графику функции $y=sqrt{8-x^2}$ . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение
касательной, то получим верное равенство:

$1=f(x_0)+ f{prime}(x_0)(3-x_0)$ .

Значение функции $y=sqrt{8-x^2}$ в точке равно $f(x_0)= sqrt{8-{x_0}^2}$ .

Найдем значение производной
функции $y=sqrt{8-x^2}$ в точке .

Сначала
найдем производную функции $y=sqrt{8-x^2}$ . Это сложная функция.

$f{prime}(x)={1/{2sqrt{8-x^2}}}*(8-x^2){prime}={{-2x}/{2sqrt{8-x^2}}}$

Производная в точке равна $f{prime}(x_0)={-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}$ .

Подставим выражения для f(x_0) и $f{prime}(x_0)$ в уравнение
касательной. Получим уравнение относительно :

$1=sqrt{8-{x_0}^2}+{-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}(3-x_0)$

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель
дроби на 2:

$1=sqrt{8-{x_0}^2}+{-{x_0}}/{sqrt{8-{x_0}^2}}(3-x_0)$

Приведем правую часть уравнения
к общему знаменателю. Получим:

$1={8-{x_0}^2-{x_0}(3-x_0)}/{sqrt{8-{x_0}^2}}$

Упростим числитель дроби и
умножим обе части на ${sqrt{8-{x_0}^2}}$ — это
выражение строго больше нуля.

Получим уравнение

${8-3x_0}={sqrt{8-{x_0}^2}}$

Это иррациональное уравнение.

Решим его. Для этого возведем
обе части в квадрат и перейдем к системе.

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{64-48{x_0}+9{x_0}^2=8-{x_0}^2} {8-3x_0>=0} }}{ }$

Решим первое уравнение.

$10{x_0}^2-48x_0+56=0$

$5{x_0}^2-24x_0+28=0$

Решим квадратное уравнение,
получим

или

Второй корень не удовлетворяет
условию ,
следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .

Напишем уравнение касательной к
кривой $y=sqrt{8-x^2}$ в точке . Для этого подставим
значение в уравнение $y=sqrt{8-{x_0}^2}+{-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}(x_0)(x-x_0)$
— мы его уже записывали.

Получим:

$y=sqrt{8-{2}^2}-{2*{2}}/{2sqrt{8+{-2}^2}}(x-2)$

Ответ:

Источник

Уравнение касательной к графику функции

2 апреля 2011

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x₀ имеет конечную производную f (x₀). Тогда прямая, проходящая через точку (x₀; f (x₀)), имеющая угловой коэффициент f ’(x₀), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x₀ не существует? Возможны два варианта:

Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).
Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π/2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x₀, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x₀ ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀)

Здесь f ’(x₀) — значение производной в точке x₀, а f (x₀) — значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x₀ = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f(x₀). Точка x₀ = 2 нам дана, а вот значения f (x₀) и f ’(x₀) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x₀) = f (2) = 2³ = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x) = (x³)’ = 3x²;
Подставляем в производную x₀ = 2: f ’(x₀) = f ’(2) = 3 · 2² = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x₀ = π/2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x₀) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x₀) = f ’(π/2) = 2cos (π/2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π/2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

Смотрите также:

Правила вычисления производных
Вводный урок по вычислению производных степенной функции
Что такое логарифм
Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
Текстовые задачи про рельсы
Задача B4: Семья из трех человек едет из Москвы в Нижний Новгород

Источник

Видеоурок: Уравнение касательной к графику функции

Лекция: Уравнение касательной к графику функции

Если некоторая прямая проходит через точку с координатами (х₀; f (х₀)), а угол наклона данной прямой равен производной функции в данной токе, то такую прямую называют касательной к графику.

Обратите внимание, если не существует производной графика в данной точке, то и не может существовать касательной, или же данная касательная перпендикулярна к оси ОХ. Второй случай можно наблюдать в результате проведения касательной для графика функции арксинуса.

Итак, давайте рассмотрим задание касательной. Мы знаем, что для задания любой прямой, необходимо воспользоваться формулой y = kx + b.

Коэффициент k показывает, под каким углом будет располагаться прямая относительно оси ОХ. Если данный коэффициент больше нуля, то угол наклона между касательной и осью ОХ острый, если же коэффициент отрицательный, то угол между осью ОХ и касательной тупой.

Но давайте возвратимся к тому, что такое угловой коэффициент и как он находится. С прошлых вопросов мы помним, что угловой коэффициент – это производная функции в некоторой точке х₀.

Чтобы задать уравнение касательной, необходимо воспользоваться формулой:

Итак, давайте рассмотрим подробнее, для этого необходимо провести аналогию между первоначальным уравнением прямой и уравнением касательной.

Отсюда следует, что для нахождения коэффициента k, необходимо найти производную в рассматриваемой точке.

Давайте найдем уравнение прямой для функции у = х³ в точке х₀ = 3.

1. Находим производную данной функции:
y’ = 3x².

2. Как уже было сказано ранее, коэффициент – это производная функции в некоторой точке, поэтому
y'(3) = 3* 3² = 27.

3. Как видно из уравнения касательной, нам так же необходимо найти и значение функции в рассматриваемой точке f(x₀):
f(3) = 3³ = 27.

Совершенно случайно получилось так, что значение производной в точке совпало со значением функции в заданной точке. Обратите внимание, что это просто совпадения и НЕ обязательно y’ = f(x₀).

4. Теперь давайте составим уравнение касательной по заданной формуле:
у = 27 * (х – 3) + 27.

Чтобы получить конечно уравнение, необходимо сделать некоторые преобразования:
у = 27 * (х – 3) + 27 = 27х – 81 + 27 = 27х — 54.

То есть уравнение касательной:
у = 27х — 54.

Найти уравнение касательной достаточно просто, главное не запутаться в формуле. Для этого её необходимо просто выучить.

Источник