Уравнение плоскости егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

23 ноября 2012

В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости. Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока — «Матрицы и определители». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.

Уравнение плоскости по трем точкам

Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:

Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:

M = (x₁, y₁, z₁);
N = (x₂, y₂, z₂);
K = (x₃, y₃, z₃);

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа A, B, C и D — коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ — подставить координаты в уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Получится система из трех уравнений, которая легко решается.

Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.

Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием без каких-либо обоснований и доказательств.

Уравнение плоскости через определитель

Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала — теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.

Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: M = (x₁, y₁, z₁); N = (x₂, y₂, z₂); K = (x₃, y₃, z₃). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A₁ = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C₁ = (1, 1, 1);

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные x, y и z шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A = (0, 0, 0);
B₁ = (1, 0, 1);
D₁ = (0, 1, 1);

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

Снова раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a − b = z − (x + y) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, но все-таки рекомендуется — чтобы упростить дальнейшее решение задачи.

Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель — и все, уравнение готово.

На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит x₂ или x₃, а в какой — просто x. Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.

Откуда берется формула с определителем?

Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.

Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:

M = (x₁, y₁, z₁);
N = (x₂, y₂, z₂);
K = (x₃, y₃, z₃).

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

T = (x, y, z)

Берем любую точку из первой тройки (например, точку M) и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:

MN = (x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁);
MK = (x₃ − x₁, y₃ − y₁, z₃ − z₁);
MT = (x − x₁, y − y₁, z − z₁).

Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы — и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN, MK и MT, равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка T = (x, y, z) — как раз то, что мы искали.

Замена точек и строк определителя

У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2. Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:

Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки T = (x; y; z) в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:

Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные x, y и z, которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:

Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

B₁ = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D₁ = (0, 1, 1).

Итак, рассматриваем 4 точки:

B₁ = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D₁ = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Все, мы получили ответ: x + y + z − 2 = 0.

Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными x, y, z не внизу, а вверху:

Вновь раскрываем полученный определитель:

a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Мы получили точно такое же уравнение плоскости: x + y + z − 2 = 0. Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.

Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.

В рассмотренной выше задаче мы использовали точку B₁ = (1, 0, 1), но вполне можно было взять C = (1, 1, 0) или D₁ = (0, 1, 1). В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.

Смотрите также:

Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
Сводный тест по задачам B15 (1 вариант)
Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
Задача B4: тарифы на сотовую связь

Источник

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) :
$$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$
$$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$
Тогда координаты вектора (vec{AB}) можно определить по формуле:
$$ vec{AB}={x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A}. $$

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора:
$$ a={x_a,y_a,z_a};$$
$$ b={x_b,y_b,z_b}; $$
тогда угол (alpha) между ними находится по формуле:
$$ cos{alpha}=frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}*sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой:
$$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$
где (A,B,C,D) – какие-то числа.

Если найти (A,B,C,D), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

$$ K(x_K,y_K,z_K);,L(x_L,y_L,z_L);,P(x_P,y_P,z_P). $$

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$begin{cases} A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.end{cases}$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: (A,B,C,D). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем (D) приравнять (1), если же проходит, то (D=0). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на (D), от этого уравнение не изменится, но вместо (D) будет стоять (1), а остальные коэффициенты будут в (D) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Пример 3

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
$$ K(1;2;3);,P(0;1;0);,L(1;1;1). $$
Подставим координаты точек в уравнение плоскости (D=1):
$$begin{cases} A*1+B*2+C*3+1=0,\ A*0+B*1+C*0+1=0, \ A*1+B*1+C*1+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A+2*B+3*C+1=0,\ B+1=0, \ A+B+C+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A-2+3*C+1=0,\ B=-1, \ A=-C.end{cases}$$
$$begin{cases} A=-0.5,\ B=-1, \ C=0.5.end{cases}$$
Получаем искомое уравнение плоскости:
$$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки (M(x_M;y_M;z_M)), легко найти расстояние до плоскости (Ax+By+Cz+D=0:)
$$ rho=frac{|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$

Пример 4

Найдите расстояние от т. (H (1;2;0)) до плоскости, заданной уравнением
$$ 2*x+3*y-sqrt{2}*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты:
$$ A=2,,B=3,,C=-sqrt{2},,D=4.$$
Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
$$ rho=frac{|2*1+3*2-sqrt{2}*0+4|}{sqrt{2^2+3^2+{-sqrt{2}}^2}}. $$
$$ rho=frac{12}{sqrt{16}}=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Пример 5

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма (ABCFDE), ребра которой равны 2. Точка (G) — середина ребра (CE).

Докажите, что прямые (AD) и (BG) перпендикулярны.

Найдите расстояние между прямыми (AD) и (BG).

Решение:

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

Источник

Метод координат

Для решения задачи по стереометрии координатным методом нужно выбрать декартову систему координат. Ее можно выбрать как угодно, главное, чтобы она была удобной. Приведем примеры выбора системы координат в кубе, пирамиде и конусе:

Далее необходимо найти координаты основных точек в выбранной системе координат. Это могут быть вершины объемной фигуры, середины ребер или любые другие точки, указанные в условии задачи. Найдем координаты куба и правильной пирамиды (предположим, что все ребра равны (4)):

Куб: Очевидно, что координаты точки (A) в начале координат — ((0;0;0)). т. (B) — ((4;0;0)), т. (G) — ((4;4;4)) и т.д. (Рис. 1).

С кубом все просто, но в других фигурах могут возникнуть трудности с нахождением координат.

Давайте рассмотрим правильную пирамиду (ABCD):

У (т. A) координаты ((0;0;0)), потому что она лежит в начале координат.

Координату (x) точки (С) можно получить, опустив перпендикуляр (CE) из (т.С) на ось (OX). (см. Рис. 2). Получится (т.E), указывающая на искомую координату по (x) – 2.

Координату (y) точки (С) тоже получаем, опустив перпендикуляр (CF) на ось (OY). Координата (y) (т.С) будет равна длине отрезка (AF=CE). Найдем его по теореме Пифагора из треугольника (AFC): $$ ^2=^2+^2,$$ $$ 4^2=2^2+^2,$$ $$ CE=sqrt<12>. $$ Координата (z) точки (C), очевидно, равна (0), потому что (т.С) лежит в плоскости (XOY). $$ C (2;sqrt<12>; 0). $$

И найдем координаты вершины пирамиды ((т.D)). (Рис. 3) Координаты (X) и (Y) у точки (D) совпадают с координатами (X) и (Y) у точки (H). Напомню, что высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения медиан, биссектрис и высот. Отрезок (EH=frac<1><3>*CE=frac<1><3>*sqrt<12>) (медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении как (frac<1><3>)) и равен координате точки (D) по (Y). Длина отрезка (IH=2) будет равна координате точки (D) по (X). А координата по оси (Z) равна высоте пирамиде: $$ ^2=^2+^2, $$ $$ =sqrt<4^2-<frac<2><3>*AF>^2>, $$ $$ =frac<32><3>. $$ $$ D (2, frac<1><3>*sqrt<12>, frac<32><3>). $$

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) : $$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$ $$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$ Тогда координаты вектора (vec) можно определить по формуле: $$ vec=. $$

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора: $$ a=;$$ $$ b=; $$ тогда угол (alpha) между ними находится по формуле: $$ cos<alpha>=frac<sqrt<^2+^2+^2>*sqrt<^2+^2+^2>>. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой: $$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$ где (A,B,C,D) – какие-то числа.

Например, пусть даны три точки:

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$begin A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.end$$

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки $$ K(1;2;3);,P(0;1;0);,L(1;1;1). $$ Подставим координаты точек в уравнение плоскости (D=1): $$begin A*1+B*2+C*3+1=0,\ A*0+B*1+C*0+1=0, \ A*1+B*1+C*1+1=0.end$$ $$begin A+2*B+3*C+1=0,\ B+1=0, \ A+B+C+1=0.end$$ $$begin A-2+3*C+1=0,\ B=-1, \ A=-C.end$$ $$begin A=-0.5,\ B=-1, \ C=0.5.end$$ Получаем искомое уравнение плоскости: $$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки (M(x_M;y_M;z_M)), легко найти расстояние до плоскости (Ax+By+Cz+D=0:) $$ rho=frac<|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|><sqrt>. $$

Найдите расстояние от т. (H (1;2;0)) до плоскости, заданной уравнением $$ 2*x+3*y-sqrt<2>*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты: $$ A=2,,B=3,,C=-sqrt<2>,,D=4.$$ Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. $$ rho=frac<|2*1+3*2-sqrt<2>*0+4|><sqrt<2^2+3^2+<-sqrt<2>>^2>>. $$ $$ rho=frac<12><sqrt<16>>=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма (ABCFDE), ребра которой равны 2. Точка (G) — середина ребра (CE).

Докажите, что прямые (AD) и (BG) перпендикулярны.
Найдите расстояние между прямыми (AD) и (BG).

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

Задача C2: уравнение плоскости через определитель

Уравнение плоскости по трем точкам

Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа A , B , C и D — коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ — подставить координаты в уравнение Получится система из трех уравнений, которая легко решается.

Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием обоснований и доказательств.

Уравнение плоскости через определитель

Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:

a = 1 · 1 · ( z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · ( z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (− x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

Снова раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a − b = z − ( x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, рекомендуется — чтобы упростить дальнейшее решение задачи.

На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит а в какой — Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.

Откуда берется формула с определителем?

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

Берем любую точку из первой тройки (например, и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка как раз то, что мы искали.

Замена точек и строк определителя

Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:

Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:

Ax + By + Cz + D = 0

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

Итак, рассматриваем 4 точки:

Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:

a = 0 · 1 · ( z − 1) + 1 · 0 · ( x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · ( x − 1) + 1 · (−1) · ( z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Все, мы получили ответ: .

Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными не внизу, а вверху:

Вновь раскрываем полученный определитель:

a = ( x − 1) · 1 · (−1) + ( z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = ( z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + ( x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Мы получили точно такое же уравнение плоскости: Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.

В рассмотренной выше задаче мы использовали точку но вполне можно было взять В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.

Метод координат в задачах ЕГЭ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Метод координат в задачах ЕГЭ Стереометрия

Угол между прямыми

Решение (1 способ)

Решение (2 способ)

Координаты правильной треугольной призмы

Координаты правильной шестиугольной призмы

Задача 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки Е и F – середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF. Решение.

Координаты правильной четырехугольной пирамиды

Е- середина SB F- середина SC Решение.

Задача 5 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой DE, где Е- середина апофемы SF грани ASB и плоскостью ASC Решение.

— направляющий вектор прямой DE

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Уравнение плоскости Если плоскость проходит через начало координат, то d=0 Если плоскость пересекает оси координат в точках А, В, С, то уравнение плоскости в отрезках

Задача 6 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5) и найти координаты вектора нормали. Решение.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние между параллельными плоскостями

Задача 7 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от середины ребра ВС до плоскости SCD Решение.

Угол между плоскостями

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 575 754 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Глава 3. Многогранники

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

09.02.2018
1049
9

08.02.2018
653
24

08.02.2018
736
2

08.02.2018
301
4

08.02.2018
319
1

07.02.2018
728
0

07.02.2018
1999
5

06.02.2018
274
1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

10.02.2018 4747
PPTX 1.8 мбайт
58 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Казновская Анна Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 4 года
Подписчики: 0
Всего просмотров: 38406
Всего материалов: 28

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

источники:

http://www.berdov.com/ege/solid_geometry/uravnenie-ploskosti-opredelitel/

http://infourok.ru/metod-koordinat-v-zadachah-ege-2567973.html

Источник

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

$vec{a}(x_{a};: y_{a};: z_{a})$

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

$vec{a}=vec{AB}(x_{B}-x_{A};: y_{B}-y_{A};: z_{B}-z_{A})$

Длина вектора vec{AB} в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

$|vec{a}|=sqrt{x^{2}_{a}+y^{2}_{a}+z^{2}_{a}}=sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$ Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

$x_{M}=frac{x_{A}+x_{B}}{2};: : y_{M}=frac{y_{A}+y_{B}}{2};: : z_{M}=frac{z_{A}+z_{B}}{2}$

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

$vec{a}+vec{b}=vec{c}(x_{a}+x_{b};: y_{a}+y_{b};: z_{a}+z_{b})$

Разность векторов:

$vec{a}-vec{b}=vec{d}(x_{a}-x_{b};: y_{a}-y_{b};: z_{a}-z_{b})$

Произведение вектора на число:

$lambda cdot vec{a}=vec{p}(lambda x_{a};: lambda y_{a};:lambda z_{a} )$

Скалярное произведение векторов:

$vec{a}cdot vec{b}=|vec{a}|cdot |vec{b}|cdot cosvarphi =x_{a}cdot x_{b}+y_{a}cdot y_{b}+z_{a}cdot z_{b}$

Косинус угла между векторами:

$cosvarphi =frac{vec{a}cdot vec{b}}{|vec{a}|cdot vec{|b|}}=frac{x_{a}cdot x_{b}+y_{a}cdot y_{b}+z_{a}cdot z_{b}}{sqrt{x^{2}_{a}+y^{2}_{a}+z^{2}_{a}}cdot sqrt{x^{2}_{b}+y^{2}_{b}+z^{2}_{b}}}$

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами vec{AE} и vec{BK} . Для этого нужны их координаты.

$, \ A(0;0;0)\ B(1;0;0)\ E(frac{1}{2};0;1)\ K(1;frac{1}{2};1)$

Запишем координаты векторов:

$vec{AE}left (frac{1}{2};0;1 right )$

$vec{BK}left (0;frac{1}{2};1 right )$

и найдем косинус угла между векторами vec{AE} и vec{BK} :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

$Aleft ( frac{1}{2};-frac{1}{2};0 right )$

$Bleft ( frac{1}{2};frac{1}{2};0 right )$

$Cleft ( -frac{1}{2};frac{1}{2};0 right )$

Из прямоугольного треугольника AOS найдем $OS=frac{sqrt{2}}{2}.$

Координаты вершины пирамиды: $Sleft ( 0;0;frac{sqrt{2}}{2} right ).$

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

$Eleft ( frac{1}{4};frac{1}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

$Kleft ( -frac{1}{4};frac{1}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

Найдем координаты векторов и :

$overrightarrow{AE}left ( -frac{1}{4};frac{3}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

$overrightarrow{BK}left ( -frac{3}{4};frac{1}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

и угол между ними:

$cosvarphi =frac{overrightarrow{AE}cdot overrightarrow{BK}}{left |overrightarrow{AE} right |cdot left |overrightarrow{BK} right |}=frac{1}{6}$

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

$A_{1}(0;0;1)$

$B(frac{1}{2};frac{sqrt{3}}{2};0)$

$B_{1}(frac{1}{2};frac{sqrt{3}}{2};1)$

$C_{1}(-frac{1}{2};frac{sqrt{3}}{2};1)$

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

$D(frac{1}{4};frac{sqrt{3}}{4};1)$

Найдем координаты векторов и $overrightarrow{BC}_{1}$ , а затем угол между ними:

$overrightarrow{AD}(frac{1}{4};frac{sqrt{3}}{4};1)$

$overrightarrow{BC_{1}}(-1;0;1)$

$cosvarphi =frac{overrightarrow{AD}cdot overrightarrow{BC_{1}}}{left |overrightarrow{AD} right |cdot left |overrightarrow{BC_{1}} right |}=frac{3}{2sqrt{10}}$

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

$left{begin{matrix} A+C+D=0\ 2A-2B+D=0\ 4A+B+2C+D=0 end{matrix}right.$ .

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

$left{begin{matrix} A+C-2=0\ 2A-2B-2=0\ 4A+B+2C-2=0 end{matrix}right.$ ;

$left{begin{matrix} A+C=2\ A-B=1\ 4A+B+2C=2 end{matrix}right.$ .

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

$left{begin{matrix} C=2-A\ B=A-1\ 4A+A-1+4-2A=2 end{matrix}right.$ .

Решив систему, получим:

$, \ A=-frac{1}{3}\ , \ B=-frac{4}{3}\ , \ C=frac{7}{3}$

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

$-frac{1}{3}x-frac{4}{3}y+frac{7}{3}z-2=0.$

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку $M(x_{0}, y_{0}, z_{0}),$ имеет вид:

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0.$

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

$cosvarphi =frac{left |vec{n}_{1}cdot vec{n}_{2} right |}{|vec{n}_{1}|cdot |vec{n}_{2}|}$

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: $vec{n}_{1}=overrightarrow{AC}(1;1;0).$

Напишем уравнение плоскости AEF.

$, \ A(0;0;0)\ E(frac{1}{2};0;1)\ , \ F(0;frac{1}{2};1)$

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

$left.begin{matrix} A\ , \ E\ , \ F end{matrix}right|$ $, \ 0cdot A+0cdot B+0cdot C+D=0\ , \ frac{1}{2}cdot A+0cdot B+1cdot C+D=0\ , \ 0cdot A+frac{1}{2}cdot B+1cdot C+D=0$

Упростим систему:

$left{begin{matrix} D=0\ frac{1}{2}A+C=0\ , \ frac{1}{2}B+C=0 end{matrix}right.$ .

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

$cosvarphi =frac{|2+2|}{sqrt{2}cdot sqrt{9}}=frac{4}{sqrt{2}cdot 3}=frac{4}{sqrt{2}cdot 3}=frac{2sqrt{2}}{3}$

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике»

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = √3

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор $vec{n_{1}}(1;0;0)$ .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

$B_{1}left ( 5;, 0;, sqrt{3} right )$

Координаты вектора $overrightarrow{B_{1}D}$ — тоже:

$overrightarrow{B_{1}D}left ( -5;, sqrt{33};, -sqrt{3} right )=overrightarrow{n}_{2}$

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

$cos, varphi =frac{5}{sqrt{25+33+3}}=frac{5}{sqrt{61}}$

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

$1+tg^{2}varphi =frac{1}{cos^{2}varphi }$

Получим:
$tg, varphi =frac{6}{5}.$

Ответ: $frac{6}{5}.$

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

$sin, varphi =frac{left | overrightarrow{n}cdotoverrightarrow{a} right |}{left | overrightarrow{n} right |cdot |overrightarrow{a}|}$

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

$Eleft ( 1;, frac{1}{2};, 1 right )$

Находим координаты вектора $overrightarrow{AE}left ( 0;, frac{1}{2};, 1 right )$ .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

$sin, varphi =frac{left | overrightarrow{AC}cdot overrightarrow{AE} right |}{|overrightarrow{AC}|cdot|overrightarrow{AE}|}=frac{2}{2cdot sqrt{2}cdot sqrt{5}}=frac{1}{sqrt{10}}$

Ответ: $frac{1}{sqrt{10}}.$

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

$h=frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = $frac{6}{sqrt{5}}$ . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

$A_{1}left ( 0, ;0;, frac{6}{sqrt{5}} right )$

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

$left.begin{matrix} A_{1}\ B\ D end{matrix}right|$ $begin{matrix} frac{6}{sqrt{5}}C+D=0\ sqrt{10}A+D=0\ 3sqrt{10}B+D=0 end{matrix}$

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

$h=frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}=frac{6sqrt{10}}{sqrt{50+36+4}}=frac{6sqrt{10}}{sqrt{90}}=2.$

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Векторы в пространстве и метод координат» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник