Уравнения с параметром егэ 11 класс профиль

Рассмотрим данное уравнение в системе координат Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в
системе координат множество решений данного уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит этому множеству то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то
будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых более двух
точек вида где принадлежит множеству решений изображенному на плоскости Фактически
это равносильно тому, что горизонтальная прямая имеет более двух точек пересечения с множеством

В области модуль раскроется положительно и уравнение примет вид

То есть мы получим часть окружности, находящуюся не ниже прямой

В области модуль раскроется отрицательно и мы получим

То есть мы получим часть окружности, находящуюся ниже прямой

Построим графики.

 
Заметим, что

1)

самая высшая точка у правой окружности выше, чем у левой, так как

2)

самая низшая точка у левой окружности ниже, чем у правой, так как

3)

окружности пересекаются в двух точках и на прямой

Все горизонтальные прямые находящиеся в заштрихованной области, то есть между точками и и
имеют 3 или 4 точки пересечения с областью которая является объединением двух частей окружностей. Следовательно, все
эти значения параметров нам подходят.

Осталось найти ординаты точек

Ординаты точек можно найти из пересечения какой-то из окружностей с прямой

Следовательно, подходят значения параметра

Ответ:

Данное уравнение равносильно совокупности

Полученная совокупность может иметь максимум 4 решения, следовательно, найдем те значения параметра, при которых она
имеет ровно 4 решения, тогда все другие значения параметра будут искомыми.

Чтобы совокупность имела 4 решения, каждая из систем должна иметь по два различных решения, следовательно, каждое
квадратное уравнение и должно иметь два корня, удовлетворяющие условию или
соответственно.

Во-первых, дискриминанты квадратных уравнений должны быть положительны:

Во-вторых, чтобы парабола пересекала ось абсцисс в двух точках , абсцисса вершины параболы должна быть
положительна и значение функции в должно быть неотрицательно. Чтобы парабола пересекала ось абсцисс в двух
точках меньше нуля, значение функции в должно быть положительно, а абсцисса вершины параболы должна быть
отрицательна. Таким образом, получаем:

Таким образом, 4 решения будет при . Следовательно, меньше 4 решений будет при

Ответ:

Данное уравнение равносильно совокупности

Полученная совокупность может иметь максимум 4 решения, следовательно, найдем те значения параметра, при которых она
имеет 4 решения, тогда все другие значения параметра будут искомыми.

Чтобы совокупность имела 4 решения, каждая из систем должна иметь по два различных решения, следовательно, каждое
квадратное уравнение и должно иметь два корня, удовлетворяющие условиям или
соответственно.

Во-первых, дискриминанты квадратных уравнений должны быть положительны:

Во-вторых, чтобы парабола пересекала ось абсцисс в двух точках абсцисса вершины параболы должна быть
положительна и значение функции в должно быть неотрицательно. Чтобы парабола пересекала ось абсцисс в двух
точках значение функции в 0 должно быть положительно, а абсцисса вершины параболы должна быть отрицательна.
Таким образом, получаем:

Таким образом, 4 решения будет при Следовательно, меньше 4 решений будет при

Ответ:

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множество решений
системы. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит этому множеству то для
исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений
системы. Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых ровно две из точек вида
где принадлежат множеству решений изображенному на плоскости Фактически
это равносильно тому, что горизонтальная прямая имеет ровно две точки пересечения с множеством

Построим на плоскости множество решений данного уравнения.

Раскроем знак модуля в двух случаях.

Случай 1.

В график полученного уравнения — окружность. С учетом получаем дугу окружности не выше прямой
Найдем пересечение прямой с окружностью с помощью подстановки:

Тогда прямая пересекает окружность в точках и

Случай 2.

Аналогично получаем дугу окружности не ниже прямой Подстановкой убедимся, что прямая пересекает
вторую окружность в тех же точках.

Построим графики.

• При прямая не пересекает графики.
• При прямая касается левой окружности, так как точка — центр левой окружности,
  а — ее радиус.
• При прямая пересекает дугу левой окружности в двух точках. Значит, имеем 2
  точки пересечения.
• При прямая пересекает дугу левой окружности в двух точках и касается правой, то есть
  имеем 3 точки пересечения.
• При прямая пересекает дугу левой окружности в двух точках и дугу правой окружности
  в двух точках, то есть имеем 4 точки пересечения.
• При прямая пересекает дугу левой окружности в двух точках и дугу правой окружности в двух
  точках, но две из этих точек совпадают, то есть имеем 3 точки пересечения.
• При прямая пересекает дугу левой окружности в одной точке и дугу правой окружности в
  одной точке, то есть имеем 2 точки пересечения.
• При прямая пересекает дугу левой окружности в двух точках и дугу правой окружности в двух
  точках, но две из этих точек совпадают, то есть имеем 3 точки пересечения.
• При прямая пересекает дугу правой окружности в двух точках и дугу левой окружности
  в двух точках, то есть имеем 4 точки пересечения.
• При прямая пересекает дугу правой окружности в двух точках и касается левой, то есть
  имеем 3 точки пересечения.
• При прямая пересекает дугу правой окружности в двух точках. Значит, имеем 2
  точки пересечения.

• При прямая касается правой окружности, так как точка — центр правой окружности,
  а — ее радиус.
• При прямая не пересекает графики.

Значит, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

Ответ:

Запишем систему, равносильную данной:

Графиком первого уравнения является объединение двух графиков: горизонтальной прямой и гиперболы
Заметим, что в уравнении можно разделить обе части на так как не является решением этого
уравнения.

Графиком второго уравнения при каждом фиксированном является прямая, проходящая через начало координат
При этом прямая может быть любой, кроме вертикальной, так как вертикальная прямая задается уравнением

Неравенство задает область соответствующую правой полуплоскости, образованной прямой не включая
границу. Следовательно, нам необходимо найти такие положения прямой при которых она имеет ровно три точки
пересечения с графиком первого уравнения в области

При всех прямая расположена во второй и четвертой четвертях, следовательно, с графиком первого уравнения
имеет не более одной точки пересечения.

При имеем:

Найдем значения параметра, при которых прямая проходит через точки

Точка — точка пересечения гиперболы с прямой следовательно, значит,

Точка — точка пересечения прямой и гиперболы, следовательно, откуда следовательно,

Найдем соответствующие значения параметра:

Следовательно, исходная система имеет три решения при

Ответ:

Исходное уравнение равносильно системе

Рассмотрим уравнение последней системы:

Дискриминант выражения в скобках равен

Следовательно, нулями выражения в скобках являются

Таким образом, получаем:

Чтобы данная система имела три различных решения, необходимо:

Отсюда

Ответ:

Преобразуем условие к виду

Рассмотрим случаи раскрытия модулей, чтобы привести функцию к кусочно заданному виду:

Раскроем модули в зависимости от принадлежности к одному из трех промежутков:

1.

2.

3.

Резюмируя, получим

Найдем координаты точек излома функции

Мы получили, что на первом промежутке функция линейная убывающая, на третьем — линейная возрастающая. На втором
промежутке функция также линейная. Более того, коэффициент при зависит от параметра поэтому заранее мы не
знаем, убывает или возрастает наша функция на втором промежутке.

Рассмотрим три возможных случая.

• Функция возрастает на отрезке то есть В этом случае график примет следующий вид
  (оси изображены для удобства, мы не знаем, как график будет располагаться относительно них и не пользуемся этим):

  

  В этом случае уравнение будет иметь ровно два различных решения, если горизонтальная прямая проходит выше
  левой точки излома графика, то есть

  

  Пересекая с условием получаем

• Функция убывает на отрезке то есть В этом случае график примет следующий вид (оси
  изображены для удобства, мы не знаем, как график будет располагаться относительно них и не пользуемся этим):

  

  В этом случае уравнение будет иметь ровно два различных решения, если горизонтальная прямая проходит выше
  правой точки излома графика, то есть

  

  Пересекая с условием получаем

• Коэффициент при зануляется, то есть Подставив это значение параметра в уравнение,
  получим

  

  Левая часть этого уравнения неотрицательна, так как является суммой двух модулей, а правая отрицательна. Значит, при
  таком значении уравнение не имеет решений, и это значение нам не подходит.

Объединив найденные значения получим

Ответ:

1способ.

Перепишем уравнение в виде

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

Рассмотрим несколько случаев.

1)

Тогда квадратное уравнение имеет единственный корень Следовательно, для
того, чтобы вся совокупность, а значит и исходное уравнение, имела два решения, нужно, чтобы удовлетворял
условию (то есть ) и чтобы (они равны при ). Оба этих условия выполняются
при следовательно, это значение параметра — первая часть ответа.

2)

и (то есть удовлетворяет условию ). Тогда квадратное уравнение
имеет два корня . Следовательно, чтобы исходное уравнение имело два корня, нужно, чтобы один из
и совпадал с Это значит, что — корень квадратного уравнения то есть

Оба эти значения параметра удовлетворяют условиям и следовательно, они — вторая часть ответа.

3)

и Тогда квадратное уравнение имеет два корня, а не является решением
исходного уравнения, так как не удовлетворяет условию

Получили третью часть ответа.

Следовательно, ответ:

2 способ.

Преобразуем уравнение:

Посмотрим, при каких значения параметра каждое из уравнений совокупности имеет решение.

Тогда поймем, какое количество решений имеет исходное уравнение в зависимости от значения параметра

Найдем такие значения параметра при которых какие-то два корни совпадают. Для этого рассмотрим все три пары
корней.

Все три полученных значения параметра принадлежат отрезку — отрезку, на котором исходное уравнение имеет три
необязательно различных корня. При этих значениях параметра ровно два корня из трех совпадают, значит, при
исходное уравнение имеет ровно два различных корня.

На промежутке никакие корни не совпадают, поэтому исходное уравнение имеет два различных решения при

При исходное уравнение имеет ровно один корень.

Значит, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при

Ответ:

• При и первая, и вторая системы совокупности имеют решения, значит, весь этот промежуток нам не
  подходит.
• При имеется бесконечное число решений, следовательно, такое нам тоже не подходит.
• При только вторая система имеет решение, причем ровно одно, такие нам подходят.
• При обе системы имеют по одному решению, такие нам не подходят.
• При только первая система имеет решение, причем ровно одно, такое нам подходит.

Резюмируя, получаем ответ

Ответ:

Перепишем уравнение в следующем виде

Введем обозначения:

Сразу ясно, что график функции — это «уголок» модуля ветвями вниз с вершиной в точке

Чтобы построить график функции сначала представим ее в кусочно-заданном виде, раскрыв модули. При оба
модуля раскрываются с минусом, при первый раскрывается с плюсом, второй — с минусом, при — оба с
плюсом:

Получили, что график функции — это ломаная, крайние звенья которой горизонтальны. Построим график функции и
графики функции при различных чтобы понять, как они себя ведут.

Заметим, что координата по правого излома ломаной совпадает с координатой по вершины уголка — точки
Нам нужно, чтобы ломаная имела пересечения с уголком, тогда есть два ключевых для нас положения ломаной.

По полученной картинке видим следующее:

• При ломаная не будет иметь пересечений уголком, такие нам гарантированно не подходят.
• В положениях и пересечение будет ровно одно, они там тоже не подойдут.
• При левый излом ломаной будет лежать ниже левой ветви уголка. Тогда левое звено ломаной будет иметь
  ровно одно пересечение с левой ветвью уголка, среднее звено ломаной также будет иметь ровно одно пересечение
  с левой ветвью уголка, правое звено ломаной не будет иметь пересечений с левой ветвью уголка. С правой ветвью
  уголка ни одно из звеньев ломаной не будет иметь пересечений. Получаем, что при таких ломаная и уголок
  будут иметь ровно две точки пересечения, что нам подходит.
• При правый излом ломаной будет лежать ниже вершины уголка. Тогда левое звено ломаной не будет
  иметь пересечений с уголком, среднее звено ломаной будет иметь ровно одно пересечение только с левой ветвью
  уголка, правое звено ломаной будет иметь ровно одно пересечение только с правой ветвью уголка. Получаем, что
  при таких ломаная и уголок будут иметь ровно две точки пересечения, что нам подходит.

Объединяя все подходящие значения, получаем

Ответ:

Рассмотрим данное нам уравнение. Оно является биквадратным, если коэффициент при не равен 0, то есть когда
Пусть тогда

Значит, при исходное уравнение будет иметь два решения. Теперь будем рассматривать При таких
значения параметра коэффициент при не будет равняться следовательно, исходное уравнение будет
биквадратным.

Пусть Тогда исходное уравнение примет вид квадратного уравнения:

Заметим, что если полученное уравнение имеет хотя бы один положительный корень то исходное уравнение будет
иметь два различных корня Значит, нам нужно найти такие значения параметра при которых полученное
квадратное уравнение имеет хотя бы один положительный корень.

Поймем, какими по знаку могут быть корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета произведение корней
приведенного квадратного уравнения равно свободному члену, тогда произведение корней полученного уравнения равно
Следовательно, оба корня обязаны быть одного знака, либо один из них равен 0, так как если корни имеют разные
знаки, то их произведение меньше 0.

Тогда посмотрим, чему должна равняться сумма корней для того, чтобы хотя бы один корень был положительный. Если это
так, то второй корень должен быть не меньше 0, так как произведение корней неотрицательно. Тогда сумма корней должна быть
строго положительна. По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна Тогда
сумма корней нашего уравнения равна Значит,

Теперь осталось обеспечить наличие хотя бы одного корня, то есть найти такие значения параметра при которых
дискриминант уравнения неотрицателен с учетом

Заметим, что все полученные значения параметра больше 0, поэтому при таких значениях будет хотя бы один
положительный корень Значит, у исходного уравнения будет хотя бы два различных корня. При у исходного
уравнения тоже будет два различных корня, следовательно, окончательный ответ:

Ответ:

Рассмотрим данное нам уравнение. Оно является биквадратным, если коэффициент при не равен 0, то есть когда .
Пусть , тогда и

Значит, при , где исходное уравнение имеет ровно один корень. Далее будем рассматривать
. При таких значения параметра коэффициент при не будет равняться , следовательно,
исходное уравнение будет биквадратным. Пусть . Тогда исходное уравнение примет вид квадратного
уравнения:

Заметим, что если полученное уравнение имеет хотя бы один положительный корень , то исходное уравнение будет
иметь два различных корня . Если же уравнение будет иметь два различных положительных корня , то
исходное уравнение уже будет иметь хотя бы три различных корня. Значит, полученное уравнение должно иметь ровно один
положительный корень.

Тогда полученное уравнение должно иметь хотя бы один корень, то есть его дискриминант должен быть
неотрицательным:

По теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену, то есть . Значит,
корни уравнения одного знака. Тогда если они положительные, то и их сумма положительна, если отрицательны, то сумма
отрицательна. Нам нужно найти такие значения параметра , при которых у этого уравнения ровно один положительный
корень, значит, оно должно иметь два равных положительных корня, то есть дискриминант равен 0, а сумма корней больше

0.

По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна . Значит, если
корни положительны, то

Тогда имеем систему:

Ответ:

Преобразуем первое уравнение исходной системы так, чтобы получилось уравнение
окружности:

Мы получили уравнение окружности с центром в точке и радиусом
Преобразуем второе уравнение исходной системы так, чтобы получилось
уравнение окружности:

Мы получили уравнение окружности с центром в точке
и радиусом Тогда исходную систему можно переписать так:

В итоге мы получили систему из уравнений двух окружностей. Нам нужно
найти такие значения параметра при которых система имеет ровно два
решения. Мы знаем, что окружности могут иметь 0, 1, 2 или бесконечное
количество точек пересечения. 2 точки пересечения окружности с одинаковыми
радиусами имеют только тогда, когда расстояние между их центрами больше 0, но
меньше их удвоенного радиуса. Выразим расстояние между центрами и

Значит, имеем неравенство:

Получается, что исходная система имеет ровно два решения при

Ответ:

Преобразуем первое уравнение системы:

Тогда исходная система имеет вид:

Найдем для каждой системы полученной совокупности такие значения параметра , при которых она имеет
решение. Рассмотрим первую систему:

Решим левое неравенство:

Это неравенство верно при любом значении . Решим правое неравенство:

Значит, первая система совокупности имеет решение при , причем это решение только одно. Решим вторую
систему совокупности:

Решим правое неравенство:

Это неравенство верно при любом значении . Решим левое неравенство:

Значит, вторая система совокупности имеет решение при , причем это решение только одно. Не
трудно заметить, что третья система имеет единственное решение при любом значении параметра
.

В задаче нам требуется найти такие значения параметра , при которых исходная система имеет ровно два
решения. Посмотрим сколько решений (необязательно различных) имеет система при определенных :

Посмотрим при каких значениях параметра корни совпадают:

Так как , при исходная система имеет только одно решение. Аналогично,
так как , при исходная система имеет только одно решение. При исходная
система имеет не три, а только два корня. Значит, два ровно решения исходная система имеет при

Ответ:

Преобразуем первое уравнение системы:

Тогда исходная система имеет вид:

Найдем для каждой системы полученной совокупности такие значения параметра , при которых она имеет решение.
Рассмотрим первую систему:

Решим левое неравенство:

Это неравенство верно при любом значении . Решим правое неравенство:

Значит, первая система совокупности имеет решение при , причем это решение только одно. Решим вторую систему
совокупности:

Решим правое неравенство:

Это неравенство верно при любом значении . Решим левое неравенство:

Значит, вторая система совокупности имеет решение при , причем это решение только одно. Не трудно заметить, что
третья система имеет решение при любом значении параметра .

В задаче нам требуется найти такие значения параметра , при которых исходная система имеет ровно два решения.
Посмотрим сколько решений (необязательно различных) имеет система при определенных :

Посмотрим при каких значениях параметра корни совпадают:

Так как , то и при исходная система имеет два решения. Тогда исходная система имеет
ровно два решения при .

Ответ:

Преобразуем исходное уравнение:

Будем рассматривать левую и правую части по отдельности. Левая часть задает функцию

При этом значит,

Это уравнение «верхней» полуокружности с центром в точке и радиусом 1. Правая часть задает
функцию

При этом значит,

Это уравнение верхней полуокружности с центром в точке и радиусом 1. При изменении значения параметра
центр этой полуокружности перемещается по прямой Посмотрим, как могут располагаться две эти
полуокружности. Они могут не пересекаться, пересекаться ровно в одной точке или полностью совпадать при

Нарисуем на плоскости зеленым цветом полуокружность, заданную уравнением Далее будет
рассматривать полуокружности, заданные уравнением изменяя значение параметра Заметим, что при
полуокружности не пересекаются. Тогда будем увеличивать значение

При полуокружности впервые пересекутся в одной точке. До они будут иметь ровно одну точку пересечения.
При достижении этого значения полуокружности совпадут. Далее до включительно полуокружности снова будут иметь
одну точку пересечения.

Значит, при исходное уравнение будет иметь ровно одно решение.

Ответ: