в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Категория:
Атрибут:
Всего: 255 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 315. (Часть C)
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 311. (Часть C)
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 321 (часть C).
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 375.
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 376.
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 377.
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 293.
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 314. (Часть C)
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 320. (Часть C)
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Раздел: Алгебра
Источник/автор: Александр Иванов
Решите уравнение 
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 328. (часть C).
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 346.
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 351.
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 355.
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решите уравнение 
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решите уравнение 
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решите уравнение 
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решите уравнение 
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Всего: 255 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Версия для печати и копирования в MS Word
1
а) Решите уравнение: 
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [log30,5; log32].
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
2
а) Решите уравнение: 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
3
а) Решите уравнение 
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
4
а) Решите уравнение 
б) Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
5
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.
ЕГЭ Профиль №13. Иррациональные уравнения
Иррациональные уравнения на ЕГЭ
Материал для подготовки к ЕГЭ по математике на тему: «Иррациональные уравнения».
8. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
8.1. Уравнения четной степени корня
8.2. Уравнения нечетной степени корня
Тест для проверки теоретических знаний
Примеры
Задачи для самостоятельного решения
Контрольный тест
Рекомендуем использовать этот материал при тщательной подготовке к сдаче ЕГЭ на высокий балл.
В теме содержатся теория и практические задания различного уровня сложности.
Алгебра
План урока:
Иррациональные уравнения
Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.
Приведем примеры иррациональных ур-ний:
Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести
Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.
Простейшие иррациональные уравнения
Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:
где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.
Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:
Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии
n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:
Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).
Пример. Найдите решение ур-ния
Решение. Возведем обе части в пятую степень:
х 2 – 14х – 32 = 0
Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:
D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324
Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.
Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Возводим обе части во вторую степень:
х – 2 = х 2 – 8х + 16
D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9
Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):
при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1
при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2
Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:
3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3
3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3
Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:
Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.
Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:
при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1
Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:
Уравнения с двумя квадратными корнями
Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Перенесем вправо один из корней:
Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:
Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:
Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:
(2х – 4) 2 = 13 – 3х
4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х
4х 2 – 13х + 3 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121
Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:
Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3
На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.
Введение новых переменных
Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние
Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.
Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:
х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0
Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид
Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:
D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64
Получили два значения t. Произведем обратную замену:
х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9
Возведем оба ур-ния в четвертую степень:
(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4
х = 1 или х = 6561
Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:
В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.
Пример. Решите ур-ние
х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0
Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:
Его корни вычислим через дискриминант:
D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121
Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:
х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3
Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.
Замена иррационального уравнения системой
Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:
Исходное ур-ние примет вид
Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:
Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:
Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:
(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2
из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:
17 = u 3 + (5 – u) 2
17 = u 3 + u 2 – 10u + 25
u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0
Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа
подставим полученные значения в (4):
x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3
x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64
х = – 5 или х = 2 или х = – 70
Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим
Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:
Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:
Итак, все три числа прошли проверку.
Уравнения с «вложенными» радикалами
Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:
При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:
Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:
Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:
Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:
Возводим в квадрат и получаем:
х 2 + 40 = (х + 4) 2
х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16
И снова нелишней будет проверка полученного корня:
Иррациональные неравенства
По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:
Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.
Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида
Может быть справедливым только тогда, когда
То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во
при четном n можно заменить системой нер-в
Пример. При каких значениях x справедливо нер-во
Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:
х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)
Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во
чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.
Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.
Пример. Найдите решение нер-ва
Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:
x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 
= 49 + 32 = 81
Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:
Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.
Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.
Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид
Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.
Пример. Решите нер-во
Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):
И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:
D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9
Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.
стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:
f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);
g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).
Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.
Пример. Решите нер-во
Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим
х 2 – 10х + 21 > 0(1)
Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:
Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:
Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):
Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:
Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:
Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:
Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:
Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).
Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3
Задание № 13 ЕГЭ по математике — подборка задач с решениями
Подборка задач № 13 ЕГЭ по профильной математике с решениями.
Задание № 13. Уметь решать уравнения и неравенства
Из кодификатора на этой позиции могут встретиться темы:
Уравнения
Равносильность уравнений, систем уравнений
Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными
Основные приёмы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных
Использование свойств и графиков функций при решении уравнений
Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем
Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учёт реальных ограничений.
Неравенства
Системы линейных неравенств
Системы неравенств с одной переменной
Равносильность неравенств, систем неравенств
Использование свойств и графиков функций при решении неравенств
Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем
источники:
http://100urokov.ru/predmety/urok-11-uravneniya-irracionalnye
http://vpr-ege.ru/ege/matematika/706-zadanie-13-ege-po-matematike-podborka-zadach-s-resheniyami
Уравнения с радикалами. О.Д.З.
Простейшие уравнения с радикалами
Правило возведения в квадрат обеих частей уравнения::
если $A=B$ , тогда $A^2=B^2$ , но не наоборот: ($A^2=B^2$ не $Leftrightarrow$ $A=B$ ) .
$A^2=B^2$ $Rightarrow $ $A=B$ при условии: $A$ и $B$ одного и того же знака.
$sqrt{X}=C$ $Rightarrow $ $X=C^2$ при условии: $Cge0$ , $C$ — неотрицательна.
Пример 1: Решить уравнение $sqrt{frac{3+12x}{2x-1}}=3$
- Вопрос к уравнению: каким числом должно быть неизвестное $x$ , чтобы стать корнем уравнения ,
- т.е. чтобы уравнять собой левую и правую части ? не знаем каким числом в будущем окажется $x$ ,
- но сейчас , очевидно , дробь $frac{3+12x}{2x-1}$ должна равняться $9$ . а как иначе левое станет $3$? никак.
- вывод: чтобы сравнялись части, нужно, чтобы сравнялись их квадраты . $A=B$ $Rightarrow$ $A^2=B^2$ .
- метод решения — избавление от радикала — возведение обеих частей в квадрат: формула $left(sqrt{A}right)^2=A$ — .
- применим этот метод и возведем обе части в квадрат $left(sqrt{frac{3+12x}{2x-1}}right)^2=left(3right)^2$ $Leftrightarrow$ — так избавимся от радикала
- $frac{3+12x}{2x-1}=9$ и получим «простое» без радикалов уравнение $3+12x=9cdotleft(2x-1right)$ $Leftrightarrow$ $12=18x-12x$ ,
- наконец-то найдем то самое число , каким должно быть неизвестное ответ: $x=2$
Пример 2: Решить уравнение $sqrt{6-4x-x^2}=-3-2x $
- В начале уточним некоторые детали. не знаем каким станет выравнивающий обе части $x$ , но в любом случае:
- под радикалом должно быть неотрицательное значение. иначе получится «ложь» — бессмыслица.
- надо указать ОДЗ — ограничение $6-4x-x^2ge0$ : (допустимо!) все, что под радикалом $ge0$.
- избавимся от радикала одновременным возведением обеих частей в квадрат.
- но это не гарантирует «уравнивания до возведения» . (Может было 4 = -4 , стало 16 = 16)
- бывает такое: после возведения в квадрат части уравниваются, хотя до операции они были не равны .
- например: $left(-3right)^2=left(3right)^2$ , но ведь $-3ne3$ .
- нам нужны гарантии , что равные после возведения в квадрат части $A^2=B^2$ , были бы равными и до
- такое возможно только при условии : обе части уравнения до возведения $A$ и $B$ должны быть одного знака.
- $left(sqrt{6-4x-x^2}right)^2=left(-3-2xright)^2$ при условии $-3-2xge0$ (правая часть до возведения должна быть $ge0$ )
- оговорка при условии гарантирует одинаковость знаков частей «до» операции возведения в квадрат :
- левая часть — это радикал , он неотрицателен $Rightarrow$ значит правая часть уравнения неотрицательна.
- используем формулы: $left(sqrt{a}right)^2=a$ ; $left(a+bright)^2=a^2+2ab+b^2$ получим $6-4x-x^2=9+12x+4x^2$
- решим квадратное уравнение $5x^2+16x+3=0$. два корня $x=-3$ , $x=-0.2$ .
- внимание: корни должны пройти ОДЗ и при условии. Если какой-то не проходят, значит этот корень ложный.
- проверка: $x=-3$ 1) ОДЗ — да!. 2) «при» $-3-2xge0$ — да! $Rightarrow$ истинное решение.
- проверка: $x=-0.2$ $Rightarrow$ 1) ОДЗ — да!. 2) «при» $-3-2xge0$ — нет! $Rightarrow$ ложное решение.
- ответ: $x=-3$ в ответе перечисляем только истинные, уравнивающие решения.
Область Допустимых Значений — ОДЗ — ОДЗ выражения, ОДЗ уравнения
- те числовые значения переменной, при которых выражения имеют смысл … вычисляются.
- но не те числа, при которых выражение невозможно вычислить
- ОДЗ уравнения — те числовые значения неизвестного, при которых выполняется ОДЗ каждого выражения.
- У выражения с квадратным радикалом ОДЗ условие: под радикальное выражение неотрицательно.
- Если в уравнении есть радикалы, то условия ОДЗ: Каждое подрадикальное $ge0$. (под корнем минусовое нельзя)
- Если есть дробь, то условия ОДЗ: каждый знаменатель $ne0$. (делить на 0 нельзя!)
белы 
Один радикал в уравнении
Напоминание: Избавиться от радикала в уравнении $sqrt{A}=B$ можно путем возведения его в квадрат $left(sqrt{ }right)^2$ , для этого радикал должен быть уединенным в одной из частей уравнения $sqrt{A}$. «При условии» относится к противоположной от радикала части уравнения — выражению $B$ и накладывается до возведения в квадрат, но пишется при возведении $left(Bright)^2$
Пример 3: Решить уравнение $sqrt{5-x^2}-2x=3-x$
- вопросы: как нам из этого уравнения получить такое, какое мы уже научились решать? как нам прийти к виду «радикал равняется не радикальному выражению» ?
- NB: «правильно поставленный вопрос уже полдела. все открытия начинаются от хорошего вопроса. ставьте вопросы! «
- ОДЗ $5-x^2ge0$ $Leftrightarrow $ условие ОДЗ гарантирует «не ложность» решения. перенесем все нерадикальные
- слагаемые на противоположную от радикала сторону $ sqrt{5-x^2}=2x+3-x$ — так мы уединяем радикал.
- возведение обеих частей в квадрат и «при условии» : $left(sqrt{5-x^2}right)^2=left(x+3right)^2$ при $x+3ge0$
- далее, $5-x^2=x^2+6x+9$ $Leftrightarrow$ $2x^2+6x+4=0$ $Leftrightarrow$ $x^2+3x+2=0$ $Rightarrow$ корни $x=-1$ , $x=-2$
- ответ: $x=-1$ , $x=-2$ оба корня истинные, т.к. проходят ОДЗ и «при условии».
Равенство радикалов
Пример 4: Решить уравнение $sqrt{2-x+x^2}-sqrt{6-2x}=0$
- ОДЗ: $2-x+x^2ge0$ ; $6-2xge0$ — условие допустимости к решению : определяем когда радикалы существуют.
- перенесем один из радикалов направо, тем самым сравняем радикалы и подготовим возведение в квадрат обеих частей,
- $sqrt{2-x+x^2}=sqrt{6-2x}$ . «при условии» писать не будем , ведь обе части уже $ge0$ из-за радикалов, см. ОДЗ.
дальнейшая стратегия:
1. избавимся от радикалов: возведем обе части в квадрат. условия не нужны, радикалы одного знака.
2. решим полученное нерадикальное уравнение.
3. Проверим решения на выполнимость всех ОДЗ ограничений. забракуем ложные корни.
белы
Интерактивная Доска:
Упражнения:
Наверх
Урок для 10-11 класса по алгебре на тему решения типовых задач и преобразование различных выражений содержащие радикалы, повторение теории, решение примеров на упрощение и вычисление, уравнения с радикалами (типы и примеры решения) и домашнее задание на дом.
Смотреть видеоурок онлайн на сайте
Конспект урока и презентация для 10-11 класса:
Список литературы:
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Домашнее задание на тему задачи и уравнения с радикалами:
Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 418 421;
Смотрите также на нашем сайте:
Пробный ЕГЭ по математике 2022 базовый и профильный уровень с ответами
29.03.2022 Пробный вариант ЕГЭ 2022 по математике профиль 11 класс с ответами
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
План урока:
Иррациональные уравнения
Простейшие иррациональные уравнения
Уравнения с двумя квадратными корнями
Введение новых переменных
Замена иррационального уравнения системой
Уравнения с «вложенными» радикалами
Иррациональные неравенства
Иррациональные уравнения
Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.
Приведем примеры иррациональных ур-ний:
Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести
Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.
Простейшие иррациональные уравнения
Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:
где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.
Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:
Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии
n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:
x– 5 = 62
х = 36 + 5
х = 41
Ответ: 41.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:
х – 5 = (– 6)3
х = – 216 + 5
х = – 211
Ответ: – 211.
Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).
Пример. Найдите решение ур-ния
Решение. Возведем обе части в пятую степень:
х2 – 14х = 25
х2 – 14х – 32 = 0
Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:
D = b2– 4ac = (– 14)2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324
х1 = (14 – 18)/2 = – 2
х2 = (14 + 18)/2 = 16
Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.
Ответ: (– 2); 16.
Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Возводим обе части во вторую степень:
х – 2 = (х – 4)2
х – 2 = х2 – 8х + 16
х2 – 9х + 18 = 0
D = b2– 4ac = (– 9)2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9
х1 = (9 – 3)/2 = 3
х2 = (9 + 3)/2 = 6
Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):
при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1
при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2
Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.
Ответ: 6.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:
3х2 + 6х – 25 = (1 – х)3
3х2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х2 – х3
х3 + 9х – 26 = 0
Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:
23 + 9•2 – 26 = 0
8 + 18 – 26 = 0
0 = 0
Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х3 + 9х – 26 является монотонной.
Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:
при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1
Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:
Ответ: 2.
Уравнения с двумя квадратными корнями
Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Перенесем вправо один из корней:
Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:
Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:
Поделим на 4:
Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:
(2х – 4)2 = 13 – 3х
4х2 – 16х + 16 = 13 – 3х
4х2 – 13х + 3 = 0
D = b2– 4ac = (– 13)2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121
х1 = (13 – 11)/8 = 0,25
х2 = (13 + 11)/8 = 3
Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:
Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3
На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.
Ответ: 3
Введение новых переменных
Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние
Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.
Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:
х1/2 – 10х1/4 + 9 = 0
Теперь введем переменную t = x1/4. Тогда х1/2 = (х1/4)2 = t2. Исходное ур-ние примет вид
t2– 10t + 9 = 0
Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:
D = b2– 4ac = (– 10)2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64
t1 = (10 – 8)/2 = 1
t2 = (10 + 8)/2 = 9
Получили два значения t. Произведем обратную замену:
х1/4 = 1 или х1/4 = 9
Возведем оба ур-ния в четвертую степень:
(х1/4)4 = 14 или (х1/4)4 = 34
х = 1 или х = 6561
Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:
В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.
Пример. Решите ур-ние
х1/3 + 5х1/6 – 24 = 0
Решение. Произведем замену t = x1/6, тогда х1/3 = (х1/6)2 = t2. Исходное ур-ние примет вид:
t2 + 5t – 24 = 0
Его корни вычислим через дискриминант:
D = b2– 4ac = 52 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121
t1 = (– 5 – 11)/2 = – 8
t2 = (– 5 + 11)/2 = 3
Далее проводим обратную заменуx1/6 = t:
х1/6 = – 8 или х1/6 = 3
Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 36 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.
Ответ: 729.
Замена иррационального уравнения системой
Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:
Исходное ур-ние примет вид
u + v = 5 (3)
Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:
х + 6 = u3 (4)
11 – х = v2 (5)
Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:
Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:
(х + 6) + (11 – х) = u3 + v2
17 = u3 + v2 (6)
из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:
17 = u3 + v2 (6)
17 = u3 + (5 – u)2
17 = u3 + u2– 10u + 25
u3 + u2 – 10u + 8 = 0
Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа
u1 = 1; u2 = 2; u3 = – 4
подставим полученные значения в (4):
x + 6 = u3 (5)
x + 6 = 13 или х + 6 = 23 или х + 6 = (– 4)3
x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64
х = – 5 или х = 2 или х = – 70
Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим
Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:
Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:
Итак, все три числа прошли проверку.
Ответ: (– 5); 2; (– 70).
Уравнения с «вложенными» радикалами
Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:
При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:
Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:
Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:
Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:
Возводим в квадрат и получаем:
х2 + 40 = (х + 4)2
х2 + 40 = х2 + 8х + 16
8х = 24
х = 3
И снова нелишней будет проверка полученного корня:
Корень подошел.
Ответ: 0; 3.
Иррациональные неравенства
По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:
Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.
Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида
Может быть справедливым только тогда, когда
То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во
при четном n можно заменить системой нер-в
Пример. При каких значениях x справедливо нер-во
Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:
х – 2 < 9
х < 11
Однако подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть
х – 2 ⩾ 0
x⩾2
Итак, мы получили, что 2 ⩽ х < 11. Напомним, что традиционно решения нер-в записывают с помощью промежутков. Поэтому двойное нер-во 2 ⩽ х < 11 мы заменим на равносильную ему запись х∈[2; 11).
Ответ: х∈[2; 11).
Пример. Решите нер-во
Решение. Возведем нер-во в четвертую степень:
6 – 2х ⩾ 24
6 – 2х ⩾ 16 (1)
– 2х ⩾ 10
х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)
Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во
6 – 2х ⩾ 0 (2)
чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.
Ответ: х∈(– ∞; – 5)
Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.
Пример. Найдите решение нер-ва
Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:
х2 – 7x< 23
x2– 7x– 8 < 0
Получили неравенство второй степени, такие мы уже решать умеем. Напомним, что сначала надо решить ур-ние
x2– 7x– 8 = 0
D = b2– 4ac = (– 7)2 – 4•1•(– = 49 + 32 = 81
х1 = (7 – 9)/2 = – 1
х2 = (7 + 9)/2 = 8
Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x2– 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:
Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.
Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.
Ответ: (– 1; 8).
Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид
Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.
Пример. Решите нер-во
Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):
7 – х3< (1 – х)3
7 – х3< 1 – 3x + 3x2– х3
3х2 – 3х – 6 > 0
x2– х – 2 > 0
И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:
x2– х – 2 = 0
D = b2– 4ac = (– 1)2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9
х1 = (1 – 3)/2 = – 1
х2 = (1 + 3)/2 = 2
Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.
Ответ: (– ∞; – 1)⋃(2; + ∞).
Если в нер-ве
стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:
f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);
g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).
Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.
Пример. Решите нер-во
Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим
2х – 5 <(4 – х)2
2х – 5 < 16 – 8х + х2
х2 – 10х + 21 > 0(1)
Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:
2х – 5 ⩽ 0
2x⩽5
x⩽ 2,5
Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:
4 – х ⩾ 0
х ⩽ 4
Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):
Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:
Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:
Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:
Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:
Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).
Ответ: [2,5; 3).
Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не «<», то есть оно имеет вид
Его тоже можно решить аналитически, однако мы для простоты рассмотрим только графическое решение.
Пример. Найдите решение нер-ва
Решение. Построим графики обеих частей:
Видно, что в какой-то точке графики пересекаются, после чего график корня будет лежать выше прямой у = 2 – х. Осталось найти точное значение точки, для чего можно составить ур-ние:
Корни квадратного ур-ния найдем через дискриминант:
Мы убедились, что иррациональные ур-ния и нер-ва являются довольно сложными. Для разных задач приходится использовать разные, не всегда стандартные методы решений. Зачем же их вообще надо решать? Оказывается, они часто возникают при геометрических расчетах. В частности, уравнение, описывающее зависимость расстояния между двумя точками от их координат, является иррациональным. Поэтому при решении многих физических задач, связанных с движением объектов в пространстве, возникает необходимость решать иррациональные ур-ния.
Также важно напомнить, что для поступления в ВУЗ по окончании 11 класса школьники сдают ЕГЭ. В задачах 13 и 15 очень попадаются именно иррациональные ур-ния и нер-ва. Поэтому, если вы желаете в будущем получить высшее образование по экономической (менеджер, аналитик, брокер, банкир), технической (инженер, программист) и тем более физико-математической специальности, то начинайте тренироваться уже сейчас!