Уравнения смешанного типа егэ математика профиль


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

а)  Решите уравнение левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из 3 правая круглая скобка умножить на корень из косинус x=0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

2

а)  Решите уравнение 15 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = 3 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка .

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка 5 Пи , дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 1.

3

а)  Решите уравнение дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка , знаменатель: 9 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка конец дроби =4 в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус косинус x правая круглая скобка .

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.

4

а)  Решите уравнение левая круглая скобка 27 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = 3 в степени левая круглая скобка tfrac3 косинус x правая круглая скобка 2.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус Пи , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Урал. Вариант 203., Задания 13 (С1) ЕГЭ 2013

5

а)  Решите уравнение 9 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс 9 в степени левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби .

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку совокупность выражений минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус 2 Пи конец совокупности правая квадратная скобка .

Источник: Задания 13 (С1) ЕГЭ 2017, ЕГЭ 28.04.2014 по математике. Досрочная волна. Вариант 1., Задания 13 (С1) ЕГЭ 2014

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник
Skip to content

ЕГЭ Профиль №13. Уравнения смешанного типа, содержащие тригонометрические функции

ЕГЭ Профиль №13. Уравнения смешанного типа, содержащие тригонометрические функцииadmin2021-05-06T21:27:04+03:00

Источник

Уравнения, часть С

Теория к заданию 13 из ЕГЭ по математике (профильной)

Уравнения, часть $С$

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Схема решения сложных уравнений:

  1. Перед решением уравнения надо для него записать область допустимых значений (ОДЗ).
  2. Решить уравнение.
  3. Выбрать из полученных корней уравнения то, которые удовлетворяют ОДЗ.

ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):

1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.

2. Подкоренное выражение, должно быть не отрицательным.

3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.

4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.

Логарифмические уравнения

Для решения логарифмических уравнений необходимо знать свойства логарифмов: все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию

4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

6. Формула перехода к новому основанию

7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:

Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$

Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые

Проверим найденные корни по условиям $table< x^2-3x-5>0; 7-2x>0;$

При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень

  • Метод замены переменной.

В данном методе надо:

Решите уравнение $log_<2>√x+2log_<√x>2-3=0$

1. Запишем ОДЗ уравнения:

$table< х>0,text»так как стоит под знаком корня и логарифма»; √х≠1→х≠1;$

2. Сделаем логарифмы по основанию $2$, для этого воспользуемся во втором слагаемом правилом перехода к новому основанию:

3. Далее сделаем замену переменной $log_<2>√x=t$

4. Получим дробно — рациональное уравнение относительно переменной t

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $t$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

5. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:

6. Вернемся в п.3, сделаем обратную замену и получим два простых логарифмических уравнения:

Прологарифмируем правые части уравнений

Приравняем подлогарифмические выражения

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат

7. Подставим корни логарифмического уравнения в п.1 и проверим условие ОДЗ.

Первый корень удовлетворяет ОДЗ.

$<table 16 >0; 16≠1;$ Второй корень тоже удовлетворяет ОДЗ.

  • Уравнения вида $log_x+log_x+c=0$. Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению. После того, как корни уравнения будут найдены, надо отобрать их с учетом ОДЗ.

Дробно рациональные уравнения

  • Если дробь равна нулю, то числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
  • Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно-рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

  1. Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
  2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые не удовлетворяют условию ОДЗ.
  • Если в уравнении участвуют две дроби и числители их равные выражения, то знаменатели можно приравнять друг к другу и решить полученное уравнение, не обращая внимание на числители. НО учитывая ОДЗ всего первоначального уравнения.

Показательные уравнения

Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби

8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем

Виды показательных уравнений:

1. Простые показательные уравнения:

а) Вида $a^=a^$, где $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием ($а >0, a≠1$) равны только тогда, когда равны их показатели.

b) Уравнение вида $a^=b, b>0$

Для решения таких уравнений надо обе части прологарифмировать по основанию $a$, получается

2. Метод уравнивания оснований.

3. Метод разложения на множители и замены переменной.

  • Для данного метода во всем уравнении по свойству степеней надо преобразовать степени к одному виду $a^$.
  • Сделать замену переменной $a^=t, t > 0$.
  • Получаем рациональное уравнение, которое необходимо решить путем разложения на множители выражения.
  • Делаем обратные замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a^=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

По свойству степеней преобразуем выражение так, чтобы получилась степень 2^x.

Сделаем замену переменной $2^x=t; t>0$

Получаем кубическое уравнение вида

Умножим все уравнение на $2$, чтобы избавиться от знаменателей

Разложим левую часть уравнения методом группировки

Вынесем из первой скобки общий множитель $2$, из второй $7t$

Дополнительно в первой скобке видим формулу разность кубов

Далее скобку $(t-1)$ как общий множитель вынесем вперед

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю

Решим первое уравнение

Решим второе уравнение через дискриминант

Получили три корня, далее делаем обратную замену и получаем три простых показательных уравнения

4. Метод преобразования в квадратное уравнение

  • Имеем уравнение вида $А·a^<2f(x)>+В·a^+С=0$, где $А, В$ и $С$ — коэффициенты.
  • Делаем замену $a^=t, t > 0$.
  • Получается квадратное уравнение вида $A·t^2+B·t+С=0$. Решаем полученное уравнение.
  • Делаем обратную замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a^=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

Способы разложения на множители:

  • Вынесение общего множителя за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители путем вынесения за скобки общего множителя надо:

  1. Определить общий множитель.
  2. Разделить на него данный многочлен.
  3. Записать произведение общего множителя и полученного частного (заключив это частное в скобки).

Разложить на множители многочлен: $10a^<3>b-8a^<2>b^2+2a$.

Общий множитель у данного многочлена $2а$, так как на $2$ и на «а» делятся все члены. Далее найдем частное от деления исходного многочлена на «2а», получаем:

Это и есть конечный результат разложения на множители.

Применение формул сокращенного умножения

1. Квадрат суммы раскладывается на квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе число и плюс квадрат второго числа.

2. Квадрат разности раскладывается на квадрат первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

3. Разность квадратов раскладывается на произведение разности чисел и их сумму.

4. Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа плюс куб второго числа.

5. Куб разности равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа и минус куб второго числа.

6. Сумма кубов равна произведению суммы чисел на неполный квадрат разности.

7. Разность кубов равна произведению разности чисел на неполный квадрат суммы.

Метод группировки

Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.

Разложить многочлен на множители $2a^3-a^2+4a-2$

Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак + и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками.

Далее из каждой группы вынесем общий множитель

После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.

Произведение данных скобок — это конечный результат разложения на множители.

С помощью формулы квадратного трехчлена.

Если имеется квадратный трехчлен вида $ax^2+bx+c$, то его можно разложить по формуле

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трехчлена

Уравнения смешанного типа егэ математика

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решим уравнение

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

Это синус вначале нужно писать

Нет. Нужно внимательно читать решение задачи, и следить за смыслом, а не бездумно механически действовать по заученным формулам.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Преобразуем исходное уравнение:

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ : а) б)

если же tgx=1,то там рассматриваются два корня: x=п/4+2пn x=5п/4+2пn

и как раз через эти два корня я нашла корни,принадлежащие промежутку,но почему в ответе под а у вас одно решение?

эти две точки можно объединить, что у нас и сделано

почему при решении было выполнено деление на 3^cos(x), ведь тогда теряется корень 3^cos(x)=0?

такого корня нет, поэтому он не теряется

Извиняюсь, что задаю вопрос не совсем по теме, но когда вообще МОЖНО делить на неизвестное, а когда нельзя? Я не одну статью прочитал на эту тему, но все понять не могу. Одни говорят, что можно, но при этом происходит потеря корней, а другие говорят — что можно и делают это, третьи говорят, что будет потеря корней, но это МОЖНО делать.

Короче говоря. как мне кажется, это самая не разобранная тема. О ней вообще нет инфы в должном обьеме. Пожалуйста, обьсните в кратце, когда МОЖНО, а когда НЕЛЬЗЯ.

p.s. я понял, что МОЖНО, вроде как, когда не происходит изменение ОДЗ, но опять же, а когда оно проиходит?

Думаю, мне не одному этот вопрос требуется.

Подробный ответ ЗДЕСЬ невозможен. Лучше задать его, нажав ссылку «Помощь по заданию».

Если кратко, то правило простое: НЕЛЬЗЯ делить на нуль. На положительные и отрицательные числа делить можно, соблюдая правила.

Число положительно при любом значении , поэтому на него можно делить.

В уравнении , если Вы поделите на , то потеряете корень . Поэтому делить на нельзя.

Выход может быть таким: рассмотрите два случая

1. , тогда верное равенство. Значит − корень.

2. , тогда и на него можно поделить. Получим .

Ответ:

А вот уравнение можно делить на . Потому что по ОДЗ , а значит на ОДЗ

Репетитор по математике

Меня зовут Виктор Андреевич, — я репетитор по математике . Последние десять лет я занимаюсь только преподаванием. Я не «натаскиваю» своих учеников. Моя цель — помочь ребенку понять предмет, научить его мыслить, а не применять шаблоны, передать свои знания, а не просто «добиться результата».

Предусмотрен дистанционный формат занятий (через Skype или Zoom). На первом же уроке оцениваем уровень подготовки ребенка. Если ребенка устраивает моя подача материала, то принимаем решение о дальнейшем сотрудничестве — составляем расписание и индивидуальный план работы. После каждого занятия дается домашнее задание — оно всегда обязательно для выполнения. [в личном кабинете родители могут контролировать успеваемость ребенка]

Стоимость занятий

Набор на 2020/2021 учебный год открыт. Предусмотрен дистанционный формат.

Видеокурсы подготовки к ЕГЭ-2021

Решения авторские, то есть мои (автор ютуб-канала mrMathlesson — Виктор Осипов). На видео подробно разобраны все задания.

Теория представлена в виде лекционного курса, для понимания методик, которые используются при решении заданий.

Группа Вконтакте

В группу выкладываются самые свежие решения и разборы задач. Подпишитесь, чтобы быть в курсе и получать помощь от других участников.

Преимущества

Педагогический стаж

Сейчас существует много сайтов, где вам подберут репетитора по цене/опыту/возрасту, в зависимости от желаний. Но большинство анкет там принадлежат либо студентам, либо школьным учителям. Для них репетиторство — дополнительный временный заработок, из этого формируется отношение к деятельности. У студентов нет опыта и желания совершенствоваться, у школьных учителей — нет времени и сил после основной деятельности. Я занимаюсь только репетиторством с 2010 года. Все свои силы и знания трачу на совершенствование только в этой области.

Собственная методика

За время работы я накопил огромное количество материала для подготовки к итоговым экзаменам. Ребенку не будет даваться неадаптированная школьная программа. С каждым я разберу поэтапно специфичные примеры, темы, способы решений, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ и ОГЭ. При этом это не будет «натаскиванием» на решение конкретных задач, но полноценная структурированная подготовка. Естественно, если таковые найдутся, устраню «пробелы» и в школьной программе.

Гарантированный результат

За время моей работы не было ни одного случая, где не прослеживалась бы четкая тенденция к улучшению знаний у ученика. Ни один откровенно не «завалил» экзамен. Каждый вырос в «понимании» математики в сравнении со своим первоначальным уровнем. Естественно, я не могу гарантировать, что двоечник за полгода подготовится на твердую «пять». Но могу с уверенностью сказать, что я подготовлю ребенка на его максимально возможный уровень за то время, что осталось до экзамена.

Индивидуальная работа

Все дети разные, поэтому способ и форма объяснения корректируются в зависимости от уровня понимания ребенком предмета. Индивидуальная работа с каждым учеником — каждому даются отдельные задания, теоретический материал.

источники:

http://ege.sdamgia.ru/test?theme=201

http://mathlesson.ru/node/8031

Источник

Задание 907

Дано уравнение $$sqrt{1-sin ^{2}x}=sin x$$.

a) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$left [frac{5pi}{2};4pi right ]$$

Ответ: А) $$frac{pi}{4}+2pi n;frac{3pi}{4}+2pi m,n,min Z$$ Б) $$frac{11pi}{4}$$

Скрыть

$$ sqrt{1-sin ^{2}x}=sin x Leftrightarrow left{begin{matrix}sqrt{1-sin ^{2}x}geq 0\ sin xgeq 0\ 1-sin ^{2}x=sin ^{2} xend{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow left{begin{matrix} 1-sin ^{2}xgeq 0\ sin xgeq 0\ 1-sin ^{2}x=sin ^{2} xend{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow left{begin{matrix}sin ^2 xleq 1\ sin xgeq 0\ 1=2sin ^{2} xend{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow left{begin{matrix}sin ^{2}xleq 1\ sin xgeq 0\ sin x = pm frac{sqrt{2}}{2}end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow sin x = frac{sqrt{2}}{2}$$ $$Leftrightarrow left{begin{matrix} x=frac{pi}{4}+2pi n , nin Z\ x=frac{3pi}{4}+2pi n nin Zend{matrix}right.$$

Задание 3248

Дано уравнение $$log_{2}sin xcdotlog_{sin x}cos^{2}x=-1$$ .
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Ответ: а) $$frac{pi}{4}+2pi n$$; $$frac{3pi}{4}+2pi n$$; б) $$frac{17pi}{4}$$; $$frac{19pi}{4}$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$log_{2}sin xcdotlog_{sin x}cos^{2}x=-1$$ $$left{begin{matrix}sin x>0\cos^{2}x>0\sin xneq1end{matrix}right.$$ $$left{begin{matrix}xin(2pi n;pi+2pi n)\xneqfrac{pi}{2}+pi nend{matrix}right.$$ $$frac{1}{log_{sin x}2}cdotlog_{sin x}cos^{2}x=-1$$ $$frac{log_{sin x}cos^{2}x}{log_{sin x}2}=-1$$ $$log_{2}cos^{2}x=-1$$ $$cos^{2}x=frac{1}{2}$$ $$left{begin{matrix}cos x=frac{sqrt{2}}{2}\cos x=-frac{sqrt{2}}{2}end{matrix}right.$$ $$left{begin{matrix}x=pmfrac{pi}{4}+2pi n\x=pmfrac{3pi}{4}+2pi nend{matrix}right.$$ $$nin Z$$ С учетом ОДЗ: $$x_{1}=frac{pi}{4}+2pi n$$ $$x_{2}=frac{3pi}{4}+2pi n$$ б) $$4pi+frac{pi}{4}=frac{17pi}{4}$$ $$5pi-frac{pi}{4}=frac{19pi}{4}$$

Задание 4068

а)Решите уравнение $$5^{2sin 2x}=(frac{1}{25})^{cos (frac{3pi}{2}+x)}$$
б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[frac{3pi}{2};3pi]$$

Ответ:

Задание 4082

Решите систему уравнений
$$left{begin{matrix} 16^{cos x}-10*4^{cos x}+16=0\ sqrt{y}+2cos x=0 end{matrix}right.$$

Ответ:

Задание 4083

Решите систему уравнений
$$left{begin{matrix} y^{2}=x\ sin y^{2}=cos x end{matrix}right.$$

Ответ:

Задание 4084

Решите систему уравнений
$$left{begin{matrix} 2cos 2x +3sin x = 1\ y^{2}cos x + ycos x + frac{sqrt{15}}{2}=0 end{matrix}right.$$

Ответ:

Задание 4085

Решите уравнение $$(sin x — frac{sqrt{3}}{2})sqrt{3x^{2}-7x+4}=0$$

Ответ:

Задание 4086

а) Решите уравнение $$ (frac{4}{9})^{cos x}+2*(frac{2}{3})^{cos x}-3=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[frac{5pi}{2};4pi]$$

Ответ:

Задание 4087

а) Решите уравнение $$12^{sin x}=4^{sin x}*3^{-sqrt{3}cos x}$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[frac{5pi}{2};4pi]$$

Ответ:

Задание 4088

а) Решите уравнение $$(25^{cos x})^{sin x}=5^{cos x}$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-frac{5pi}{2};-pi]$$

Ответ:

Задание 4089

а) Решите уравнение $$4^{sin x} + 4^{-sin x}=frac{5}{2}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[frac{5pi}{2};4pi]$$

Ответ:

Задание 4090

а) Решите уравнение $$(frac{2}{5})^{cos x} + (frac{5}{2})^{cos x}=2$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[2pi;frac{7pi}{2}]$$

Ответ:

Задание 4091

а) Решите уравнение $$5^{2sin 2x}=(frac{1}{25})^{cos (frac{3pi}{2}+x)}$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[frac{3pi}{2};3pi]$$

Ответ:

Задание 4116

а) Решите уравнение $$log_2 (cos x + sin 2x +8) =3$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[frac{3pi}{2};3pi]$$

Ответ:

Задание 4117

а) Решите уравнение $$2log_{2} ^{2} (2cos x) — 9log_{2} (2cos x) +4 =0$$
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-2pi;-frac{pi}{2}]$$

Ответ:

Источник

Уравнения
из материалов ЕГЭ профильного уровня смешанного тип

         Иррациональные и тригонометрические уравнения.

1. а)  Решите
уравнение левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из 3 правая круглая скобка умножить на корень из косинус x=0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Решение. а)  Решим
уравнение

левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из 3 правая круглая скобка умножить на корень из косинус x=0 равносильно
равносильно система выражений совокупность выражений косинус x=0, синус x= минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . , косинус xgeqslant0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=50342&png=1

б)  С помощью числовой окружности отберём корни,
принадлежащие отрезку левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Получим
числа: дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Ответ: а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

2. а)  Решите
уравнение корень из синус x умножить на косинус x= косинус x.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Решение. а)  Воспользуемся
тем, что

корень из f = g равносильно система выражений g больше или равно 0,f=g в квадрате , конец системы .

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=103707&png=1

и произведем эквивалентые преобразования уравнения:

корень из синус x умножить на косинус x= косинус x равносильно система выражений синус x умножить на косинус x= косинус в квадрате x, косинус x больше или равно 0 конец системы . равносильно
равносильно система выражений косинус x левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка =0, косинус x больше или равно 0 конец системы . равносильно

равносильно система выражений совокупность выражений косинус x=0, синус x = косинус x, конец системы .} косинус x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности.
Подходят дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Ответ: а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

3. а)  Решите
уравнение 2 синус 2x минус синус x умножить на корень из 2ctg x=1.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .

Решение. а)  Заметим,
что

x= система выражений корень из x в квадрате ,если xgeqslant0, минус корень из x в квадрате ,если x меньше 0, конец системы .

поэтому, внося синус xпод знак корня, необходимо
рассмотреть два случая:

синус x корень из 2 умножить на дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби = система выражений корень из 2 синус x косинус x, синус x больше 0, минус корень из 2 синус x косинус x, синус x меньше 0 конец системы . =
= система выражений корень из синус 2x, синус x больше 0, минус корень из синус 2x, синус x меньше 0. конец системы .

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=46175&png=1

В случае синус x больше 0имеем:

2 синус 2x минус корень из синус 2x минус 1=0 равносильно равносильно
равносильно совокупность выражений корень из синус 2x=1, корень из синус 2x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . underset корень из синус 2x больше 0mathop равносильно корень из синус 2x=1 равносильно

равносильно синус 2x=1 равносильно 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .

Условию синус x больше 0удовлетворяет
серия x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .

В случае синус x меньше 0имеем:

2 синус 2x плюс корень из синус 2x минус 1=0 равносильно
равносильно совокупность выражений корень из синус 2x= минус 1, корень из синус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . underset корень из синус 2x больше 0mathop равносильно корень из синус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно

равносильно синус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений 2x= арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,2x= Пи минус арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно
равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

Условию синус x меньше 0удовлетворяют
серии x= Пи плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи kи
x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка ,при помощи
тригонометрической окружности (см. рис.). Получим дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Ответ: а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

4. а)  Решите
уравнение корень из синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус x правая круглая скобка умножить на косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби .

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

Решение. Уравнение имеет корни,
только если косинус x больше 0.При этом
условии обе части уравнения неотрицательны и можно возвести их в квадрат.
Выполним преобразования:

корень из синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус x правая круглая скобка умножить на косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби равносильно
равносильно синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус x правая круглая скобка умножить на косинус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно

равносильно 4 левая круглая скобка 1 плюс синус 2x правая круглая скобка косинус в квадрате x=1 равносильно
равносильно 4 левая круглая скобка синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка косинус в квадрате x = 1 равносильно

равносильно 4 левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка в квадрате косинус в квадрате x = 1 равносильно
равносильно левая круглая скобка 2 левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка косинус x правая круглая скобка в квадрате = 1 равносильно

равносильно совокупность выражений 2 левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка косинус x=1,2 левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка косинус x = минус 1 конец совокупности . равносильно
равносильно совокупность выражений синус в квадрате x минус 2 синус x косинус x минус косинус в квадрате x =0, синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x плюс 3 косинус в квадрате x =0. конец совокупности .

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=46848&png=1Разделим второе
уравнение совокупности на косинус в квадрате x,получим тангенс в квадрате x плюс 2 тангенс x плюс 3 =0,это уравнение не имеет
решений. Умножим обе части первого уравнения на −1 и воспользуемся
формулами двойного угла. Получим:

синус 2x = минус косинус 2x равносильно тангенс 2x = минус 1 равносильно
равносильно 2x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k равносильно x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .

Из найденных серий условию косинус x больше 0удовлетворяют
только x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k.и
x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .

Отберем корни при помощи тригонометрической окружности
(см. рис.), получим числа минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби и дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .

Ответ: а) левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;б)
минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби и дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .

5. а)  Решите
уравнение корень из 2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 минус косинус x правая круглая скобка = минус синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 5 косинус x.

б)  Укажите корни этого уравнения принадлежащие
отрезку совокупность выражений минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;2 Пи конец совокупности правая квадратная скобка .

Решение. а)  Заметим,
что 1 минус косинус x = 2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ,получим
в левой части

корень из 2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 минус косинус x правая круглая скобка = корень из 4 синус в степени 4 дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби .

Далее, используя формулы минус синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = синус x, синус x = 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x = косинус в квадрате { дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус синус в квадрате { дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби , перейдем
к половинному аргументу в правой части и сведем уравнение к однородному
тригонометрическому второй степени:

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=47473&png=1

2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = синус x минус 5 косинус x равносильно
равносильно 2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 5 левая круглая скобка косинус в квадрате { дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус синус в квадрате { дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно

равносильно 3 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 5 косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно
равносильно 3 тангенс в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 тангенс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 5=0 равносильно

равносильно совокупность выражений тангенс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =1, тангенс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . равносильно
равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус 2 арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности,
подходят дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби и 2 Пи минус 2 арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .

Ответ: а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, минус 2 арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , 2 Пи минус 2 арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .

6. а)  Решите
уравнение корень из 1 минус косинус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = минус косинус x плюс 8 синус левая круглая скобка x минус Пи правая круглая скобка .

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .

Решение. а)  Преобразуем
уравнение с помощью формул приведения и основного тригонометрического
тождества:

корень из 1 минус косинус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = минус косинус x плюс 8 синус левая круглая скобка x минус Пи правая круглая скобка равносильно
равносильно корень из 1 минус синус в квадрате x= минус косинус x минус 8 синус x равносильно

равносильно корень из косинус в квадрате x= минус косинус x минус 8 синус x равносильно | косинус x|= минус косинус x минус 8 синус x равносильно

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=48246&png=1

равносильно совокупность выражений новая строка система выражений новая строка косинус x= минус косинус x минус 8 синус x, новая строка косинус xgeqslant0, конец системы . новая строка система выражений новая строка косинус x= косинус x плюс 8 синус x, новая строка косинус x меньше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка система выражений новая строка 4 синус x= минус косинус x, новая строка косинус xgeqslant0, конец системы . новая строка система выражений новая строка синус x=0, новая строка косинус x меньше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно

равносильно совокупность выражений новая строка система выражений новая строка тангенс x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , новая строка косинус xgeqslant0, конец системы . новая строка косинус x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, новая строка x= Пи плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .

б)  Отберём корни. принадлежащие отрезку. Для первой
серии получаем:

минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи kleqslant0 равносильно
равносильно минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби leqslant2 Пи k меньше или равно арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно k = 0,

откуда корень минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .Для
второй серии имеем:

минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно Пи плюс 2 Пи k leqslant0 равносильно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби leqslant2 Пи kleqslant минус Пи равносильно k = минус 1,

откуда корень минус Пи .

Ответ: а) левая фигурная скобка минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, Пи плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;б)
минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , минус Пи .

7. а)  Решите
уравнение корень из синус в квадрате x плюс корень из 3 синус x плюс 1= косинус x.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

Решение. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=60645&png=1а)  При
условии косинус x geqslant0исходное
уравнение равносильно следующим:

синус в квадрате x плюс корень из 3 синус x плюс 1= косинус в квадрате x равносильно
равносильно синус в квадрате x плюс корень из 3 синус x плюс 1=1 минус синус в квадрате x равносильно

равносильно 2 синус в квадрате x плюс корень из 3 синус x=0, равносильно
равносильно 2 синус x левая круглая скобка синус x плюс дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно

равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка синус x= минус дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно
равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, новая строка x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

Условию косинус xgeqslant0удовлетворяет
только x=2 Пи k,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности,
подходят минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби и 0.

Ответ: а) левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; 0.

8. а)  Решите
уравнение левая круглая скобка косинус 2x плюс 3 синус x минус 2 правая круглая скобка умножить на корень из косинус x минус синус x = 0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .

Решение. а)  Левая
часть уравнения обращается в нуль в двух случаях. Если второй множитель равен
нулю:

косинус x минус синус x = 0 равносильно тангенс x= 1 равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .

Или если первый множитель равен нулю, а второй при этом определён.

Решим уравнение:

косинус 2x плюс 3 синус x минус 2 = 0 равносильно левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 3 синус x минус 2 = 0 равносильно

равносильно 2 синус в квадрате x минус 3 синус x плюс 1 = 0 равносильно
равносильно совокупность выражений синус x = 1, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, . конец совокупности k принадлежит Z .

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=94514&png=1

Решим неравенство:

косинус x минус синус x больше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z .

Неравенству удовлетворяют только корни серии дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k.

Объединяя два рассмотренных случая, заключаем, что решениями
уравнения являются x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k и x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .

б)  Для отбора корней воспользуемся тригонометрической
окружностью (см. рис.). На отрезке левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка лежат корни дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби и дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби

Ответ: а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

9. а)  Решите
уравнение синус x умножить на корень из 3 минус тангенс в квадрате дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби минус косинус x=2.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка минус 17; 2 правая квадратная скобка .

Решение. а)  Перенесем
косинус xв правую часть, заметим, что сумма 2 плюс косинус xне
принимает отрицательных значений. Следовательно, при условии синус x больше или равно 0возведение обеих частей уравнения в квадрат
является равносильным преобразованием. Имеем:

синус в квадрате x умножить на левая круглая скобка 3 минус тангенс в квадрате дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 плюс косинус x правая круглая скобка в квадрате

Выразим множители, стоящие в левой части уравнения, через косинус x.В силу основного тригонометрического тождества синус в квадрате x = 1 минус косинус в квадрате x.Чтобы преобразовать
первый множитель, воспользуемся формулой тангенс в квадрате альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус в квадрате альфа минус 1,откуда
получим: 3 минус тангенс в квадрате дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби = 4 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус в квадрате дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби . Далее
применим формулы косинуса тройного угла косинус 3 альфа = 4 косинус в кубе альфа } минус 3 косинус альфа }и
косинуса половинного угла косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка :

косинус в квадрате дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби = левая круглая скобка 4 косинус в кубе дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 3 косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =
= косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 4 косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 3 правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка в квадрате .

Пусть t = косинус x,тогда имеем:

левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка в квадрате равносильно
равносильно 4 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка минус дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = t в квадрате плюс 4t плюс 4 равносильно

равносильно дробь: числитель: 2 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = 5 t в квадрате плюс 4t, t не равно минус 1 равносильно
равносильно 2t минус 2 = левая круглая скобка 5t в квадрате плюс 4t правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка в квадрате , t не равно минус 1, t не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно

равносильно 2t минус 2 = левая круглая скобка 5t в квадрате плюс 4t правая круглая скобка левая круглая скобка 4t в квадрате минус 4t плюс 1 правая круглая скобка равносильно
равносильно 20t в степени 4 минус 4t в кубе минус 11t в квадрате плюс 2t плюс 2 = 0 равносильно
равносильно совокупность выражений t = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби кр. 2,5t в квадрате минус 6t плюс 2 =0 конец совокупности . равносильно t = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Вернемся к исходной переменной, получим уравнение косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , откуда
x = pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z . Учитывая
условие синус x больше или равно 0,окончательно
получаем: x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .

б)  Чтобы найти корни на заданном отрезке, решим двойное
неравенство:

минус 17 меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 2 равносильно минус дробь: числитель: 17, знаменатель: Пи конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2k меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: Пи конец дроби равносильно
равносильно минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 2 Пи конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: Пи конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

Так как 3 меньше Пи меньше 4,правая часть
полученного двойного неравенства лежит в интервале (−1; 0). Значения k
целые, поэтому наибольшее значение k = −1. Оценим
левую часть:

минус дробь: числитель: 17}6 меньше минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 2 Пи конец дроби меньше минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 8 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 19}6 меньше минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 2 Пи конец дроби минус дробь: числитель: {, знаменатель: 1 конец дроби , знаменатель: 3 конец дроби меньше минус дробь: числитель: {, знаменатель: 5 конец дроби 9, знаменатель: 24 конец дроби .

Поскольку минус дробь: числитель: 59, знаменатель: 24 конец дроби меньше минус 2, подходит
также значение k = −2. Поскольку минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 6 конец дроби больше минус 4, осталось
проверить значение k = −3. Покажем, что минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 2 Пи конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше минус 3:

минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 2 Пи конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше минус 3 равносильно дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби меньше дробь: числитель: 17, знаменатель: 2 Пи конец дроби равносильно Пи меньше дробь: числитель: 51, знаменатель: 16 конец дроби равносильно Пи меньше 3,1875.

Итак k = −3, k = −2
или k = −1. Найденным значениям k соответствуют
корни минус дробь: числитель: 16 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , и минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Ответ: а) левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
минус дробь: числитель: 16 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

10. а)  Решите
уравнение корень из синус x минус косинус x левая круглая скобка ctg x минус корень из 3 правая круглая скобка =0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка .

Решение. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=65002&png=1а)   При
условии синус x минус косинус x geqslant0и
синус x не равно 0исходное уравнение эквивалентно совокупности

совокупность выражений синус x минус косинус x=0,ctg x минус корень из 3=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений тангенс x =1,ctg x= корень из 3 конец совокупности . равносильно
равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .

Условию удовлетворяют серии корней x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k и x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .

б)  Отберём корни при помощи единичной
тригонометрической окружности. На заданном отрезке лежит только один
корень  — число дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Ответ: а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

11. а)  Решите
уравнение корень из косинус 2x минус синус в кубе x плюс 3 = синус x.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку левая круглая скобка дробь: числитель: 73 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 41 Пи правая квадратная скобка .

Решение. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=68780&png=1a)  Уравнение
корень из x = yравносильно уравнению x = y в квадрате при
условии y больше или равно 0.Возведем обе
части исходного уравнения в квадрат при условии синус x больше или равно 0,получим:

косинус 2x минус синус в кубе x плюс 3= синус в квадрате x равносильно
равносильно 1 минус 2 синус в квадрате x минус синус в кубе x плюс 3= синус в квадрате x равносильно

равносильно синус в кубе x плюс 3 синус в квадрате x минус 4=0 равносильно
равносильно синус в кубе x минус 1 плюс 3 синус в квадрате x минус 3=0 равносильно

равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус в квадрате x плюс синус x плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно

равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус в квадрате x плюс 4 синус x плюс 4 правая круглая скобка =0 равносильно
равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно

равносильно синус x=1 равносильно x= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .

Полученный корень удовлетворяет исходному ограничению.

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности
(см. рис.), подходят числа дробь: числитель: 77 Пи , знаменатель: 2 конец дроби и  дробь: числитель: 81 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Ответ: а) левая фигурная скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;б)
дробь: числитель: 77 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 81 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

12. а)  Решите
уравнение корень из синус в квадрате 0,5x плюс 2 синус 0,5x плюс 1 минус корень из левая круглая скобка 4 синус 0,5x минус 6 правая круглая скобка в квадрате = минус 2,5.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Решение. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=80832&png=1а)  Под
знаками обоих радикалов находятся полные квадраты:

корень из синус в квадрате 0,5x плюс 2 синус 0,5x плюс 1 минус корень из левая круглая скобка 4 синус 0,5x минус 6 правая круглая скобка в квадрате = минус 2,5 равносильно

равносильно left| синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 1 | минус left|4 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 6|= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби underset синус альфа плюс 1 больше или равно 0 mathop равносильно
underset синус альфа плюс 1 больше или равно 0 mathop равносильно left|4 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 6|= синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби равносильно

равносильно совокупность выражений 4 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 6= синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби ,4 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 6= минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно
равносильно совокупность выражений 3 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 19, знаменатель: 2 конец дроби больше 3,5 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно

равносильно синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z равносильно
равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности.
Подходит дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Ответ: а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

13. а)  Решите
уравнение left| 2 тангенс x минус 5 | минус left| 2 тангенс x минус 1 |=2.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Решение. а)  Сделаем
замену переменной t = 2 тангенс x,тогда:

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=60588&png=1

|t минус 5| минус |t минус 1| = 2 равносильно |t минус 5|=2 плюс |t минус 1| равносильно
равносильно совокупность выражений t минус 5=2 плюс |t минус 1|,t минус 5= минус 2 минус |t минус 1| конец совокупности . равносильно

равносильно совокупность выражений |t минус 1| = t минус 7,|t минус 1| = 3 минус t конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений 2t=8,t geqslant7 конец системы . система выражений 2t =4, t leqslant3 конец системы . конец совокупности . равносильно t=2.

Таким образом, 2 тангенс x =2,откуда x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности.
Точка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби удовлетворяет
заданному интервалу.

Ответ: а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z rigth правая фигурная скобка ; б)
дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Примечание.

Уравнение |t минус 5| минус |t минус 1| = 2удобно
решить, используя геометрический смысл модуля. Действительно, с геометрической
точки зрения левая часть уравнения представляет собой разность расстояний от
точки с координатой t до точек с координатами 5 и 1 на числовой
оси. Эта разность равна в точке t = 2;для точек, лежащих на
числовой оси правее числа 2, эта разность расстояний будет меньше двух, а для
точек, лежащих левее  — больше двух.

14. а)  Решите
уравнение корень из синус в квадрате 0,5x плюс 2 синус 0,5x плюс 1 минус корень из левая круглая скобка 4 синус 0,5x минус 6 правая круглая скобка в квадрате = минус 2,5.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Решение. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=80832&png=1а)  Под
знаками обоих радикалов находятся полные квадраты:

корень из синус в квадрате 0,5x плюс 2 синус 0,5x плюс 1 минус корень из левая круглая скобка 4 синус 0,5x минус 6 правая круглая скобка в квадрате = минус 2,5 равносильно

равносильно left| синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 1 | минус left|4 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 6|= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби underset синус альфа плюс 1 больше или равно 0 mathop равносильно
underset синус альфа плюс 1 больше или равно 0 mathop равносильно left|4 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 6|= синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби равносильно

равносильно совокупность выражений 4 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 6= синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби ,4 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 6= минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно
равносильно совокупность выражений 3 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 19, знаменатель: 2 конец дроби больше 3,5 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно

равносильно синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z равносильно
равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности.
Подходит дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Ответ: а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

15. а)  Решите
уравнение синус x= корень из дробь: числитель: корень из 3 косинус x плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби .

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .

Решение. а)  Преобразуем
уравнение:

синус x= корень из дробь: числитель: корень из 3 косинус x плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби равносильно система выражений синус в квадрате x= дробь: числитель: корень из 3 косинус x плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби , синус xgeqslant0 конец системы . равносильно
равносильно система выражений 1 минус косинус в квадрате x= дробь: числитель: корень из 3 косинус x плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби , синус xgeqslant0 конец системы . равносильно

равносильно система выражений 2 косинус в квадрате x плюс корень из 3 косинус x=0, синус xgeqslant0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений косинус x=0, косинус x= минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . синус xgeqslant0 конец совокупности . равносильно
равносильно система выражений совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x=pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец системы .k принадлежит Z , синус xgeqslant0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=85607&png=1

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности.
Подходит минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Ответ: а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

16. а)  Решите
уравнение | косинус x плюс косинус 3x|= минус косинус 2x.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Решение. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=64292&png=1а)  Исходное
уравнение имеет смысл только при косинус 2x меньше или равно 0,тогда
это эквивалентно совокупности:

совокупность выражений косинус x плюс косинус 3x = минус косинус 2x, косинус x плюс косинус 3x = косинус 2x конец совокупности . равносильно
равносильно совокупность выражений 2 косинус 2x умножить на косинус x плюс косинус 2x=0,2 косинус 2x умножить на косинус x минус косинус 2x = 0 конец совокупности . равносильно

равносильно совокупность выражений косинус 2x левая круглая скобка 2 косинус x плюс 1 правая круглая скобка =0, косинус 2x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка =0 конец совокупности . равносильно
равносильно совокупность выражений косинус 2x=0, косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .

Все найденные серии корней удовлетворяют условию косинус 2x меньше или равно 0.

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности
(см. рис.), получим: минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби и дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Ответ: а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби и дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

17. а)  Решите
уравнение корень из 2 тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка синус левая круглая скобка 3 Пи минус 2x правая круглая скобка = минус тангенс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка минус Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .

Решение. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=86862&png=1а)  Преобразуем
уравнение:

корень из 2 тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка синус левая круглая скобка 3 Пи минус 2x правая круглая скобка = минус тангенс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби равносильно
равносильно 2ctg x синус 2x=3 равносильно

равносильно система выражений 4 косинус в квадрате x=3, синус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений косинус x=pm дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби , синус x не равно 0 конец системы . равносильно
равносильно x=pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности.
Получим минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Ответ: а) левая фигурная скобка pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

18. а)  Решите
уравнение корень из косинус 2x минус синус 5x= минус 2 косинус x.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка 2 Пи ; 4 Пи правая квадратная скобка .

Решение. а)  При
условии косинус x меньше или равно 0,исходное
уравнение эквивалентно следующим:

косинус 2x минус синус 5x=4 косинус в квадрате x равносильно косинус 2x минус синус 5x=2 косинус 2x плюс 2 равносильно
равносильно синус 5x плюс косинус 2x= минус 2. qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка

Каждое из слагаемых в левой части не меньше −1, поэтому их
сумма равна −2 тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно
−1. Решим уравнение косинус 2x = минус 1,получим 2x = Пи плюс 2 Пи k,то есть x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z . Проверим
для найденных решений выполнение условия синус 5x = минус 1.Используем
периодичность синуса, применим формулу приведения, получаем:

синус левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 5 Пи k правая круглая скобка = синус левая круглая скобка 2 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k плюс Пи k правая круглая скобка =
= синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k правая круглая скобка = косинус Пи k.

Выражение косинус Пи kравно −1 для
всех нечетных k и только для них. Следовательно, решениями уравнения
(⁎) являются числа дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,где k  —
любое нечетное число. Эти числа удовлетворяют условию косинус x меньше или равно 0,поскольку обращают косинус в нуль. Тем
самым все они являются корнями исходного уравнения.

б)  Решим двойное неравенство:

2 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k меньше или равно 4 Пи равносильно 2 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс k меньше или равно 4 равносильно
равносильно целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 меньше или равно k меньше или равно целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 underset k принадлежит Z mathop равносильно совокупность выражений k=2,k=3. конец совокупности .

Следовательно, k = 3 и подходит корень дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби

 Ответ: а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k : k минус нечётное число правая фигурная скобка ; б)
дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

 Примечание.Ответ к пункту а) можно записать в виде левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка : n принадлежит Z правая фигурная скобка .

19. а)  Решите
уравнение косинус x плюс корень из дробь: числитель: 2 минус корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка =0.

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 4 Пи правая квадратная скобка .

Решение. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=117181&png=1а) Заметим, что
уравнение может иметь решения только при косинус x меньше или равно 0.Преобразуем его при этом условии:

косинус x плюс корень из дробь: числитель: 2 минус корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно
равносильно корень из дробь: числитель: 2 минус корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка = минус косинус x undersetmathclap косинус x меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2 минус корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка = косинус в квадрате x равносильно равносильно синус в квадрате x плюс дробь: числитель: 2 минус корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби умножить на синус x минус дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно
равносильно синус x левая круглая скобка синус x минус дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс синус x минус дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно равносильно левая круглая скобка синус x минус дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно
равносильно совокупность выражений синус x= минус 1, синус x= дробь: числитель: корень из 2}2 конец совокупности . undersetmathclap{ косинус x меньше или равно 0, знаменатель: равносильно конец дроби совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k , конец совокупности . k принадлежит Z .

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 4 Пи правая квадратная скобка , при
помощи тригонометрической окружности. Подходят минус дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Ответ: а) левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
минус дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

20. а)  Решите
уравнение дробь: числитель: 6 синус x минус 2 косинус 2 x минус 4 косинус в квадрате x минус 3, знаменатель: корень из 7 синус x минус 3 косинус x конец дроби =0.

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус 3 Пи правая квадратная скобка .

Решение. а)  Знаменатель
дроби должен быть отличен от нуля, то есть

корень из 7 синус x минус 3 косинус xnot=0 равносильно тангенс x not= дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из 7 конец дроби .

При этом условии числитель дроби должен быть равен нулю. Применим
формулы косинус в квадрате x = 1 минус синус в квадрате x и косинус 2x = 1 минус 2 синус в квадрате x,получим:

6 синус x минус 2 косинус 2 x минус 4 косинус в квадрате x минус 3=0 равносильно
равносильно 6 синус x минус 2 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка минус 4 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус 3 = 0 равносильно
равносильно 8 синус в квадрате x плюс 6 синус x минус 9=0 равносильно
равносильно совокупность выражений синус x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , синус x= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . underset синус x больше или равно минус 1 mathop равносильно синус x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .

Если синус x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби и угол х
лежит в первой четверти, то косинус x = корень из 1 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: корень из 7 , знаменатель: 4 конец дроби , а
тогда тангенс x = дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из 7 конец дроби , что
обращает знаменатель в нуль. Если же синус x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби и угол х
лежит во второй четверти, то косинус x = минус корень из 1 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби = минус дробь: числитель: корень из 7 , знаменатель: 4 конец дроби , а
тогда тангенс x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из 7 конец дроби , что
допустимо. Следовательно, решением уравнения является серия x= Пи минус арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .

б)  Отберем корни, решая двойное неравенство:

минус 4 Пи меньше Пи минус арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k меньше минус 3 Пи равносильно
равносильно минус 5 Пи плюс арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше 2 Пи k меньше минус 4 Пи плюс арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .

Акрсинус положительного числа лежит в интервале левая круглая скобка 0; дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i2 правая круглая скобка ,поэтому
левая часть двойного неравенства больше  –5π, а
правая  — меньше –4,5π. Следовательно, число 2πk
лежит в интервале (–5π; –4,5π), а значит, k= минус 2.Найденному значению параметра соответствует корень минус 3 Пи минус арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .

Ответ: а) левая фигурная скобка Пи минус арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
минус 3 Пи минус арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .

                                    
Решить
самостоятельно.

1. а)  Решите уравнение левая круглая скобка 2x в квадрате минус 5x минус 12 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x плюс 1 правая круглая скобка =0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

2. а)  Решите уравнение корень из синус в квадрате x плюс 3 синус x минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 9 конец дроби = минус косинус x.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

3. а)  Решите уравнение 2 синус 2x минус синус x умножить на корень из 2ctg x=1.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .

4. а)  Решите уравнение корень из ctg x левая круглая скобка синус в квадрате x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .

5. а)  Решите уравнение левая круглая скобка 2 минус 3x минус 2x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x минус корень из 3 правая круглая скобка =0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

6. а)  Решите уравнение левая круглая скобка тангенс в квадрате x минус 3 правая круглая скобка корень из 18 косинус x=0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка 4 Пи ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

7. а)  Решите уравнение корень из синус x минус косинус x умножить на левая круглая скобка косинус x плюс косинус 2x правая круглая скобка =0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

8. а)  Решите уравнение корень из 4 косинус 2x минус 2 синус 2x=2 косинус x.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .

                                              
Ответы.

1. а) левая фигурная скобка 4; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .     (№17)

2. : а) левая фигурная скобка Пи минус арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
минус Пи минус арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , Пи минус арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .     (№40)

3. : а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .   (№31)

4. : а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .    (№47)

5. : а) левая фигурная скобка минус 2; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n :n принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
минус 2 , дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .   (№55)

6. а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .    (№67)

7. а) левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .    (№68)

8. : а) левая фигурная скобка 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)
минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , минус 2 Пи , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , 0.    (№71)

Уравнения из материалов ЕГЭ профильного уровня смешанного тип

Уравнения из материалов ЕГЭ профильного уровня смешанного тип

Отберем корни при помощи единичной окружности

Отберем корни при помощи единичной окружности

В случае имеем: Условию удовлетворяет серия

В случае имеем: Условию удовлетворяет серия

Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Укажите корни этого уравнения принадлежащие отрезку

Укажите корни этого уравнения принадлежащие отрезку

Отберём корни. принадлежащие отрезку

Отберём корни. принадлежащие отрезку

Решение. а) При условии исходное уравнение равносильно следующим:

Решение. а) При условии исходное уравнение равносильно следующим:

Решим неравенство: Неравенству удовлетворяют только корни серии

Решим неравенство: Неравенству удовлетворяют только корни серии

Пусть тогда имеем:

Пусть тогда имеем:

Ответ: а) б) 10. а)

Ответ: а) б) 10. а)

Полученный корень удовлетворяет исходному ограничению

Полученный корень удовлетворяет исходному ограничению

Отберём корни при помощи единичной окружности

Отберём корни при помощи единичной окружности

Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а) Исходное уравнение имеет смысл только при тогда это эквивалентно совокупности:

Решение. а) Исходное уравнение имеет смысл только при тогда это эквивалентно совокупности:

Отберём корни при помощи единичной окружности

Отберём корни при помощи единичной окружности

Решите уравнение б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решите уравнение б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

При этом условии числитель дроби должен быть равен нулю

При этом условии числитель дроби должен быть равен нулю

Решить самостоятельно. 1. а)

Решить самостоятельно. 1. а)

Ответы. 1. а) б) (№17) 2

Ответы. 1. а) б) (№17) 2

Источник


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Смешанные уравнения


Задание
1

#3039

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите уравнение [{large{log_3left(9^{sin x}+9right)=sin
x-log_{frac13}left(28-2cdot 3^{sin x}right)}}]

Заметим, что (sin x=log_3 3^{sin x}). Сделаем замену (3^{sin
x}=t, t>0). Тогда уравнение примет вид: [log_3(t^2+9)=log_3t+log_3(28-2t)] ОДЗ уравнения: [begin{cases} t^2+9>0\
t>0\ 28-2t>0 end{cases} quadLeftrightarrowquad 0<t<14] Решим уравнение на ОДЗ. [log_3(t^2+9)=log_3(t(28-2t)) quadRightarrowquad 3t^2-28t+9=0] Корнями данного уравнения являются (t_1=9) и (t_2=frac13). Оба корня подходят по ОДЗ.
Сделаем обратную замену:

(3^{sin x}=9 quadLeftrightarrowquad sin x=2). Данное уравнение не имеет решений.

(3^{sin x}=dfrac13 quadLeftrightarrowquad sin x=-1
quadLeftrightarrowquad x=-dfrac{pi}2+2pi n, ninmathbb{Z}).

Ответ:

(-dfrac{pi}2+2pi n, ninmathbb{Z})


Задание
2

#3137

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

1) Решите уравнение [6+log_2(4cos x)cdot
log_2(16sin^2x)=log_2(64cos^3x)+log_2(256sin^4x)]

2) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку (left[-dfrac{pi}2;dfrac{3pi}2right].)

1) Выпишем ОДЗ: [begin{cases}
cos x>0\
sin^2x>0\
cos^3x>0\
sin^4x>0 end{cases} quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
cos x>0\
sin xne 0 end{cases}] Решим на ОДЗ. Сделаем замену: (t=log_2(4cos x), quad z=log_2(16sin^2x)), тогда уравнение примет вид: [6+tcdot z=3t+2z quadLeftrightarrowquad (tz-3t)-(2z-6)=0
quadLeftrightarrowquad (t-2)(z-3)=0] Следовательно, решением являются [left[ begin{gathered} begin{aligned}
&log_2(4cos x)=2\
&log_2(16sin^2x)=3
end{aligned} end{gathered} right.
quadRightarrowquad left[ begin{gathered} begin{aligned}
&cos x=1\[2ex]
&sin^2x=dfrac12
end{aligned} end{gathered} right.
quadRightarrowquad left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x=2pi n, ninmathbb{Z}\[2ex]
&x=dfrac{pi}4+2pi k, kinmathbb{Z}\[2ex]
&x=-dfrac{pi}4+2pi k, kinmathbb{Z}\[2ex]
&x=dfrac{3pi}4+2pi k, kinmathbb{Z}\[2ex]
&x=-dfrac{3pi}4+2pi k, kinmathbb{Z}
end{aligned} end{gathered} right.]

Так как по ОДЗ (cos x>0) и (sin xne 0), то подходят лишь [x=pmdfrac{pi}4+2pi k, kinmathbb{Z}]

2) По окружности видно, что в указанный отрезок входят только (-dfrac{pi}4) и (dfrac{pi}4).

Ответ:

1) (pmdfrac{pi}4+2pi k, kinmathbb{Z})

2) (-dfrac{pi}4; dfrac{pi}4)


Задание
3

#3257

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение [log_{sqrt2}{left(log_{sin
x+1}{left(2-cos^2x+2sin xright)^{cos 4x}}right)}=2]

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку ([-2pi;0]).

а)

1) Запишем ОДЗ левой части:

(begin{cases} sin x+1>0\ sin x+1ne 1\
2-cos^2x+2sin x>0 end{cases} quad Rightarrow quad
begin{cases}
sin xne -1\
sin xne 0\
2-(1-sin^2x)+2sin x>0 end{cases} quad Rightarrow)
 

(Rightarrow quad
begin{cases}
sin xne -1\
sin xne 0\
(sin x+1)^2>0 end{cases} quad Rightarrow quad begin{cases}
sin xne -1\
sin xne 0 end{cases})

2) Решим само уравнение на ОДЗ. Рассмотрим внутренний логарифм. Из ОДЗ мы уже поняли, что (2-cos^2x+2sin x=(sin x+1)^2). Таким образом:

[log_{sin x+1}{left(left(sin x+1right)^2right)^{cos 4x}}=
log_{sin x+1}{left(sin x+1right)^{2cos 4x}}=2cos 4x]

Таким образом, уравнение приобретает вид:

(log_{sqrt2}{2cos 4x}=2 quad Rightarrow quad 2cos
4x=(sqrt2)^2quad Rightarrow quad cos 4x=1quad Rightarrow )

(Rightarrow quad 4x=2pi n, ninmathbb{Z} quad Rightarrow quad
x=dfrac{pi}2n, ninmathbb{Z})

3) Пересечем данное решение с ОДЗ (в данном случае это удобно сделать по окружности):

Таким образом, нам подходит всего одна точка на окружности, в которую попадают углы вида: [x=dfrac{pi}2+2pi k,
kinmathbb{Z}]

б) Отберем корни:

[-2pileqslant dfrac{pi}2+2pi kleqslant 0 quad Rightarrow quad
-dfrac54leqslant kleqslant -dfrac14]

Таким образом, единственное целое (k), подходящее в неравенство, это (k=-1). При таком (k) получаем корень (x=-dfrac{3pi}2).

Ответ:

а) (dfrac{pi}2+2pi k, kinmathbb{Z})

б) (-dfrac{3pi}2)


Задание
4

#3138

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите уравнение [{large{5^{x^2}+5^{2-x^2}=5left(1+sindfrac{pi}2xright)}}]

Преобразуем уравнение, разделив обе части равенства на (5): [5^{x^2-1}+5^{1-x^2} = 1+sin dfrac{pi}2x quad Leftrightarrowquad
5^{x^2-1}+dfrac1{5^{x^2-1}} = 1+sin dfrac{pi}2x] Заметим, что левая часть представляет собой сумму двух взаимно обратных чисел: (t+frac1t), причем положительных. Как известно, сумма двух положительных взаимно обратных чисел не превосходит (2), следовательно, [5^{x^2-1}+dfrac1{5^{x^2-1}}geqslant 2] Заметим, что (sin dfrac{pi}2xleqslant 1) при всех (x), следовательно, правая часть [1+sin dfrac{pi}2xleqslant 2] Таким образом, равенство может достигаться тогда и только тогда, когда обе части равенства равны (2): [begin{cases}
5^{x^2-1}+dfrac1{5^{x^2-1}}=2\[2ex]
1+sin dfrac{pi}2x=2 end{cases}]

Сумма взаимно обратных чисел равна (2) тогда и только тогда, когда каждое из них равно (1), следовательно: [begin{cases}
5^{x^2-1}=1\[2ex]
sin dfrac{pi}2x=1
end{cases} quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
x^2-1=0\[2ex]
dfrac{pi}2x=dfrac{pi}2+2pi n, ninmathbb{Z}
end{cases} quadLeftrightarrowquad begin{cases}
x=pm 1\[2ex]
x=1+4 n, ninmathbb{Z}
end{cases} quadLeftrightarrowquad x=1.]

Ответ: 1


Задание
5

#1912

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение [cos (x^2+x)+cos
left(x+dfrac{2pi}3right)+cos left(x+dfrac{4pi}3right)=0]

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку ([0;2]).

а) Применим формулу суммы косинусов (cosalpha+cos
beta=2cosdfrac{alpha+beta}2cosdfrac{alpha-beta}2):

[cos(x^2+x)+2cos(pi+x)cosleft(-dfrac{pi}3right)=0 quad Leftrightarrow
quad cos(x^2+x)+2cdot(-cos x)cdot dfrac12=0 quad
Leftrightarrow]

[Leftrightarrow quad cos(x^2+x)-cos x=0 quad Leftrightarrow quad
-2sin dfrac{x^2+2x}2sin dfrac{x^2}2=0 quad Leftrightarrow]

[Leftrightarrow quad
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&sin dfrac{x^2+2x}2=0\[3pt]
&sin dfrac{x^2}2=0
end{aligned} end{gathered} right. quad Leftrightarrow quad
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x^2+2x-2pi n, ninmathbb{Z}\
&x^2=2pi k, kinmathbb{Z}
end{aligned} end{gathered} right.]

Первое уравнение совокупности является квадратным и имеет решения, когда
(D=4(1+2pi
n)geqslant 0 Rightarrow n=0;1;2;dots)
Тогда (x=-1pm sqrt{1+2pi n}, n=0;1;2;dots)

Второе уравнение имеет решения, когда (2pi kgeqslant 0 Rightarrow
k=0;1;2;dots)
Тогда (x=pmsqrt{2pi k}, k=0;1;2;dots)

Эти две серии корней пересекаются по решению (x=0) (при (n=k=0)), поэтому из одной серии необходимо убрать это решение, например, из второй. Тогда (x=pm sqrt{2pi k}, k=1;2;dots)

б) Рассмотрим первую серию корней: (x_1=-1-sqrt{1+2pi n_1},
n_1=0;1;2;dots)
Заметим, что в этой серии все (x) будут отрицательными, т.к. (-sqrt{A}leqslant 0 Rightarrow -sqrt{A}-1leqslant -1).
Значит, нет корней из отрезка ([0;2]).

Рассмотрим вторую серию корней: (x_2=-1+sqrt{1+2pi n_2},
n_2=0;1;2;dots)
при (n_2=0) (x_2=-1+sqrt1=0) – подходит;
при (n_2=1) (x_2=-1+sqrt{1+2pi}sim 1,dots) — подходит;
при (n_2=2) (x_2=-1+sqrt{1+4pi}>2) — уже не подходит.
Далее при возрастании (n_2) будет увеличиваться и (x_2).

Аналогично рассуждая в третьей и четвертой сериях, получим, что в них нет корней из промежутка ([0;2]).

Ответ:

а) (-1pm sqrt{1+2pi n}; pmsqrt{2pi k};
ninmathbb{N}cup{0}, kinmathbb{N})

б) (0;-1+sqrt{1+2pi})


Задание
6

#1673

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

a) Решите уравнение

[begin{aligned}
(mathrm{tg}^2,(2x) + mathrm{ctg}^2,(2x) — 2)cdot mathrm{arcsin}, (x^2) = 0.
end{aligned}]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку ([-pi; 0]).

ОДЗ: [sin 2x neq 0,quad cos 2x neq 0,quad -1 leq x^2 leq 1] (так как (mathrm{tg}, (2x)) не теряет смысл при (cos (2x) neq 0), (mathrm{ctg}, (2x)) не теряет смысл при (sin (2x) neq 0), (mathrm{arcsin}, (x^2)) не теряет смысл при (-1 leq x^2 leq 1)). Решим на ОДЗ:

а) Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла.

Рассмотрим сначала уравнение [mathrm{arcsin}, (x^2) = 0.] По определению (mathrm{arcsin}, (x^2)) – это угол в радианах, лежащий на (left[-dfrac{pi}{2}; dfrac{pi}{2}right]), синус которого равен (x^2). [mathrm{arcsin}, (x^2) = 0qquadRightarrowqquad sin (0) = x^2qquadRightarrowqquad x^2 = 0qquadRightarrowqquad x = 0.] Однако, (x = 0) не подходит по ОДЗ, следовательно (x = 0) – не является корнем исходного уравнения.

Рассмотрим теперь [mathrm{tg}^2,(2x) + mathrm{ctg}^2, (2x) — 2 = 0] заметим, что на ОДЗ (mathrm{tg}, (2x)cdotmathrm{ctg}, (2x) = 1), тогда (mathrm{ctg}, (2x) = dfrac{1}{mathrm{tg}, (2x)}).
 
Сделаем замену (mathrm{tg}, (2x) = t), тогда рассматриваемое уравнение примет вид

[begin{aligned}
t^2 + dfrac{1}{t^2} — 2 = 0,
end{aligned}]

причём на ОДЗ (0 neq mathrm{tg},(2x) = t), тогда можно домножить последнее уравнение на (t^2): (t^4 + 1 — 2t^2 = 0quadLeftrightarrowquad t^4 + 1 — 2t^2 = (t^2 — 1)^2quadLeftrightarrow)

(Leftrightarrow quad (t^2 — 1)^2 = 0quadLeftrightarrowquad t^2 — 1 = 0quadLeftrightarrowquad t = pm 1.)

Так как (t = mathrm{tg},(2x)), то (mathrm{tg},(2x) = pm 1), откуда находим (2x = pm dfrac{pi}{4} + pi k), тогда (x = pm dfrac{pi}{8} + dfrac{pi k}{2}), где (kinmathbb{Z}). Однако, на ОДЗ (-1 leq x^2 leq 1), то есть (-1 leq x leq 1):

[-1 leq dfrac{pi}{8} + dfrac{pi k}{2} leq 1qquadLeftrightarrowqquad -dfrac{8}{pi} leq 1 + 4 k leq dfrac{8}{pi},] но (kinmathbb{Z}), тогда по ОДЗ среди таких корней подходит только корень при (k = 0): (x = dfrac{pi}{8}).

[-1 leq -dfrac{pi}{8} + dfrac{pi k}{2} leq 1qquadLeftrightarrowqquad -dfrac{8}{pi} leq -1 + 4 k leq dfrac{8}{pi},] но (kinmathbb{Z}), тогда по ОДЗ среди таких корней подходит только корень при (k = 0): (x = -dfrac{pi}{8}).

б) Среди корней (pm dfrac{pi}{8}) на отрезок ([-pi; 0]) попадает только (-dfrac{pi}{8}).

Ответ:

а) (dfrac{pi}{8}), (-dfrac{pi}{8}).

б) (-dfrac{pi}{8}).


Задание
7

#3254

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите сумму корней уравнения

[x+1=2log_2{(2^x+1)}-2log_4{(2016-2^{-x})}]

ОДЗ уравнения: (2016-2^{-x}>0).

Преобразуем уравнение на ОДЗ:

[log_2{2^{x+1}}=log_2{dfrac{(2^x+1)^2}{2016-2^{-x}}} quad Rightarrow quad
2^{x+1}=dfrac{(2^x+1)^2}{2016-2^{-x}}]

Сделаем замену: (2^x=t>0). Тогда уравнение примет вид:

[2t=dfrac{(t+1)^2}{2016-frac 1t} quad Rightarrow quad
2tcdot left(2016-frac1tright)=t^2+2t+1 quad (text{т.к. }
2016-frac1t>0 text{ по ОДЗ})]

Уравнение сведется к квадратному: [t^2-4030t+3=0]

которое имеет два корня: (t_1, t_2), причем оба положительны (т.к. их произведение равно (3), то есть положительно, и сумма равна (4030), то есть тоже положительна). Проверим, подходят ли оба эти корня по ОДЗ. Для начала преобразуем ОДЗ: [2016-frac1t>0 quad Rightarrow quad 2016t-1>0 quad Rightarrow
quad t>dfrac 1{2016}]

Заметим, что абсцисса вершины параболы (y=t^2-4030t+3) — это (t_{text{в}}=dfrac{4030}2=2015>frac1{2016}).

Следовательно, если выполнено (y(frac1{2016})>0), то это будет значить, что оба корня находятся правее (frac1{2016}):

Проверкой убеждаемся, что действительно (y(frac1{2016})>0). Значит, оба корня (t_1) и (t_2) подходят по ОДЗ.

Заметим, что (t_1cdot t_2=2^{x_1}cdot 2^{x_2}=2^{x_1+x_2}). Следовательно, (x_1+x_2=log_2{(t_1cdot t_2)}=log_2{3}).

Ответ:

(log_23)

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Самоанализ
занятия кружка по математике в 11 классе по теме «Подготовка к ЕГЭ. Решение
уравнений смешанного типа»

Количество обучающихся 16 человек, из них
12 человек выбрали профиль. Название кружка «Эрудит». Виды деятельности на занятиях
кружка: индивидуальная, коллективная, фронтальная.

На данном занятии перед собой я ставила
цель: успешная подготовка к государственной итоговой аттестации; задачи
занятия:

1.       Повторить
основные типы уравнений, наиболее типичные приемы и методы их решения

2.       Систематизировать
знания по данной теме

3.       Отработать
навыки применения знаний при решении заданий типа ЕГЭ (№ 13)

На занятии
прослеживались этапы:

— Организационный
момент

— Систематизация и
повторение материала

— Формулирование
темы и задач занятия

— Актуализация
знаний: устная работа, письменная работа в тетради и с доской

— Обсуждение и
коррекция оформления работы

— Разъяснение
критериев оценивания выполнения задания

— Самостоятельное
решение уравнений с последующей самопроверкой по шаблону

— Домашнее задание

— Рефлексия
(итоги)

Принципы обучения
на данном занятии: соблюдение систематичности и последовательности,
наглядность. Применяла методы обучения: частично-исследовательский, поисковый.
Характер познавательной деятельности – поисковый, исследовательский.

Формы работы с
обучающимися использовала такие как практическая, индивидуальная, фронтальная.
Как средство наглядности мероприятия использую технические средства обучения –
проектор и экран для демонстрации презентации. Раздаточный материал: заготовки
для единичной окружности, с/к для построения графика.

Я хотела на данном
занятии показать систему работы по подготовке к сдаче ГИА. Задания подобраны,
чтобы повторить теоретический материал и перейти к его практическому применению
при решении заданий экзаменационного типа. К устной работе относятся задания:
простейшие уравнения, которые переходят к более сложному уровню и добавляется
задание б). При устном решении уравнений обучающимся необходимо быстро и
правильно дать решение. Цель: актуализация полученных ранее знаний к выполнению
заданий экзаменационного типа. Ко второму разделу относятся решение уравнений.
Обучающиеся выполняют задания в тетрадях с доской. К третьему разделу можно
отнести самостоятельное решение уравнения с самопроверкой своих знаний, умений.

Считаю, что
мероприятие прошло интересно и с большой пользой для обучающихся. Такие занятия
являются средством развития умений и навыков решения заданий экзаменационного
типа. Занятие прошло на высоком эмоциональном подъеме, с высоким темпом. Все
поставленные задачи занятия удалось реализовать. План занятия выполнен. Отбор
заданий к занятию проведен в соответствии с темой. Задачи взяты из банка
заданий для подготовки к ЕГЭ. Исходя из общих результатов оцениваю проведенное
мероприятие положительно. На занятии применяла разноуровневые задания: решение
заданий первого уровня (устная работа), при решении задач второго уровня
(решение у доски, объяснение решений для всего класса, задача на исследование,
дифференцированное домашнее задание). Процесс обучения строился на постепенном
усложнении содержания. Главный акцент на занятии делался на закрепление навыков
обучающихся при выполнении заданий, а также развития памяти, внимания,
логического мышления. Контроль (первичный) в виде самостоятельного решения
уравнения. На занятии использовались возможности компьютера, проектора и
презентации.

Этап рефлексии. На
данном этапе происходило осмысление данных знаний, соотнесение их к применению
на практике, обсуждение, выработка собственных позиций, обмен мнениями,
побуждение к дальнейшему расширению поля информации. При подведении тога
обучающиеся имели возможность высказать свою точку зрения с занятиями, внести
предложения, пожелания. Каждый для себя сделал вывод: чтобы успешно сдать ЕГЭ,
необходимо заниматься в системе, что очень важно для дальнейшей деятельности
обучающихся. Занятие детям понравилось, а это самое главное в нашей работе.
Домашнее задание было оптимальным.

Вывод:
план занятия выполнен, цель достигнута. К такому выводу пришли сами дети. Деятельность
обучающихся оцениваю следующим образом: на занятии четко проявился интерес к
предмету, эмоциональное состояние обучающихся было приподнятым в начале и в
конце занятия. На занятии присутствовал и самоконтроль и самокоррекция со
стороны ребят. Занятие удалось, т.к. мною были созданы условия для
максимального влияния образовательного процесса на развитие индивидуальности
обучающихся

Открытое
занятие кружка в 11 классе по теме «Подготовка к ЕГЭ. Решение уравнений
смешанного типа»

Цель: успешная
подготовка к государственной итоговой аттестации

Задачи:

Образовательные: выработать
у обучающихся прочные навыки в умении решать показательные, логарифмические,
тригонометрические и смешанные уравнения ЕГЭ. Углубить знания по теме.

Развивающие:
развивать у обучающихся умение анализировать, синтезировать, сравнивать,
обобщать, развивать внимание, навыки самоконтроля, вычислительные навыки.

Воспитательные:
вырабатывать самостоятельность при работе на занятии, прививать трудолюбие,
аккуратность при выполнении вычислений, прививать интерес к математике.

Задачи занятия:

4.       Повторить
основные типы уравнений, наиболее типичные приемы и методы их решения

5.       Систематизировать
знания по данной теме

6.       Отработать
навыки применения знаний при решении заданий типа ЕГЭ (№ 13)

Тип занятия:
закрепление и систематизация знаний и умений по теме. Подготовка к ЕГЭ.

Формы:

·        
Коллективная

·        
Индивидуальная

·        
Фронтальная

Методы:

·        
Словесный

·        
Наглядный

·        
Практический

·        
Беседа

Оборудование: тетрадь
для консультаций, компьютер, проектор, экран, презентация

Ход
занятия

1.       Организационный
момент

Вступительное
слово: Здравствуйте, ребята. Настраиваемся на занятие, а оно необычное,
открытое и проходит в рамках районного методического объединения учителей
математики. Эпиграфом к занятию будут такие слова: (слайд 2)

Результат учения
равен произведению способности на старательность. Если старательность равна
нулю, то и все произведение равно нулю. А способности есть у каждого.

И сегодня мы
продолжим отрабатывать умения и навыки, которые вы должны будете продемонстрировать,
решая задание № 13 экзаменационной работы профильного уровня.

2.       Систематизация
и повторение пройденного материала

Вспомнить:

·        
Какие уравнения вы знаете?

·        
Какие из них мы решали на прошлом занятии
(показательные, логарифмические, тригонометрические)

3.       Формулирование
темы и задач занятия

Вызвать к доске по очереди 3-х
обучающихся: устно

— Рассказать, какие уравнения называются
показательными? Как решать такие уравнения (методы, приемы)?

— Рассказать, какие уравнения называются
логарифмическими? Методы и приемы решения логарифмических уравнений.

— Рассказать, какие уравнения называются
тригонометрическими? Методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

Одновременно у доски 3 человека:

— Поворот точки вокруг начала координат

— Свойства логарифмов

— Тригонометрические: основное
тригонометрическое тождество, формулы сложения, двойного и половинного угла,
формулы приведения, сумма и разность синусов и косинусов).

4.       Работа
устно (базовые, слайд 3)

5.       Работа
письменно (слайд 4)

В экзаменационных работах
вам предлагается не просто решить уравнение (задание № 13 а)), но и указать
корни этого уравнения на определенном отрезке. Предлагаю найти корни последнего
уравнения на отрезке [-. Определить корни можно
несколькими способами:

— отбор корней по
тригонометрической окружности (улитка), наиболее наглядный, простой.

— отбор корней по
грфику

— Отбор корней
неравенством

— Отбор корней по
значениям n

Решение уравнений
(слайд 5)

6.       Оценивание
выполнения задания

Задание № 13
проверяет умение решать уравнения. Примерное время выполнения задания обучающимися
13-20 минут и оценивается в 2 балла (слайд 6)

7.       Самостоятельное
решение уравнения с последующей проверкой

8.       Дома

Используя
различные источники сети интернет, найти аналогичные задания, решить их и
оформить на листе А4. Подготовиться к защите. Задания не должны совпадать.

9.       Рефлексия.
Вернуться к эпиграфу и сформулировать свои выводы:

— Сегодня на уроке я
узнал(а)…

— Было интересно…

— Было трудно…

— Меня удивило…

— Урок дал мне для жизни…

10. Итог.

Закончить занятие мне бы хотелось словами
Пьера Лапласа: «То, что мы не знаем – ограниченно, а то чего мы не знаем –
бесконечно». Поэтому обогащайтесь знаниями, чаще находитесь в этой
бесконечности. Спасибо за работу.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Уравнения с радикалами решу егэ
  • Уравнения с параметром егэ 11 класс профиль
  • Уравнения с параметрами егэ теория
  • Уравнения с модулем егэ 11 класс профильный уровень
  • Уравнения с логарифмами часть с егэ